ÁLGEBRA LINEAL I LISTA DE EJERCICIOS 3. Página para el curso:

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1 ÁLGEBRA LINEAL I LISTA DE EJERCICIOS 3 DANIEL LABARDINI FRAGOSO DANIEL BALAM CRUZ HUITRÓN Página paa el cuso: A lo lago de los siguientes ejecicios, seá un campo. Recueda las siguientes deniciones: (i) Sea V un espacio vectoial sobe. Decimos que un subconjunto S de V es linealmente independiente sobe si cada vez que v 1,..., v m sean elementos distintos de S, la única manea de tene la igualdad α 1 v α m v m = 0 con α 1,..., α m sea cuando α 1 =... = α m = 0. (ii) Sean V un espacio vectoial sobe, y (v 1,..., v m ) una lista odenada de elementos de V. Decimos que (v 1,..., v m ) es linealmente independiente sobe si la única manea de tene la igualdad α 1 v α m v m = 0 con α 1,..., α m es cuando α 1 =... = α m = 0. (iii) Sean V un espacio vectoial sobe, y S un subconjunto de V. Una combinación lineal de elementos de S es cualquie expesión de la foma α 1 v α m v m, con α 1,..., α m y v 1,..., v m S. Decimos que el vecto obtenido mediante la expesión es combinación lineal de elementos de S. (iv) Sean V un espacio vectoial sobe, y (v 1,..., v m ) una lista odenada de elementos de V. Una combinación lineal de (v 1,..., v m ) es una expesión de la foma α 1 v α m v m, con α 1,..., α m, en la que insistimos que todos los vectoes v 1,..., v m apaezcan, y que lo hagan en el mismo oden en el que apaecen en la lista (v 1,..., v m ). Decimos que el vecto obtenido mediante la expesión es combinación lineal de la lista odenada (v 1,..., v m ), peo al considea las expesiones de este vecto como combinación lineal de (v 1,..., v m ) sólo consideamos aquéllas en las que apaecen todos los vectoes v 1,..., v m (en el oden de la lista). (v) Sean V un espacio vectoial sobe, y S un subconjunto de V. Decimos que S es una base de V sobe si es linealmente independiente sobe y genea a V como espacio vectoial sobe. (vi) Sean V un espacio vectoial sobe, y (v 1,..., v m ) una lista odenada de elementos de V. Decimos que (v 1,..., v m ) es una base odenada de V sobe si es linealmente independiente sobe como lista odenada y el conjunto {v 1,..., v m } genea a V como espacio vectoial sobe. 1

2 2 DANIEL LABARDINI, DANIEL CRUZ 1. Sean V un espacio vectoial sobe y v = (v 1,..., v m ) una lista odenada de elementos de V, con m 1. Demuesta que: Si v es linealmente independiente sobe, entonces v i v j paa i j; si v es linealmente independiente sobe, entonces v i 0 paa i {1,..., m}; si v es linealmente independiente sobe, entonces el conjunto {v 1,..., v m } es linealmente independiente sobe ; si el conjunto {v 1,..., v m } es linealmente independiente y v i v j paa i j, entonces v es linealmente independiente; v es linealmente independiente sobe si y sólo si cada w {v 1,..., v m } posee exactamente una expesión como combinación lineal de la lista v. 2. Sean V un espacio vectoial sobe, S un subconjunto de V y w un elemento de V. Demuesta que si S es linealmente independiente sobe y w no petenece al subespacio vectoial de V geneado po S, entonces S {w} es linealmente independiente sobe. 3. Sean V un espacio vectoial sobe, S un subconjunto de V y w un elemento de V. ¾Es cieto que si S {w} es linealmente independiente sobe, entonces S es linealmente independiente sobe y w no petenece al subespacio vectoial de V geneado po S? Si tu espuesta es sí, demuéstala; si tu espuesta es no, agega alguna hipótesis que haga que la espuesta sea sí. 4. Sean V un espacio vectoial sobe y S un subconjunto de V. Demuesta que S es linealmente dependiente sobe si y sólo si existe w S que es combinación -lineal de los elementos de S \ {w}. 5. Sea V un espacio vectoial sobe. Demuesta que si S es un subconjunto nito de V tal que S = V, entonces S contiene un subconjunto que es linealmente independiente sobe y genea a V. 6. Sea V un espacio vectoial sobe. Demuesta que si S es un subconjunto nito de V tal que S = V y X es un subconjunto de V linealmente independiente sobe, entonces X S. 7. Sea V un espacio vectoial sobe. Demuesta que cualesquiea dos bases de V sobe tienen el mismo númeo de elementos. 8. Sea V un espacio vectoial nitamente geneado sobe. Demuesta que todo -subespacio vectoial de V es nitamente geneado. 9. Sea V un espacio vectoial nitamente geneado sobe. Demuesta que si W es un - subespacio vectoial de V, entonces dim (W ) dim (V ). 10. Sea V un espacio vectoial nitamente geneado sobe. Demuesta que si W es un - subespacio vectoial de V tal que dim (W ) = dim (V ), entonces W = V. 11. Sea V un espacio vectoial nitamente geneado sobe. Demuesta que si W es un - subespacio vectoial de V tal que dim (W ) = 0, entonces W = {0}. 12. Sea V un espacio vectoial sobe. Demuesta que V es nitamente geneado sobe si y sólo si V tiene dimensión nita sobe. 13. Sean V un espacio vectoial nitamente geneado sobe y W un -subespacio vectoial de V. Demuesta que si β es una base de W, entonces existe una base γ de V tal que β γ. 14. Sean V un espacio vectoial nitamente geneado sobe y W un -subespacio vectoial de V. ¾Es cieto que si γ es una base de V, entonces existe una base β de W tal que β γ?

3 ÁLGEBRA LINEAL I LISTA DE EJERCICIOS 3 3 Si tu espuesta es sí, demuéstala; si tu espuesta es no, da un ejemplo que justique tu espuesta. 15. Exhibe una base de R 3 que contenga simultáneamente a los vectoes (1, 1, 1) y (1, 2, 3). 16. Exhibe una base de R 5 que contenga simultáneamente a los vectoes (1, 1, 1, 2, 2) y (1, 2, 3, 4, 5). 17. Exhibe un subespacio de R 3 que tenga dimensión 0 y no contenga al vecto (3, 2, 1). 18. Exhibe un subespacio de R 3 que tenga dimensión 1 y no contenga al vecto (3, 2, 1). 19. Exhibe un subespacio de R 3 que tenga dimensión 2 y no contenga al vecto (3, 2, 1). 20. ¾Es posible exhibi un subespacio de R 3 que tenga dimensión 3 y no contenga al vecto (3, 2, 1)? 21. Calcula dim C (C n ) y dim R (C n ). Pista: Comienza con n = Da un ejemplo de un espacio vectoial sobe R que sea nitamente geneado sobe R, peo que no sea nitamente geneado sobe Q. 23. Sean 1 y 2 númeos eales distintos. Demuesta que las funciones f 1, f 2 : [0, 1] R dadas po f 1 (x) = e 1x y f 2 (x) = e 2x son linealmente independientes sobe R. ¾En cuál espacio vectoial se da esta independencia lineal? 24. Sean 1, 2 y 3 númeos eales distintos. Demuesta que las funciones f 1, f 2, f 3 : [0, 1] R dadas po f 1 (x) = e 1x, f 2 (x) = e 2x y f 3 (x) = e 3x son linealmente independientes sobe R. ¾En cuál espacio vectoial se da esta independencia lineal? 25. Basado(a) en los dos ejecicios anteioes, enuncia una conjetua sobe la independencia lineal de las funciones exponenciales en el intevalo [0, 1]. ¾Puedes demosta tu conjetua? ¾Qué te dice tu conjetua sobe las dimensiones de C ([0, 1]), C 0 ([0, 1]) y R [0,1] como R-espacios vectoiales? 26. Sea V un espacio vectoial sobe. ¾Es cieto que si S 1 y S 2 son subconjuntos linealmente independientes de V, entonces S 1 S 2 es linealmente independiente? 27. Sea V un espacio vectoial sobe. ¾Es cieto que si S 1 y S 2 son subconjuntos linealmente independientes de V, entonces S 1 S 2 es linealmente independiente? 28. Sea V un espacio vectoial sobe. Demuesta que si W 1 y W 2 son -subespacios vectoiales de V, entonces W 1 W 2 es -subespacio vectoial de V. ¾Es cieto que W 1 W 2 es también -subespacio vectoial de V? 29. Sean V un espacio vectoial sobe, y W 1 y W 2 subespacios vectoiales de V. Denamos W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 w 1 W 1, w 2 W 2 }. Demuesta que W 1 + W 2 = W 1 W Sean V un espacio vectoial sobe, y W 1 y W 2 subespacios vectoiales de V. Demuesta que las siguientes amaciones son equivalentes: Existen bases β 1 de W 1 y β 2 de W 2 tales que β 1 β 2 es una base de W 1 + W 2 ; paa cualesquiea bases β 1 de W 1 y β 2 de W 2, la unión β 1 β 2 es una base de W 1 + W 2 ; W 1 W 2 = {0}; cada elemento de W 1 +W 2 puede expesase de manea única como w 1 +w 2 con w 1 W 1 y w 2 W Sean V un espacio vectoial nitamente geneado sobe, y W 1 y W 2 subespacios vectoiales de V. Demuesta que dim (W 1 + W 2 ) + dim (W 1 W 2 ) = dim (W 1 ) + dim (W 2 ). 32. Sean V un espacio vectoial nitamente geneado sobe y S un subconjunto nito de V. Demuesta que las siguientes amaciones son equivalentes: S es base de V sobe ;

4 4 DANIEL LABARDINI, DANIEL CRUZ S genea a V sobe y S = dim (V ); S es linealmente independiente sobe y S = dim (V ); S genea a V sobe y paa cada v S se cumple que S \ {v} no genea a V sobe ; S es linealmente independiente sobe y paa cada v V \ S se tiene que S {v} es linealmente independiente sobe. 33. En C 2 denamos opeaciones + : C 2 C 2 C 2 y : C C 2 C 2 mediante las eglas (w 1, w 2 ) + (z 1, z 2 ) = (w 1 + z 1, w 2 + z 2 ) y α (z 1, z 2 ) = (σ(α)z 1, αz 2 ), donde σ(α) es el númeo complejo conjugado de α C. Demuesta que C 2 es espacio vectoial sobe C con estas opeaciones. 34. Sea α un númeo complejo. Decimos que α es un númeo algebaico si existe un polinomio f Q[X] de gado positivo tal que f(α) = 0. Demuesta que α C es un númeo algebaico si y sólo si el conjunto {α n n 0} es linealmente dependiente sobe Q. ¾En cuál espacio vectoial sobe Q tiene luga esta dependencia lineal? 35. Demuesta que todo númeo acional es un númeo algebaico. 36. Demuesta que 2, y 1 2 son númeos algebaicos. 37. Paa α = 2, exhibe una foma de expesa al ceo como combinación Q-lineal no tivial de las potencias no negativas de α. 38. Paa α = 1+ 2, exhibe una foma de expesa al ceo como combinación Q-lineal no tivial de las potencias no negativas de α. 39. Paa α = 1 2, exhibe una foma de expesa al ceo como combinación Q-lineal no tivial de las potencias no negativas de α. 40. Demuesta que { 2, 2} es linealmente dependiente sobe Q. ¾En cuál espacio vectoial sobe Q tiene luga esta dependencia lineal? 41. Demuesta que {1 + 2, 1 2} es linealmente independiente sobe Q. ¾En cuál espacio vectoial sobe Q tiene luga esta independencia lineal? 42. Demuesta que { 2, 2} es linealmente dependiente sobe R. ¾En cuál espacio vectoial sobe R tiene luga esta dependencia lineal? 43. Demuesta que {1 + 2, 1 2} es linealmente dependiente sobe R. ¾En cuál espacio vectoial sobe R tiene luga esta dependencia lineal? 44. Da un ejemplo de un númeo algebaico que no sea númeo eal. 45. Da un ejemplo de un númeo eal que no sea númeo algebaico. Pista: Hay un capítulo del Spivak dedicado a da un ejemplo; no tienes que sabe la demostación, este ejecicio es sólo de caácte cultual. Si estás tomando Teoía de Conjuntos, quizá te animes a poba que existen númeos eales que no son algebaicos los númeos algebaicos foman un conjunto numeable, ¾puedes demostalo? 46. Fijemos a, b, c R. Demuesta que el conjunto W (a,b,c) = {(x, y, z) R 3 ax + by + cz = 0} es un R-subespacio vectoial de R Encuenta una base del subespacio W (2,3,4). 48. Fijemos a, b, c R. Más genealmente, encuenta una base del subespacio W (a,b,c). 49. Denotemos po P(R 3 ) al conjunto potencia de R 3. Considea la función f : R 3 P(R 3 ) dada po (a, b, c) W (a,b,c). ¾Es f inyectiva?; descibe la imagen de f;

5 ÁLGEBRA LINEAL I LISTA DE EJERCICIOS 3 5 paa cada W en la imagen de f, descibe la peimagen f 1 [W ]. 50. Fijemos a, b, c, d R. Demuesta que el conjunto W (a,b,c,d) = {(x, y, z, t) R 3 ax + by + cz + dt = 0} es un R-subespacio vectoial de R Fijemos a, b, c, d R. Encuenta una base del subespacio W (a,b,c,d) del ejecicio anteio. 52. Encuenta una base del R-subespacio vectoial de R 4 denido po la ecuación 2x + 3y + 4z + 5t = Fijemos vectoes (a, b), (c, d) 2. Demuesta que la lista odenada ((a,b),(c,d)) es linealmente independiente sobe si y sólo si ad bc 0 es difeente de ceo. 54. Fijemos vectoes (a, b), (c, d) Q 2. Demuesta que el conjunto {(a, b), (c, d)} es linealmente independiente sobe Q si y sólo si es linealmente independiente sobe R. Nota: Antes de esolve este ejecicio, contesta la siguiente pegunta: ¾Po qué podemos peguntanos po la independencia lineal sobe R si estamos hablando de vectoes en Q 2? 55. Da un ejemplo de un espacio vectoial V sobe R y un subconjunto de V que sea linealmente independiente sobe Q peo linealmente dependiente sobe R. ¾Puedes da un ejemplo de un subconjunto de V que sea linealmente independiente sobe R peo linealmente dependiente sobe Q? 56. Sean V un espacio vectoial sobe y W un -subespacio vectoial de V. Denamos una elación V V como sigue: v 1 v 2 si y sólo si v 1 v 2 W. Demuesta que: es una elación de equivalencia paa V ; la clase de equivalencia del vecto ceo es pecisamente W ; si C es una clase de equivalencia paa, entonces existe v V tal que C = {v +w w W }. Denotemos po V/W al conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de la elación. ¾Puedes deni opeaciones de suma y multiplicación po escalaes que hagan de V/W un espacio vectoial sobe? 57. Consideemos R 2 y el subespacio W de R 2 geneado po el vecto (1, 1). Dibuja las clases de equivalencia de la elación (cf. ejecicio anteio). 58. Demuesta que el anillo de polinomios [X] es un espacio vectoial sobe. ¾Tiene [X] dimensión nita sobe? 59. Sea m un enteo positivo. Demuesta que si f 0, f 1..., f m [X] son polinomios tales que el gado de f n es n paa toda n {1,..., m}, entonces {f 0, f 1..., f m } es linealmente independiente sobe. 60. Sea m un enteo no negativo. Demuesta que el conjunto W n = {f [X] el gado de f es meno o igual que n} es un -subespacio vectoial de [X]. 61. Con efeencia al ejecicio anteio, demuesta que el conjunto {1, 1 + X, 1 + X + X 2, 1 + X + X 2 + X 3 } es una base de W Con efeencia al ejecicio anteio, expesa cada uno de los polinomios 1, X, X 2 y X 3 como combinación lineal de los elementos de {1, 1 + X, 1 + X + X 2, 1 + X + X 2 + X 3 }. 63. Con efeencia a los dos ejecicios anteioes, expesa el polinomio f = a 0 +a 1 X+a 2 X 2 +a 3 X 3 como combinación lineal de los elementos de {1, 1 + X, 1 + X + X 2, 1 + X + X 2 + X 3 }. 64. Consideemos indeteminadas X 1,..., X m (con las que a continuación fomaemos polinomios). Decimos que un polinomio en X 1,..., X m con coecientes en es homogéneo de

6 6 DANIEL LABARDINI, DANIEL CRUZ gado n si petenece al -subespacio vectoial de [X 1,..., X m ] geneado po los monomios de gado n. Denotando po W m,n al espacio de todos los polinomios homogéneos de gado n en m indeteminadas, calcula dim (W m,n ). 65. Sean n y m enteos positivos. Denotemos po n m al conjunto de todas las matices de tamaño n m con entadas en. Demuesta que n m es un espacio vectoial sobe. Calcula dim ( n m ). 66. Paa cada enteo positivo n denamos n 1 como el elemento de que esulta de suma el 1 de consigo mismo n veces. Demuesta que si es nito, entonces: Existe un enteo positivo n tal que n 1 es igual al ceo de ; el enteo positivo más pequeño con especto a la popiedad del inciso anteio es un númeo pimo; el conjunto F = {n 1 n es un enteo positivo} es un campo bajo la suma y la multiplicación de ; es un espacio vectoial sobe F ; existen un númeo pimo positivo y un enteo positivo m tales que = p m. 67. Demuesta que no existe campo alguno que tenga exactamente 7000 millones de elementos. 68. Supongamos que es nito y que V es un espacio vectoial nitamente geneado sobe. Demuesta que V es un conjunto nito. 69. Supongamos que es nito y jemos enteos no negativos n y m. ¾Cuántas m-adas odenadas de elementos de n? 70. Supongamos que es nito y jemos enteos no negativos n y m. ¾Cuántas m-adas odenadas de elementos de n hay que sean linealmente independientes? 71. Supongamos que es nito. Fijemos un enteo no negativos m y supongamos que W es un espacio vectoial sobe tal que dim (W ) = m. ¾Cuántas m-adas odenadas de elementos de W hay que sean linealmente independientes? 72. Supongamos que es nito. Paa cada pa n,, de enteos no negativos, denamos G ( n ) = {W W es -subespacio vectoial de n tal que dim (W ) = }. Encuenta una fómula que cuente el númeo de elementos de G ( n ). Pista: Recueda lo que hicimos paa = 1 y, como pime paso, [ esuelve ] el caso = 2. n 73. Supongamos que es nito, y escibamos := G ( n ). Demuesta que [ ] [ ] [ ] n = n 1 n Fijemos enteos no negativos [ n] y. Demuesta que existe un polinomio f con coecientes n enteos tal que el númeo coincide con la evaluación de f en el enteo. 75. Fijemos enteos no negativos n y. Demuesta que el polinomio f del ejecicio anteio es único. Calcula f(1). Instituto de Matemáticas, Univesidad Nacional Autónoma de México addess: labadini@matem.unam.mx addess: huiton@matem.unam.mx