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1 ESCUEL UNIVERSIDD DE L LGUN TÉCNIC SUPERIOR DE INGENIERÍ INFORMÁTIC Tecnología de Computadoes Páctica de pogamación, cuso 2010/11 Pofeso: Juan Julian Meino Rubio Enunciado de la páctica: Cálculo de una hipoteca La páctica de pogamación en ensamblado paa el cuso 2010/11 va a consisti en el desaollo de una aplicación paa calcula los pagos a ealiza con un péstamo hipotecaio. Se debe escibi un pogama llamado HIPOTEC.SM, en lenguaje Ensamblado de la aquitectua I32, en entono Windows, que admita de foma inteactiva po pate del usuaio la intoducción y edición de los datos del péstamo hipotecaio, a sabe: el capital concedido, el tipo de inteés y la duación del péstamo, además de otos datos adicionales, como si el péstamo es a inteés fijo o vaiable y cosas así, que se aclaaán más adelante. El pogama, una vez aceptados los datos calculaá los pagos mensuales que se deben ealiza duante el pime año y luego a golpe de tecla en los años sucesivos, pesentandolos en foma de tabla. La pate obligatoia debeá ealiza, al menos, la siguiente secuencia: 1. Intoduci inteactivamente los datos del péstamo. 2. Calcula las cuotas mensuales que deben pagase, sepaando la amotización del capital y los inteeses. 3. Mosta po pantalla la tabla, año a año, con los detalles anteioes. 4. Edita los datos iniciales de nuevo paa posibilita su modificación, volviendo en su caso al paso 2, o eligiendo sali del pogama. Un poco de teoía financiea Inteés simple Cuando se pesta un capital duante cieto tiempo el pestamista se indemniza ecibiendo, además del capital pestado, cieta cantidad que se llama inteés. BNCO pesta un CP capital devuelve CP + I capital + inteés PRESTMIST PRESTTRIO 1

2 Tecnología de Computadoes, cuso 2010/11 2 CP = capital pesente I = inteés CF = CP + I = capital futuo El inteés se puede egula po compaación con un capital de 100e, que se supone pestado duante un año en las mismas condiciones que el capital que se considea. El inteés de 100e en un año se llama édito o tanto po ciento. El inteés es popocional al capital pestado: si además se admite que es popocional al tiempo, se llama inteés simple. I = CP 100 t (1) donde, = édito o tanto po ciento (%), anual. t = tiempo o duación, en númeo de años, del péstamo. Ejemplo 1 Se pestan eal 4,5 % anual duante 6 meses. Calcula el inteés que debe pagase. CP = 2.000, 00 = 4, 5 % t = 1/2 año 4, 5 I = CP t = , 5 = 45, Respuesta: I = 45.-e (habá que devolve CF = CP + I = e Genealmente, en las cuestiones de inteés simple, el pestataio paga po intevalos iguales (que pueden se de un año, de un semeste, de un timeste, etc.) el inteés del capital que ha ecibido; y al temina el tiempo estipulado debe devolve también el capital. Si se intecambian los papeles hablamos de invesión; quien pone el capital espea obtene un endimiento en foma de inteés. Inteés compuesto El inteés se llama compuesto cuando po intevalos iguales se acumula al capital (se capitaliza) paa poduci a su vez oto inteés. El inteés compuesto se egula po el tanto po uno (o tanto, o tasa) que es el inteés poducido po un euo (1e), pestado duante un año, en las mismas condiciones que el capital. Se admite que el inteés compuesto es popocional al capital, peo no es popocional al tiempo, poque el capital vaiable aumenta con el tiempo. Sea CP = capital pimitivo u oiginal, y el édito, en tanto po uno anual. l capitaliza po años tendemos: l cabo de un año CP poduce un inteés CP y el nuevo capital es CP(1 + ) l cabo del segundo año el nuevo capital, CP(1+), poduce un inteés de CP (1+) y el nuevo capital es: CP(1 + ) + CP(1 + ) = CP (1 + ) 2 y así sucesivamente, al cabo de n años el capital compuesto o acumulado, C, es: C = CP (1 + ) n

3 Tecnología de Computadoes, cuso 2010/11 3 1e año 2 o año n-ésimo año momento de apota el capital CP final del 1e año final del 2 o año final del n-ésimo año capital acumulado: C = CP (1 + ) n Supongamos que el año esté dividido en k peiodos iguales, que los inteeses se capitalicen al cabo del tiempo 1/k, y que sea el tanto equivalente al en el tiempo 1/k. Un euo se conviete al cabo de un año en 1 + euos, y en vitud de la fómula anteio, en k peiodos que foman un año se debe conveti en (1 + ) k, tendemos po consiguiente: 1 + = ( 1 + ) k o bien 1 + = (1 + ) 1/k (2) Ejemplo 2 Cuál es el tanto mensual equivalente al 3,5 % anual? = 3, 5 = 0, 035 anual 100 = (1 + ) 1/k 1, k = 12 meses (1 año) = (1 + 0, 035) 1/12 1 = 1, 035 1/12 1 = 1, = 0, = 0, 287 % mensual Habitualmente los bancos no calculan así el tanto mensual equivalente, sino que lo hacen así: B = k, po ejemplo, con los númeos anteioes, B = 0, El eo siempe es a favo del banco. En p peiodos iguales a 1/k se tendá = 0, = 0, 292 % (1 + ) p = (1 + ) p/k hoa, si n = n + p/k, tendemos paa el valo del capital en los n años: CP (1 + ) n y colocando este capital a inteés compuesto duante el tiempo p/k se convetiá en po consiguiente, la fómula CP (1 + ) n (1 + ) p/k = CP (1 + ) n + p k C = CP (1 + ) n (3) es válida paa cualquie valo de n, aunque no sea un númeo enteo de años. La fómula (3) esuelve cuato cuestiones, poque cada una de las cuato cantidades que figuan en ella pueden se la incógnita, además del capital acumulado:

4 Tecnología de Computadoes, cuso 2010/11 4 El capital pimitivo; CP = C (1 + ) n (4) El tiempo necesaio paa una capitalización n = log (C) log (CP) log (1 + ) (5) El édito = n C CP 1 (6) El inteés o ganancia total I = C CP = CP [(1 + ) n 1] (7) nualidades Fomación de un capital po anualidades (capitalización). Si duante n años consecutivos y al final de cada uno se coloca una suma de euos a inteés compuesto, se fomaá un capital cuyo valo nos poponemos halla. 1 e año 2 o año año (n 1) año n-ésimo se ingesa se ingesa se ingesa se ingesa se ingesa La pimea anualidad estaá colocada duante (n 1) años, po tanto se convetiá en (1 + ) n 1 ; la segunda anualidad estaá colocada duante (n 2) años, po lo que se convetiá en (1 + ) n 2, la tecea en (1 + ) n 3,..., y la última seá. Sumando todas las anualidades se obtiene la expesión del capital fomado (CF): CF = + (1 + ) + + (1 + ) n 2 + (1 + ) n 1, y como el segundo miembo es una pogesión geomética cuya azón es 1 +, CF = [(1 + )n 1] (8) La fómula (8) esuelve cuato poblemas, siendo los más impotantes halla el capital (futuo) y halla la anualidad. Ejemplo 3 Cada año ingesamos epaa foma un capital. El édito es del 5 % anual. Empezamos a paga cuando cumplimos 45 años. l jubilanos con 65 años (!!), qué capital hemos fomado? Se aplica (8) diectamente, con = 2.500, 00, = 0, 05 y n = 21 años CF = (1, ) 0, 05 = (2, ) 0, 05 Respuesta: , 13 e CF = , = , 13e

5 Tecnología de Computadoes, cuso 2010/11 5 Ejemplo 4 Cuántos años tadaemos en foma un capital de esi ingesamos cada año een una cuenta que nos enta un 4 % anual? Despejamos n en (8) y obtenemos: ) CF n = log ( 1 + log (1 + ) Con los datos del poblema: CF = , 00, = 5.000, 00, = 0, 04 ( ) log , log(1 + 0, 8) 0, n = = = = 14, 9866 log(1, 04) log(1, 04) 0, O sea, 15 años, consiguiendo entonces un capital de (9) CF = (1, ) 0, 04 = , = , 94e Respuesta: 15 años. pati de (8) no se puede despeja diectamente, po lo que hay que emplea técnicas de apoximación, bien po tanteo bien mediante cualquiea de los métodos sistemáticos (de los que se ven en los libos de Cálculo Numéico, po ejemplo el método de Newton u otos). Paa facilita las cosas en (8) llamemos b al cociente CF/ y x = 1 +, quedando la ecuación b = xn 1 x 1 = xn 1 + x n x + 1 Esto es, que hay que halla la aiz póxima a 1 del polinomio f(x) = x n 1 + x n x + (1 b) Un método apopiado es el de Newton-Raphson, que apoxima la aiz iteativamente según: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) En el Ejemplo 5 tenemos un caso páctico. El capital fomado, CF, es el valo adquiido po las n anualidades al final del n ésimo año; si designamos po V su valo actual, es deci su valo al comenza el pime año, tendemos, en vitud de la fómula del inteés compuesto: o bien, que sustituyendo en (8): CF = V (1 + ) n, V = CF (1 + ) n V = [(1 + )n 1] (1 + ) n (10) expesión que sive paa halla el valo actual de n anualidades de euos, pagadeos al final de cada año.

6 Tecnología de Computadoes, cuso 2010/11 6 Ejemplo 5 En un plazo de 8 años queemos foma un capital de e. Podemos apota cada año la cantidad de e, qué édito debemos consegui paa nuesta invesión? Según lo anteio, tenemos b = /6.300 = 9, y n = 8 años, y hay que halla la aiz del polinomio Empezando con x 0 = 1, 0 se obtiene: Respuesta: 4,93% f(x) = x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x 8, n x n f(x n ) f (x n ) 0 1, , , , , , , , , , , ,0541 = x 1 = 0, motización de una deuda po anualidades. La anualidad que se aplica a la amotización de una deuda o empéstito ecibe el nombe de enta. Hay tes tipos: * limitada, cuando el númeo de años que dua el empéstito es limitado (finito), * vitalicia, cuando el plazo es la vida del aceedo, y * pepétua, cuando el plazo es ilimitado. El poblema de la amotización se esuelve po la fómula (10) anteio. Poque si V es el valo actual de la deuda, su valo al final del n ésimo año seá V (1 + ) n ; y como el valo de las n anualidades que deben pagase al final de cada año es [(1 + ) n 1]/, tendemos: de donde se deduce: Si ponemos la fómula (11) V (1 + ) n = [(1 + ) n 1] / = V (1 + )n (1 + ) n 1 = V [(1 + )n 1 + 1] (1 + ) n 1 = V + V (1 + ) n 1 La pimea pate, V, es el inteés simple o enta pepétua del capital V. El segundo témino, V (1+) n 1, es la pate de la enta que queda destinada a la amotización. Esta pate se hace ceo si n, convitiéndose la enta en pepétua, no amotizándose nunca. La fómula (11) esuelve cuato poblemas (Ejemplos 6, 7, 8 y 9, espectivamente). Ejemplo 6 [Cálculo de ] Calcula las mensualidades de una hipoteca de ,- e al 6,5 % anual, a paga en 15 años. V = , 00e = 0, 065 La fómula (11) se pone también: n = 15 años (11)

7 Tecnología de Computadoes, cuso 2010/11 7 de donde: = = V 1 (1 + ) n (12) 0, , = 5882, 5 = 9624, 96e 1 0, La anualidad que esulta es de 9.624,96e, de los cuales V = 5.882, 50ecoesponden a la enta pepétua (RP) y la difeencia Q = 9.624, , 50 = 3.742, 46ees la amotización. En efecto, una anualidad de 3.742,46eduante 15 años al 6,5 % poduce un capital final (fómula (8), esto es una epetición del ejemplo 3): CF = Q (1 + )n 1 = 3742, 46 (1, ) 0, 065 = 90500, 80 o sea, el capital pestado. Los 5.882,50 e anuales son el inteés (pepétuo) po el péstamo, lo cual hacen un monto de , 50 = , 50e, lo que se le paga al banco (su inteés) además del dineo pestado, clao. Peo estos no son los cálculos que se piden en el enunciado. Se pide la mensualidad, no la anualidad. La fómula es la misma (11) o en la foma (12), peo con el édito mensual y n = = 180 meses. Había que utiliza el édito mensual equivalente (fómula (2)): 1 + = (1 + ) 1/12 = 12 1, 065 = 1, ; = 0, 5262 % mensual. con el que esultan unas cuotas mensuales (CM) o mensualidades de CM = , , = 476, 21 = 779, 15e 1 0, lo que pasa es, como se indicó en el ejemplo 2, que los bancos calculan el édito equivalente simplemente dividiendo po 12, esultando = 0, 065/12 = 0, Con este édito y empleando (12) con 180 meses esulta CM = Respuesta: 788,35e 0, , = 490, 21 = 788, 35e 1 0, Ejemplo 7 [Cálculo de V] Hemos compado un coche a plazos, pagando todos los meses un ecibo de 331,19e, duante 5 años, al 2 % mensual. Hicimos una entega inicial de 3.837,50e. Cuál ea el pecio del coche? ó CM = 331, 19e = 0, 02 mensual Despejando de (12) el valo actual : n = 12 5 = 60 meses V = 1 (1 + ) n (13)

8 Tecnología de Computadoes, cuso 2010/ , , V = = , 02 0, 02 0, = = , 7609 = , 46e 0, 02 Los ,46ejunto con la entega inicial de 3.837,50ees el pecio total del coche: ,96e. Respuesta: Pecio = ,96e Si dividimos la entega inicial ente el pecio total: 3.837, 50/15.349, 96 = 0, 2500 vemos que la entega inicial ea el 25 % del valo del coche, y se financió a 5 años el 75 % estante. Cuál es el édito anual equivalente al que se ha pagado este péstamo? Usando la fómula (2) se obtiene: o sea, a casi el 27 %. = (1 + ) k 1 = (1 + 0, 02) 12 1 = 1, = 0, Ejemplo 8 [Cálculo de n] En cuánto tiempo pagaemos un péstamo de ,- e con un inteés anual del 6 % si las anualidades mayoes que podemos euni son de ,-e? V = , 00e = , 00e Despejando de (11) el númeo de peíodos: n = 0, 06 anual ( log , n = log(1 + 0, 06) Respuesta: 29 años. ) n = log ( 1 V ) log(1 + ) log(0, 185) = = 0, = 28, 9587 años log(1, 06) 0, (14) Ejemplo 9 [Cálculo de ] En la popaganda de un banco se ofecen péstamos de hasta 4.000,-e a seis meses, pagando una cuota mensual de 705,-e. qué tanto está el péstamo? V = 4.000, 00e = 705, 00e Como en el ejemplo 5, llamamos b al cociente V/ y x = 1 + n = 6 meses y sustituyendo en (13) queda b = 1 x n x 1 que la podemos pone de la siguiente foma paa usa el método de Newton-Raphson: f(x) = b x + x n b 1 f (x) = b n x (n+1) (15)

9 Tecnología de Computadoes, cuso 2010/11 9 Empezando con x 0 = 1, 02 (un 2 % mensual), obtenemos n x n f(x n ) f (x n ) 0 1, , , , , , , , , , , ,31255 = x 1 = 0, mensual Respuesta: 1,62% mensual. Usando (2) obtenemos la tasa anual equivalente, que esulta se: 1 + = (1 + ) 12 = 1, = 1, ; = 21, 27 % anual. Resultados de la páctica Del enunciado de la páctica y vistos los ejemplos anteioes deducimos que el ejemplo 6 es pecisamente lo que se pide que haga la páctica. Los estantes ejemplos quedan como ideas paa posibles ampliaciones. Cómo se pesentan los esultados? En foma de tabla de los doce meses siguientes así: Fecha Cuota Capital Inteeses Capital Pendiente 29/03/ ,35e 298,14e 490,21e ,86e 29/04/ ,35e 299,75e 488,59e ,10e 28/05/ ,35e 301,38e 486,97e ,72e 29/06/ ,35e 303,01e 485,34e ,71e 29/07/ ,35e 304,66e 483,70e ,05e 29/08/ ,35e 306,31e 482,05e ,74e 29/09/ ,35e 307,97e 480,39e ,77e 29/10/ ,35e 309,63e 478,72e ,14e 29/11/ ,35e 311,31e 477,04e ,83e 29/12/ ,35e 313,00e 475,35e ,83e 28/01/ ,35e 314,69e 473,66e ,14e 29/02/ ,35e 316,40e 471,95e ,74e donde los datos se han tomado del ejemplo 6, desglosando cada mensualidad en inteeses y ebaja del capital; de esta manea es como nos popociona el banco la tabla de amotización de un péstamo. Paa ellena la tabla los cálculos son los siguientes: se calcula la cuota mensual tal como se hace en el ejemplo 6, empleando la fómula (12) con el édito equivalente mensual que emplea el banco ( = /12). Cada mes la cuota se compone de capital e inteeses, estos se calculan multiplicando el capital que queda pendiente po el édito equivalente mensual, la difeencia hasta el total de la cuota es la bajada de capital. El capital pendiente se calcula con las fómulas que se han ido exponiendo, así: [ ] CM (1 + ) i 1 Capital Pendiente mes i-ésimo = V (1 + ) i pues al temina el i-ésimo mes el capital inicial V tiene el valo V (1 + ) i (fómula (3)), peo paa entonces se han ingesado i cuotas mensuales CM que han fomado un capital CM [(1+ ) i 1] (fómula (8)).

10 Tecnología de Computadoes, cuso 2010/11 10 Qué pasa al año siguiente? Si el péstamo es a tipo fijo todo sigue igual y es cuestión de polonga la tabla otos doce meses, peo si el péstamo es a inteés vaiable, lo típico es que cambia cada año que tanscue (cada doce meses desde que se constituye el péstamo). Entonces el cálculo de la cuota mensual hay que ehacelo, con el nuevo édito y el capital pendiente y plazos estantes. Supongamos que ése es el caso en el ejemplo 6. Se pesenta de entada la tabla anteio con el plan de amotización del pime año. hoa se pide que el usuaio intoduzca la nueva tasa de inteés paa el segundo año. Supongamos que se intoduce = 5, 7 %. Se calcula entonces la nueva cuota mensual: 0, 057 = = 0, ; 12 V = , 74e, el capital que queda po paga; n = 168 meses, los peíodos que quedan; 0, CM = 86813, 74 = 751, 23e. 1 1, y se constuye una tabla de amotización como la del pime año peo con los nuevos datos: Fecha Cuota Capital Inteeses Capital Pendiente 29/03/ ,23e 338,86e 412,37e ,88e 28/04/ ,23e 340,47e 410,76e ,41e /02/ ,23e 357,00e 394,23e ,43e y así sucesivamente, dando opción a continua pidiendo el nuevo tipo de inteés o bien temina el pogama. Bibliogafía [1] Maía Bonilla Musoles, ntonia Ivas Escotell Matemáticas de las opeaciones financieas Editoial C, (hay tes ejemplaes en la Biblioteca de Infomática) [2] [3] [4]

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