Capital. Finanzas y capitalización compuesta (primera parte) Autor: Editorial McGraw-Hill

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1 Capital. Finanzas y capitalización compuesta (primera parte) Autor: Editorial McGraw-Hill 1

2 Presentación del curso En este curso aprenderás acerca de la capitalización compuesta, que viene a ser la ley financiera que calcula los intereses producidos en cada período y que se agregan al capital calculando los intereses del periodo siguiente hasta el momento del cierre de la operación financiera. Siguiendo este nuestro curso sobre el capital y las finanzas aprenderás a realizar los cálculos respectivos del interés a través de las formulas que te indicaremos detalladamente. Para comprender mejor la capitalización presentamos un análisis comparativo entre la capitalización simple y la compuesta. Veremos también los diferentes tipos de intereses que existen, como el interés nominal y el interés efectivo, y aprenderás a realizar el cálculo de las tasas de interés correspondiente en cada caso. Aprende con este curso de la editorial McGraw-Hill, fragmento del libro: CEO - Gestión Financiera" del autor G. González Velasco. Puedes descubrir más libros de McGraw-Hil McGraw-Hill en: 2

3 1. Finanzas. Capitalización compuesta Capitalización compuesta Llamamos capitalización compuesta a la ley financiera según la cual los intereses producidos por un capital en cada periodo se agregan al capital para calcular los intereses del periodo siguiente, y así sucesivamente, hasta el momento de cierre de la operación financiera. En la práctica financiera, la capitalización y la actualización compuesta se utilizan en aquellas operaciones financieras con una duración superior al año. Nota: Este curso forma parte del libro " CEO - Gestión Financiera " del autor G. González Velasco, publicado por la editorial McGraw-Hill (ISBN: ). 3

4 2. Capital. Capital final o montante A. Capital final o montante Partiendo de la definición anterior, la capitalización compuesta consiste en un proceso de acumulación de los intereses al capital para producir conjuntamente nuevos intereses, periodo tras periodo, hasta llegar al momento final de la operación financiera. Por tanto, para determinar el valor del capital final es necesario ir calculando los sucesivos montantes al final de cada año. Y así sucesivamente; por aplicación del método concurrente llegamos a la conclusión de que al final del año n: Expresión que nos permite calcular el montante o capital final partiendo del capital inicial. Gráficamente, obtendremos una curva exponencial al relacionar años y montante (véase la Figura 5.1). 4

5 Fig Representación gráfica del montante. Caso Práctico 1.- La señora Sancho deposita en un banco euros, a plazo fijo durante tres años a un interés compuesto del 4 % anual. Halla la cantidad que recibirá al cabo de los tres años que dura la operación financiera. 5

6 3. Capital inicial. Cálculo de los intereses totales B. Capital inicial Sabiendo que y despejando resulta que: La expresión recibe el nombre de factor de actualización, puesto que al aplicarla sobre el capital final obtenemos el valor del capital inicial o actual. O bien; intereses. C. Cálculo de los intereses totales ; de donde en el supuesto de conocerse los Partiendo de los intereses generados serán la diferencia entre el capital final y el capital inicial: Casos prácticos 2.- Calcula el capital inicial que, colocado a un interés del 4 % anual durante cinco años, produjo un montante o capital final de euros. 3.- Determina la cantidad que tendrá que ingresar el señor Blasco en concepto de intereses por un préstamo de euros dentro de cuatro años en un banco, si el tipo de interés compuesto pactado es del 4,5 % anual. 6

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8 4. Interés y tiempo. Cálculo D. Cálculo del tipo de interés A partir de la fórmula del capital final o montante, vamos a despejar i: E. Cálculo del tiempo Del mismo modo que en el apartado anterior, y partiendo de logaritmos:, tomando Casos prácticos 4.- Calcula el tipo de interés al que estuvieron colocados euros durante cuatro años, si se convirtieron en euros. 8

9 5. Interés y tiempo. Cálculo en casos prácticos Casos prácticos 5.- Cuántos años han pasado desde que en una entidad financiera se depositaron euros, al 5 % de interés compuesto, si hoy se reciben ,80 euros? 6.- Calcula el tiempo necesario para que un capital colocado al 4% de interés compuesto se duplique. 9

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11 6. Capital. Capitalización compuesta y simple: comparación Comparación entre capitalización compuesta y simple Según hemos visto en los apartados anteriores, los montantes obtenidos en la capitalización compuesta y simple son: Como se puede observar, estas dos expresiones se diferencian entre sí por los factores de capitalización: (1 + i)n para la capitalización compuesta, para la capitalización simple. Si damos valores a ambas fórmulas, comprobamos que para n = 0 y n = 1 el valor de Cn coincide, siendo diferente para los restantes valores. En el caso de que n esté comprendida entre 0 y 1, observa la Figura 5.2. Fig Comparación de los montantes en interés compuesto y simple para valores de n entre 0, 1 y más. De la comparación anterior podemos decir que el montante de capitalización es mayor mayor en la capitalización simple en periodos inferiores al año, igual para un año y menor en periodos superiores al año. Por tanto, las operaciones financieras superiores a un año utilizarán el interés compuesto, en operaciones a un año será indiferente el uso de un sistema de capitalización u otro y en las operaciones inferiores a un año, habitualmente, se adoptará la capitalización simple. 11

12 Tabla Comparación de sistemas de capitalización. Caso práctico 7.- Calcula el capital final en capitalización compuesta y simple de euros colocados a un tipo de interés del 5 % anual. Primero, si el periodo de capitalización es de seis meses; segundo, si es de un año, y tercero, si el periodo de capitalización es de cinco años. 12

13 7. Interés compuesto Tantos equivalentes en interés compuesto Habitualmente, en las operaciones financieras corrientes se fija el tipo de interés anual aplicable, y el momento de hacer efectivo el interés se corresponde casi siempre con fracciones de año. En las operaciones financieras siempre debe aparecer la Tasa Anual Equivalente (TAE), aunque los periodos de capitalización estén fraccionados en semestres, trimestres, meses, etcétera. Al realizar el cálculo matemático, el tipo de interés y la duración de la operación financiera deben estar medidos en las mismas unidades de tiempo. Tantos equivalentes son aquellos que, aplicados a un mismo capital, producen idéntico montante o capital final durante el mismo tiempo, aunque se refieran a periodos diferentes de capitalización. A. Interés nominal Entendemos por interés nominal el tanto proporcional anual ( J (m) ); se obtiene multiplicando m veces el tipo de interés de un periodo fraccionado (i (m) ). Caso práctico 8.- Halla el interés nominal anual correspondiente al 2 % efectivo semestral. De donde, si queremos calcular el tipo de interés de la fracción de año a que corresponde, debemos simplemente dividir el interés nominal entre el número de veces que estén incluidos los periodos de abono o cargo de intereses en el año (m). m : Frecuencia de fraccionamiento o número de veces que está incluido el periodo de referencia en un año (meses, trimestres, semestres). En todo contrato financiero deben aparecer tanto el interés nominal como el efectivo o Tasa Anual Equivalente (TAE). 13

14 8. Interés efectivo o Tasa Anual Equivalente (TAE) B. Interés efectivo o Tasa Anual Equivalente (TAE) El interés efectivo 0 Tasa Anual Equivalente es el tipo de interés i realmente abonado o cargado a las operaciones financieras en un año.por ejemplo, un euro invertido un año al tanto i proporciona un capital final igual a Cn = (1 + i)1. El mismo euro invertido durante el mismo periodo de tiempo, pero con frecuencias de capitalización referidas al tanto i (m), Para que el tanto i sea equivalente financieramente a i (m), los dos capitales finales, por definición, han de ser iguales, por lo que: Si realizamos una serie de operaciones matemáticas, podemos obtener: a) El tipo de interés efectivo anual o Tasa Anual de Equivalencia (TAE), en función del tipo fraccionado: b) O bien el tipo de interés efectivo de un periodo fraccionado en función del tipo de interés efectivo anual (TAE): Fig Comparación entre tipo de interés nominal efectivo y de un periodo fraccionado. C. Comparación entre el tipo de interés nominal y el efectivo Dado que en algunos documentos mercantiles se expresa el tipo de interés nominal solamente, es necesario poder calcular el tipo de interés efectivo en función del nominal. Para ello basta con sustituir en la fórmula de equivalencia de tantos el valor i(m) por el correspondiente nominal: 14

15 Si comparamos la Tasa Anual Equivalente, i, y el tipo de interés nominal, J(m), podemos observar que: i> J (m) El tanto real anual (TAE) es el que debemos conocer para comparar diferentes operaciones financieras con distintos periodos de capitalización. 15

16 9. Interés nominal y el efectivo: comparación 9.- Calcula la TAE correspondiente al 2 % efectivo semestral Cuál será el interés efectivo semestral si la TAE es del 6 %? 11.- Calcula la tasa anual equivalente si el tipo de interés nominal anual es del 8 %. Capitalización mensual. Capitalización fraccionada Se entiende por capitalización fraccionada cuando el periodo de capitalización no es anual, como, por ejemplo, semestres, bimestres, meses. En este caso, hemos de trabajar con un tipo de interés referido al periodo de capitalización (tanto fraccionado), ya que, como sabemos, el tanto fraccionado debe venir medido en la misma unidad de tiempo; por ejemplo, periodo de capitalización 16

17 semestral, tanto semestral y el tiempo expresado en semestres. La fórmula del capital final o montante para capitalización fraccionada será: 17

18 10. Capital. Capitalización en tiempo fraccionado A. Capitalización en tiempo fraccionado Entendemos la capitalización compuesta en tiempo fraccionado como la operación financiera en la que el tiempo de capitalización no es un número exacto de periodos (años). Para calcular el capital final en este tipo de capitalización existen las soluciones siguientes: - Convenio exponencial. El cálculo del capital final se realiza mediante la aplicación de la fórmula general de capitalización compuesta. - Convenio lineal. Capitaliza a interés compuesto un número exacto de años y a interés simple la fracción restante. Casos prácticos 12.- Halla el montante de capitalización de euros colocados al 3 % de interés semestral con capitalización mensual durante cuatro años Calcula el montante de euros al 5% de interés compuesto anual durante tres años y seis meses. Convenio exponencial y lineal. 18

19 Nota: Con este capítulo hemos llegado al final del curso. Recuerda que este trabajo es un fragmento del libro " CEO - Gestión Financiera " del autor G. González Velasco, publicado por la editorial McGraw-Hill (ISBN: ). 19

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