Matemáticas I - Anaya

Transcripción

1 ! 50 "# Si α, qué elción tienen con los númeos α80º y 60º-α?! α80º [ cos( α 80º) i sen ( α 80º) ] (-cosα isenα ) -[(cosα isenα)] -( α ) -, luego son opuestos.! 60º-α [ cos( 60º- α) i sen (60º- α ) ] (cosα isenα ) luego son conjugdos. "$ Compue que siendo, i, w c di, : ) w i c di ( c) ( d)i w ( c) ( d)i w w; w i c di ( c) ( d)i,q.e.d. ) w ( i)(c di) c di ci di (c d) (d c)i w (c d) (d c)i w ( i)(c di) c di ci di (c d) (d c)i w q.e.d. c) k k( i) k ki k k ki k( i) k k R q.e.d. "" Demuest que Se α, entonces : 0º α 0º α α q.e.d. "% El poducto de dos númeos complejos imginios, puede se el? Aclálo con un ejemplo. Sí, si son mos imginios puos, po ejemplo -i y w i, su poducto es w (- i)(i) -6i 6 que es el. Mtemátics I - Any

2 ! 5 "& Repesent el númeo complejo 4 i. Multiplíclo po i y compue que el esultdo que otienes es el mismo que si plics un gio de 90º. 4 i, w i 4i i 4i y que si α ' w i 90º α α90º, lo que se puede visuli gáficmente epesentndo y w : "( Hll el númeo complejo que se otiene l tnsfom el complejo i medinte un gio de 0º con cento en el oigen. Un gio de 0º centdo en el oigen consiste en multiplicle po el númeo w 0º : i α ctg 5608'5' ' Podemos hce el poducto : y 56º8'5'' 0º cos 0º isen0º ) En fom inómic : ( i)( i) i i 0' '60i i ) O en fom pol : (cos 86º8'5' ' isen86º8'5' ' ) 56 º8'5'' 0º 86º8'5'' "* Qué elción existe ente el gumento de un complejo y el de su opuesto? Según hemos compodo en el ejecicio nº "# un númeo complejo y su opuesto difieen en 80º, α - α80º Mtemátics I - Any

3 ! 5 % Qué condición dee cumpli un númeo complejo i p que i i i i ( i)( i) igulndo i Resolviendo culesquie de ls dos ecuciones nteioes : ó, es deci el módulo es unitio PARA PROFUNDIZAR (!,$* ) %, L sum de dos númeos complejos, i, w c di, dividid po su difeenci, es un númeo imginio puo. Pue que los dos númeos y w hn de tene el mismo módulo w w i c di ( c) ( d)i i c di ( c) ( d)i [( c) ( d)i][ ( c) ( d)i] [( c) ( d)i][ ( c) ( d)i] ( c)( c) ( c)( d)i ( c)( d)i ( d)( d)i ( c) ( d) i ( c ( c) d ) d cd ( d) ( c) ( d) ( c i pte el 0; ( c) d ) 0 ( d) Luego c d 0 y tsponiendo téminos c d es deci sus módulos seán igules w q.e.d. %- Se 0 un complejo y w i. Pue que los fijos de, w y w son los vétices de un tiángulo equiláteo. Expesemos todo en fom pol : α Mtemátics I - Any

4 ! w i 0º ctg α ctg 0º Luego α, w α 0º α0º y w α ( 0º ) α 40º α40º, como los tes númeos tiene el mismo módulo ( ) y sus gumentos se difeencin en 0º, ( α, α 0º, α 40º ) fomán sus fijos un tiángulo equiláteo. %# Un pentágono egul con cento en el oigen de coodends tiene uno de sus vétices, Hll los otos vétices y l longitud de su ldo. en el punto ( ) El númeo en fom ctesin le psmos inómic y fom pol : ( ) ( ) (, ) i α ctg ctg 45º P hll los otos cuto vétices gimos este 60º/5 7º que equivle multiplic po 7º, es deci summos 7º l gumento : º 7º 7º 7º 89º 7º 6º 7º 7º 89º 6º º (cos7º isen7º ) 0'9 '9i ( 0'9,'9) (cos89º isen89º ) '98 0'i ( '98, 0') (cos 6º isen6º ) 0' 0'99i ( 0', 0'99) (cosº isenº ) '78 0'9i ('78, 0'9) P hll l longitud del ldo, plicmos el teoem del coseno uno de los 5 tiángulos fomdos siendo que dos ldos miden ( el módulo) y el ángulo compendido es de 7º : 45º l cos7º 4 4 8cos7º 5'57864 '5 %$ Si el poducto de dos númeos complejos es 8 y dividiendo el cuo de uno de ellos ente el oto otenemos de esultdo, cuánto vlen el módulo y el gumento de cd uno? Sen α y w s β, se h de cumpli : Mtemátics I - Any

5 ! 54 w 8 α w sβ ( )( s ) α ( ) ( ) β s β (s) α αβ s 8 α β s 8 α β 80º 0º s α β 0º Resolvemos los sistems fomdos po ls ecuciones de los módulos y los gumentos: 80º s 8 s s 8 sustituyendo en lª s 8 4 α β 80º α β 0º α β 4α 80º α 80º 4 45º β 45º 5º 65 Clcul el inveso de los númeos complejos siguientes y epesent gáficmente el esultdo: ) π/, ) i, c) i Qué elción existe ente el módulo y el gumento de un númeo complejo y de su inveso? ) π 60º 0º 60º 60º 00º 00º 60º (cos 60º isen60º ) '5 '60i (cos 00º isen00º ) 0'7 0'9i ) i 90º i i 70º Mtemátics I - Any

6 ! 55 0º c) i ( / ) ( ) i 5º 5º 5º 5º 5º Vemos que en todos los csos los módulos son invesos y los gumentos sumn 60º es deci : α 60º α cso? %% Repesent gáficmente ls igulddes siguientes. Qué figu se detemin en cd ) (i) 5 ) (5 i) ) Todos los númeos tl que el módulo de l difeenci especto del ( i ) es igul 5, es deci los que se encuentn en un cicunfeenci de cento en el punto (, ) y dio 5 : Mtemátics I - Any

7 ! 56 ) Todos los númeos tl que el módulo de l difeenci especto del (5 i ) es igul, es deci los que se encuentn en un cicunfeenci de cento en el punto (5, ) y dio : %& Escie l condición que veificn todos los númeos complejos cuyos fijos estén en l cicunfeenci de cento (, ) y dio. Distn uniddes de un punto de coodends (, ), en el plno complejo equivlen los númeos tl que ( i) PARA PENSAR UN POCO MÁS (!,$* ) %( Demuest, utilindo númeos complejos, que en un plelogmo culquie l sum de los cuddos de ls digonles es igul l dole de l sum de los cuddos de los ldos. Ls digonles miden w l myo y w l meno, luego : w -w ( w) ( w) ( w) ( w) ( w) ( w) ( w) ( w) w w w w w w w w w w ( w w) ( w ) q.e.d. Mtemátics I - Any