( x ) ( x 2 4 ) = x 2

Transcripción

1 9. Teoems de Tles y itágos 5. Dibuj un eágono y todos sus ángulos. Cuánto sumn ente todos ellos? 1. Luges geométios y ángulos IENS Y CLCUL Cuánto mide d uno de los ino ángulos entles de un pentágono egul? : S (n ) 180 S (6 ) Cuánto mide d uno de los ángulos de un eptágono egul? CRNÉ CLCULIST Desoll: ( + 4 ) ( 4 ) Ftoiz: (3 + 1) LIC L TEORÍ Define iunfeeni omo un lug geométio. Un iunfeeni es el lug geométio de los puntos del plno que equidistn o están igul distni de un punto fijo llmdo ento.. Dibuj un ángulo de 0 y su omplementio. Cuánto vle? Vle S (n ) 180 S (7 ) Cd uno de los siete ángulos mide 900 : Teoem de Tles IENS Y CLCUL Dien que itágos p medi l ltu de l piámide Keops oloó un plo de un meto en el ento de un iunfeeni de dio 1 m y espeó st que l somb midiese etmente 1 m, instnte en el que l somb de l piámide medí 147 m. Cuánto mide de lto l piámide? L piámide de Keops mide 147 m poque en ese momento l ltu es igul l longitud de l somb. 116 Soluionio 3. Dibuj dos ets sentes y los ángulos que fomn, di uáles son igules y uáles suplementios. t 1 3 y 4 Cd uno de los impes es suplementio de d uno de los pes. 4. Dibuj dos ángulos de ldos plelos y que sen suplementios. α O O α CRNÉ CLCULIST Resuelve l euión: /6 LIC L TEORÍ Clul l ltu de un molino eólio, sbiendo que su somb mide 5 m y que en ese mismo instnte un objeto de 1,5 m poyet un somb de 1, m Se pli el teoem de Tles. Somb del objeto ltu del objeto 1, 1,5 5 Somb del molino ltu del molino 1,5 5 31,5 m 1,

2 8. Dibuj en tu udeno tes segmentos de medids 5 m, 4 m y 3 m. Divide el pime segmento en ptes popoionles los otos dos. b b b 9. o qué los tiángulos equiláteos son siempe semejntes? oque tienen los ángulos siempe igules y d uno de ellos mide 180 : Dibuj en tu udeno un segmento de 4 m y divídelo en 5 ptes igules. LIC L TEORÍ 13. Hll l ipotenus de un tiángulo etángulo en el que los tetos miden 1,5 m y 14,7 m 14,7 m b 1,5 m b + 1,5 + 14,7 37,34 37,35 19,30 m 14. En un tiángulo etángulo se onoe un teto, que mide 6,45 m, y l ipotenus, que mide 9,55 m. Hll uánto mide el oto teto. 9,55 m 11. Dibuj en tu udeno un tiángulo equiláteo de 1,5 m de ldo. Dibuj oto semejnte de zón de semejnz dos. b 6,45 m b + 6,45 + 9,55 49,6 49,6 7,04 m O 1. S está en un foto on su pde Ismel; en l foto S mide 3 m e Ismel 3,5 m. Si en l elidd Ismel mide 1,75 m, uánto mide S? Ls pesons y l foto son figus semejntes. 3, m 1,50 m 3,5 C 3. Teoem de itágos IENS Y CLCUL Clul tes númeos enteos positivos menoes que 6 de fom que el uddo del myo se igul l sum de los uddos de los otos dos. 3, 4 y CRNÉ CLCULIST Resuelve l euión: , C 15. Hll un ten pitgói en l que el númeo myo es 13 5, 1 y 13, pues , Los ldos de un tiángulo miden 4 m, 5 m y 6 m. Qué lse de tiángulo es? Como 6 < El tiángulo es utángulo. 17. Hll l ltu de un ono en el que el dio de l bse mide,7 m, y l genetiz, 3,5 m H R,7 m G 3,5 m R + H G,7 + H 3,5 H 4,96 H 4,96,3 m 117 Unidd 9. Teoems de Tles y itágos

3 18. Hll el peímeto de un ombo uys digonles miden 8 m y 6 m 1. Clul mentlmente el áe de un ombo uys digonles miden 8 m y 10 m b 4 m 3 m D 10 m d 8 m D d m b m eímeto del ombo: m. Clul mentlmente el áe de un omboide en el que l bse mide 1 m y l ltu tiene 5 m 5 m 19. qué ltu se lleg on un esle de 3 m olondo l bse m de l ped? b m b 1 m 3 m b m b ,4 m 3. Clul el áe de un tpeio en el que ls bses miden 5,4 m y 3,5 m y l ltu tiene 4,6 m b 3,5 m 4,6 m 5,4 m + b 5,4+ 3,5 46, 0,47m 4. Áe de figus plns IENS Y CLCUL Hll mentlmente ls áes de un uddo de 7 m de ldo y de un etángulo de 9 m de lgo y 5 m de lto. Áe del uddo: 49 m Áe del etángulo: 45 m CRNÉ CLCULIST Resuelve el sistem po el método más senillo: 5 y y 5 } 3, y 1 LIC L TEORÍ 0. Clul el áe de un tiángulo uyos ldos miden 7 m, 8 m y 13 m Clul el áe de un eágono egul de ldo 6 m 3 m plindo el teoem de itágos se ll l potem , m 6 6 5, 93,6 m 5. Clul l longitud de un iunfeeni uyo dio mide 5 m 6 m 6 m 118 Soluionio 13 Se pli l fómul de Heón: eímeto 8 m p 14 p (p )(p b)(p ) ,5 m R 5 m Longitud: L πr L π 5 31,40 m

4 6. Clul el áe de un íulo uyo dio mide 3,7 m 31. Dibuj un ángulo de 50 y ll su bisetiz. s R 3,7 m πr π 3,7 43,01 m 7. Clul l longitud de un o de 4,6 m de dio y uy mplitud es de O 3. Dibuj un ángulo de 50 y su suplementio. Cuánto vle? R 4,6 m Longitud: πr L n 360 Vle: π 4,6 L 10 9,63 m 8. Clul el áe de un seto iul de 3,5 m de dio y uy mplitud es de 76,5 76,5 R 3,5 m π R n π 3,5 76, 5 368,68 m 33. Dibuj tes ets plels otds po un sente e indi uáles de los ángulos que se fomn son igules. u 3 s t Clul el áe de un oon iul uyos dios miden: R 6,7 m y 5,5 m R 6,7 m 5,5 m π (R ) π (6,7 5,5 ) 45,99 m Ejeiios y poblems popuestos 1. LUGRES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS 30. Dibuj un segmento de 3 m y ll su meditiz. Q $ 11 y $ 10 $ Dibuj dos ángulos de ldos pependiules y que sen suplementios. α O β α O 35. Dibuj un etángulo y todos sus ángulos. Cuánto sumn ente todos ellos? L digonl divide l etángulo en dos tiángulos. Sum de ángulos: Unidd 9. Teoems de Tles y itágos

5 36. Cuánto mide d uno de los ángulos de un otógono egul? 40. Dibuj un eágono egul de 1,5 m de ldo. Dibuj oto semejnte de zón de semejnz 0,5 y ento el ento del eágono. F F F E D C C S (n ) 180 S (8 ) Cd uno de los oo ángulos mide : TEOREM DE THLES 37. Clul l ltu de ls toes de Héules en Los ios (Cádiz), sbiendo que su somb mide 4 m y que en ese mismo instnte un peson de 1,74 m poyet un somb de 58 m 0,58 1,74 4 1,74 4 0,58 16 m 38. Dibuj en tu udeno un segmento de 5 m y divídelo en 3 ptes igules. d E 41. o qué los uddos son siempe semejntes? oque tienen sus ldos y ángulos igules; d uno de los ángulos es eto y mide TEOREM DE ITÁGORS 4. Hll l ipotenus de un tiángulo etángulo en el que los tetos miden 10,8 m y 14,4 m 14,4 m D b 10,8 m b + 10,8 + 14, m b 43. En un tiángulo etángulo se onoe un teto, que mide 5,5 m, y l ipotenus, que mide 7,85 m. Hll uánto mide el oto teto. b d 7,85 m 39. En un tiángulo equiláteo de ldo 5 m, tzmos un et plel l bse y 1 m de l bse. Hll l ltu de mbos tiángulos. b 5,5 m b + 5,5 + 7,85 34,06 34,06 5,84 m 44. Hll tods ls tens pitgóis en ls que los tes númeos sen menoes o igules que 10 H 5 m 3, 4 y , 8 y Soluionio C 1 m b,5 m C 5 m En el tiángulo C podemos ll el teto H : b + H,5 + H 5 H 18,75 H 18,75 4,33 m H 1 4,33 1 3,33 m 45. Hll l potem de un eágono egul en el que el ldo mide 1 m 1 m 6 m 1 m ,39 m

6 8 m 46. Clul l ltu de un tpeio isóseles en el que ls bses miden 9 m, 7 m, y los ldos obliuos, 6 m 7 m 51. Clul el áe de un tpeio etángulo uys bses miden 7,5 m y 6,4 m, y el ldo pependiul ls bses mide 5,3 m b 6,4 m 6 m 6 m 5,3 m 7 m 1 m 9 m 1 m plimos el teoem de itágos l tiángulo etángulo de l dee: ,9 m 47. Hll l potem de l siguiente piámide udngul: 7,5 m + b 7,5+ 6,4 5,3 36,84 m 5. Clul el áe de un íulo uyo dio mide 7,3 m 8 m R 7,3 m πr π 7,3 164, m 6 m ,54 m 3 m R MLIR 53. Dibuj un segmento de 5 m y ll su meditiz. 4. ÁRE DE FIGURS LNS 48. Clul mentlmente el áe de un tiángulo uy bse mide 7 m y uy ltu es de 5 m b 7 m 5 m b ,5m 49. Clul mentlmente el áe de un uddo uyo ldo mide 0,6 m Q 54. Dibuj un ángulo de 60 y ll su bisetiz. s l 0,6 m l 0,6 0,36 m 50. Clul mentlmente el áe de un etángulo que mide l mitd de lto que de lgo y uy ltu es de 5 m b m b 10 m 5 m O 55. Cuánto mide d uno de los otos tes ángulos de un ombo en el que uno de sus ángulos mide 60º? 60 El ángulo opuesto mide lo mismo, 60 Los otos dos ángulos son suplementios l de 60 y tmbién son igules. Mide d uno: Unidd 9. Teoems de Tles y itágos

7 56. Dibuj un et y un punto que no esté en di et. Tz l et plel que ps po el punto s 57. Dibuj en tu udeno un segmento de 3 m y divídelo en 5 ptes igules. 61. En l siguiente mp, el ldo oizontl mide 13 m, y l ltu, 3 m. Cuánto mide l mp? 3 m d 13 m Se pli el teoem de itágos: d d d ,34 m 6. Clul el áe de un tpeio isóseles en el que ls bses miden 10 m y 4 m, y los otos dos ldos tienen 5 m d uno. 4 m 58. Clul l longitud de un sp del molino eólio, sbiendo que su somb mide 5 m y que en ese mismo instnte un peson de 1,80 m poyet un somb de,5 m,5 1,80 5 1, m,5 59. De los siguientes tiángulos di uál es utángulo, etángulo y obliuángulo: ) 6 m, b 8 m, 10 m b) m, b 3 m, 4 m ) 5 m, b 6 m, 7 m ) , , omo son igules es etángulo. b) , 4 16, omo es myo es obtusángulo. ) , 7 49, omo es meno es utángulo. 60. Clul el áe de un tiángulo isóseles en el que los ldos igules miden 8 m, y el desigul 5 m 5 m 5 m 3 m 3 m 10 m Hy que pli el teoem de itágos p lul l ltu: m + b m Clul el áe del siguiente pentágono: 1,60 m 5,33 1,6 9,3 m l,33 m 8 m 8 m 64. Clul l longitud de un o uyo dio mide 5,4 m y uy mplitud es de b 5 m,5 m R 5,4 m 1 Soluionio, ,75 57,75 7,60 m b 5 7,6 19m πr L n 360 π 5,4 L 95 8,95 m

8 65. Clul el áe del segmento iul oloedo en l siguiente figu: R 5 m 69. Dibuj tes puntos no linedos y, utilizndo ls popieddes de los luges geométios, tz l iunfeeni que ps po ellos. El ento es un punto que equidist de los etemos y es el iunento del tiángulo fomdo po los tes puntos. segmento seto tiángulo πr b segmento n π ,13m 66. Clul el áe de un tpeio iul de dios R 8,4 m y 6,5 m, y de mplitud, R 8,4 m 6,5 m Ciunento 70. Dibuj un iunfeeni y tz l et tngente di iunfeeni po uno de sus puntos. Utiliz l popiedd de que l et tngente es pependiul l dio que une el punto on el ento. t π ( R ) n π(8,4 6,5 ) 43 10,6 m ROLEMS 67. Dibuj un et y un punto eteio di et. Tz l et pependiul que ps po el pun to 71. Clul l ltu de l Gild de Sevill, sbiendo que su somb mide 49,5 m y que en ese mismo instnte un objeto de 4 m poyet un somb de m 4 49,5 49,5 4 98,5 m 68. Cuánto mide d uno de los ángulos de un deágono egul? S (n ) 180 S (10 ) Cd uno de los 10 ángulos mide : s 7. Hll l ltu de un piámide egonl en l que l ist de l bse mide 3,6 m, y l ist ltel, 5,6 m H 4 m 3,6 m 5,6 m H + 3,6 5,6 H + 1,96 31,36 H 18,4 H 18,4 4,9 m 13 Unidd 9. Teoems de Tles y itágos

9 73. Se tiene un etángulo insito en un tiángulo isóseles en el que un ldo del etángulo está en el ldo desigul del tiángulo. El ldo desigul del tiángulo mide 10 m, y l ltu oespondiente, 1 m. Si l bse del etángulo mide 4 m, uánto mide de ltu? 77. Clul el dio de l Tie sbiendo que un udnte mide km πr R 6 366,19 km π 78. Clul el áe de un eágono egul de ldo 6 m 1 m 6 m m 3 m Los tiángulos C y C están en posiión de Tles, po tnto son semejntes , m Un globo está sujeto un ued de 5 m y obsevmos que se desplzdo 1, m po el viento. qué ltu está el globo? C 3 m ,0 m 6 6 5,0 93,6m 79. Clul el áe del siguiente tpezoide: 6 m 5 m,4 m b 1, m + 1, 5 + 1,44 5 3,56 3,56 4,85 m 75. Clul l digonl del otoedo de l figu: 4 m d 6 m 14 m Se pli el teoem de itágos en el espio: D D 48 15,75 m 76. Clul el númeo de vuelts que d un ued de biilet p eoe 1 km si el dio de l biilet mide 40 m D R 40 m,6 m 4 m 3,8 m 3,4 m Tenemos que desomponelo en dos tiángulos y pli en d uno de ellos l fómul de Heón: Tiángulo de ldos: 4 m,,6 m y 3,8 m eímeto: 10,4 Semipeímeto: 5, 5, 1,,6 1,4 4,77 4,77 m Tiángulo de ldos: 3,8 m,,4 m y 3,4 m eímeto: 9,6 Semipeímeto: 4,8 4,8 1,4 1,4 4,0 m Áe totl: 4,77 + 4,0 8,79 m R ROFUNDIZR 80. Dibuj un tiángulo etángulo y l iunfeeni que ps po los tes véties. Dónde está el iunento del tiángulo? Ciunento 14 Soluionio Longitud de l ued: L πr L π 0,4,51 m N.º de vuelts: :,51 398,4 vuelts. El iunento está en el ento de l ipotenus.

10 81. L somb de un toe de lt tensión mide 15 m. En ese mismo momento l somb de un objeto de 1,5 m mide m. Clul l ltu de l toe de lt tensión. Se pli el teoem de Tles. 1, ,5 11,5 m 8. Clul el áe del siguiente etángulo insito en un semiiunfeeni. 5 m 3 m plimos el teoem de itágos p ll : m L bse mide 4 8 m Áe b Áe m 86. Clul el áe del segmento iul oloedo de millo en l siguiente figu: segmento seto tiángulo Áe del seto: π R n π ,71 m 60 R 3 m Hy que pli el teoem de itágos p ll l ltu. 3 m 1,5 m 83. Hll l genetiz de un tono de ono en el que los dios de ls bses miden 5, m y 3,8 m, y l ltu, 6, m G (R ) + H H 6, m 3,8 m R 5, m G (5, 3,8) + 6, 1,4 + 6, 40,4 G 40,4 6,36 m 84. Clul el vlo de en el siguiente dibujo:,81 m 90 Se pli el teoem de itágos: G 1,75 m + 1,75 (,81 + 1,75) 17,73 17,73 4,1 m 85. Clul el vlo de l ltu del siguiente tiángulo equiláteo: m Se pli el teoem de itágos ,5 m + 0, ,5 1 0,75 0,75 0,87 m 3 1,5 6,75,60 Áe del tiángulo: 3,6 : 3,9 m Áe del segmento: 4,71 3,9 0,81 m Mtemtizión en ontetos eles 87. Se dibuj un teeno de fom que 300 m en l elidd son m en el oquis. Hll l esl y veigu si es un plno o un mp. m : 300 m m : m : : Es un mp. 88. Se dibuj un teeno de fom que 100 m en l elidd son m en el oquis. Hll l esl y veigu si es un plno o un mp. m : 100 m m : m : : Es un plno. 89. Un fotoopi está eduid l 5 %. El oiginl e un ppel DIN 4 uyo tmño es 1 m 9,7 m. Hll el áe del oiginl y de l fotoopi. Áe del oiginl 1 9,7 63,7 m Medids de l fotoopi: 1 0,5 5,5 m 9,7 0,5 7,45 m Áe de l fotoopi 5,5 7,45 38,9815 m Compueb lo que sbes 1. Qué es un ten pitgói? on un ejemplo. Un ten pitgói son tes númeos enteos que veifin el teoem de itágos. Ejemplo: 3, 4 y 5. Dibuj un segmento de,5 m y ll su meditiz. Q 15 Unidd 9. Teoems de Tles y itágos

11 3. Dos tiángulos están en posiión de Tles y sbemos que 5 m, C 3 m y 4 m. Clul uánto mide C C 4 C 4 3 C 4m, C Clul l ltu de un ono en el que el dio de l bse mide 3,5 m, y l genetiz, 7 m 6. Clul los tes ángulos del siguiente tiángulo que tiene un vétie en el ento del pentágono egul y los otos dos en dos véties onseutivos. H G 7 m Ángulo entl : 5 7 Cd uno de los otos ángulos (180 7) : 54 R 3,5 m R + H G 3,5 + H 7 H 36,75 H 36,75 6,06 m 5. Clul el áe de un seto iul de dio 5 m, y mplitud, Clul l ltu de l toe Eiffel de ís sbiendo que undo su somb es de 33,58 m, l somb de un peson de 1,75 m es 1,5 m. Redonde el esultdo metos. 1,5 1, ,75 1,5 35 m 8. Clul el áe de un uddo en el que l digonl mide 6 m R 5 m d 6 m π R n π ,7 m Áe 18 m 16 Soluionio