Problema encadenado 1. Apartado 1

Transcripción

1 Poblema enadenado Dibuja dos iunfeenias de igual adio tangentes ente si y tangentes a los lados del tiángulo del que se onoe: el lado = 120 mm, el ángulo = 700 y la mediana m = 85 mm. De las posibles soluiones elegi aquella en la que las dos iunfeenias son tangentes al lado,, del tiángulo. 2. Dibuja la iunfeenia tangente a las dos anteioes y a los lados a o b, eligiendo la que quede dento del tiángulo. 3. Dibuja el uadado equivalente al áea ompendida ente el tiángulo y las iunfeenias obtenidas en los dos pasos anteioes. ' 70 O 20 M patado 1 Dibujo del tiángulo 1. Se dibuja el ao apaz de 70º espeto del lado = 120 mm, paa ello: Se dibuja la mediatiz del lado po el punto M. Po el vétie se dibuja el ángulo de 20º, omplementaio del ángulo de 70º, que ota a la mediatiz anteio en el ento O del ao apaz, uyo adio es O. 2. on ento en M y adio el de la mediana m = 85 mm, se dibuja un ao que ota al apaz en los puntos y '. 3. omo las dos posibles soluiones son simétias, elegimos po ejemplo el vétie, que unido on los y, nos da el tiángulo busado. Poblema enadenado 1 tuo Replinge González Hoja 1/4

2 Dibujo de las iunfeenias tangentes. ntes de dibuja las iunfeenias tangentes, veamos el siguiente azonamiento, que justifia la onstuión que se haá después. Si tomamos del tiángulo, el ángulo, y dibujamos dos iunfeenias O y de igual adio, siendo una (la de la izquieda) tangente a los lados b y y la ota a la iunfeenia anteio y al lado, tenemos: La iunfeenia O (en lo suesivo. O), tiene su ento en la bisetiz del ángulo, po se éste el L.G. (luga geométio) de todos los puntos que equidistan de los lados del ángulo. Si se dibuja ota paeja de iunfeenias ' y '', en las mismas ondiiones que las dos pimeas, esulta, omo es de supone, que la. ' tiene su ento también en la bisetiz. Si ahoa nos fijamos en el punto de tangenia, T, ente las dos pimeas iunfeenias, tenemos que el segmento OT es paalelo al lado, pues las dos iunfeenias son de igual adio. O T' T ' T''' isetiz T'' línea puntos de tangenia Siguiendo el mismo azonamiento on las otas dos iunfeenias ' y '', se umple que el segmento 'T'' es también paalelo al lado. De este paalelismo ente los dos segmentos anteioes, deduimos que los tiángulos OT y 'T'' son semejantes, po lo que todos los puntos de tangenia de las iunfeenias de igual adio que son tangentes a los lados b y, están sobe la misma línea. b a '' Si seguimos el mismo azonamiento on el vétie del tiángulo, llegamos a la misma onlusión, esultando que el punto de tangenia omún ente las dos iunfeenias que busamos tiene que enontase en la inteseión de las dos líneas de puntos de tangenia, una del vétie y la ota del. Los entos de dihas iunfeenias están en la inteseión de la línea paalela al lado po el punto de tangenia on las biseties espetivas. Obseva que los segmentos OT y OT' son iguales, esto nos india un poedimiento paa dibuja la línea de los puntos de tangenia. Visto lo anteio, dibujemos las iunfeenias tangentes: 1. Se dibujan las biseties de los ángulos y, obteniendo las líneas w y w. 2. Tomando un punto ualquiea K de la w, se dibujan dos segmentos KN y KL iguales, pependiula y paalelo, espetivamente al lado. Uniendo los puntos y L, se tiene la línea t, de los puntos de tangenia. 3. Haiendo lo mismo, peo on un punto K' de la bisetiz w, tenemos la línea t', que ota a la t en el punto de tangenia omún T. 4. Po T se dibuja una línea paalela al lado, que ota a las biseties en los entos O1 y O2 busados. 5. Los puntos de tangenia, se deteminan dibujando líneas pependiulaes a los lados espetivos desde los entos enontados. Solo queda dibuja las dos iunfeenias. T 1 t K w w O 1 O s T 2 L t' L' T 2 K' N T' 1 T' 2 Poblema enadenado 1 N' tuo Replinge González Hoja 2/4

3 a' t a T' 3 T' T 3 O 3 t' T 1 T 2 ' O 1 O2 patado 2. De las dos posibles soluiones, se ve, ealizando un tanteo, que la iunfeenia busada va a se tangente al lado a, po qué el ento se enontaá en la tangente omún, t, a las dos iunfeenias y está más ea del lado a. En este apatado, dado que las dos iunfeenias son de igual adio, al aplia el poedimiento de dilataiones, no hay que ealiza invesión niguna, siguiendo los pasos: 1 - Reduimos las iunfeenias O 1 y O2 a sus entos y el lado,a, a la eta a', paalela a ésta a la distania ( adio de las iunfeenias O 1 y O2). De esta manea el poblema ha quedado eduido a " iunfeenia tangente a la eta a' y que pasen po los puntos (entos) O 1 y O2". 2 - Se polonga la línea O1O2, que ota a la eta a' en el ento adial. 3 - Se dibuja una iunfeenia auxilia uyo ento esté en la eta t (tangente omún a las dos iunfeenias), y que pasa po los entos O 1 y O Desde el ento adial se dibuja una eta tangente t' a la iunfeenia auxilia, obteniendo el punto T'. 5 - on ento en se dibuja un ao que ota a la eta a' en el punto T' 3 (el oto punto de ote no se ha dibujado po no inteesa en este aso). 6 - En esta situaión deshaemos la dilataión, dibujando po el punto T' 3 una eta pependiula a,a', que ota al lado a en el punto de tangenia T 3 y a la eta t en el ento O3 busado. 7 - Diho ento O3 se une on los entos O1 y O2, obteniendo los puntos de tangenia T 1 y T2. La ota soluión, no dibujada, ontendía a las dos iunfeenias, peo no seía inteio. Poblema enadenado 1 tuo Replinge González Hoja 3/4

4 E h M ' L 1 h/2 patado 3. H Debemos detemina el lado del uadado equivalente al tiángulo y estale la suma de los uadados equivalentes de los íulos. 1 - uadado equivalente del tiángulo. Se detemina po apliaión de la media popoional ente la base,, del tiángulo y la mitad de su altua h/2, obteniendo así el lado L1. En este aso se ha utilizado el teoema de la altua. 2 - Paa la uadatua del iulo, se hae una media popoional ente la semiiunfeenia, π x, y el adio, obteniendo el lado L 2. Los íulos de ento O1 y O2 tienen el mismo lado. 3 - La uadatua del íulo de ento O 3 se puede ealiza po el mismo poedimiento o po el más senillo de semejanza; pues todos los íulos son semejantes y po lo tanto los lados de los uadados equivalentes a ellos seán popoionales. De esto se deduen los pasos a segui en este aso: a - povehando el tiángulo etángulo obtenido LHN, se lleva sobe el lado HL el adio ' a pati de H, teniendo el punto Ñ. b - Po Ñ se dibuja una línea paalela a la hipotenusa LN, otando al ateto HN en el punto M, siendo HM = L 3,lado del uadado equivalente del iulo O3. 1. La suma de los lados de los tiángulos, se ealiza po onstuiones suesivas de tiángulos etángulos, siendo los lados, atetos de éstos. sí se obtiene el lado L5. 2. Paa obtene el lado difeenia, se onstuye oto tiángulo etángulo, peo en este aso L5, el meno, se toma omo ateto y L1, el mayo, omo hipotenusa, obteniendo omo esultado el lado L6, uya expesión algebaia se muesta enima del uadado dibujado. Poblema enadenado 1 l O 1 l' G O H Ñ L P π x K J L2 L3 M N L 3 ' L² 6 = L² 1 - (2xL² 2 + L² 3) T L 5 L4 = 2 x L2 tuo Replinge González Hoja 4/4 L2 L 6 L 1

5 Poblema enadenado Dibuja dos iunfeenias de igual adio tangentes ente si y tangentes a los lados del tiángulo del que se onoe: el lado = 120 mm, el ángulo = 700 y la mediana m = 85 mm. De las posibles soluiones elegi aquella en la que las dos iunfeenias son tangentes al lado,, del tiángulo. 2. Dibuja la iunfeenia tangente a las dos anteioes y a los lados a o b, eligiendo la que quede dento del tiángulo. 3. Dibuja el uadado equivalente al áea ompendida ente el tiángulo y las iunfeenias obtenidas en los dos pasos anteioes. ' 70 O 20 M patado 1 Dibujo del tiángulo 1. Se dibuja el ao apaz de 70º espeto del lado = 120 mm, paa ello: Se dibuja la mediatiz del lado po el punto M. Po el vétie se dibuja el ángulo de 20º, omplementaio del ángulo de 70º, que ota a la mediatiz anteio en el ento O del ao apaz, uyo adio es O. 2. on ento en M y adio el de la mediana m = 85 mm, se dibuja un ao que ota al apaz en los puntos y '. 3. omo las dos posibles soluiones son simétias, elegimos po ejemplo el vétie, que unido on los y, nos da el tiángulo busado. Poblema enadenado 1 tuo Replinge González Hoja 1/4

6 Dibujo de las iunfeenias tangentes. ntes de dibuja las iunfeenias tangentes, veamos el siguiente azonamiento, que justifia la onstuión que se haá después. Si tomamos del tiángulo, el ángulo, y dibujamos dos iunfeenias O y de igual adio, siendo una (la de la izquieda) tangente a los lados b y y la ota a la iunfeenia anteio y al lado, tenemos: La iunfeenia O (en lo suesivo. O), tiene su ento en la bisetiz del ángulo, po se éste el L.G. (luga geométio) de todos los puntos que equidistan de los lados del ángulo. Si se dibuja ota paeja de iunfeenias ' y '', en las mismas ondiiones que las dos pimeas, esulta, omo es de supone, que la. ' tiene su ento también en la bisetiz. Si ahoa nos fijamos en el punto de tangenia, T, ente las dos pimeas iunfeenias, tenemos que el segmento OT es paalelo al lado, pues las dos iunfeenias son de igual adio. O T' T ' T''' isetiz T'' línea puntos de tangenia Siguiendo el mismo azonamiento on las otas dos iunfeenias ' y '', se umple que el segmento 'T'' es también paalelo al lado. De este paalelismo ente los dos segmentos anteioes, deduimos que los tiángulos OT y 'T'' son semejantes, po lo que todos los puntos de tangenia de las iunfeenias de igual adio que son tangentes a los lados b y, están sobe la misma línea. b a '' Si seguimos el mismo azonamiento on el vétie del tiángulo, llegamos a la misma onlusión, esultando que el punto de tangenia omún ente las dos iunfeenias que busamos tiene que enontase en la inteseión de las dos líneas de puntos de tangenia, una del vétie y la ota del. Los entos de dihas iunfeenias están en la inteseión de la línea paalela al lado po el punto de tangenia on las biseties espetivas. Obseva que los segmentos OT y OT' son iguales, esto nos india un poedimiento paa dibuja la línea de los puntos de tangenia. Visto lo anteio, dibujemos las iunfeenias tangentes: 1. Se dibujan las biseties de los ángulos y, obteniendo las líneas w y w. 2. Tomando un punto ualquiea K de la w, se dibujan dos segmentos KN y KL iguales, pependiula y paalelo, espetivamente al lado. Uniendo los puntos y L, se tiene la línea t, de los puntos de tangenia. 3. Haiendo lo mismo, peo on un punto K' de la bisetiz w, tenemos la línea t', que ota a la t en el punto de tangenia omún T. 4. Po T se dibuja una línea paalela al lado, que ota a las biseties en los entos O1 y O2 busados. 5. Los puntos de tangenia, se deteminan dibujando líneas pependiulaes a los lados espetivos desde los entos enontados. Solo queda dibuja las dos iunfeenias. T 1 t K w w O 1 O s T 2 L t' L' T 2 K' N T' 1 T' 2 Poblema enadenado 1 N' tuo Replinge González Hoja 2/4

7 a' t a T' 3 T' T 3 O 3 t' T 1 T 2 ' O 1 O2 patado 2. De las dos posibles soluiones, se ve, ealizando un tanteo, que la iunfeenia busada va a se tangente al lado a, po qué el ento se enontaá en la tangente omún, t, a las dos iunfeenias y está más ea del lado a. En este apatado, dado que las dos iunfeenias son de igual adio, al aplia el poedimiento de dilataiones, no hay que ealiza invesión niguna, siguiendo los pasos: 1 - Reduimos las iunfeenias O 1 y O2 a sus entos y el lado,a, a la eta a', paalela a ésta a la distania ( adio de las iunfeenias O 1 y O2). De esta manea el poblema ha quedado eduido a " iunfeenia tangente a la eta a' y que pasen po los puntos (entos) O 1 y O2". 2 - Se polonga la línea O1O2, que ota a la eta a' en el ento adial. 3 - Se dibuja una iunfeenia auxilia uyo ento esté en la eta t (tangente omún a las dos iunfeenias), y que pasa po los entos O 1 y O Desde el ento adial se dibuja una eta tangente t' a la iunfeenia auxilia, obteniendo el punto T'. 5 - on ento en se dibuja un ao que ota a la eta a' en el punto T' 3 (el oto punto de ote no se ha dibujado po no inteesa en este aso). 6 - En esta situaión deshaemos la dilataión, dibujando po el punto T' 3 una eta pependiula a,a', que ota al lado a en el punto de tangenia T 3 y a la eta t en el ento O3 busado. 7 - Diho ento O3 se une on los entos O1 y O2, obteniendo los puntos de tangenia T 1 y T2. La ota soluión, no dibujada, ontendía a las dos iunfeenias, peo no seía inteio. Poblema enadenado 1 tuo Replinge González Hoja 3/4

8 E h M ' L 1 h/2 patado 3. H Debemos detemina el lado del uadado equivalente al tiángulo y estale la suma de los uadados equivalentes de los íulos. 1 - uadado equivalente del tiángulo. Se detemina po apliaión de la media popoional ente la base,, del tiángulo y la mitad de su altua h/2, obteniendo así el lado L1. En este aso se ha utilizado el teoema de la altua. 2 - Paa la uadatua del iulo, se hae una media popoional ente la semiiunfeenia, π x, y el adio, obteniendo el lado L 2. Los íulos de ento O1 y O2 tienen el mismo lado. 3 - La uadatua del íulo de ento O 3 se puede ealiza po el mismo poedimiento o po el más senillo de semejanza; pues todos los íulos son semejantes y po lo tanto los lados de los uadados equivalentes a ellos seán popoionales. De esto se deduen los pasos a segui en este aso: a - povehando el tiángulo etángulo obtenido LHN, se lleva sobe el lado HL el adio ' a pati de H, teniendo el punto Ñ. b - Po Ñ se dibuja una línea paalela a la hipotenusa LN, otando al ateto HN en el punto M, siendo HM = L 3,lado del uadado equivalente del iulo O3. 1. La suma de los lados de los tiángulos, se ealiza po onstuiones suesivas de tiángulos etángulos, siendo los lados, atetos de éstos. sí se obtiene el lado L5. 2. Paa obtene el lado difeenia, se onstuye oto tiángulo etángulo, peo en este aso L5, el meno, se toma omo ateto y L1, el mayo, omo hipotenusa, obteniendo omo esultado el lado L6, uya expesión algebaia se muesta enima del uadado dibujado. Poblema enadenado 1 l O 1 l' G O H Ñ L P π x K J L2 L3 M N L 3 ' L² 6 = L² 1 - (2xL² 2 + L² 3) T L 5 L4 = 2 x L2 tuo Replinge González Hoja 4/4 L2 L 6 L 1