Razón Trigonométrica (R.T) Propiedades Fundamentales. 54 Trigonometría Und. 2 R.T. de Ángulos Agudos A.

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1 Luego estbleemos que:.o = Longitud del teto opuesto. RAZÓN TRIGONOMÉTRIA NOTAIÓN EFINIIÓN RAZÓN.A = Longitud del teto dyente. H = Longitud de l hipotenus. En físi es de gn impotni l pliión de los vetoes p desibi un viedd de fenómenos. P ello es impesindible sbe desompone etngulmente los vetoes, lo que su vez exige un onoimiento deudo de ls zones tigonométis que tienen po teísti vinul los ldos de un tiángulo etángulo. Así, si un uepo está en equilibio debido l ión de tes fuezs no plels, se debe umpli que l desomponels etngulmente, omo muest l figu, l sum de ls omponentes, en d eje, debe se eo.... Rzón Tigonométi (R.T)..A. efiniión Se llm zón tigonométi l ompión po oiente de ls longitudes de dos ldos de un tiángulo etángulo. Ejemplo.- el tiángulo mostdo se puede estblee el siguiente onjunto de Rzones Tigonométis: ; ; ; ; ; Obsev que de un tiángulo etángulo solmente podemos estblee 6 zones tigonométis difeentes.... efiniión de zones tigonométis de ángulos gudos do un tiángulo A, eto en, se definen ls zones tigonométis, on elión l ángulo gudo A, d un de ls ompiones po oiente de ls longitudes de dos ldos del tiángulo on elión diho ángulo. Ls zones tigonométis de ángulos gudos son seis (6) y se denominn: Seno, oseno, Tngente, otngente, Sente y osente. En delnte, tod efeeni un ángulo gudo de un tiángulo etángulo se há indindo su vétie o su medid. En l siguiente figu onsidemos: A =, omo ángulo de efeeni. do que los ldos de un tiángulo etángulo tienen po medids númeos eles positivos, se dedue que ls zones tigonométis de ángulos gudos tienen vloes eles positivos. Ejemplo.- Aplimos ests definiiones en el tiángulo etángulo mostdo, donde se puede estblee, en elión l ángulo, que: sen = s = ; os = ; se = ; tn = ; ot = A + = A... Popieddes Fundmentles..A. Ls R.T son dimensionles Teoem de Pitágos: + = 69 = 69 do que ls zones tigonométis se obtienen de dividi dos longitudes, el esultdo es independiente de ls uniddes de longitud empleds p d témino puesto que ells se supimen en l opeión. Po tl motivo se fim que ls zones tigonométis son ntiddes dimensionles, es dei, een de uniddes. Ejemplo.- A pti del tiángulo mostdo lulemos el os os = m m = 0,96 Tigonometí Und. R.T. de Ángulos Agudos

2 ... Ls R.T sólo dependen del ángulo Si dividimos dos pes de ldos homólogos en dos tiángulos etángulos semejntes, enontemos que su zón es l mism. Puesto que l zón tigonométi de un ángulo, es, po definiión, un zón ente dos ldos de un tiángulo etángulo, l teísti señld pone en evideni que l zón tigonométi tiene un vlo independiente del tmño de los tiángulos. Vemos el siguiente so: En bse los iteios de semejnz de tiángulos etángulos, en l figu eonoemos que: H AH A Luego, los ldos homólogos, espeto del ángulo, en d uno de los tiángulos, se enuentn en l mism popoión, esto es: 0.- omplet el siguiente udo según oespond: 0.- omplet los siguientes udos, de modo que ls zones tigonométis expesds estén en téminos de los ldos del tiángulo ddo: () sen os tn s se ot (b) sen os tn q h p onstnte p n m q () s se ot el mismo gáfio eonoemos que: sen H = q p ; sen = h AH n ; sen = p A m q () Sustituyendo () en (), onluimos que: () sen os tn s ot sen H sen AH sen A Este esultdo nos onfim que el vlo de un zón tigonométi es independiente del tmño del tiángulo o, lo que es lo mismo, no depende de l longitud de los ldos, sólo depende de l medid del ángulo. Ejemplo.- En el gáfio mostdo, lulemos «x» AE: tn A: tn x 9 Igulmos ls tngentes: x 9 x = 6 (d) sen os tn s se ot 0.- P d tiángulo ddo, se pide lul el ldo desonoido plindo el Teoem de Pitágos. A ontinuión not el vlo de l zón tigonométi que se indi:. Obsev que l R.T no depende de ls longitudes de los ldos del tiángulo etángulo. 6 Tigonometí Und. R.T. de Ángulos Agudos 7

3 d. sen =... b.. ot =... Pob. 0 m n Sbiendo que: s =, donde: es un mn ángulo gudo; detemin: os y ot Aplindo el teoem de Pitágos, en el tiángulo etángulo mostdo: (7k + ) + (7k + ) = (7k + ) d. e. sen =... ot =... omo: s = m n mn = hipotenus t. opuesto 9k + k k + 6k + 6 = 9k + 70k + 98k + 9k = 70k 9k = -8k k = 0 (un vlo) e. 0.- A pti de los vloes onoidos de un ldo y un zón tigonométi, se pide detemin y not l medid de los otos ldos en d so: k = - 7 (vlo bsudo) Luego el tiángulo etángulo se edue : ASO ATOS TRIÁNGULO Po Pitágos: x + ( mn) = (m + n ) f. 0.- En d so se pide lul el vlo de sen y ot : x = (m + n ) ( mn) x = ( m n mn ) ( m n mn ) x = (m n) (m + n) e donde: M = M 0 M =. sen =... ot =... x = m n Luego, po ls definiiones: os = t. dyente hipotenus m n os = m n Pob. 0 do el A (eto en ), lul el vlo de: M = s A tn b. sen =... ot =... ot = Pob. 0 t. dyente t. opuesto ot = m n mn e l figu, lul: M = sen + os + / Gfindo el enunido del poblem y ontinuión utilizndo ls definiiones oespondientes en «M», se tendá: M = b b M =. sen =... ot =... 8 Tigonometí Und. R.T. de Ángulos Agudos 9

4 Peo: b = (Teo. de Pitágos) Finlmente: M = Pob. 0 M = el tiángulo etángulo mostdo y ls definiiones oespondientes, eemplzmos en l ondiión dd. Pob. 07 En un tiángulo etángulo, el áe de su egión tingul es 70 m, lul su peímeto si l osente de uno de sus ángulos gudos es,6. b b b Finlmente, identifindo obtenemos: sen os En un tiángulo etángulo A, eto en se umple: sen A = sen Se el ángulo gudo, tl que: s,6 k k Pob. 09 el gáfio mostdo, lul tn. lul el vlo de l tngente del meno de sus ángulos gudos. ibujmos un tiángulo etángulo eto en. Se sbe que: sen A = sen Reemplzndo: b b = Luego se umple: = k = k Obsev que el meno ángulo es «A», entones: Pob. 0 tn A k k Siendo A y ángulos gudos de un se A = tn lul: R = s A se tn A = A, tl que: b = b b =... () Luego: R = s A se = R =... () b Reemplzndo () en (): R = Aplindo el teoem de Pitágos se tiene: b = R = Pob. 06 R = El peímeto de un tiángulo etángulo es 60 m y el vlo del seno de uno de sus ángulos gudos es 0/. lul l longitud de l hipotenus. Se el ángulo gudo del tiángulo etángulo, tl que: sen 0k k Se sbe que el peímeto (p) es 60, entones: 9k + 0k + k = 60 90k = 60 k = Finlmente, l hipotenus (H): H = k = () = 6 Entones: Se sbe que el áe (S) es 70 m ( k)( k) S k = 0 k = 9 k = Nos piden el peímeto (p): Pob. 08 p = k + k + k p = 0k p = 0() p = 90 En un tiángulo etángulo, el uddo de su hipotenus es igul 8 vees el vlo del áe de su egión tingul. lul sen os, si es uno de sus ángulos gudos. Se A el tiángulo etángulo: Se sbe que: (hipotenus) = oho vees el áe b 8 b Se =, luego identifimos que el ángulo A mide. A: tn : tn 9 Multiplimos miembo miembo: Pob. 0 tn tn 9 tn 9 tn = el gáfio mostdo, lul sen. 60 Tigonometí Und. R.T. de Ángulos Agudos 6

5 Pob. Tzmos A y se fom el tiángulo isóseles A (A = = 8), en el tiángulo etángulo A, lulmos A po el teoem de Pitágos, nálogmente en el tiángulo A lulmos A, esultndo: A: ot el gáfio mostdo, lul: ot tn. Tzmos el dio OM y se fom el uddo MON. Además se obsev que el dio myo es igul l sum de O y O. : ot Finlmente en el Pob. A: sen 9 sen = Si «S» es áe, en l figu mostd se umple: lul: ot. S = S Multiplimos miembo miembo: ot Finlmente: Pob. ot ot ot = 0 el gáfio mostdo, lul tn x. Si tzmos el dio O obsevmos que el ángulo AO tmbién mide x. En el tiángulo etángulo AO lulmos A plindo el Teoem de Pitágos, esultndo: Le dmos un vlo los ldos A, y. A: A: ot m n m tn n m Reemplzmos en: Pob. ot tn m n n m m ot tn m m ot tn = Según el gáfio, lul sen. Luego: P PN: Pob. sen sen sen sen sen = - el gáfio, lul: tn ot omo: S = S S S S S S S Entones se umple: A AO: tn x = 0 6 Tigonometí Und. R.T. de Ángulos Agudos 6

6 Resolviendo: mos vloes los ldos A, y. Asimismo eonoemos que el es exteio l A. Gfindo el enunido, tendemos: ()(-) = e donde: = = e los dos ángulos gudos, eonoemos l myo, po tene el myo teto opuesto, luego: FE: tn tn = En el AO: A = + 6 A = 0 tn = = tn = : A: tn( + ) = n m ot( + ) = n m Reemplzmos en: Pob. 7 En el gáfio, lul sen. A ontinuión, en el Teoem de Pitágos: A, plimos el = + A = + 0 = Pob. 0 El áe de un tiángulo etángulo mide 8 m y l difeeni de sus ldos myoes es m. lul el seno del meno ángulo. Pob. 6 tn ( ) n m mn ot ( ) n mn m tn ( + ) = ot ( + ) En el gáfio mostdo, lul tn. Si tzmos FG A, se log estblee que GF FE, po lo tnto los ldos FG y E son popoionles y. A: sen = Pob. 9 sen = lul l tngente del myo ángulo gudo de un tiángulo etángulo sbiendo que los ldos están en pogesión geométi. Se el A eto en, en el que «A» es el meno ángulo y en donde los myoes ldos son l hipotenus y el teto b, que según ondiión se elionn sí: b = = b + Se el tiángulo de l ondiión: Aplindo el Teoem de Pitágos: Obsev que el ldo del uddo A es igul l diámeto de l iunfeeni, tzmos l digonl y se fom el tiángulo etángulo FE. AE: Pob. 8 tn = 7 tn 7 En un plelepípedo en donde l ltu es l mitd del nho y el lgo el doble del nho, se tz un de sus digonles, y un de ls digonles de su bse, de tl mne que tengn un punto en omún. lul el seno del ángulo que fomn dihs digonles. Aplindo el Teoem de Pitágos: ( ) = () + = + = + = 0 Peo: áe = (b + ) b = b + b + b = b + =... () b = 8 b = () Multiplindo (), tenemos: b + = = 6 6 Tigonometí Und. R.T. de Ángulos Agudos 6

7 Ftoizndo el e miembo y desomponiendo el do, obtenemos: ( + ) ( ) = e donde: = 7 b = y = b os ot A lule el vlo de s A. Aplimos el teoem de Pitágos en los tiángulos A y p lul. Pob. En un tiángulo etángulo A eto en l hipotenus mide 7 m y l medin eltiv l teto myo mide m y on quien fom un ángulo gudo. lul «os» Finlmente: sen A = 7/ ibujmos el tiángulo etángulo Pob. ibujmos el tiángulo etángulo on los dtos meniondos: En un tiángulo etángulo A, eto en, se umple: tn A os =, lul el vlo de: A: 89 k E se A s Expesmos el dto en funión de los ldos: : 00 k ibujmos el tiángulo etángulo eto en. Expesmos el dto en funión de los ldos: tn A os = b = b Análogmente lo hemos on l expesión «E»: b b E se A s E E b b, peo: b = b b b b = Reemplzmos en el tiángulo: el tiángulo obtenemos: Pob. s A = s A En l figu mostd, se umple: A, l- ul el vlo de tn. Igulmos: 89 k 00 k Resolviendo, obtenemos: k = = 8 En el tiángulo, lulmos l tn Pob. tn 8 6 tn Si: tn 0º 90º, lul el vlo de tn. En el tiángulo etángulo A, plimos el Teoem de Pitágos: Resolviendo, esult: AM: Pob. 6 os ( ) 7 os = En el gáfio mostdo, lul tn si A = y E = 7. E E b, po Pitágos: b = + ibujmos el tiángulo etángulo p, luego onstuimos un tiángulo isóseles donde uno de sus ángulos es /. Ubimos los dtos en l figu y se veifi que los ángulos AF, F miden. Simplifindo, obtenemos: E = Pob. En un tiángulo etángulo A eto en se veifi que: omo: A A k k En el tiángulo etángulo gnde obtenemos: tn tn 66 Tigonometí Und. R.T. de Ángulos Agudos 67

8 Se F = n y F = m, lulmos tn en los siguientes tiángulos etángulos: FE: tn = m/7 F: tn = n/m Pob. 8 Siendo MP = PN, lul tn en el gáfio mostdo: AF: tn = /n Multiplimos miembo miembo: tn tn tn m 7 n m n Ubimos los dtos en l figu, ontinuión tzmos E A, deteminándose el plelogmo AE: E: os tn 7 EO: ot Pob. 7 tn = En el gáfio mostdo, lul el vlo de: Los tiángulos etángulos AO y AMP son isóseles, se MP = PN = y OM = b. Tzmos el dio ON = + b. Obsev el tiángulo E es etángulo poque umple el teoem de Pitágos. Reemplzmos en: os ot os + ot = tn tn En el tiángulo etángulo E, lulmos l expesión: s ot Pob. el tiángulo mostdo, lul «tn». s + ot = Tzmos los dios () en los puntos de tngeni y se FG = m. PMO: tn b... (*) En el OMN plimos el Teoem de Pitágos: ( + b) = b + () b b b b = b b = Pob. 0 el gáfio mostdo se sbe que A =, detemin el vlo de: os + ot Aplimos el Teoem de Pitágos p lul «x», sí: ( x ) ( x ) x + x + + x x + = 0 EAG: tn m F: tn m Reemplzndo en (*) obtenemos: Pob. 9 tn = Reduiendo, esult: x = Reemplzmos en el : Nos piden, lul: tn tn Reemplzmos: Simplifindo, esult: m m el gáfio mostdo, A es un tpeio donde: A, demás A = = 8, = y A =. lul el vlo de: s + ot. ompletmos l semiiunfeeni de dio, luego polongmos y ubimos los dtos en l figu: Finlmente: tn tn = 68 Tigonometí Und. R.T. de Ángulos Agudos 69

9 lul l longitud de l hipotenus (en m). 8.- En el gáfio mostdo, lul: ot. A) ) ) A) 0.- Si: os = 0,8; donde: gudo, se pide lul: s + se A) ) 6 ) 8 ) 0 E) 0.- Siendo un ángulo gudo y demás: tn =, lul: M = + os A) 6 7 ) 6 ) 6 ) E) En un tiángulo A ( = 90 ), se veifi que: b 7 ; lul se A s A. b A) 7 ) 7 6 ) 0 ) E) L hipotenus de un tiángulo etángulo es igul l uáduplo de l longitud de uno de sus tetos. lul l tngente del ángulo opuesto este teto. A) 7 ) ) 7 ) E) 0.- A y son ángulos gudos de un tiángulo etángulo A. lul «s A», si: sen A sen A ot = s A) ) ) os A s se ) 06.- Si: A = y demás: ot =,; se pide lul: tn A) / ) / ) / ) 7/9 E) / E) 07.- el ubo mostdo, evlu «os». A) ) ) 6 ) 6 E) En un tiángulo etángulo A (eto en A) se 0 sbe que: tn =. Si demás: = ; 9 lul el peímeto del tiángulo. A) 70 ) 80 ) 90 ) 0 E) Si se sbe que: 8 tn x = 0,8 (x es un ángulo gudo); enont el vlo de: V = os x sen x A) 0, ) 0, ) ) E) etemine l myo zón tigonométi de uno de los ángulos del tiángulo etángulo si sus tetos son: (n ) n y su hipotenus es n. A) ) ) ) E).- En un A, l hipotenus mide 8 u y el seno de es /. Si se tz l ltu H eltiv l hipotenus; lul l medid del segmento AH. A) ) ) 6 ) 8 E) 0.- En un tiángulo A, eto en, se umple que tn A = tn. Si demás: b 9 m ; ) E).- En un tiángulo utángulo A se tzn ls ltus M y AN inteeptándose en H, de tl mne que: AH = HN. lul: tn tn A) ) ) ) E).- do un tiángulo etángulo A, eto en, se tz l medin AM (eltiv l ldo ) y luego, desde se tz l pependiul H l medin AM. Se pide detemin l tngente del ángulo fomdo po el teto A y l pependiul H en funión del ángulo. A) tn ) ot ) tn ) tn E) ot.- En un tiángulo etángulo el semipeímeto es 60 m y l sente de uno de sus ángulos gudos es,6. lul l longitud ( en m) de l hipotenus. A) ) 6 ) 9 ) E) el gáfio mostdo, lul: tn. A) / ) / ) / ) / E) /6 7.- En el g áfio, lul el vlo de: ot ( ) tn ( ) A) / ) / ) /8 ) E) ) ) ) E) 9.- el gáfio mostdo, lul: ot : A) ) ) / ) E) 0.- P el gáfio mostdo, lul: tn. A) / ) / ) / ) / E) /.- el gáfio mostdo se sbe que A =, lul el vlo de: tn tn tn tn A) ) ) ) / E) /.- En tiángulo etángulo se umple que el uddo de l hipotenus es el tiple poduto de los tetos. lul l sum de ls tngentes de los ángulos gudos. A) ) ) / ) E) / 70 Tigonometí Und. R.T. de Ángulos Agudos 7

10 .- En un tiángulo etángulo A, eto en, se umple: se A se, lule: (sen A + sen ). A) 7/ ) 9/ ) / ) / E) /.- Se tiene un teeno en fom de tiángulo etángulo donde l hipotenus es m y uno de los ángulos gudos mide, tl que tn = 8/. lul su peímeto. A) 0 m ) 60 m ) 70 m ) 80 m E) 00 m.- El peímeto de un tiángulo etángulo es 0 m. Si l tngente de uno de los ángulo gudos es,; lul su áe. A) 60 m ) 80 m ) 0 m ) 60 m E) 80 m 6.- En un tiángulo etángulo se tiene que uno de sus tetos es el doble de l difeeni ente l hipotenus y el oto teto. lul l tngente del myo ángulo gudo. A) / ) / ) / ) / E) 7.- En un tiángulo etángulo A se umple que os os. lul l ltu eltiv l hipotenus, sbiendo que est mide 6 m. A) m ) m ) m ) m E) 7 m 8.- Los ldos de un tiángulo etángulo están en pogesión itméti, lul el oseno del myo ángulo gudo. A) / ) / ) / ) / E) / 9.- En el gáfio mostdo, lul tn, si tn = y M = M. A) / ) / ) /6 ) /8 E) /0 0.- Si el tiángulo etángulo A es isóseles, lul tn demás M = M. A) ) ) ) E).- Si: os = 8/7 y 0º < < 90º, lul el vlo de tn /. A) / ) / ) / ) / E) /.- Si «M» y «N» son puntos medios, demás «O» es ento, lul el vlo de ot. A) ) / ) ) E) 0 09 E 7 E 0 A 0 E A Tigonometí