Figuras geométricas. GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.

Transcripción

1 12 Figus geométics L geometí de los egipcios y de los bbilonios fue, sobe todo, páctic. Sin embgo, l ctitud de los giegos fue muy distint: desligon el estudio de ls figus geométics y de sus popieddes de culquie povecho páctico que pudie obtenese de ells. Tles de Mileto vivió ente los siglos vii y vi.. De joven psó vios ños en Egipto, donde pendió l geometí egipci, l que supo d un gn impulso, mplindo sus contenidos e imponiendo que cd fómul y cd pocedimiento fue consecuenci de un zonmiento lógico. demás de mtemático, Tles fue stónomo (ente ots coss, pedijo eclipses de Sol) y el pimeo de los gndes filósofos giegos. Ejeció gn influenci sobe los pensdoes posteioes. si tes siglos después, Euclides culminó el poceso deductivo en l mtemátic gieg. Sus obs de geometí tuvieon un enome impotnci hst el siglo xix. Incluso hoy en dí, l geometí que se estudi más menudo se l llm euclíde. DEERÁS RERDR Q ué son los polígonos y cómo se clsificn. ómo se designn los elementos de un tiángulo. uáles son los elementos elciondos con l cicunfeenci.

2 1 Tiángulos lsificción on seguidd, dos de los ángulos de un tiángulo son gudos. Según como se el oto ángulo, el tiángulo es cutángulo, ectángulo u obtusángulo. UTÁNGUL RETÁNGUL TUSÁNGUL Un tiángulo con los tes ldos igules se llm equiláteo. Si tiene dos ldos igules, se llm isósceles. Y si los tes ldos son distintos, se llm escleno. Relciones ente los ángulos y los ldos equiláteo y equiángulo Los tiángulos equiláteos tmbién tienen los ángulos igules. En un tiángulo isósceles, los ángulos opuestos los ldos igules son tmbién igules. Y, en genel, si un ldo es myo que oto, entonces sus ángulos opuestos siguen l mism elción (si > b entonces ì > ì ). = b < b < c b b ì ì ì ì ì = < < c c onstucción de tiángulos P constui un tiángulo, es suficiente conoce solo lgunos de sus elementos. Pueden dse distintos csos. Vemos quí l constucción pti de los tes ldos. En puedes encont los demás. dtos constucción esultdo ctividdes 1 onstuye con egl y compás un tiángulo cuyos ldos midn 7 cm, 5 cm y 8 cm, espectivmente. 2 Di cómo es, según sus ángulos y según sus ldos, cd tiángulo de l deech. 3 Dibuj un tiángulo escleno obtusángulo y un tiángulo isósceles cutángulo. c b ) b c b) c) e) f) ì b d) ì ì c 134

3 UNIDD 12 Equilibio Medins de un tiángulo. icento Se llm medin de un tiángulo un segmento que v de un vétice l punto medio del ldo opuesto. Medin Un tiángulo de ctulin, chp o mde se mntiene en equilibio si lo sostenemos en el bicento. bi-cento: cento de gvedd. ' Ls tes medins de un tiángulo se cotn en un punto llmdo bicento. ' ' ' icento ltus de un tiángulo. tocento L ltu de un tiángulo es un segmento que v, pependiculmente, desde un vétice l ldo opuesto o su polongción. ltu Todo tiángulo tiene tes ltus, que se cotn en un punto llmdo otocento. ctividdes 4 Dibuj el tiángulo cuyos ldos miden 8 cm, 10 cm y 12 cm. bsev que es cutángulo. Tz sus tes ltus y señl su otocento. 5 Dibuj el tiángulo cuyos ldos 6 cm, 8 cm y 12 cm. bsev que es obtusángulo. Tz sus medins y señl su bicento. tocento 6 Dibuj el tiángulo cuyos ldos miden 6 cm, 8 cm y 10 cm. bsev que es ectángulo. Locliz su otocento y su bicento. 7 Dibuj el tiángulo equiláteo cuyos ldos miden 6 cm. Locliz su otocento y su bicento. 135

4 2 udiláteos udiláteos son polígonos de cuto ldos. Recued que sus cuto ángulos sumn 360. Tienen dos digonles. lsificción de los cudiláteos tención Los cuddos son ectángulos, poque tienen los cuto ángulos ectos. Y tmbién son ombos, poque tienen los cuto ldos igules. PRLELGRMS (ldos opuestos plelos) RETÁNGULS (ángulos ectos) RMS (ldos igules) RMIDES UDRDS N PRLELGRMS TRPEIS (solo dos ldos plelos) TRS UDRILÁTERS (TRPEZIDES) Plelogmos. Digonles. Ejes de simetí Se llm plelogmos los cudiláteos cuyos ldos opuestos son plelos. Ls digonles de un plelogmo culquie se cotn en sus puntos medios. En el cuddo y el ombo, ls digonles son pependicules. En el cuddo y el ectángulo, ls digonles son igules. El omboide no tiene ejes de simetí. El ectángulo y el ombo tienen dos ejes de simetí. El cuddo tiene cuto ejes de simetí. 136

5 UNIDD 12 Tpecios Un tpecio es un cudiláteo con dos ldos plelos y otos dos no plelos. se ltu Los ldos plelos se llmn bses, y l distnci ente ellos, ltu. se TRPEI RETÁNGUL e TRPEI ISÓSELES Un tpecio con dos ángulos ectos se llm tpecio ectángulo. Un tpecio con los dos ldos no plelos igules se llm isósceles. El tpecio isósceles tiene los ángulos igules dos dos. Peo, tención!, los ángulos igules son contiguos, no opuestos. Los tpecios isósceles tienen un eje de simetí. Tpezoides Los cudiláteos que no tienen ningún p de ldos plelos se llmn tpezoides. Hy tpezoides con foms muy vids. lgunos de ellos son inteesntes. ejemplos Este, con fom de comet, tiene los ldos igules dos dos, peo los ldos igules son contiguos, no opuestos (si fuen igules los ldos opuestos, seí plelogmo). demás, sus digonles son pependicules, como ls del ombo, peo no se cotn en sus puntos medios. Solo tiene un eje de simetí, su digonl myo. Este tmbién tiene los ldos igules dos dos. Sus digonles, unque tienen diecciones pependicules, no se cotn, pues un de ells está fue del polígono. Estos cudiláteos, en los que un digonl qued fue, se llmn cóncvos. ctividdes 1 bsev los cudiláteos de l deech. ) uáles son plelogmos, cuáles tpecios y cuáles tpezoides? b) Ponle un nombe decudo cd uno. Po ejemplo, cuddo, tpezoide c) Di cuántos ejes de simetí tiene cd figu. d) uáles de ests figus tienen ls digonles pependicules? I II V IX VI III VII X IV VIII XI XII 137

6 3 Polígonos egules Un polígono egul es el que tiene todos sus ldos igules y todos sus ángulos igules. Todos los polígonos egules tienen un cicunfeenci cicunscit. l l l l Se llmn cento,, y dio,, de un polígono egul l cento y l dio de l cicunfeenci cicunscit. potem,, es el segmento pependicul desde el cento,, l ldo, l. L potem siempe cot l ldo en su punto medio. En todos los polígonos egules,, y l /2 son los ldos de un tiángulo ectángulo. Ejes de simetí Todos los polígonos egules tienen tntos ejes de simetí como ldos. ctividdes 1 lc en tu cudeno ls figus siguientes: Dibuj en ojo todos sus ejes de simetí. 2 lc ls figus del ejecicio nteio en hojs pte y ecótls. Señl, medinte pliegues, todos sus ejes de simetí. bsev que en el cuddo puedes elizlo medinte tes pliegues, y en el octógono, medinte cuto. 138

7 4 icunfeenci UNIDD 12 L cicunfeenci es l líne que ode l cículo. El cículo es l figu pln más pefect: ulquie de sus diámetos es eje de simetí. Po tnto, tiene infinitos ejes de simetí. Su áe es l myo posible ente tods ls figus que tienen su mismo peímeto. Es deci, si con un cued queemos delimit un teeno cuy supeficie se l myo posible, debeemos constui un cicunfeenci. Posiciones eltivs de ect y cicunfeenci Ten en cuent d es l distnci de l ect. es el dio de l cicunfeenci. d d > d d = d < d EXTERIRES TNGENTES SENTES Posiciones eltivs de dos cicunfeencis d d d EXTERIRES TNGENTES EXTERIRES SENTES d ctividdes 1 Tz un cicunfeenci de 5 cm de dio y tes ects que psen 3 cm, 5 cm y 8 cm, espectivmente, del cento de l cicunfeenci. 2 Dibuj en tu cudeno: ) Dos cicunfeencis secntes. b) Dos cicunfeencis inteioes. Mide, en mbos csos, l distnci ente sus centos y compál con sus dios. TNGENTES INTERIRES INTERIRES NÉNTRIS 3 Si tzs dos cicunfeencis de dios 7 cm y 4 cm con sus centos situdos 10 cm de distnci, en qué posición eltiv quedín? Tázls y compueb tu espuest. 4 Tz dos cicunfeencis de dios 5 cm y 3 cm tngentes exteioes. qué distnci están sus centos? Tz dos cicunfeencis de 5 cm y 3 cm de dio, que sen tngentes inteioes. qué distnci están sus centos? 139

8 5 uepos geométicos Los cuepos geométicos son, como sbes, figus de tes dimensiones, es deci, figus que ocupn un poción de espcio Geometí y civilizción Un gupo de pesons tuvieon un nufgio. Se slvon y llegon un ply de un isl desconocid. Ibn exhustos y temoizdos. 4 5 bsevon que en l en hbí dibujds uns figus geométics. Uno de los náufgos, discípulo de Pltón, l vels exclmó con legí: Ánimo! quí viven pesons civilizds tención Ls figus 4 y 10 no son poliedos, pues sus cs no son polígonos, ni cuepos de evolución, pues no se pueden obtene l hce gi un figu pln. ctividdes 1 Señl, ente los cuepos de ib, dos poliedos (pte del 2 y el 3). Tods ests figus ecuedn difeentes objetos de nuesto entono. Son cuepos geométicos. Ente ellos, distinguiemos dos gndes tipos: Poliedos: Están limitdos po cs plns poligonles. De los de ib, son poliedos, ente otos, el 2 y el 3. uepos de evolución: Son el esultdo del gio de un figu pln en tono un eje. Po ejemplo, el 1 y el 6 de ib. 2 Ente los cuepos de ib, señl dos cuepos de evolución (pte del 1 y el 6). 140

9 6 Poliedos UNIDD 12 Los cuepos geométicos limitdos po polígonos se llmn poliedos. s del poliedo son los polígonos que lo fomn. ists son los ldos de ls cs. En cd ist se juntn dos cs. Vétices del poliedo son los vétices de ls cs. En cd vétice concuen tes o más cs. RTEDR PRISM PENTGNL REGULR No te confunds Este poliedo no es egul, poque en unos vétices concuen tes tiángulos, y en otos, cuto. pisms Un pism es un poliedo limitdo po dos polígonos igules y plelos, llmdos bses, y vios plelogmos llmdos cs lteles. Si ls bses son polígonos egules y ls cs lteles son ectángulos, el pism se llm egul. Los pisms cuys cs son tods ectángulos se llmn otoedos. piámides Un piámide es un poliedo que tiene po bse un polígono culquie y po cs lteles tiángulos con un vétice común, que se denomin vétice de l piámide. Un piámide es egul cundo l bse es un polígono egul y el vétice se poyect sobe el cento de ese polígono. poliedos egules PIRÁMIDE UDRNGULR REGULR Un poliedo es egul si tods sus cs son polígonos egules idénticos y en cd vétice concuen el mismo númeo de cs. ctividdes 1 Descibe los poliedos siguientes: nombe, cómo son sus cs y cuánts tienen, númeo de ists, de vétices TETREDR U TEDR DDEEDR ISEDR 141

10 7 uepos de evolución Los cuepos de evolución se oiginn hciendo gi un figu pln lededo de un eje. cilindos Un cilindo es un cuepo de evolución genedo po un ectángulo que gi lededo de uno de sus ldos. SE ltu SE VÉRTIE conos Un cono es un cuepo de evolución genedo po un tiángulo ectángulo que gi lededo de uno de los ctetos. ltu genetiz SE ctividdes 1 Utilizndo ls plbs cilindo, cono y esfe, descibe los siguientes cuepos geométicos: esfes Un esfe es un cuepo de evolución genedo po un cicunfeenci que gi lededo de culquie de sus diámetos. D E 142

11 Ejecicios y poblems onsolid lo pendido utilizndo tus competencis UNIDD 12 Polígonos y cicunfeenci 1 Di cuáles de estos tiángulos son: ) cutángulos. b) Rectángulos. c) btusángulos isósceles. E D F 2 Di cómo son, según sus ldos y según sus ángulos, los tiángulos siguientes: 3 Ponle nombe cd uno de los cudiláteos que pecen continución: G H D 5 Dibuj un tiángulo de ldos 4 cm, 5 cm y 6 cm, y tz sus ltus. ómo se llm el punto donde se cotn? Tz tmbién sus medins. 6 Si dibujs dos segmentos que sen pependicules en sus puntos medios y unes sus extemos, obtienes un cudiláteo. De qué tipo es? Hzlo en tu cudeno: ) P dos segmentos de distint longitud. b) P dos segmentos de igul longitud. 7 Dibuj dos segmentos que se coten en sus puntos medios y no sen pependicules. Une sus extemos y di qué tipo de cudiláteo se obtiene: ) Si los dos segmentos son de igul longitud. b) Si los dos segmentos son de distint longitud. 8 Dibuj un cicunfeenci de 5 cm de dio y un tiángulo cuyos ldos sen: uno secnte l cicunfeenci, oto tngente y oto exteio. 9 Uniendo listones de mde, medinte tonillos y plomills, podemos constui distintos polígonos. bsev que el tiángulo (Fig. ) es ígido, es deci, indefomble: E D F 4 lsific los polígonos siguientes en egules y no egules: D E G H F I G Fig. Sin embgo, el ombo (Fig. ) se puede defom. Peo si le ñdimos un listón (Fig. ), coincidiendo con un digonl, se hce ígido. Es deci, lo hemos fijdo: Fig. Figu ) uántos listones necesits p hce indefomble cd un de ests figus? D b) uántos listones necesits p hce indefomble un polígono de n ldos? 143

12 Ejecicios y poblems onsolid lo pendido utilizndo tus competencis uepos geométicos 10 bsev estos cuepos: 11 uáles de ls figus siguientes son cuepos de evolución? De cuáles conoces el nombe? ) uáles son poliedos? De ellos, nomb los pisms y l piámide. b) Hy lguno que no se pism ni piámide? c) uáles son cuepos de evolución? Nómblos. d) Hy lguno que no se poliedo ni cuepo de evolución? 12 l gi cd un de ls figus siguientes en tono l eje que se indic se gene un figu de ls del ejecicio nteio. Identifícl. D E utoevlución 1 Identific y nomb los cudiláteos que: ) Tienen todos los ángulos igules. b) Tienen los ldos opuestos plelos. c) No tienen los ldos opuestos plelos. d) Tienen los cuto ldos igules. e) Tienen solo dos ldos plelos. D F H E G 2 Di qué polígonos son egules y escibe sus nombes: E G J I D H F K 3 ) Dibuj dos cicunfeencis tngentes inteioes. b) Dibuj un ect tngente ls dos cicunfeencis. c) Dibuj ot ect tngente un cicunfeenci y secnte l ot. 4 De los siguientes cuepos geométicos, detemin cuáles son poliedos; cuáles, cuepos de evolución, y cuáles, ninguno de los dos. Pon nombe los que conozcs. F K G L H M D I N J E 144