SOLUCIONARIO. Examen UNI 2015 I. Matemática

Transcripción

1 SOLUIONRIO Emen UNI 05 I Mtemátic Pegunt 0 Semnlmente, un tbjdo ho ciet cntidd en soles, y dunte 0 semns ho ls siguientes cntiddes: Se constuye un tbl de fecuencis de 7 intevlos de igul longitud fij. Si F 5 es l fecuenci cumuld del quinto intevlo (odendos los etemos de los mismos de fom ceciente), detemine el vlo de (+F 5 )- ) 0 ) ) 7 ) 8 E) 9 Resolución 0 Estdístic Tbl de distibución de fecuencis Sbemos que: (lcnce)=[to meno; to myo] (ngo)=(to myo) (to meno) ^Rngoh (ncho de clse)= ^ #int evlos h to: (# intevlos) =7 (lcnce)=[; 6] (Rngo)=6-= = 7 =6 Pide: Tbl de Fecuencis Intevlos f i F i [,0> [0,6> [6,> 6 0 [,8> [8,> [,0> 8 [0,6] 0 (+F 5 ) =9 6 Pegunt 0 Rpt: 9 Indique l ltentiv coect después de detemin si cd poposición es vedde (V) o fls (F) según el oden ddo: I. Sen, entonces l pobbilidd P()=P(\)+P(\)+P(\ )+P()

2 Emen UNI 05 I II. Se lnzn dos ddos nomles, entonces l pobbilidd que su sum se 7 es. III. Se lnzn dos ddos nomles, uno cd vez, entonces l pobbilidd de que slg ddo que ntes slió es. 6 E={(,)} P(E)= 6 L poposición P(E) =...(F) 6 Recuede que: El espcio muestl se educe 6 csos, p el do ddo. ) V V V ) V F V ) F V V ) F F V E) F F F Resolución 0 Pobbiliddes Pobbilidd condicionl I. Sen los eventos:, entonces Pegunt 0 Rpt: F F F Sbiendo que K = b () = cd (5) y +b+c+d= en el sistem deciml con 0, c 0. etemine K en el sistem deciml. ) ) ) ) E) 5 Resolución 0 Numeción mbio de bse P(): P(\)+P(\)+P()...(F) Poque P()=P(\)+P(\)+P(\)+P() II. ={obtene un sum 7, l lnz dos ddos nomles} ={(,6);(,5);(,);(,);(5,);(6,)} ` P()= 6 6 = 6 l poposición P()= es fls (F) III. Piden l pobbilidd de obtene el evento: Obtene ddo que ntes slió. K = b () = cd (5) Los númeos que se epesentn con dos cifs tnto en bse, como en bse 5 son del: {5, 6, 7,..., 5} y de estos el númeo cumple que: = () = (5) K donde: + b + c + d = (TO) K= Rpt.:

3 Emen UNI 05 I Pegunt 0 Se sbe que en un división ente el diviso es 50 y el esiduo es 5. uánts uniddes como mínimo se le debe disminui l dividendo, p que el cociente disminuy en uniddes? ) 6 ) 65 ) 66 ) 67 E) 68 Resolución 0 uto opeciones ivisión Se l división oiginl 50 q =50q+5 5 Luego: -X MÍN 50 R q- Pegunt 05 Se el númeo E = lcule el esiduo de dividi E ente 7. ) 0 ) ) ) E) Resolución 05 ivisibilidd Restos potenciles E= E=( ) 667 +( ) 667 = plicndo cocientes notbles est epesión siempe seá divisible po l sum de: 8+7=5 o 5c ÑE = = 5 7c E = 7c " Re sto = 0 - X MÍN = 50(q - ) + R 50q X MÍN = 50q R R=X MÍN 9 (MÁX) 66 =X MÍN Rpt.: 66 Pegunt 06 Rpt.: 0 uántos númeos de l fom (-)(b)(-) son pimos? ) ) ) ) E) 5 ENTRL:

4 Emen UNI 05 I Resolución 06 Númeos pimos y compuestos lsificción de los Z+ Sbemos que: Un númeo es pimo, si solo posee divisoes, l unidd y el mismo númeo. Ejemplo: es pimo, y que sus divisoes son y 9 es pimo, y que sus divisoes son y 9 to: (-)(b)(-) es pimo Not: sumiento, b Z. (-) (b) (-) q q q ( -) (-) Hy 5 pimos cpicús de cifs Rpt: 5 No hy lve 0 } Hy pimos que cumplen 9 Rpt: Sí hy clve Pegunt 07 Se l epesión 0,! b! 0, b =! 0, ; con b 0 Rpt.: Entonces l sum de todos los vloes posibles de 0,! b que stisfcen l ecución nteio es ) 06,! ),! ),! 6 ),! E) 6, Resolución 07 Númeos cionles Númeos decimles 0, b! 0,b! =0,! ^b h ^b bh = ^9+ bh ^9b+ h = b = 90 9 b=

5 Emen UNI 05 I Luego piden l sum de vloes de 0,! b!!!! 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9!!, =, Rpt:,! Pegunt 08 Se tiene l siguiente iguldd / 9ii = _ + i_ 9 Entonces podemos deci que el conjunto / (! #,,,... 8-/ _ 9 i k eiste ) No posee elementos ) Posee un solo elemento ) Posee dos elementos ) Posee tes elementos E) Posee cuto elementos Resolución 08 Potencición ubo pefecto = ( + (9) _ ) ( ) i S q 9 9+ = ( 9+ ( + )) q. 5 Luego Si: = i = ( 9) ( ( 9) ) ( no cumple) S S Si: = = ( 9) ( 7( 9) ) S S 096 = 096 (sí cumple) Luego: el conjunto es unitio. Pegunt 09 {5} Rpt.: Posee un solo elemento Indique el intevlo l cul petenece el vlo de m, p que l inecución + < m + Se cumpl p todo R. ) -, - ), + ), + ) 9, E) 5, + Resolución 09 Inecuciones esigulddes + <m; R + O < ^m+ h ^m+ h+ ^m h ; R P ^ h ENTRL:

6 Emen UNI 05 I m+>0 m> ` m 5; Pegunt 0 T < O ^m+ h ^m+ h^m h < 0 0 < m m 65 0 < ^m+ h^m 5h - 5 Rpt: <5,+ > Se un función f: R <0,+> que cumple f(+b)=f().f(b), b R. lcule el vlo de f().f(-) ) ) 0 ) ) E) Resolución 0 Funciones Regl funcionl to: f(+b)= f() f(b); 6; b R P =0; b=0 f(0)= f(0).f(0) peo f(0) > 0 f(0)= P b= f(0) = f() f( )= Pegunt Rpt: onsidee l siguiente función: f: R R definid po f() = + b + c, > 0, b > 0. Si: f(0) = y Rng (f) = 6 b ; +, detemine el 8 b siguiente vlo M = b ) ) ) ) E) 5 Resolución Funciones Función cudátic do: f()= +b+c; >0 f(0)= c= Se sbe: fmin= =b (b 8)= b 8 b = b Reemp. en M: b M= = b Rpt: 6

7 Emen UNI 05 I Pegunt Se f un función cuy egl de coespondenci está dd po: f() = log _ + + i Encuente su función inves Pegunt Si es un mtiz invetible, despeje l mtiz X pti de l epesión. ((X) - ) t = 0,5 ) + + ) ) - - ) E) - - Resolución Funciones Función inves y = log ^+ + h Notmos que l función es ceciente, luego l inves eiste. espejndo + + = y + = y + = y y + y y = y y = ` f ^ h= Rpt: - - ) X = 0,5 - t ) X = 0,5 t - ) X = - ) X = - t E) X = - t Resolución Mtices Mtiz inves t 6 ^ = 0,5 Tomndo l tnspuest X ^ h = 0,5 t plicndo l inves t X = ^05, h t X = Multiplicndo po -. X = t. t X = Rpt: X = t ENTRL:

8 Emen UNI 05 I Pegunt etemine el conjunto solución del sistem de ecuciones no lineles: + y y+ = 0 * y + = 0 ) {(,), (,), (-,-)} ) {(,-), (,), (,)} ) {(-,0), (,) (,)} ) {(,0), (0,), (,)} E) {(, -), (,0), (,-)} Resolución Sistem de ecuciones Sistem no lineles de (): Pegunt 5 Un gnjeo tiene 80 ces de tie en l que puede semb míz o tigo. Él clcul que tiene 800 hos de tbjo disponible dunte l estción de veno. En el cso del míz, el tbjo demo hos po ce y se obtiene un utilidd de S/.0 po ce, mients que en el tigo el tbjo es de ho po ce y l utilidd es de S/.0 po ce. uántos ces de míz y tigo debe plnt espectivmente, p mimiz su utilidd? ) (60, 0) ) (0, 0) ) (0, 0) ) (0, 60) E) (80, 00) en (): (-) =y (-) +y -y=0 y+y -y=0 y -y=0 Resolución 5 Pogmción linel Máimos y mínimos Po dtos: y=0 y= (-) =0 (-) = = -= -=- = =0 Míz Tigo Totl ce y 80 Hos y 800 Utilidd 0 0y ÑS= {(;0);(;);(0;)} Rpt.: {(,0),(0,),(,)} U (;y) =0+0y Z ] + y G 80 S = [ + y G 800 ] H 0; y H 0 \ 8

9 Emen UNI 05 I y Resolución 6 Sucesiones (0,80) (0,60) (00,0) Sucesión cotd n <0-7 n >0 7 n>0 0 n>6,... Meno vlo; n N: 6 Rpt: 6 Umá = 0_ 0i + 0_ 60i = = 7600 Rpt: ebe plnt 0 ces de míz y 60 ces de tigo Pegunt 6 onsidee l sucesión ',,,...,,... n. Rpt.: (0, 60) etemine el meno vlo de n N, de modo que se cumpl Pegunt 7 Hlle el meno gdo del polinomio n ++b, 0, (n>) p que se un diviso. ) ) ) ) 5 E) 6 Resolución 7 Polinomios ivisibilidd Si P()= n ++b es divisible ( ) P()=( )q() P()=0 ^ P( )=0 ) 08 ) 09 ) 99 ) 00 E) 6 n < b=0 () ( ) n +b=0 () Restndo () y () ( ) n +=0 =( ) n Se tiene 0 ( ) n 0 entonces n es imp min(n)= Rpt: ENTRL:

10 Emen UNI 05 I Pegunt 8 En el pime cudnte del plno se fom el conjunto con los puntos con coodends enteos positivos, esto es = {(m,n)/m N, n N }. cd punto (m,n) de se le sign el vlo m+ n. lcule l sum de todos los vloes de los puntos (m,n) de con coodends m$n. ) ) ) ) E) + Resolución 8 Seies onvegenci Se S m l sum de todos los vloes de los puntos (m;n) con coodends m n n= m Sm = /... m+ n = m+ + m+ + n m+ + + m+ n = Sm = (... ) m m = m m m S m = / / c m m m = m = m = = = Rpt: Pegunt 9 Si S es el conjunto solución de l inecución + < se fim I. </,+ > S II. S </,+ > III. S <,/> φ uáles son fimciones coects? ) Solo I ) Solo II ) Solo III ) I y II E) II y III Resolución 9 Inecuciones Vlo bsoluto < - + elevndo l cuddo $ luego S = 8 ; + nlizndo ls poposiciones I. F II. V III. F Solo II es coect + < S < - >- ->- -<-+ $ ( R < 5/) Rpt: Solo II 0

11 Emen UNI 05 I Pegunt 0 Respecto l función f()=, indique l secuenci coect, después de detemin si l poposición es vedde (V) o fls (F). I. f(+y)# f()+f(y);,y R. II. Si hcemos g()= entonces el conjunto solución de g()= f() es {,}. III. Si hcemos h()= +5 entonces el conjunto solución de h()= f() es vcío. ) V F V ) V F F ) V V V ) F V V E) F V F Resolución 0 Funciones Regl de coespondenci f()= I. f(+y)= +y (+y) Sbemos,y R : +y # + y +y (+y) # + y y f(+y) # f()+f(y) II. g()= = >0 =0 = (V) <0 = =. S.= {,} (V) III. +5= >0 +5= 0 φ <0 +5= φ. S.= φ (V) Pegunt Rpt: V V V En el gáfico = =, clcule (en gdos) ) 8 ) 9 ) 0 ) E) Resolución Tiángulos Popieddes Piden: * m S =. ENTRL:

12 Emen UNI 05 I S * : m =80 % % * En Isósceles : m =m % =6 = Luego: == Equiláteo 6 = 60 = 0 Rpt.: 0 Resolución Semejnz Semejnz de tiángulos Piden:. = Pegunt En l figu ls cicunfeencis tienen dios =u y R =6u espectivmente, es punto de tngenci y es cento. lcule poducto. (en u ). R=6 Po el teoem de poducto de ldos en el. ()()=R=(6)() ()()=6 Rpt.: 6 ) 8 ) ) 0 ) 6 E) 0 R Pegunt En l figu se muest el tiángulo ectángulo ecto en. Si = 5 cm y =cm, entonces l medid (en cm) del segmento EF es: F E

13 Emen UNI 05 I ), ),6 ),5 ),56 E),8 Pegunt En l siguiente figu, I es el incento del tiángulo, I = 6u, E = u. lcule E (en u). Resolución Tiángulos I Tiángulo notble E Piden: /5 5 F E ) 8 ) 9 ) 0 ) E) E (NOT 5 y 7 ) E= 6 5 FE(NOT 5 y 7 ) = 6 =,56 5 Rpt:,56 Resolución Semejnz y puntos notbles Popieddes α α 6 Piden θ θ α -6 α+θ -6 I: Incento del I E ENTRL:

14 Emen UNI 05 I Po teoem α () = ()() ) + ) + ) ) + E) En el E ( - 6) =. =9 Pegunt 5 α Rpt.: 9 En l figu =, = 6u y áe ( )= (áe ). Hlle. Resolución 5 Áes Áes de egiones tingules Piden: S 0-0º 6 to: Áe()=Áe() lculndo: se: S Po teoem m =0º- =5º; m =0

15 Emen UNI 05 I el dto: ( + ) ( + ) = =+ Pegunt 6 Rpt: + es un cuddo y desde su cento O se tz un segmento OE pependicul l plno, si OE= entonces l medid del diedo E es: ) c tn ` j ) c tn () ) c tn ` j ) c tn () 5 E) c tn ` j Resolución 6 Geometí del espcio Ángulo diedo Piden: E En el =c tg() EOM: Pegunt 7 Rpt: c tn() El punto P se encuent situdo sobe l ltu de un tetedo egul de ldo. Si P equidist de cd vétice, clcule est distnci. ) ) ) ) E) 6 Resolución 7 Poliedos egules Volumen Piden: P O M l P l l= ENTRL:

16 Emen UNI 05 I to: P=P=P=P onsecuenci: P cento de l esfe cicunscit l tetedo egul, : indio. l l 6 6 ( = ( = P = 6 Rpt: 6 cm cm cm Pegunt 8 Un vso de fom de pism ecto hegonl, con digonl myo de l bse que mide 6 cm, contiene gu l tiempo. P enfil se coloc un cubo de hielo y se obsev que el nivel del gu sube cm. lcule l longitud de l ist del cubo de hielo (en cm). ) ) 6 ) ) E) V ubo =l V Pism = 6c m. l =6. 9. l =7 6 l= Pegunt 9 Rpt.: 6 En un cilindo de evolución de 5 cm de ltu se inscibe un plelepípedo ectngul con supeficie ltel de 50 cm. Un de sus ists, ubicd en l bse del cilindo, mide 6 cm. lcule l zón (en cm) ente el volumen y el áe ltel del cilindo. Resolución 8 Pisms Volumen Piden: l El volumen del cubo es equivlente l volumen del gu que sube cm, ) ) ) ) E) 7 6

17 Emen UNI 05 I Resolución 9 Pism ilindo Volumen Áe 0 m V Piden: L 5 to: L =50 [6. 5+5]=50 =9 En el R= 7 V ilindo =πr.5 L =πr.5 V = L 7 R 6 5 =9 ) π ) 5 π ) 7 π ) 0 π E) π Resolución 0 Tonco de cono Volumen Piden: V tonco V ( tonco = + +. ) V tonco = 7p Pegunt 0 Rpt: 7 0 m En l Pnmeicn cec de sm se h fomdo un dun en fom de tonco de cono de evolución. Ls longitudes de ls cicunfeencis son π m y π m. Ve figu. Hlle el volumen de l dun en metos cúbicos. Rpt: 7p ENTRL:

18 Emen UNI 05 I Pegunt 6 En un tonco de cono de evolución, el dio de l bse myo es el doble del dio de l bse meno. Si el volumen del tonco de cono es 6 p cm y el dio de l bse meno es 6 cm, entonces el volumen de un esfe tngente ls bses del tonco de cono (en cm ) es: h ) ) ) ) E) 0 Resolución Sólidos geométicos Tonco de cono Piden: V esfe to V T = 6p h _ i= 6 h= V= ( ) `V= = = Pegunt Rpt.: En un piámide cudngul egul, l ist básic mide 8 u y su ltu mide 5 u. qué distnci (en u) de l bse de l piámide se debe tz un plno plelo dich bse, p que el volumen del pism ecto, que tiene po bse dich sección y po ltu l distnci de l sección l vétice de l piámide, se los 8 del volumen de l piámide? ) 9,5 ) 8,5 ) 7,5 ) 6,5 E) 5,5 8

19 Emen UNI 05 I Resolución Piámide Semejnz de piámides O 5k 8k 8k 5 T Piden: ondición 8 V pism = V 8 piámide ^885.. h 8k.8k.5k=. 8 5 k= 5k= 5 = Pegunt Rpt: 7,5 ) 0,57 ) 0,68 ) 0,79 ) 0,8 E) 0,9 Resolución Áes Áes cicules 5/ 5/ Si es un cuddo de ldo u y T es un punto de tngenci, entonces el áe sombed (en u ) es igul : (O cento de l cicunfeenci que ps po, T y ) 5 5 / ENTRL:

20 Emen UNI 05 I Pide: áe sombed REG = ` + j. Y () SOM Y REG = 5 SOM = 0,9 Rpt: 0,9 Pegunt En todo tiángulo, l sum de los cuddos de sus ldos es igul K(bc cos+c cos+b cos) donde K vle: ) ) ) ) E) Resolución Resolución de tiángulos oblicuángulos Teoem de coseno Po condición: +b +c = k(bc os+c os+b os) = b + c bcos Po teoí: b = + c cossumndo c = + b bos bc os+c os+b os= +b +c Igulndo con l condición nos d K= Rpt: Pegunt 5 l esolve l ecución sen () ( sen() cos())+= 0, obtenemos como soluciones: ) kp, k Z ) kp y ` k + j, k Z ) kp y kp, k Z ) (k+)p y ` k + j, k Z E) (k+)p y ` k + j, k Z Resolución 5 Ecuciones tigonométics e l ecución Sen+ ( Sen os) = 0 ( Sen os) + ( Sen os) = 0 Fctoizndo: ( Sen os + )( Sen os ) = 0 i) Sen - os=- no cumple - # Sen -os # ii) Sen - os= Sen=+os Sen os = os ) os =0 b) tg = =(k+) =(k+)π; KdZ = k π + = kπ + ; KdZ Rpt: (k+)p y ` k + j, kd Z 0

21 Emen UNI 05 I Pegunt 6 el gáfico mostdo, el esultdo de: E= tgθ+tgβ+tgφ, es: y Obtenemos: tgθ= tg( b)= tgφ= = tgb= (-;) (-;-) β θ Φ (;-) Piden: E= + E= Rpt: ) ) ) 0 ) E) Resolución 6 R. T. de un ángulo de culquie mgnitud Rzones tigonométics Gficndo: Pegunt 7 Si ; entonces detemine los vloes de y= 9csc ` + j. ) <, > ) <, > ) <, 0> ) <, 9> E) <, 8> θ y Resolución 7 icunfeenci tigonométic to: b φ omo el seno es ceciente 5 Sen < Sen(+ )< Sen 6 ENTRL:

22 Emen UNI 05 I < Sen( + ) < 0 # Sen ( + ) < < sc ( + ) < + Luego: < 9 sc ( + ) < 8 Rpt: <, 8> Pegunt 8 l simplific l epesión K= ; cos cos ` + ( sen( )) j ` j E se obtiene: ) cos () ) sen () ) sec() K = < Sen k Sen_ i F_ Sen i K = < Sen F_ Sen i K = _ + Sen i_ Sen i K = os Rpt: - os _ i Pegunt 9 Si 0 ; + sen() y () = tn sen ` + j lcul el vlo de ( +) ) ) ) ) 5 E) 6 Resolución 9 I.T. p el ángulo mitd e l condición ) E) csc() Tg + k = + os k = tg k os k Resolución 8 I.T. p l sum est de dos ángulos Identiddes uilies Recodemos: Sen(+)Sen(-)=os os plicndo: Tg + k = Tg + k como: < + < " Tn + k :_ + i Tg + k = Tg + k = nos piden + += 5 Rpt: 5

23 Emen UNI 05 I Pegunt 0 Se l función f()= ctn() - ds ls siguientes poposiciones: I. L función f es imp. II. Si om(f), entonces om(f). III. L gáfic de f cot l cuv y= Son coects: ) Solo I ) Solo II ) Solo III ) I y II E) II y III Resolución 0 Funciones tigonométics invess Hllndo el dominio ctg() 0 ctg() <- ;0> <0;+> Luego: I. omf entonces omf II. Hllndo _ i F_ i = ctg_ i _ i F( )=F() es función p III. ctg_ i,! 0 = ctg() = ctg() = 0 peo como 0 no hy solución ls gáfics no se cotn Rpt: Solo II ENTRL: