Universidad de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Física Electromagnetismo

Transcripción

1 Univesidd de Chile Fcultd de Ciencis Deptmento de Físic Electomgnetismo Pue 1 de Cáted Pofeso: José Rogn C. 15 de Ail del 2005 Ayudntes: Mí Tees Ced G. Gemán Vs S. 1. Un distiución de cg esféicmente simétic de dio inteno y dio exteno tiene un densidd de cg dd po ρ A, donde A es un constnte, p < <. P > y < l densidd es nul. Agege un cg q en el oigen y encuente: ) El potencil eléctico y el cmpo eléctico en todo el espcio. ) ué condición dee stisfcese p que el cmpo se nulo en l egión <? c) ué condición dee stisfce l constnte A p que el cmpo se constnte en l egión < <? d) ué condición dee stisfce l constnte A p que el cmpo se nulo en l egión >? L densidd de cg: 0 < A ρ() < < 0 > ) El potencil eléctico y el cmpo eléctico en todo el espcio. Postulmos que el cmpo tiene l fom E( ) y que existen tes egiones nli Región < E d 4π enced 0 E 0. Región < < A E d 4π 4π 2 d E()ˆ ˆd (4π) 2 A E()4π 2 (4π) 2 A d E() 4πA ) (2 2 ) 2πA (1 2 2

2 Región > A E d 4π 4π2 d E()ˆ ˆd (4π) 2 A E()4π 2 (4π) 2 A d E() 2πA 2 (2 2 ) EL cmpo totl, con los esultdos nteioes y supeponiendo l cg puntul en el oigen q ˆ < 2 [ ) E( ) 2πA (1 2 + q ] ˆ < < 2 2 [ 2πA ( 2 2 ) + q ] ˆ 2 2 > El potencil deido l distiución esféic de cg más l cg puntul es 4πA( ) + q < ϕ( ) 4πA 2πA 2πA2 + q 2πA( 2 2 ) + q < < > ) ué condición dee stisfcese p que el cmpo se nulo en l egión <? ue q 0. c) ué condición dee stisfce l constnte A p que el cmpo se constnte en l egión < <? Imponemos que 2πA 2πA2 + q 2 cte 2 Lo cul implic q 2πA 2 A q 2π 2 d) ué condición dee stisfce l constnte A p que el cmpo se nulo en l egión >? P stisfce 2πA( 2 2 ) + q 2 0 A q 2π( 2 2 )

3 2. Considee un egión nul, de dio inteio y dio exteio con un cg unifomemente distiuid, ve figu. Hg coincidi el eje con el eje de simetí del polem. x y Figu 1: Región nul cgd. ) Clcule el potencil eléctico y el cmpo eléctico soe el eje. ) Tnto p el potencil como p el cmpo eléctico considee el límite 0, compe con los esultdos p un disco cgdo de dio. c) Mueste que el cmpo eléctico que clculó en el páfo nteio es discontinuo en 0. Cuánto vle l discontinuidd? qué se dee? d) P el cmpo eléctico, clculdo inicilmente, considee el límite 0 y con π 2, donde es l densidd supeficil de cg. Compe su esultdo con el de un plno infinito en xy. e) Tnto p el potencil como p el cmpo eléctico considee el límite, compe con los esultdos p un nillo cgdo de dio. f) Demueste que p el cso nteio el cmpo tiene un máximo en / 2. Encuente el vlo del cmpo en ese punto. L densidd supeficil de cg π( 2 2 ) ) Clcule el potencil eléctico y el cmpo eléctico soe el eje. El potencil lo clculmos po integción

4 2π ϕ() 0 2π Deivndo encontmos el cmpo E() 2 [ 2 2 ddθ ( ) 1/2 ( ) d 1/2 2π(2 + 2 ) 1/ [ ( ) 1/2 ( ) 1/2] ( ) 1/2 ( ) 1/2 ) Tnto p el potencil como p el cmpo eléctico considee el límite 0, compe con los esultdos p un disco cgdo de dio. ϕ() 2 [ ( ) 1/2 ] 2 E() 2 [ 2 ( ) ] 1/2 Los esultdos nteioes coinciden con el potencil y el cmpo eléctico de un disco cgdo de dio y densidd supeficil. c) Mueste que el cmpo eléctico que clculó en el páfo nteio es discontinuo en 0. Cuánto vle l discontinuidd? qué se dee? Si 0 entonces π 2 Evluemos l discontinuidd E( + ) E( ) 2 2 [( 1 ) ] ( )] π. L discontinuidd se dee l pesenci de un distiución supeficil de cg. d) P el cmpo eléctico, clculdo inicilmente, considee el límite 0 y con π 2, donde es l densidd supeficil de cg. Compe su esultdo con el de un plno infinito en xy. Consideemos el límite 0 con π 2, tenemos p el cmpo Si hcemos tenemos E() 2π2 2 [ ( ) ] 1/2 E() 2π[ sgn ] 2π sgn(). El esultdo coesponde l plno infinito.

5 e) Tnto p el potencil como p el cmpo eléctico considee el límite, compe con los esultdos p un nillo cgdo de dio. El potencil es ϕ() 2 [ ( ) 1/2 ( ) 1/2] 2 2 Cundo tenemos Utilindo L Hopitl ϕ() 2 lím ( ) 1/2 ( ) 1/2 2 2 P el cmpo ϕ() 2 lím 1/2( ) 1/2 2 2 E() 2 lím ( ) 1/2 [ ( ) 1/2 ( ) 1/2 2 2 ] Nuevmente L Hopitl [ 1/2( E() ) 3/ ] ( ) 3/2 Amos esultdos coinciden con los de un nillo cgdo de dio. f) Demueste que p el cso nteio el cmpo tiene un máximo en / 2. Encuente el vlo del cmpo en ese punto. Deivemos el cmpo nteio especto E [ ] ( ) 3/2 Lo nteio implic (2 + 2 ) 3/2 3/2( ) 1/2 2 ( ) 3 0 ( ) 3/2 3 2 (2 + 2 ) 1/2 2 0 El vlo del cmpo en ese punto es: ( E ) / 2 ( ) 2 3/ ( ) (3/2) 3/2 2 2(3/2) 3/2

6 3. ) P un sol plc conducto gnde y isld que tiene un densidd supeficil de cg. i) En qué diección punt el cmpo en su supeficie? ii) Cuál es el vlo del cmpo en su supeficie? iii) Cómo se comp este vlo con el del cmpo de un lámin islnte infinit con l mism densidd supeficil de cg unifomemente eptid? iv) Considee l plc conducto como dos plcs islntes con densidd supeficil de cg levemente sepds y demueste, po supeposición, que el cmpo es nulo ente ls plcs, es deci, en el inteio del conducto. Encuente, tmién po supeposición, el vlo del cmpo en l supeficie. i) En qué diección punt el cmpo en su supeficie? Noml l supeficie. ii) Cuál es el vlo del cmpo en su supeficie? El vlo es 4π iii) Cómo se comp este vlo con el del cmpo de un lámin islnte infinit con l mism densidd supeficil de cg unifomemente eptid? L lámin infinit tiene un cmpo 2π y l lámin conducto 4π, es deci, el dole. iv) Considee l plc conducto como dos plcs islntes con densidd supeficil de cg levemente sepds y demueste, po supeposición, que el cmpo es nulo ente ls plcs, es deci, en el inteio del conducto. Encuente, tmién po supeposición, el vlo del cmpo en l supeficie. 2π 2π 2π 2π 4π 0 4π En el inteio tenemos E i 2π + 2π 0, E s 4π.

7 ) Clcule l cpcitnci p los siguientes sistems: i) Dos cscones esfeicos conductoes de dios y con <. ii) Dos mntos de cilindo conductoes de dios y con < y de lgo L (use el esultdo de un cilindo infinito). iii) Si y L 2 ms cpciddes son igules. i) Dos cscones esfeicos conductoes de dios y con <. L difeenci de potencil ϕ ˆ ˆd 2 ( ) L cpcidd C ( ) ii) Dos mntos de cilindo conductoes de dios y con < y de lgo L (use el esultdo de un cilindo infinito). L difeenci de potencil L cpcidd ϕ 2λ ˆ ˆd 2λ ln C 2 L ln iii) Si y L 2 ms cpciddes son igules. 2λ ln 2 L ln L 2 ln C L 2 ln usndo que ln(1 + x) x cundo x 1 2 [ ( )] 2 ln C El siguiente desollo en seie le seá útil: 1 ( + x) n n + n n 1 n(n 1) x + n 2 x ! ln(1 + x) x, cundo x 1 Tiempo Máximo: 3.5 hs.