2.- ECUACION DIFERENCIAL DE PLACAS CIRCULARES.

Transcripción

1 PLAAS IRULARES. INTROUION. Sí l Plc es cicul es conveniente epes ls ecuciones ásics eucis nteiomente en un sistem cooeno pol. L ecución e euiliio e un Plc cicul puee otenese ien elizno un tnsfomción e cooens el sistem ctesino l pol e l ecución oteni en el pto coesponiente el cpítulo nteio o estlece el euiliio iectmente soe un elemento ifeencil efeio l sistem pol. El pime métoo pecis e un esollo mtemático e tnsfomción el sistem e efeenci X,Y,Z,, z eteminno ls elciones ente ls eivs e l función, especto e con ls e, especto. El seguno necesit e ls epesiones e los esfuezos, momentos cotntes efeios l sistem pol,, z e ls elciones e euiliio ecus e fom nálog l poceso elizo en el sistem ctesino. e culuie mne l otención e un solución ect p plcs cicules jo cg coniciones e oe culuie, po tnto no simétics, es, igul ue en ls plcs ectngules, teioso, complejo mu menuo imposile.. EUAION IFERENIAL E PLAAS IRULARES. Puesto ue es función e, l eiv e, especto se tnsfom en eivs especto :

2 Análisis e Estuctus,, sen con lo ue: sen, sen, sen sen sen sen sen sen Po lo tnto se otienen ls siguientes epesiones: sen sen sen sen

3 Plcs icules sen sen sen sen sen sen El opeo e Lplce se tnsfom en téminos e cooens poles en: l ecución ifeencil e l plc ue:,,, Los esfuezos intenos, momentos cotntes, tienen en el sistem cooeno pol ls siguientes epesiones: V V.. Euiliio e un elemento ifeencil. En l figu se muestn los esfuezos ue ctún soe ls cs e un en ifeencil e plc cicul. El euiliio e fuezs e momentos pemite lleg

4 Análisis e Estuctus l ecución ifeencil e euiliio e l plc ue evientemente coincie con l oteni po l tnsfomción el sistem cooeno e efeenci.. PLAAS IRULARES ON ARGA E REVOLUION. Sí l plc cicul consie tiene cg coniciones e oe con simetí e evolución, l flech es sólo función e. Tos ls secciones z son e simetí po lo tnto l espuest estuctul es l mism p tos ells. En ests situciones ls ecuciones en eivs pciles efinis en el pto nteio se tnsfomn en ots en eivs totles ls eivs especto se nuln. El opeo Lplcino tom ho l fom: l ecución ifeencil e l Plc ue en l fom:

5 Plcs icules 5 Los esfuezos ue ctún en el plno meio vienen os po: V V El esfuezo cotnte puee tmién epesse en fom más compct como: V. PLAA IRULAR UNIFOREENTE ARGAA. Si un plc cicul e io sopot un cg unifome soe to sus supeficie e intensi, el esfuezo cotnte un istnci genéic el cento e l plc viene o po: π π / po tnto: Un pime integción e est ecución popocion:

6 Análisis e Estuctus 6 one es un constnte e integción ue se etemin posteiomente en función e ls coniciones e contono e l plc. ultiplicno los os miemos po e integno e nuevo se otiene: un nuev integción conuce : 6 6 Ls constntes e integción, se eteminn p c conición e oe... Boe Empoto. Si el oe está empoto l flech el gio en el mismo,, een se nulos. Po simetí tmién el gio en el cento e l plc,, ee se nulo. Tes coniciones ue ee stisfce l función sus eivs ue nos pemiten etemin ls tes constntes e integción. GIRO en 6 GIRO en 6 e ests os ecuciones se otiene: Po tnto l flech ue como: 8 6 como en l flech ee se nul:

7 Plcs icules 7 luego l flech e l plc vle: 6 6 L flech máim se pouce en el cento e l plc vle m / 6 Los momentos flectoes vienen os p c posición po: [ ] [ ] 6 6 En el contono se tiene: en el cento Boe Simplemente Apoo. Si el oe está simplemente poo l flech el momento en el mismo,, een se nulos. Po simetí el gio en el cento e l plc,, ee se nulo. Tes coniciones ue ee stisfce l función sus eivs ue nos pemiten etemin ls tes constntes e integción. GIRO en 6 OENTO en

8 Análisis e Estuctus 8 Ests os ecuciones popocionn los siguientes vloes e ls constntes e integción: Po tnto l flech ue como: 8 6 como en l flech ee se nul l flech tom l fom: L flech máim se pouce en el cento e l plc vle: m 5 6 Los momentos flectoes vienen ho os po: [ ] 6 6 El momento máimo se pouce en el cento e l plc, vle: 6

9 Plcs icules 9 5. PLAA IRULAR ON AGUJERO IRULAR EN EL ENTRO. 5.. omentos eteioes ctuno soe los oes. Se un plc cicul e io con un gujeo en el cento tmién cicul e io someti os momentos unifomemente eptios lo lgo e los contonos inteio eteio espectivmente. El cotnte en un sección > > se nul l no eisti fuezs veticles ctuno soe l plc,. Est cicunstnci nos popocion l ecución ifeencil siguiente: Integno os veces est ecución se otiene: un tece integción l flech : en función e tes constntes e integción ue h ue etemin consieno ls coniciones e contono.

10 Análisis e Estuctus Sí l plc está simplemente po en su oe eteio, se imponen ls siguientes coniciones: ls coniciones e momento se tucen en: e one: L conición e p nos popocion: Po tnto l flech e l plc viene po: El gio en culuie punto e l plc viene o po: Sí el gio está impeio en el momento ue se otiene nulno l elción nteio, coincie con el e empotmiento cuno ctu un momento en el oe inteio. Si el gio está impeio en el momento otenio nulno l elción e gio coincie con el e empotmiento cuno el oe inteio tiene uns coniciones e poo euivlentes un eslize veticl estno el oe eteio, simplemente poo jo l cción e un momento. Si es igul ceo ls elciones nteioes se simplificn otenieno:

11 Plcs icules 5.. g veticl unifome soe el oe inteio. Se l plc e l figu someti un fuez veticl escenente unifomemente epti lo lgo el contono inteio euivlente un esfuezo cotnte inucio El cotnte en un ciculo e io compenio ente viene o po: π π, / integno: P clcul ls constntes e integción i es necesio impone ls coniciones e contono. Sí l plc consie est simplemente po en su contono eteio entonces:

12 Análisis e Estuctus lie en su contono inteio : Tes coniciones ue ee stisfce ue pemiten etemin ls constntes e integción. Sustitueno ests constntes en l epesión nteio, se otiene l función ue epesent l flech e l plc. 8 El gio en el oe viene o po: P mu peueño en el límite, / tiene ceo l flech puee esciise como:

13 Plcs icules vlo ue coincie con l flech e un plc cicul e io simplemente po en su oe eteio jo un cg puntul en el cento. Es eci un gujeo mu peueño en el cento e un plc cicul no moific su espuest estuctul. Un cso páctico especilmente inteesnte suge e comin los os csos nteiomente pesentos. L situción e l figu se puee simul meinte un plc cicul ue comptiiliz el movimiento veticl, po meio e un ección, con un elemento veticl ue es infinitmente ígio l gio. e one se otiene l elción ente siguiente:

14 Análisis e Estuctus conocios se otiene l flech e l plc en ls coniciones epuests sumno ls epesiones e. 5.. Plc nul jo cg unifome. Siguieno un técnic e supeposición simil l el pto nteio p uns coniciones e contono e oe eteio simplemente poo, poemos etemin l flech cuno soe un plc nul, et int, ctu un cg unifome. En un plc cicul e io simplemente po en su oe eteio el momento cotnte en un sección vienen os p un cg unifome po: 6 L supeposición e l solución e l plc cicul complet con l nul cg con en el ngo >>, stisfce en ls coniciones e oe lie. Po lo tnto l solución e l flech p un plc nul >> se otiene sumno ls soluciones siguientes: o

15 Plcs icules 5 EJEPLO Nº En l plc cicul e io 5 m. e l figu someti un cg puntul e T. en el cento E. 6 T/m t, m. SE PIE: etemin l flech : uno el peimeto eteio e l plc está simplemente poo. uno el peimeto eteio e l plc está empoto. SOLUION El cotnte en un sección viene o po: P/ π P π Integno veces est ecución ifeencil oini se otiene un solución el tipo: P π eteminno ls tes constntes e integción imponieno ls coniciones e oe. BORE EXTERIOR SIPLEENTE APOYAO L L lim L 8 8

16 Análisis e Estuctus 6 π 8 P 5, 5,85 L flech máim se pouce en el cento vle,8 m. EPOTRAO L L lim 8 8 L 8 P π 5,5 5,85 L flech máim se pouce en el cento e l plc vle: m, m.

17 Plcs icules 7 EJEPLO Nº En l plc cicul e l figu SE PIE etemin. l flech. los esfuezos. ls ecciones.,5,5 SOLUION F,5 F F F,5 π,5 [ ] π 5 8 π 5 π Est fuez está epti en to l cicunfeenci e io po lo ue l fuez po uni e longitu viene po: F 5 f π 8

18 Análisis e Estuctus 8 [ ],5,5 π π π π Este momento está eptio en to l cicunfeenci e io po lo ue el momento po uni e longitu viene o po: 6 m π En ests coniciones: π π L L Ls constntes, se eteminn en función e ls coniciones e contono: /6 5 /8

19 Plcs icules 9 [ ] 6 [ ] si [ ] [ ] 9 9 [ ] 8 [ ] si [ ] 8 8 si R f π π ue coincie con: R π

20 Análisis e Estuctus,,99,58,85,,75,7,99,5,7,98,96,88,565,756,96,6,96,5696,6,796,,9696,565,656 5,766,68 5,9 6,,,,,5,6,7,8,9 Figu. Flech /6 :Simplemente Apo, Empot on volizo