143. a) Ecuación del cono de revolución que tiene su vértice en el punto O, su eje coincide con OZ y b el ángulo en el vértice es recto.

Transcripción

1 Hoj e Poblems Geometí II 3. Ecución el cono e evolución que tiene su vétice en el punto O, su eje coincie con O y b el ángulo en el vétice es ecto. b Ecuciones pmétics e un cuv c efini po un punto el cono nteio que se mueve e tl mne que su poyección sobe el plno XY es l espil xt t, yt sen t hélice cónic. c Hll l supeficie tngencil c y compob que l binoml l cuv en c punto coincie con l noml en él l supeficie tngencil. Demost que c genetiz el cono cot c en puntos istnci constnte. e Se c l poyección otogonl e c sobe el cilino x y. Demost que l cuvtu y l tosión e c son constntes p toos sus puntos, y que ls tngentes c fomn ángulo constnte con l iección el eje. Demostción. Ls genetices el cono situs en el plno y son xz, x-z l se ecto el ángulo en el vétice. Ls ecuciones pmétics el cono e evolución con el vétice en O, eje O y genetiz xz son: x u φ y u senφ z u y l ecución implícit: x y z. b Ls ecuciones pmétics e un cuv sobe el cono son: x u tφ t y u t senφ t z u t Si su poyección sobe el plno XY h e se xt t, yt sen t, necesimente utt y φ t t. Ls ecuciones e c son sí: ct x t t y t sent z t /

2 c L supeficie tngencil un cuv es l supeficie egl engen po ls tngentes e l cuv. Como c tt-tsent, sentt, es un vecto tngente c, l supeficie tngencil c es St,vct v c t. Sus ecuciones pmétics son: x t t v t t sent y t sent v sent t t z t v Como S t c tv c t y S v c t, el vecto noml l supeficie, es un vecto unitio en l iección e S t^ S v v c t^c t. Po oto lo c t es un vecto tngente l cuv y c t est en el plno etemino po los vectoes tngente y noml l cuv. Si nt es el vecto noml l cuv se c tαtc t βtnt. El vecto binoml l cuv, unitio en l iección e c t^nt, es tmbién un vecto unitio en l iección e: c t^c tβtc t^nt. En sum, tnto l ect binoml l cuv, como l ect noml l supeficie tienen como vecto e iección c t^c t, luego coincien. Excluyeno el oigen, un genetiz el cono cot c en puntos obtenios p vloes e t que se ifeencin en múltiplos e. L istnci pei seá l istnci ente los puntos: P t t, sen t, t ; P t t, t sen t, t Luego P, P t sent epene e t. e Como l cuv c seá x y, ls ecuciones e c son: x t y sent.que efectivmente no z t c es sí un hélice cicul. c t- sent, t, t el vecto tngente unitio, t es : t sent, t, Se s t el pámeto co. Entonces t t t, sent, s /

3 t s t 3 sent, t, Luego k t t, y k ± t sent n [ ] t, t, t τ t t sent t 3 3 que son constntes en toos los puntos. Aemás t,,, luego el vecto tngente fom en c punto un ángulo constnte con l iección el eje, ángulo igul c.. En un cicunfeenci se tienen os puntos fijos, A y B. Un punto M se mueve ecoieno l cicunfeenci. Detemin el lug geomético e: el bicento; bel cicuncento; c el otocento; el incento, el tingulo móvil AMB. Demostción. Se H el bicento el tingulo AMB. Si C es el punto meio e AB se veific que CH CM. Cuno M ecoe l cicunfeenci slvo A y B, H ecoe 3 un cicunfeenci homotétic l en un homoteci e cento C y zón, exceptuno los homotéti e los puntos A y B. 3 b Como el tingulo est inscito en l cicunfeenci, culquie que se M, su cicuncento es siempe el cento e l cicunfeenci, que es el lug peio. c Se H el otocento el tingulo AMB. Los ángulos AHB y AMB son suplementios y que AH es pepenicul BM y BH lo es AM, luego H ecoe l cicunfeenci simétic e l especto e l ect AB. Se I el incemento el tingulo AMB. Supongmos que M ecoe el co BA en sentio positivo, y se F el punto meio el co AB. Consieemos l cicunfeenci que ps po los puntos A, I, y B y se C su cento. C est en l meitiz e AB y se veific que ICBIAB. Como po oto lo IFBMABIAB, y emás F est en l meitiz e AB, se euce que CF. 3/

4 Así cuno M ecoe el co BA, el incento I ecoe el co BA e l cicunfeenci cuyo cento es F, punto meio el co AB. Y, nálogmente, cuno M ecoe el co AB, el incento I ecoe el co AB e l cicunfeenci cuyo cento es E, punto meio el co BA. 5. D l supeficie z x y y el plno xy-z- hll: Mínim istnci e l supeficie l plno. b Ecución e l ect que contiene los puntos que eteminn ich istnci mínim. c Distnci e l ect los ejes O y OX. Demostción. L istnci el punto e l supeficie, x, y, x y P, l plno es x y x y x y x x y y 6 6 cuyo vlo mínimo se obtiene p x, y, sieno este vlo mínimo 6 es: b L ect ps po el punto 5,, y seá pepenicul l plno. Su ecución x 5 z y x x z y 7 c Un vecto unieno un punto e O con oto e es 5,,, luego l istnci e O es el vlo bsoluto e: 5,, ^,, Así l ifeenci e Oz es. Poucieno nálogmente, l istnci e Oy, seá el vlo bsoluto e /

5 5 7,, ^,,,, y que 5,,, es un vecto unieno un punto e OY con oto e. 7 Así l istnci e OY es 7 6. Clcul l istnci ente los centos e l cicunfeenci inscit y cicunscit un tingulo culquie en función e los ios. Demostción. Sen I el cento e l cicunfeenci inscit l tingulo ABC y O el e l cicunfeenci cicunscit; sen y sus ios. Sen espectivmente, D, E, F, los puntos en los que l cicunfeenci inscit es tngente los los BC, CA y AB. Sen P y Q los extemos el iámeto e l cicunfeenci cicunscit que ps po I. Se A el punto en el que l bisectiz AI cot l lo E&F, y nálogmente B y C los puntos e cote e BI, CI con FD y DE, espectivmente. Consieemos l invesión e cento en I y zón el io. Al se AI y EF pepenicules, es en el tingulo ectángulo AEI: EI IA IA luego en l invesión A y A son puntos homólogos. Análogmente los son B y B, C y C. Po tnto, en l invesión, l cicunfeenci cicunscit l tingulo ABC se tnsfom en l cicunfeenci cicunscit l tingulo A B C. Como A, B y C son espectivmente los puntos meios e los los el tingulo DEF, el io e l cicunfeenci cicunscit l tingulo A B C es l mit el e l cicunfeenci cicunscit l tingulo DEF, esto es /. Si P y Q son los puntos homólogos e P y Q, espectivmente, P Q es un iámeto e un cicunfeenci e io /. Como, esignno po l istnci ente I y O es: IP IP IP ; IQ IQ IQ 5/

6 esultn: IP ; IQ luego sumno IP IQ con lo que: 7. Hll ls supeficies en ls que se veifique que el punto meio el segmento e noml compenio ente l supeficie y el plno XY este sobe: Demostción. z x y. Si Fx,y,z es l ecución e supeficie, F X, F Y, F es un vecto noml l supeficie. El punto e intesección e l noml en el punto x,y,z con el plno XY esult e hce en: X x Y y z, FX FY F FX FY luego sus cooens son x z, y z,. F F Ls cooens el punto meio el segmento e noml son: zfx zfy z x, y,. F F Sustituyeno en z x y se obtiene: z zfx zfy x y zfx zfy z x y F F F ecución en eivs pciles cuyo sistem ccteístico es: x y z z z z x y x y z z l integl pime G x, y, z x y C. Po oto lo x y z z z, luego hcieno xyt, esult: x y 6/

7 t z. En consecuenci: z t t zz. z z t z esolvmos pues l ecución ifeencil z z t. t Hcieno el cmbio z u se obtiene: u u t. Est ecución es linel y su integl genel es: t t u Ce 8. Deshcieno el cmbio obtenemos como un segun integl pime: z x y G x, y, z C e x y De y obtenemos como ecución e l supeficie busc: F x, y, z φ G, G, one φ es un función biti. 8. Sen ρ,, z cooens cilínics en el espcio. Se consie l supeficie tóic T e ecución: z ρ sieno >> A c punto e T se le hce coespone un ángulo que stisfce ρ, z sen. Designemos po V el conjunto e los múltiplos e p po los númeos enteos. Se pie: Pob que y y w son cooens cuvilínes otogonles en T. Expes meinte ells s sí como el elemento e áe s. b Pob que ls coniciones: y*-w V, w*-y V, estblecen un coesponenci biunívoc e T en si mismo:, y*,w* en ls que ciets cicunfeencis se tnsfomn en ots cicunfeencis. Es confome est tnsfomción c Pob que el lug geomético e los puntos que se coesponen consigo mismo en es coesponenci es un cuv ce en T. En cunts egiones escompone T es cuv?. Most el specto e ich cuv en un coquis e T elizo en culquie pespectiv. 7/

8 Clcul el áe e ls egiones en que que ivii T po l cuv mencion y po su simétic especto el plno z. Demostción. Al cot l supeficie tóic po un plno psno po el eje O y pepenicul l plno z, se obtiene un cicunfeenci en l que es el ángulo centl. Ls ecuciones pmétics e T especto e y son po tnto: x y sen z sen Los vectoes tngentes P y P en c punto son: P P sen,, sen sen, sen sen, Los coeficientes e s o pime fom cuátic funmentl I P µ P Eλ Fλµ Gµ son : λ E P F P G P P P P Así s λ µ. Aemás, e F P P, se espene que y son cooens cuvilínes otogonles. El elemento e áe s viene o po : s EG F. b Si f es l tnsfomción se tiene que f,*,*k,h, one k,h. Es eviente que f est bien efini, pues es ielevnte l elección e k y h. f es supyectiv pues o un punto P*,*, es: f*,**k,*hp 8/

9 f es inyectiv, pues f,f, los puntos e cooens k,h y k, h son igules luego k- k V y h- h V, luego tmbién - V y - V, con lo que coincien los puntos e cooens, y,. En sum f es un tnsfomción biunívoc e T en si mismo. Ls cicunfeencis obtenis cotno l supeficie tóic po plnos hoizontles o po plnos veticles psno po el eje O son, espectivmente, ls cicunfeencis cte, cte. Po f ests cicunfeencis se tnsfomn en *cte, *cte, espectivmente, es eci se tnsfomn ls e un tipo en ls el oto y ecípocmente. Si l tnsfomción es confome, los coeficientes e s en c punto especto e, y e *,* hn e se popocionles. Análogmente l pto tenemos: E**, F*, G* Como G*G, el coeficiente e popocionli hbi e se, peo como E** E, l tnsfomción no es confome. c P que un punto se coespon con el mismo h e se - V que es sí l ecución el lug. En cooens ctesins l ecución el lug se obtiene hcieno en ls ecuciones e l supeficie: x y sen z sen Es clmente un cuv ce, pues p k se obtiene el mismo punto que p. L cuv escompone T en un únic egión. Ello se ve clmente obsevno l epesentción e l cuv en el plno,. Dos puntos culesquie se pueen uni po un cuv que no cot. téngse en cuent que, y. L epesentción e l cuv simétic especto el plno z x y sen z sen 9/

10 / en el plno,, es el segmento que une los puntos, y,. Tenieno en cuent que los puntos p se ientificn con los puntos p y nálogmente se ientificn los puntos p con los puntos, esult que mbs cuvs ivien T en os egiones. Como s, ls áes S y S buscs son: S sen sen sen. S sen sen sen sen