5.- Campo magnético creado por una carga puntual

Transcripción

1 5.- mpo mgnético ceo po un cg puntul Deicemos lo que est e lección estui el oigen e los cmpos mgnétostáticos que, como y se h icho en l intoucción, están poucios po el movimiento e cgs. uno un cg q se mueve en el espcio con un veloci v, pouce un cmpo mgnético en el espcio o po: qv [5.4] sieno un vecto unitio el vecto que punt ese l cg q l punto el cmpo, θ el ángulo que fomn el vecto veloci y el vecto y un constnte e popocionli llm pemeili el espcio lie, e vlo -7 Tm/A -7 N/A [5.5] Es impotnte not que el cmpo mgnético es nulo en l iección e movimiento e l cg lculemos ls fuezs e intección mgnétic ente os cgs q y q en movimiento con velocies v y v : qv q v qv qv q v qv [5.6] [5.7] e ests epesiones se euce que ms fuezs no son igules y opuests (como consecuenci e l simetí el tiple poucto vectoil) lo que poí llevnos conclui que l intección mgnétic no cumple el pincipio e cción y ección e Newton y po que tnto no hí consevción el momento linel. Esto en eli no es cieto poque en l teoí genel el cmpo electomgnético hy que tene en cuent el momento linel tnspoto po los cmpos que no se h tenio en cuent en est eucción sencill. Ejemplo. Un cg e 5 escie un tyectoi cicul e io.5 m con un veloci e 4 6 m/s. Detemine el cmpo mgnético ceo po l ptícul en el cento e su tyectoi. q q v θ v θ q v Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

2 4 El cmpo viene o po l epesión [5.4] qv el poucto vectoil nos inic que el cmpo es v pepenicul l tyectoi y iigio hci i tl y como se ve en l figu. Su móulo es qvsen ( ) (.5) T 6.- mpo mgnético poucio po coientes estcionis. Ley e iot y Svt. En genel no suele utilizse l epesión el cmpo poucio po un cg puntul y que lo noml es tj con movimientos colectivos e cg en fom e coiente eléctic, es eviente que en este cso el cmpo mgnético seá l supeposición el cmpo iniviul poucio po c cg. Po esto esult conveniente ispone e un epesión el cmpo mgnético poucio po un coiente eléctic. Est epesión se conoce con el nome e Ley e iot y Svt y nos popocion el cmpo mgnétostático poucio po un elemento infinitesiml e e coiente en un punto el espcio: l l θ [5.8] omo se euce e [5.7] el cmpo ecece con el cuo e l istnci l elemento e coiente y es siempe pepenicul l plno que eteminn el elemento e coiente y el vecto e posición que v el elemento e coiente l punto one se clcul el cmpo. El cmpo mgnético eio l coiente totl en un coiente no infinitesiml se eteminá clculno el cmpo eio c elemento e coiente y sumno (integno) p toos los elementos el cicuito. A continución se eteminá el cmpo poucio po lguns istiuciones e coiente impotnte pti e l ley e iot y Svt. Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

3 5 Ejemplo. mpo Mgnético ceo po un espi ecoi po un coiente estcioni en culquie punto e su eje. El cmpo en el eje tiene l iección el eje X según se euce e l simetí e l figu. P etemin el móulo el cmpo, hemos e encont ivii l espi en elementos infinitesimles e coiente, encont l epesión el cmpo ceo po un elemento y espués sum tos ls contiuciones. En l figu mostmos el elemento e coiente que se h selecciono, tenieno en cuent l geometí most en l figu el cmpo poucio po este elemento seá: l l [5.9] sen θ [5.] con lo que finlmente l 4 ( ) [5.] el cmpo totl lo otenemos integno to l espi: [5.] tenieno en cuent que y no vín l sum p toos los elementos e l espi, el esulto finl es l [5.] ( ) ( ) ( ) l hce l integl hemos tenio en cuent que l integl en to l espi el elemento e longitu es l longitu totl e l espi. Result inteesnte otene l epesión el cmpo en el cento e l espi que se otiene e [5.] sin más que pone [5.4] ( ) el cmpo seá pepenicul l plno e l espi. Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

4 6 Result sencillo emost que si en lug e e un cicunfeenci complet es un fcción n-ésim e e l mism el cmpo en el cento está po: [5.5] n ( ) este último esulto sólo es válio en el cento e l espi (y no en culquie punto el eje e simetí). Ejemplo. mpo mgnético eio un coiente en un solenoie. Un coiente solenoil o simplemente un solenoie es un coiente compuest e vis espis coiles el mismo io, po ls que cicul l mism coiente. El solenoie jueg en el cmpo mgnético un ppel simil l el conenso en el cmpo eléctico. onsieemos un solenoie e N espis pets e longitu L y e io R ecoio po un intensi situo en un sistem e efeenci tl y como se muest. El cmpo poucio en el oigen po un poción e solenoie e longitu situ un istnci seá: R n R ( ) [5.6] sieno n N/L el númeo e espis po uni e longitu e solenoie, que suponemos cte. Así, como en un hy contenis n espis, el cmpo ceo po un ifeencil e solenoie lo clculmos como n veces el e un espi. El cmpo eio too el solenoie se otená sumno ls contiuciones e tos ls pociones e solenoie lo lgo e to su longitu. De est fom: Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

5 7 nr [5.7] ( R ) e fom que n [5.8] R R Si el solenoie es muy lgo, >>R y el cmpo seá, n [5.9] lo que nos inic que en el inteio e un solenoie muy lgo e espis pets el cmpo mgnético es constnte. Este tipo e solenoie jueg en el mgnetismo un ppel simil l e lso plnos infinitos cgos en l lección e cmpo eléctico. En los etemos e un solenoie muy lgo el cmpo ce l mit e su vlo, como se puee compo si consiemos, en l ecución [5.8] que el oigen está en un etemo el solenoie (po ejemplo ). En este cso el pime témino el péntesis e [5.8] es ceo y el seguno es e fom que n. En el siguiente gáfico se epesent el móulo el cmpo mgnético en el inteio e un solenoie lgo. () n n - A moo e ejemplo clculemos el cmpo mgnético en el cento e un solenoie e longitu L cm, io cm y 8 vuelts ecoio po un intensi e A utilizno ls ecuciones [5.8] y [5.9]. En este cso º 8. 4m n N vuelts L m con lo cul: L n ( L ) R 7 n ( T m A) ( 4m )( A) T. 7 (.5) ( 4 T m A) ( 4m ) (.96) 9.86 T omo se puee compo, el eo cometio con [5.9] es infeio l.5 %. Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

6 8 Ejemplo. mpo mgnético eio un coiente en un conucto ectilíneo e longitu L (hilo coto). De nuevo clculemos el cmpo poucio po un elemento infinitesiml e coiente e integemos p clcul el cmpo totl. En l figu se puee ve l geometí que utilizemos p l eucción. Hemos coincii el conucto con el eje, el cmpo en un punto P situo soe el eje y eio un elemento e coiente está o po l ley e iot y Svt. El sentio el cmpo mgnético en P está etemino po el poucto l. Hy que emc que toos los elementos e coiente el conucto n contiuciones en est mism iección y solo seá necesio clcul el móulo el cmpo que está o po: senφ cosθ [5.4] esult conveniente utiliz θ como vile e integción e fom que meinte el cmio e vile otenemos P e too el hilo hemos e integ ente los ángulos máimos sutenios θ y θ, con lo que otenemos finlmente: y ytgθ y sec θθ y/ θ θ [5.4] / y y θ cosθ cosθθ [5.4] y y ( senθ senθ ) [5.4] A pti e este esulto poemos otene el cmpo ceo po un coiente filifome infinit (es eci muy lg). P esto hemos e hce tene L infinito e fom que θ y θ, tienen / y po tnto sen θ y sen θ tienen. Tenieno en cuent esto, l ecución [5.4] que como: y P θ θ P θ L φ l i Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

7 9 [5.44] y e fom que el cmpo es invesmente popocionl l istnci l hilo. El sentio el cmpo seá tngente cicunfeencis concéntics con el hilo tl y como se ve en l figu. omo se pue ve hy simetí e evolución entono l hilo e fom que l epenenci el cmpo es elmente il po lo que l ecución [5.44] suele esciise como: () [5.45] 7.- uez Mgnétic ente os coientes ectilínes. Definición e Ampeio. onsieemos os conuctoes ectilíneos inefinios sepos po un istnci y ecoios po intensies e. L fuez mgnétic que epeiment un elemento e coiente el conucto eio l cmpo mgnético que ce el conucto es, según [5.], l [5.46] y como ( ) l est ecución que como [5.47] l Est fuez seá tctiv si ls coientes son plels y epulsivs si son ntiplels. Si l istnci R ente los conuctoes es mucho meno que su longitu, poemos consie que el cmpo ceo po l coiente en l posición e es igul l cmpo eio un conucto infinitmente lgo, e fom que: l l [5.48] R l R Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

8 sí, l fuez po uni e longitu que epeiment el conucto eio l cmpo mgnético ceo po el conucto es iectmente popocionl l poucto e ls intensies que ecoen mos conuctoes, e invesmente popocionl l istnci que los sep. Análogmente si huiésemos clculo l fuez po uni e longitu que epeiment el hilo eio l tenímos que, l [5.49] R l R e fom que l intección ente coientes estcionis inefinis si cumple el pincipio e cción y ección. A pti e este esulto se efine el Ampeio e l siguiente fom: Si po os conuctoes plelos muy lgos situos un istnci e m ente sí ciculn coientes igules, se efine l coiente en c uno e ellos como igul un mpeio si l fuez po uni e longitu soe c conucto es -7 N/m. El mpeio es l uni funmentl e mgnitues eléctics en el Sistem ntencionl e unies. 8.- iculción el mpo Mgnetostático. Ley e Ampèe. Un e ls ccteístics pimoiles el cmpo mgnético es su cenci e fuentes escles, es eci no eisten (o l menos un no se hn enconto) polos mgnéticos islos (monopolos mgnéticos). Esto es un consecuenci el hecho epeimentl e que l ivii un imán c tozo vuelve pesent un polo note y oto su. En su lug, l fuente funmentl e los cmpos mgnéticos es l coiente eléctic. Un consecuenci e esto es que ls línes e cmpo mgnético no se oiginn o teminn en puntos el espcio, sino que fomn ucles ceos que oen ls coientes, es eci, ls línes e cmpo mgnético son siempe ces esto es ccteístico e toos los cmpos llmos solenoiles. Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

9 L ley que elcion el cmpo mgnético con sus fuentes es l Ley e Ampèe que ice lo siguiente: L ciculción el cmpo mgnetostático (o fuez mgnetomotiz) lo lgo e culquie cuv ce es popocionl l coiente net que tvies l supeficie que encie. P etemin l coiente net se elige un oientción p l cuv y se consien positivs ls coientes que slen e l supeficie y negtivs ls que entn. En l figu 4 l [5.5] L ecución [5.5] se puee escii en función e l ensi e coiente en l supeficie e l cuv e integción como: c l J S [5.5] S 4 L ley e Ampèe es un e ls leyes funmentles el cmpo electomgnético y cumple un ppel nálogo l Teoem e Guss el cmpo electostático. Puee utilizse p clcul cmpos mgnéticos en coniciones e lt simetí tl y como mostmos en los ejemplos que siguen. Ejemplo. lculo el cmpo ceo po un coiente ectilíne inefini Si estmos muy lejos e los etemos el conucto poemos us l simetí p elimin l posiili e culquie componente el cmpo plel l conucto. Po lo tnto, el cmpo eeá se tngente cicunfeencis concéntics con l coiente. Deemos ho elegi l fom e un cminos itio e integción que nos fcilite el cálculo e l ciculción. Si elegimos un cmino cicul en tono l coiente tl y como se ve en l figu, el cmpo seá tngente l cuv en too punto y seá constnte en móulo en toos los puntos e l mism. Po tnto, plicno este cmino l Ley e Ampee: l l l [5.5] Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

10 po lo que ( ) [5.5] que coincie con lo otenio pti e l ley e iot y Svt. Ejemplo. álculo el cmpo mgnético en un conucto lgo y ectilíneo e io, que tnspot un coiente istiui en to el áe tnsvesl el conucto. P clcul el cmpo mgnético ceo po est coiente iviimos el espcio en os zons: el inteio el conucto y el eteio el conucto. ) mpo en el inteio ( ) Si tenemos en cuent que el hilo es infinito y que poemos consie el hilo gueso como un sum e hilos concéntico e io ceciente, nos emos cuent que un istnci el eje el hilo el cmpo mgnético ee se tngente un cicunfeenci e io y constnte en mgnitu en toos los puntos e l mism. Esto nos llev seleccion un cmino e integción e est fom. Tl y como se muest en l figu. Aplicno l Ley e Ampèe este cmino tenemos que: l l [5.5] l coiente que tvies l supeficie e l cicunfeenci se puee clcul integno l ensi e coiente en l supeficie ence po l cuv. omo l coiente está istiui homogénemente en to l supeficie el conucto, el móulo e l ensi e coiente seá vle intensi que uscmos vle: J. Tenieno en cunet este ñ J S J [5.54] con lo que: / / [5.55] Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

11 es eci el cmpo en el inteio el conucto ument linelmente con l istnci l cento el conucto. ) mpo en el eteio ( ) P clcul el cmpo en el eteio elegiemos un cmino e integción eteio l hilo conucto. Aplicno l Ley e Ampèe: l l [5.5] evientemente l intensi que tvies l cuv e integción es to l intensi que cicul po el cle. Po tnto: [5.54] que coincie con el cmpo ceo po un hilo ecto e inefinio como e e espe. Po tnto el móulo el cmpo mgnético vle: () [5.55] En l figu se epesent el móulo el cmpo fente l istnci. () P finliz mostmos un ejecicio e ecopilción e l lección. Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

12 4 Ejemplo. Po el conucto ectilíneo lgo e l figu cicul un coiente estcioni e A. Ls imensiones e l espi ectngul son 5 cm y cm y l istnci que lo sep el conucto ectilíneo cm. Si l espi ectngul está ecoi po un intensi e 5 A clcule l fuez que ctú soe c segmento. uál es l fuez net soe l espi?. El cmpo mgnético que ce el hilo inefinio e l figu se puee etemin tenieno en cuent ls consieciones e simetí y l ley e Ampèe, e fom que integno soe un cuv concéntic con el hilo otenemos l o o one se h tenio en cuent que el cmpo mgnético es plelo l vecto esplzmiento soe l cuv y que su móulo pemnece constnte. Po tnto, el cmpo viene o po o k L fuez que sufe el segmento e hilo eio éste cmpo mgnético seá (consieno el sistem e efeenci ctesino que se muest en l figu). l l como ( l ĵ) ( l ) l l tenemos que Y o i 5 Análogmente, p el segmento 5 i N (4) () () () X o i. 8 ( ) 5 i N P el segmento, el cmpo mgnético no pemnece constnte lo lgo el hilo po lo que el cmpo no puee sli e l integl en l epesión [5.4]. Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino)

13 Apuntes e unmentos ísicos e l nfomátic. ( D. J. Gcí Ruino) 5 En este cso, tenemos, p un ifeencil e hilo ( ) ( ) ( ) j k i i l l o o y po tnto, p too el hilo st con integ ( ) N. ĵ ln ĵ o o j 5 58 Análogmente, p el segmento 4 se tiene ( ) N. ĵ ln o j inlmente l fuez net que sufe l espi es N. o i i que no es nul poque el cmpo mgnético no es constnte. Y X 4