Problemas resueltos de Electricidad y Magnetismo. E.T.S.I.T. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

Transcripción

1 Pblems esuelts e lectici Mgnetism.T.S.I.T. Univesi e Ls Plms e Gn Cni

2 LCTICIDAD Y MAGNTISMO. lectstátic-cí ) Supnien un nube e electnes cnfin en un egión ente s esfes e is cm 5 cm, tiene un ensi e cg en vlumen expes en cens esféics: 8 ρ cs φ ( C m ) v Clcul l cg ttl cnteni en ich egión. ) Sbe s plcs plels e inefinis, seps p un istnci, se istibuen espectivmente ls ensies e cg supeficiles: ρ s, Cm -, ρ s, Cm -. Clcul el cmp ente ls s plns en el espci eech e iquie e ls misms. Y O φ X ) Sbe l semicicunfeenci inic en l figu se istibue un ensi e cg linel ρ l ρ cs φ. ) Clcul l cg ttl istibui sbe l semicicunfeenci. b) Clcul el cmp en el punt O. Z ) Sbe un cp semiesféic e i, tenems un istibución supeficil e cg unifme ρ s Cm -. ) Clcul l cg ttl en l cp semiesféic. b) Clcul el cmp eléctic en el cent O e l figu. O θ Y X 5) n el cent e un plc e espes e inefini en ls ts s ieccines, existe un huec esféic e i. n l plc, except el huec, se istibue un ensi e cg unifme ρ v. Clcul el cmp en el punt A, un istnci / e l plc. A /

3 LCTICIDAD Y MAGNTISMO. lectstátic-cí 6) Tenems un cilin inefini e i, sbe él se istibue un ensi e cg en cens cilínics ρ v ρ sen(/), sien ρ v p >. ) Clcul el cmp eléctic. b) Si situms un cg negtiv sbe el eje el cilin, seá estble l situción e equilibi e ich cg?. b 7) Un esfe se tl imetlmente, ejn un huec cilínic e i b -. l huec se puee cnsie filifme en cmpción cn el i e l esfe. n l esfe, slv en el huec cilínic, se istibue un ensi e cg unifme ρ v. Aplicn el pincipi e supepsición, clcul el cmp eléctic en el punt P. O P 8) Clcul ibuj el cmp el ptencil,, en función e p l istibución esféic e cg: / ρ ( / ) p / ρ v p < / > 9) Sbe un pln inefini tenems s istibucines e cg. Un ensi supeficil e cg unifme -ρ s sbe un cícul e i t e sign cnti ρ s sbe el est. Aplicn el pincipi e supepsición, clcul el cmp eléctic sbe el eje pepenicul l cícul que ps p su cent. ) Sbe un isc pln e i se istibue un cg supeficil que ví ilmente e l fm: ρ ρ s si < si > sien l istnci l cent el isc. Clcul el ptencil el cmp en el eje pepenicul l isc que ps p su cent.

4 lectstátic POBLMAS D LCTOSTÁTICA - ACÍO jecici L cg ttl vená p: ρ cn v sen( θ ) φθ q v. ϑ ρ ϑ v Sustituen l ensi e cg en vlumen, e integ en el vlumen especific:.5 8 cs. v 6 ( φ) φ sen( θ ) θ.8 C

5 lectstátic jecici Figu. Figu. P eslve el pblem, iviiems el espci en tes ns: ) Zn cmpeni ente ls plns. ) Zn l eech, >. ) Zn l iquie, <. P un sl lámin, p simetí (p se infinit), el cmp eléctic es pepenicul ell tiene l mism mgnitu en mbs ls. L plicción el teem e Guss en el cilin e l figu, clcánl e fm que se ct p l lámin cn ls tps plels su supeficie, se btiene l elción siguiente: s Sien s l supeficie en ls tps. Aplicn l sbi p un lámin ls el pblem, istinguims tes egines istints: ) Zn cmpeni ente ls plns. n est n el cmp ttl seá l sum e ls cmps ebis c un e ls istibucines, tenien en cuent que tienen l mism iección pe sentis puests. Sbems que: σ ( u ) σ σ ( u )

6 lectstátic Sustituen en l ecución ntei: σ σ ( u ) Sustituen ls vles e σ σ : ( u u ) ) Zn l eech e ls plns, >. Se pcee e fm simil l pt ntei, cn l cnición pticul e que en est n ls cmps ces p ls s istibucines tienen l mism iección senti, es eci, ls s tienen senti hci >. Sbems que: σ ( u ) Sustituen en l ecución ntei: σ σ Sustituen ls vles e σ σ : σ ( u ( u ) ) ( u u ) ) Zn l iquie e ls plns, <. Clculms el cmp e mne simil ls css nteies, pe h ls cmps tienen senti hci <, p tnt: σ σ ( u ) ( u ) Sustituen en l ecución ntei: σ σ ( Sustituen ls vles e σ σ : u ) ( u u )

7 lectstátic jecici ) P clcul l cg ttl istibui sbe l semicicunfeenci, tenien en cuent l efinición e l ensi linel e cg: ζ lim l Cn l que l cg ttl istibui es: q l ζ l Dne el l p el pblem en cncet es: l φ l ensi linel e cg es: ζ ζ csφ ζ csφ φ stá cl que l integl h e se evlu ente -/ /: ζ csφ φ ζ pueen sli e l integl l n se epenientes e φ quen: ( senφ ) ζ ζ csφφ ζ ) l cmp en el punt O, en un istibución linel e cg, se clcul cm: ( ' ) ( ' ) ζ ' l Tenien en cuent que - - (csφ x senφ ) - l Φ - ζ l ζ csφ - vlun l integl ente -/ /: ( ) ζ csφ (csφ x senφ ) Ah ls témins n epenientes cn Φ se pueen sc fue e l integl, tnt ls cm ζ, quen l siguiente:

8 lectstátic ) (cs cs () φ φ φ φ ζ sen x stá cl que p l simetí que pesent el pblem ls cmpnentes en el eje el cmp se vn i nuln uns cn ts, p ell l integl que que p el eje se h e nul: φ φ φ φ φ ζ sen x cs cs ) ( P l pime integl se pe cn el ángul ble: x x x x sen cs cs φ φ φ φ φ L segun es inmeit cm se hbí ich h e nulse: ] sen sen cs φ φ φ φ uen l siguiente expesión p el cmp: () ζ L segun pte el pblem tmbién se pí hbe hech cn l expesión que se i en clse, l cul está un pc más simplific: ( ) l ' ' ζ P utilil se h e tene en cuent l iección senti el vect

9 lectstátic jecici ) L cg ttl en l cp semiesféic. Sbems que, p un ensi supeficil e cg: P un semiesfe: s ρ s s s s senθ θ φ s [ csθ ] [] φ s ) l cmp eléctic en el cent O e l figu. Cm pems bsev, l cmpnente hintl el cmp se nul, quen sól l veticl. q ρ senθ θ φ Clculms el cmp infinitesiml efectiv csθ θ ( ) : s ef senθ csθ θ ( φ ) sen θ [] φ ( ) ( )

10 lectstátic jecici 5 < > A / A A A A < > ne A A sn, espectivmente, ls cmps en A ebis un plc mci cn ensi e cg ρ v un esfe cent cn ensi ρ v. P clcul A, l se un plc inefini pems plic GAUSS. A plicn el teem e guss:. S v

11 lectstátic S S A S A A. S. S cm en l supeficie ltel S es pepenicul tps ltel entnces S S cs 9 l integl se nul. A A A s. Cs tps v. S S. S. ( S ) tps tps >.. v ρ v. ρv S S ρv... S A S > A A ρv. ρv. A n un istibución e cg cn simetí esféic, el cmp ce en el extei es equivlente l ce p un cg puntul en el cent, e vl l cg ence p l istibución. x.a - ρ v A A A /

12 lectstátic ρ ρ.. v. ρ p l le e Culmb:. O.... O A ρ... v ρ.... v ρ. x p el pincipi e supepsición:... v A ρ ρ x.. A O ρ. x

13 lectstátic jecici 6 ) Clculems el cmp eléctic meinte Guss. P ell hems e cnsie s css: ) Cs e supeficie gussin cn > > s s L Aplicms Guss cnsien l supeficie gussin un cilin intei e i : s s s s L s tps ltel s l cmp es il. n ls tps, s es pepenicul p l que se nul. n l supeficie ntul s es plel cn l que se nul el cácte vectil cnsiems cm un cnstnte. Tmn L plicn Guss ns quems cn l expesión: v Ah buscms v, l cg libe ence p l supeficie gussin, integn ρ v : ρ v v ρ sen ρ sen ρ v φ v Hcien l integl I p Ptes: I

14 lectstátic u u v sen v Cs Sustituen en l integl: Cs v cs sen v cs I sen v cs P l que ns que: sen v ρ cs ue sustituen en l expesión e Guss ns el cmp: ) ( cs sen ρ b) Cs p el que l supeficie gussin tiene e i > : P un pceimient nálg l ntei llegms l expesión: v > L s s

15 lectstátic Ah l supeficie Gussin es extei l cilin, p l que tenems que tene en cuent que existián s v ifeentes en >. v ( > ) ρ vv v ( v ) ρ vv ntei cn v v n l expesión e v el pt (), sustituims p, cn l que btenems l siguiente v cnsecuentemente tmbién el cmp. ρ v ρ ( ) ) Intucims un cg negtiv (-q) en el eje el cilin. P que l cg se encuente en equilibi n ebe existi ningun fue ctun sbe ell. P ell usms el cmp existente en el eje ( ): F ( q) ( ) l cmp en el eje es un ineteminción el tip /, p l que p clcull tmms el límite cun tiene en l expesión el cmp que btuvims en el pime pt: ρ Lim sen INDTMINACION cs Aplicms L Hpitl, eivn ib bj (eivn espect ): Lim ρ cs cs ρ [ ] sen Al se el cmp, l fue tmbién seá, p l tnt pems euci que l cg está en equilibi. Ah, p sbe si el cmp es estble, veigums el senti e l fue que existe en ls pximies el eje. Si ests fues hcen que l cg tien hci el eje, se encuent en estbili. Si p el cnti ls fues hcen que l cg tien hci el extei, el equilibi en el eje seá inestble. L cg en el intei el cilin es siempe psitiv: v, [, ] [, ] ρ > P l que el senti el cmp eléctic es hci el extei el cilin. Al se l cg puntul clc en el eje negtiv, l fue que expeimentí si se sep el eje ií en cnt el cmp, es eci, hci el intei el cilin. P l que l situción es e equilibi estble.

16 lectstátic jecici 7 P clcul el cmp en el punt P plicems el pincipi e supepsición, clculn el cmp ce p l istibución e cg en t l esfe, cn un ensi vlumétic ρv, lueg el cmp ce p el cilin si éste estuvie cg p un ensi vlumétic -ρv. Así, sumn mbs, hbems clcul el cmp ce p l esfe tl, puest que l ensi vlumétic e cg en el huec cilínic es nul. Cmp ce p l esfe Apvechn l simetí el pblem, utiliems el teem e Guss p clcull. L supeficie gussin seá esféic e i OP. OP (). S v /. (. ) v v ρ v v ' ρ v l cmp en el punt P, seá pues: / ( p) ρ v 9 Cmp ce p el cilin (ensi vlumétic -ρ v ) Al se b <<, cnsiems el cilin filifme. P ell ebems cnsie l cnsevción e l cg, es eci: q ρ ' ρ l' v sien el vlumen el cilin l su lngitu (iámet e l esfe) v l b ρ ρ v ρ ρ l v l l cmp ce p l istibución linel seá: OP, t u

17 lectstátic ρll / u u / P simetí l cmpnente se nulá, queá sól l cmpnente. ( ) ρ l ( ) Hcien el cmbi tg t ( tg t) t c ctg ctg º ρl ( tg t) º ( tgt) t c ρ ρ ρ º / º º l / ( tg t) l sec t l l t cs ] º / º º ( ) t tt sent tg t º sec t ρ c ρl ρv l cmp ttl en el punt P seá l sum el cmp ce p l esfe e el cmp ce p el cilin c e c ρv ρ v 9 e

18 lectstátic jecici 8 ) Cmp el ptencil en función e, l istnci l cent e l istibución. Distinguims tes ns: ) < /, b) /, c) >.) Cálcul el cmp eléctic. ) < / n el intei e est n n existen cgs eléctics, p tnt s v sbe un supeficie esféic e i men que /. l cmp es nul. S b) /. Aplicms el teem e Guss. Cnsien l simetí esféic e l istibución, tmms cm supeficie gussin l e un esfe e i, ls limites e integción en l integl e vlumen sn ese / hst. u ; s sin θθϕ ; υ ' ( ρ 7 / ) ( ) ] s ρ S Open: / 7 / 7 ρ 7 7 ( ) ( u ) c) >. Opems e fm simil l pt ntei, pe en este cs ls límites e integción p l istnci en l cg sn / (h que cnsie l cg ttl que existe en l istibución). 7 ( ).( u ) ρ 7 ρ / 7 Open: ρ 7 8 ( u )

19 lectstátic.) Cálcul el ptencil. ) >. Clculms el ptencil ente ce e infinit, tenien en cuent que el ptencil en el infinit es igul ce: Open: ρ c 7 8 c ρ 7 8 b) /. Opems e igul m que en el cs ntei pe hems e tene l cntinui el ptencil, se que b ( ) c ( ). Open: ρ b ( ) c ( ) 7 ρ ) c ( ) 7 7 b ( 7 7 ( ) 7 ( ) 7 ρ 5 5 b( ) c( ) ( ) 7 5 c) < /. n est n, n existe cmp eléctic, p l que el ptencil e se cnstnte e igul l ptencil en /. ( ) ( ) b

20 lectstátic jecici 9 l cmp eléctic cumple el pincipi e supepsición, e fm que pems clcul el cmp cm l sum el ce p un pln infinit e ensi supeficil unifme ρ s, más el ce p un isc en el lug el cícul e i, cn ensi -ρ s. pln Cmp ce p el pln infinit ( cicul ): ρ Pems hlll pti el Teem e Guss, l se el pln infinit. S S S S guss S Sguss S S S S S S Usn un supeficie e Guss cilínic que tvesse l pln pepeniculmente cnseguims vis simplificcines mu inteesntes: ) S S # l cmp es pepenicul l pln S (en l supeficie ltel) es plel éste. P tnt, el puct escl el integn es nul. ) S S S S # l fluj el cmp en l supeficie gussin que:: S S ó S S ) S S cs α S # Y que el ángul que fmn S es siempe, sn plels, p tnt el csen vle. ) S S (l cmp es cnstnte en l supeficie S ). S S L cg cnteni en l supeficie gussin es: ρs S. Cn l que btenems que el cmp ce p un pln infinit es: S ρ S s # ρ ρ s s # pln

21 lectstátic Cmp ce p el isc e i e ensi -ρ s ( ρ ): P este cs, n pems us el Teem e Guss, p tnt, plicems l fómul el ptencil pime lueg, pti e éste, hllems el cmp eléctic. ' # Distnci e un punt el cícul l punt cmp. P efinición, el ptencil eléctic en un punt el eje que ps p el cent e un cícul e ensi -ρ s es: s ) ( ϕ ρ # s ) ( ρ s ) ( ρ # L integl sle hcien un cmbi e vible: ; # s ) ( ρ # [ ] s ) ( ρ # ( ) s ) ( ρ # s ρ ρ Lueg, el cmp finlmente seá: s pln ρ ρ

22 lectstátic jecici L fmul que efine el ptencil es l siguiente: ρs ( ) s Tenien en cuent que es l istnci l punt el eje en que clculms el ptencil. n el isc: uen l integl: s ρ ρ s ϕ ( ) ( ) ρ( / ) ϕ ( ) Y eslvien que: ρ ( ) ( ) ( ) Ah clculems el cmp p l fmul el giente, sbien e ntemn que, p l simetí el pblem, sól vms tene cmp en le eje : ρ u ( ) ( ) u

23 LCTICIDAD Y MAGNTISMO. lectstátic-meis mteiles. ) Un cg puntul psitiv está en el cent e un cp cnuct esféic cn i intei i i extei. Detemine cm funcines e l istnci il. ) Supng un tub e cbe mu lg cn i extei e cm i intei e cm, que e un líne e cg e 6 pcm - situ en su eje. Clcul: ) en m,.5 cm.5 cm. b) L ifeenci e ptencil ente l supeficie intei l extei el tub. ) Cnsiee s cnuctes esféics cn is b b (b >b ), cnects p un lmbe cnuct. Se epsit un cg ttl en ls esfes. L istnci ente ls cnuctes es mu gne en cmpción cn ls is e ls esfes, e m que ls cgs en ls cnuctes esféics se istibuen unifmemente. Clcul ls ensies e cg supeficil ls intensies e cmp eléctic en l supeficie e ls esfes. ) Un cilin cnuct e i lngitu L, llev un cg. Cxilmente cn él se ispnen s cns cilínics cnucts. L pime, e is, llev l cg, l segun, e is, está cnect tie. Clcul: ) l istibución e cgs sus espectivs ensies. b) el cmp eléctic en ls istints egines el espci (supne ls cilins mu lgs). c) el ptencil eléctic en ls istints egines el espci. 5) Se un cnuct, en el que existe un cvi intei, smeti un cmp eléctic. Hll el cmp eléctic existente en el intei e l cvi sí cm l ensi e cg en l supeficie e ést. 6) xpes l enegí lmcen p vis cnuctes inepenientes ente sí. 7) Un esfe cnuct e i cg, se e e un cn esféic cnuct cncéntic e is, sien <, cn cg. Clcul: ) L istibución e cgs el cmp eléctic en c un e ls egines el espci. b) L ifeenci e ptencil ente l esfe l cn esféic. c) L cpci ente l esfe l cn esféic. b 8) Un cnens cilínic cnsiste en un cilin cnuct inten e i un cn cilínic exten cxil e i intei b. l espci ente ls s cnuctes está llen e un ieléctic cn pemitivi l lngitu el cnens es L. Hll l cpcitnci el cnens. c 9) nte s cilins cnuctes cxiles, e is b (b), se intucen s cps e ieléctic que llenn el espci ente ls cnuctes. l límite e sepción ente ls ieléctics es l supeficie cilínic e i c, cxil cn ls ts s. Ls pemitivies espectivs e ls ieléctics sn:. Si ente ls cnuctes se plic un tensión : ) clcul el vl e p que el cmp sbe l supeficie el cilin e i se cut veces supei l cmp en el ieléctic sbe l supeficie e i b. b) hll l cpci p uni e lngitu el sistem cn ls vles e bteni.

24 LCTICIDAD Y MAGNTISMO. lectstátic-meis mteiles. ) Clcul l cpci e un cnens esféic cn mus e is, sien >, que se llen cn un ieléctic pefect e pemitivi eltiv /, en l que es un cnstnte l istnci l cent el cnens. ) Clcul p un cg puntul en el cent e un esfe ieléctic el vect e plición ls ensies e cgs ligs. Dibuj D, en función e. mple -9 C, cm,. epeti ests gáfics en usenci e l esfe ieléctic. ) Un esfe ieléctic e i está pli e fm que P(K/), sien el vect uniti il. ) Clcul ls ensies vlumétic supeficil e cg lig. b) Clcul l ensi vlumétic e cg libe. c) Clcul el ptencil ent fue e l esfe. ) epesent gáficmente l vición el ptencil cn l istnci. 6 ) Un esfe e ieléctic simple está unifmemente pli en l iección el eje, cn P (Cm - ). Clcul: ) ls ensies e cg e plición. b) el ptencil eléctic en el cent e l esfe. c) emst que l ensi e cg libe en el ieléctic es nul. ) n un mteil, e cnstnte ieléctic, existe un cmp eléctic unifme. Si se pctic un cvi esféic en el intei el mteil, clcul el vl el cmp eléctic existente en el cent e l cvi. 5) Ds meis ieléctics cn pemitivies están seps p un fnte libe e cgs. L intensi e cmp eléctic en l intefce en el mei tiene mgnitu fm un ángul α cn l nml. Detemine l mgnitu l iección e l intensi e cmp eléctic en ich punt e l intefce en el mei. 6) Se un cnens e plcs pln-plels ectngules. L supeficie e c plc es S, están seps un istnci l. Despecin ls efects e be, si se plic un tensión cnstnte ente ls plcs clcul: ) l cmp eléctic en el intei, l ensi e cg supeficil en ls plcs, l enegí lmcen p el cnens su cpci. b) epeti el pt ), supnien que se intuce un ieléctic e imensines l/ x S, pemitivi eltiv. c) epeti el pt b), pe supnien que se escnect l fuente e tensión ntes e intuci el ieléctic. 7) Dispnems e s cnenses iéntics, e plcs pln-plels, cu supeficie es S espes, cm inic l figu. nte ls plcs existe un ieléctic e pemitivi. Un ve cgs cn un ifeenci e ptencil, escnect l bteí, en un instnte se fctu el ieléctic ente ls plcs el cnens (), e fm que se be un fisu pln plel ls plcs, e espes.. Clcul: ) ls vectes D en ls cnenses () () ntes espués e l fctu. b) l ifeenci e ptencil ente ls plcs e ls cnenses ts l fctu. ( ). ( ) S

25 LCTICIDAD Y MAGNTISMO. lectstátic-meis mteiles. 8) Cun se us un cble cxil p tnsmiti enegí eléctic, el i cnuct intei está etemin p l ciente e cg, el tmñ ttl p l tensión el tip e mteil islnte que se utilice. Supng que el i el cnuct inten es i mm, que el mteil islnte es pliestien, cu cnstnte ieléctic eltiv igie ieléctic sn, espectivmente,.6 6 /m. Detemine el i intei,, el cnuct exten p que, cn un tensión plic ente ls cnuctes exten e inten e k, l intensi máxim el cmp eléctic en el mteil islnte n exce el 5% e su igie ieléctic. 9) Un cnens e plcs pln-plels, seps un istnci, tiene un ieléctic en su intei, usente e cgs libes, cu pemitivi ieléctic eltiv,, epene e l istnci un e ls plcs, x. Clcul l cpci el cnens si viene p: x ) Dent e un cnens e plcs pln-plels, e sección A espes, intucims un ieléctic e pemitivi n unifme, sien l iección pepenicul ls plcs. Despecin ls efects e be en cs e n existi cgs libes en el intei el ieléctic, clcul: ) el cmp eléctic, el esplmient eléctic el vect e plición, cun plicms un ifeenci e ptencil ente ls plcs. b) ls ensies e cg e plición. c) l cpci el cnens. ) Demst que en un ieléctic linel n hmgéne, puee existi un ensi vlumétic e cg lig en usenci e ensi e cg libe. Clcul su vl. Sl: - ( )/ ) Si el espci ente s cilins cnuctes cxiles lgs está cup p un ieléctic, cóm ebe vi l pemitivi eltiv cn l istnci l eje p que l intensi el cmp eléctic se inepeniente e?. Cuál seí l ensi vlumétic e cg lig?. Sl: K/, ρ b λ/k, sien λ l ensi linel e cg en el cilin intei. ) Un electete tiene l fm e un lámin elg cicul e i espes t, pli pemnentemente en l iección plel su eje. L plición P es unifme en t el vlumen el isc. Clcul D sbe el eje, tnt ent cm fue el isc. ) Un esfe e i está fm p un ieléctic hmgéne, cn cnstnte ieléctic eltiv. L esfe está cent en el igen el espci libe. l ptencil eléctic viene en el intei extei e l esfe, espectivmente, p: Ocsθ in Cmpb que se cumplen ls cnicines e cntn p el cmp eléctic el esplmient eléctic en l supeficie e l esfe. O ut O csθ csθ 5) Desplms l cg un istnci / hci l iquie, mntenien fijs ls estntes cgs. s más estble l ispsición ntei que ést?. q -q q -q

26 LCTICIDAD Y MAGNTISMO. lectstátic-meis mteiles. 6) Clcul l enegí electstátic lmcen en el sistem el pblem. 7) Clcul l enegí electstátic lmcen en el sistem el pblem 7. 8) Ptien e un esfe e i, que tiene un cg en l supeficie, se inici l cumulción e cg sbe un supeficie esféic e i b ( > b ), cncéntic cn l ntei. Clcul el tbj eli p cumul sbe l supeficie esféic e i b un cg igul /. 9) Tenems un sistem e cgs cnstitui p un istibución unifme e cg en un esfe e i t e cg - istibui unifmemente sbe un cp esféic, cncéntic cn l esfe, e i 5. ) Clcul el cmp en función e l istnci l cent. b) Clcul l enegí electstátic el sistem. c) Si quitms l mit e l cg - e l cp esféic, cuál seá l vición e enegí electstátic el sistem?. ) Un cnens pln e supeficie S espes se cg meinte un bteí cn un ifeenci e ptencil. Después e cg escnectms l bteí. Sin tc ls plcs intucims un lámin metálic e espes /. ) Clcul l ensi e enegí electstátic ntes espués e intuci l lámin metálic. b) Clcul l enegí ttl en mbs css. n qué se h inveti l ifeenci ente ls s enegís?. ) Un cnens e mus plns, e supeficie A cm, seps l istnci mm, tiene en su n centl un lámin e mteil ieléctic, e l mism fm tmñ e ls mus, espes e.6 mm pemitivi eltiv, l cnens se h cg hst quii ente sus mus el ptencil. Clcul: ) L cpci el cnens. b) L cg el mism. c) L enegí lmcen. ) Ls vectes esplmient eléctic, cmp eléctic plición, epesentánls gáficmente. ) Un cg eléctic se istibue en un esfe ieléctic e i pemitivi, e fm que ls ensies e cg libe sen: ρ( / ) ρ v ) xpes ρ en función e. b) Hll l enegí electstátic el sistem. p p ) Ds plns cnuctes isls infinits, que se mntienen ptenciles, cnstituen un cnfigución en fm e cuñ, cm se ilust en l figu. Detemine ls istibucines e ptencil en ls egines: ) < φ < α, b) α < φ <. α θ ) Clcul, meinte el mét e ls imágenes, l cg ttl inuci en un esfe cnuct cnect tie, inuci p un cg puntul,, situ fue e l esfe, un istnci D e su cent.

27 lectstátic POBLMAS D LCTOSTÁTICA MDIOS MATIALS jecici xiste simetí esféic, p l cul pems hce el pblem meinte el teem e Guss. Clculems pime el cmp electstátic lueg el ptencil. Sesfe ) egión : < i s s s plel s s ( ) m S s S egión : i << Cm el cmp en el intei e un metl es nul, l cg en el intei e un supeficie gussin en est egión es siempe ce, p l que en l supeficie inten el metl se inuce un cg (l cg libe en el intei el metl es nul). Cm el metl es neut en l supeficie exten se inuce un cg. egión : > l cmp en est egión tiene l mism fm que en l egin, que l cg ence p l supeficie gussin es l mism, (- ). L únic ifeenci ( ) es que h ebe se m que m, p >. b) P clcul el ptencil en ts ls punts el espci se integ el cmp eléctic. mpeems ese l egión hci l.

28 lectstátic egión : Usems l ecucin: K (cn K cte e integcin) K ( ) K ( ) P hll l cnstnte, ptims e l supsición e que el cmp en el infinit es ce; iguln, tenems K K egión : l cmp en est egión es ce, lueg el ptencil es cnstnte. P l cntinui el ptencil, éste tm el vl e l egión hcien : ( ) egión : K ( ) P hll K, p l cntinui el ptencil, bst cn igul el vl el ptencil e l egión e vl i l e l egión : K K K i i i i i ( )

29 lectstátic jecici ) Supnems l lngitu el tub l suficientemente gne cm p que se pepenicul l eje. ntnces, ls tps n cntibuen l clcul cn el teem e Guss. Zn : s ; s tps s ltel s ltel l ρ L s plel s s s S ρl L ρ l S L L Zn : st egión es el intei el cnuct, p tnt n existe cmp electstátic: Zn : Cm el metl es neut, l cg ttl es nul (se inuce un cg igul puest l el hil en l supeficie inten, e igul l el hil en l supeficie exten). L cg ence p l supeficie gussin que igul l el hil. P tnt, en est egión el cmp es el mism que en l n : ρ l Un ve que hems clcul el cmp e ls ns, simplemente ms vles hllms el vl numéic el cmp en c n:

30 lectstátic m (Zn ).5 m (Zn ).5 m (Zn ) 6 ( ) m ( ) m ( ) m b) Ns pien l ifeenci e ptencil ente mbs supeficies el cnuct. Sbems que el ptencil en el intei e un cnuct es cnstnte, si que l ifeenci e ptencil ente mbs cs es nul: b Sien b l ifeenci e ptencil ente c c.

31 lectstátic jecici Tenems s esfes : b b Cm l cg se istibue unifmemente en l supeficie, el cmp fue e ls esfes es el mism que el puce un cg puntul clc en el cent e vl l cg e l esfe espectiv. Aplicn el teem e Guss, tmms un supeficie gusin e i φ : s, que pen ns que: φ q P l esfe : b q P l esfe : b Dne q q sn ls cgs en l supeficie e c esfe. Análgmente, integn el cmp eléctic, el ptencil fue e ls esfes es nálg l e un cg puntul. P l cntinui el ptencil, su vl en l supeficie e ls esfes (igul que el el intei, p se cnuctes) seá espectivmente: q P l esfe : b q P l esfe : b l pblem ns ice que ente ls s esfes h un cg ence q, es eci: q q q. Al est unis p un cble, el ptencil en mbs esfes es el mism:. L que ns llev, espejn, que q b q b - Tenien en cuent que: q q q btenems s expesines e l cg en l supeficie e c un e ls esfes, en función e ts cncis cm sn el i l cg ttl: q b bq b Y q b bq b

32 lectstátic L cg está epti unifmemente, es eci, ls esfes pseen ensies cnstntes e vl: ρ σ q / s, ρ σ q / s, ne s s sn ls supeficies e ls esfes: s b, s b Sustituen ts, btenems s expesines en función tmbién e ts cncis. q Densi e l esfe : ρ b( b b) q Densi e l esfe : ρ b( b b) Y si queems ej el cmp eléctic en función e l cg hll: q P l esfe : b( b b) q P l esfe : b( b b)

33 lectstátic jecici ) P hll l istibución e cgs h que ec que ls cgs en ls metles se istibuen en l supeficie. Aemás, si se plic el teem e Guss un supeficie en el intei e un metl, l n existi cmp eléctic en éste, l cg ttl en el intei e l supeficie gussin h e nulse. Se l istnci l cent e ls esfes: tenems un istibución su ensi es ρ L tenems un istibución su ensi es ρ L tenems un istibución su ensi es ρ L tenems un istibución ( ) su ensi es ρ L ebi l tm e tie, n existe cg su ensi es p tnt ρ b) P hll el cmp eléctic plicms l le e Guss supeficies cilínics cxiles en ls istints egines, cnsien l simetí cilínic el pblem. Así,

34 lectstátic S s # S s ( s) ( cte en s) # s L s s L L (Teem e Guss) P l tnt: < << < < L < < ' L < < > c) P clcul el ptencil integms el cmp, e fue hci ent, plicn l cntinui el ptencil l ps e un egión t. De est fm: > cte ; ( ) ( tie ) < < cte ( ) <<

35 lectstátic - ' L ' ' ln k K ln L L ' ln K. Cm ( ) L ' ln L << cte () ' ln L L ' Cm () ln ; L ln k'. L - ' ln L ln K' L K ln ln L L ' ln L ln L < cte () ' ln L ln L

36 lectstátic jecici 5 Se un cnuct tl cm éste: metles), es tmbién nul. O se: Aplicms el teem e Guss en S: S S S Sbems, p ls ppiees e ls cnuctes, que el cmp ent el metl es nul; p tnt, en l supeficie Gussin, S, tmbién l es. Así, l únic cg psible ent e S, que pí existi en l supeficie que e l cvi intei ( que n existe cg libe net en el intei e ls S S S S st n implic que l ensi supeficil e cg en l cvi intei, ρ Scvi, se, que puee hbe un istibución e cg en l supeficie e l cvi intei tl que ls cgs psitivs se cmpensen cn ls negtivs e fm que s. n est situción existií un cmp eléctic en l supeficie e l cvi intei, que ií e ls cg psitivs ls negtivs. P clcull, tms un cmin ce tvés e ls punts A B: P un l > l que el cmp electstátic es cnsevtiv. P t l > C C l B A l A B l Cm ijims ntes, el cmp en el metl es ce, l que signific que: l, cn l que finlmente ns que: A B l p t tecti >. N es psible tl istibución e cvi cg, que el cmp eléctic en el intei e l cvi es. Al n se psible que exist tl istibución, se cnfim que ρs cvi B A

37 lectstátic jecici 6 Ptien e l teí, se cmpueb que l enegí ptencil p un sistem e N cgs es igul : n W q i i i ne es el ptencil ce en ne se encuente q i i p ts ls emás cgs. ist l intección e cgs iscets, ms fácil e intepet, buscms l enegí ptencil eléctic p un cnuct, que n es más que un genelición e un istibución supeficil e cg, que l cg en él se istibue en su supeficie. L expesión el ptencil p un istibución supeficil e cgs seá en un cnuct: W ρss s Dne S es, p ls ppiees e ls cnuctes, un supeficie equiptencil, p tnt el ptencil en ell es cnstnte puee sli e l integl. W ρss s Ah supnems un sistem fm p n cnuctes. L enegí ptencil electstátic p un sistem iscet e n cnuctes seá l sum e l enegí e c un e ls cnuctes el sistem W n ρ S Si i i i Si ne efinims i es el ptencil e c cnuct cn supeficie S i, ρ S i es l ensi e supeficil e cg en c cnuct. Cm c cnuct es un supeficie equiptencil, el ptencil en c cnuct es cnstnte vuelve sli e l integl. n W ρ S i Si i i Si Si integms l cg en c ptencil ns que que: expesión e l sum e ls n cnuctes es: n n W Wi i i i i Si ρ S. P l que l Si i i

38 lectstátic jecici 7 Fig. () Fig.(b) ) Debi l cg en l supeficie e l esfe cnuct, pece un, p inucción, en el i inten e l cn. Y p cmpens ést, cm l cn está cn, en l pte extei e l cn esféic existe un cg (Fig. (b)). egión (), egión (): Cm tnt l esfe cm l cn esféic que l envuelve sn cnucts, pems eci que el cmp intei mbs es igul ce. egines () (): Aplicms Guss p un punt, P, un istnci el cent e l esfe cnuct: v # s S ligien cm supeficies gussins esfes cncéntics, cm tnt el cmp electstátic cm s sn iles, es eci, pepenicules l supeficie gussin en c punt plels ente sí, el puct escl es igul l puct e sus móuls s s s Aemás, cm el móul el cmp eléctic sól epene e l istnci l cent, l integl en l le e Guss que cm: v # s s S S P l egión () <<, v vle, p tnt, espejn el cmp tánl e cácte vectil: N m

39 lectstátic P l egión () tenien en cuent que h l cg ence p ls supeficies gussins es igul. N m b) Utilin, sien el ptencil, tenems p el ptencil en (): k en (), sien el ptencil en el infinit igul ce: P cntinui el ptencil, ( ) ( ), entnces espejn p hll l cnstnte e integción k, llegms que: k s eci que, xpesn l ifeenci e ptencil cm, btenems: c) Usems l expesión C p clcul l cpci el cnens, ne C es l cpci seá l ifeenci e ptencil clcul nteimente: C [ F]

40 lectstátic jecici 8 P clcul l cpci supnems un cg en l supeficie el cilin inten un cg en l supeficie intei el cilin exten. Tmbién supnems 'L' suficientemente lg p que el cmp se il pepenicul l eje (L>>b). L cpci viene p: C / P clcul el cmp eléctic plicms el teem e Guss un cilin cxil imgini, e i, ente ls s cnuctes: s ΠL s N h fluj en ls tps pque s sn pepenicules, p tnt, su puct escl seí: scs9. Cgems sl el fluj en l pte ltel. Cn l que: Π L L cg - pece p inucción electstátic e l cg. B B B l (ln ln b) Π L Π L A A A Π L b (ln ) Π L ln( / ) C b

41 lectstátic jecici 9 Obsevms que según el enunci tenems s cnuctes, seps un ciet istnci (ellen cn ls s ieléctics), smetis un ifeenci e ptencil. Tmems cm t que l cg ttl lmcen p l estuctu es. P ls ppiees e ls cnuctes (el cmp en su intei es nul), est cg se istibuiá e l siguiente fm: Se lmcená en l c exten el pime cnuct un cg un cg en l c inten el segun cnuct. Cm cnsecuenci e est, l estuctu que e l siguiente fm: ) P el pime pt tmms cm t que ebems hll e fm que se cumpl que: Obsevms que ls s cnuctes sn cilínics. Al se infinits pems plic l le e guss geneli p ieléctics: D s ρ ems pues, cm se cmpt el vect esplmient eléctic en l egión cmpeni p ls s ieléctics, sien l pime egión mei, en ne tenems el ieléctic e pemebili, l segun egión mei, en l que está el ieléctic e pemebili. ems que p l pime egión D v en l iección il e ls cilins, iección que es nml l líne e sepción e ls s meis. Igul sucee cn D. ecuien ls cnicines e cntn p meis mteiles, cm en l supeficie ente ls ieléctics n existe cg libe supeficil, el vect esplmient cumple : D n Dn Y cm : D n D Dn D Ns que que: Cn est eucims que p mbs egines el vect esplmient seá cnstnte, tená iección il: D D ). ( D D D Aplicems l le e Guss p ieléctics, tmn cm supeficie gussin un cilin cxil e i lngitu L, situ ente ls s cnuctes. # s v

42 lectstátic Clculn el fluj: D s D s D s D s # s s s s ems que p s s (ls tps el cilin),el vect esplmient D es pepenicul s s, según l efinición el puct escl e s vectes, ls integles en ls tps el cilin seán, influen sól en el fluj esultnte l integl en l intec el cilin (n este cs D s sn plels). Cm cnsecuenci l integl que e l siguiente fm : D s D s D s # s s s Y cm D es cnstnte en S, scánl fue e l integl: # D s Ds D S D L, sien L s s el vl e l supeficie S. L cg ttl lmcen p l supeficie gussin es, ebi que nuest cilin encie ich cg. P l cul, espejn D e l siguiente ecución: D L, ns que que el vect esplmient vle: D L De l elción ente esplminet cmp eléctic p meis mteiles: D, ls cmps eléctics en ls egines sn : egión > L egión > L Así el cmp en l supeficie e ls s cnuctes vle : egión > egión > L bl bl Y cm se h e cumpli que : L bl Y espejn ns que que: b

43 lectstátic Sbien que b que : 6 8 b)p hll l cpci e l estuctu utiliems l siguiente ecución: C, sien l cg ttl lmcen en el cnens l ifeenci e ptencil ente ls plcs, que p nuest cs seá. Cm cnsecuenci, ebems elcin l ifeenci e ptencil () cn l cg en ls plcs. P ell ns uems e l siguiente ecución: v v l C Tmn cm cuv C p nuest ejempl, l iección il ente ls cnuctes. Debi que n estms en el vcí, sin que l n que h ente ls plcs est cnstitui p s ieléctics, cn cmps istints, ebems sep l integl en s: un integl p l egión, que v ese hst un punt c (ne temin l egión empie l egión ) t integl que v ese c hst b p l egión : b c c l C Cm l el cmp sn vectes plels cn el mism senti, ns que que : eslvien ns que : b c c L L c c ln ln 8L c b c Sustituen est ecución en l expesión e l cpci, se tiene que: 8 ln c ln C L c P l que l cpci p uni e lngitu seá: C L c 8 ln ln c

44 lectstátic jecici L cpci e un cnens viene p l siguiente expesión: C ne es l cg ttl el cnens l ifeenci e ptencil ente ls plcs. P clcul l ifeenci e ptencil utiliems l siguiente expesión: v l Debems pues e clcul el cmp eléctic en el cnens. P ell utiliems D l expesión D, e ne espejn ns que que. P hll el vect esplmient eléctic ente ls plcs (fue es nul), utilims l le e guss p meis mteiles: # s D s ρ Tmems cm sistem cen, ls cens esféics, p l simetí esféic el pblem cm supeficie gussin un esfe cncéntic e i. P clcul el fluj, s D tienen l mism iección senti (il), p l que el puct escl e ests s vectes seá igul l puct e móuls. Cm D en es n es cnstnte en l supeficie gussin : # s v v D s D s D S D s C Sien l supeficie e l esfe e i. Cm cnsecuenci, l cg ttl ence en es supeficie gussin es. Así, l le e guss ns que e l siguiente fm: D Y espejn D, btenems el móul el vect esplmient: D Dánle cácte vectil: D

45 lectstátic D Ah hllems el cmp eléctic en l egión: Sustituiems h l pemitivi bslut p su vee vl:, sien l pemitivi el vcí l pemitivi eltiv que en nuest cs seá:. l cmp eléctic en l egión es entnces : Clculems h, l ifeenci e tensión ente ls plcs. P este ejecici nuest cuv seá l ect que v en iección il ese, p l que l ecución ns que: l ln C C C Dne hems integ l lg e l iección il, sien vectes plels. l Sustituen el ptencil, en l fómul e l cpci C ns que: C ln

46 lectstátic jecici Cg puntul Pemitivi el ieléctic ( ) - Ns pie hll el vect e plición p ell ptiems e l siguiente fómul: D P Y e est fómul espejms el vect e plición, ns que: P D Lueg nuest pblem que euci hll el vect e esplmient eléctic el cmp eléctic, sustitui ichs vles en l ecución ntei. ) Hll el vect e esplmient eléctic P hlll plicems el teem e Guss p ieléctics: S D S v (Cgs libes ences, en nuest pblem es l cg puntul ) P eslve ich ecución tenems que elegi un supeficie gussin, vms escge un esfe e culquie i. Y se ent fue e l esfe l cg libe ence siempe es : ems que p simetí el cmp eléctic sl epene e l cen, ést su ve es cnstnte, p l tnt puee sli e l integl, l se ls vectes plels, pems elimin el cácte vectil ej l fómul e l siguiente mne: D ( ) S P l tnt el vect esplmient ns que: D( ) Dánle cácte vectil: D S

47 lectstátic epesentción gáfic el vect esplmient D l pblem ns pie que l epesentems cn ieléctic sin él, pe en este cs l gáfic seí l mism. b) Hll el cmp eléctic Si supnems el mei linel pems escibi que: D Lueg el cmp eléctic seá: p < D p > D epesentción gáfic el cmp eléctic Gáfic cn esfe ieléctic D D l cmp eléctic es iscntinu en, ebi l cmbi e pemitivies. Sin embg sin esfe ieléctic el cmp si es cntinu cm se puee peci en l siguiente gáfic. (cmp ce p l cg puntul ).

48 lectstátic Después e btene ls ts que ns en necesis p hll el vect e plición, l únic que ns que es sustituils en l ecución: st se ebe que en > ns encntms en el vcí hí el vect e plición es. - L t que ns peí el pblem en ls ensies e cgs ligs: Densi e cg e plición en vlumen L cg vlumétic e plición es ce. Densi e cg e plición supeficil Cm l cg e plición ttl en el ieléctic h e se nul, existe un cg puntul e plición, P, en el cent el ieléctic e vl: D P p P > P p P P P P P < < ; ) sen ( sen θ θ ρ S PS P ρ PS p ρ

49 lectstátic - L últim que ns que es hll el ptencil p pe ibujl, que es t e ls css que ns pien. p > Cm sbems que: ( ) cte. Cte Cte Y ns que que el ptencil p > es: p < Cte P l cntinui el ptencil en l supeficie (<) en (>) en Pues si igulms ls s fómuls espejms l Cte, pems hll su vl, que es el siguiente: Cte Y si ese vl l sustituims en el ptencil p <, este ns que:

50 lectstátic epesentción gáfic el ptencil Cn esfe ieléctic Sin esfe ieléctic el ptencil tiene un epenenci nálg cn l únic ifeenci e que en el intei e l esfe, es eci <, el ptencil tená vles mes. Sin esfe ieléctic

51 lectstátic jecici ) Clcul ls ensies vlumétic supeficil e cg e plición. Se efine l ensi vlumétic e cg e plición δ cm: δ pv P Clculms l ivegenci e P en esféics: P K K sen θ senθ K P l que l ensi vlumétic e cg seá: δ pv Se efine l ensi supeficil e cg e plición δ cm δ ps P tnt: δ ps P P K ( ) δ ps b) Clcul l ensi vlumétic e cg libe: K ps pv, p n un mei simple: D P Cm sbems D, espejn tenems que e ib llegms que: D, sustituen en l ecución D D P Clculn l ivegenci en mbs miembs, supnien el mei simple: D D P D δ v cm l ecución ns que: δ v δ v δ pv P δ pv Open ns que: δ pv δ v. Sustituen, pen: δ pv δ v δ pv δ v δ v δ pv Cm δ pv K, sustituen: K v δ

52 lectstátic c) Clcul el ptencil ent fue e l esfe: ms clcull meinte el Teem e Guss, pime clculms el cmp ent fue e l esfe, lueg el ptencil integn. s D Integn btenems el pime miemb e l ecución: { } { } ; ; D S D I cte en S D cm S D I S D cm S D I s s s L cg ence en l supeficie gussin viá epenien si estms ent fue e l esfe: < { } K K v v δ δ ; Iguln: K D K D K D P l que el cmp seá: K D ( ) K > Seá t l cg ence en el ieléctic: K Iguln: K D K D K D P l que el cmp seá: K D ( ) K Integn l intensi e cmp btenems el ptencil: > ( ) ( ) C K K Obtenems C hcien tene : ( ) ( ) ( ) C C K C K P tnt, el ptencil en el extei e l esfe ieléctic que: ( ) K extei Supeficie gussin p < Supeficie gussin p >

53 lectstátic < ( ) ( ) C K K ln Hllms C hcien : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K C K K C C K K C K ln ln ln ln Sustituen C simplificn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ln ln ln ln ln ln K K K K K P tnt, el ptencil en el intei e l esfe ieléctic es: ( ) ( ) ln intei K ) epesent gáficmente l vición e ptencil cn l istnci: ición el ptencil cn l istnci,5,5,5,5 () (<) (>)

54 lectstátic jecici Z P θ Y X ) Densies e cg e plición: ρ ps : ensi supeficil e cg e plición equivlente ρ pv : ensi vlumétic e cg e plición equivlente 6 6 ρ P csθ C/m ps ρ ps 6 cs θ C/m ρ pv P $ P cte ρ pv b) Ptencil eléctic en el cent e l esfe int ρ ps s' s' v' ρ pv v' n nuest cs, cm ρ pv : int ρ ρ s ' s s' n cens esféics tenems que: S ' θ ] ; φ] ; s' senθθφ

55 lectstátic P tnt, int ρ ps 6 senθθ φ csθ senθθ φ 6 6 cs (%'%& θ sen % θθ senθ ( csθ )] c) Demstción e que l cg libe en el ieléctic es nul: l ieléctic es simple, se, linel, hmgéne e isótp, p l que l pemitivi eltiv es cnstnte ( cte ). Se ρ v l ensi e vlumen e ls cgs libes. Sbems que se cumple que: D ρ v P ρv D P D ρ P D ρ pv ρ D ρv ρ v ρ ρv pv ρ v ρ pv ems que ρ v ebi que ρ pv.

56 lectstátic jecici l pblem ns ice que tenems un ieléctic l cul se le hech un cvi esféic, cm el e l figu, sin embg, n especific si el ieléctic es finit infinit e mne que vms cnsiel finit p hce el pblem más ceñi l eli. De est fm el cmp eléctic en el intei el ieléctic es gene p un cmp extei l Z ieléctic ( ext ) que, p. int X Y - ext ls cnicines e cntn supnien que sl tiene cmpnente nml ( â Z ), btenems e l siguiente fm: Según ls cnicines e cntn l cmpnente nml el vect esplmient se cnsev: D ext D n n Según l elción ente el vect Desplmient el cmp eléctic, l cmpnente nml el cmp eléctic exten vle: ext n n ext n n Cm sl tiene cmpnente nml el cmp el ieléctic, el cmp extei sl tená cmpnente nml: ext n ext n ˆ Z P hll el cmp en el cent e l cvi pems hcel e vis fms. Y he elegi utili el teem e supepsición, e est fm, el cmp en el cent e l cvi es l sum el cmp extei cn el cmp puci p cgs e plición. Debi l intección el cmp eléctic cn ls mléculs el ieléctic, se cen cgs e plición en l supeficie intei el ieléctic: n ˆ Z

57 lectstátic sts cgs se epesentn vectilmente cn el vect e plición ( P ) que, viene elcin cn el cmp eléctic según l siguientes expesines: P ( ) D D P P P ) ( L cul signific que el vect plición tiene l mism iección senti que el cmp eléctic. l cmp eléctic es unifme (cnstnte según l psición), l cul signific que su ivegenci es nul. st implic que l ivegenci e D tmbién es nul p cnsiguiente que n existe ensi e cg libe vlumétic ent el ieléctic (n existen cgs libes en el intei el ieléctic): cte D cte D ρ v cm: De l mism fm l ensi vlumétic e cg e plición l hllms ρ v P ems que se nul igulmente ebi l unifmi el cmp. st v simplific un pc l expesión que ns el cmp eléctic ce p ls cgs e plición: ρ pv ρ ps () ˆ ' ˆ p v s' v' ' s Tenems que hll l ensi supeficil e cgs e plición ρ ps l lg e l supeficie inten el ieléctic. P ell utilims l siguiente expesión: ρ ps P ˆ n Tenems que p l tnt hll el puct escl e mbs vectes p l cul ntes ls efiniems: Z X Z Y. θ α â s θ ρ ps X â Z â X Φ θ â 9-φ â Y Y

58 lectstátic Se eucen e ls fómuls que hllms ntes, que el vect plición es plel l cmp eléctic e mne, que tenán l mism cmpnente vectil. Cn espect l vect il, eci que es un vect que v pepenicul l supeficie el ieléctic hci fue e éste. Ah que tenems el vect il l que hcems es psl e cens esféics ctesins p pe integ si pblems. P ell hcems us e peccines e tignmetí elementl. ˆ senθ csφ ˆ P P ˆ Z X senθ senφ ˆ Y csθ ˆ Z Y tenems efinis mbs vectes, h hcems el puct escl: ρ ps P ˆ n P ˆ P cs α P cs(8º θ ) P csθ Cn ls ts que tenems, pems hce l integl que ns á el cmp puci p ls cgs e plición: ρ ps p () ˆ ' ' s s P csθ [ sen cs ˆ sen sen ˆ cs ˆ ] s' θ φ ' X θ φ Y θ Z s Necesitms efini nuest supeficie e integción sí cm el ifeencil e supeficie utili que, l est tbjn cn simetí esféic, seá el mism expes en cens esféics: s' senθ φ θ L supeficie es un esfe cmplet, e mne que ebems integ según ls límites siguientes: s ' θ φ H que fijse que θ está efini e. st se ebe l eje e cens efini p hce el pblem. Cntinums pues cn nuest integl: P sen sen sen ˆ ˆ ˆ p() csθ θ csφ cs cs X θ θ φ Y θ Z senθ φ θ ] senφ )%*% cs cs ˆ cs X P [ φ φ θ sen θ θ senφ φ θ sen θ θ ˆY (%%%%'%%%%& sen θ φ cs θ senθ θ ˆ Z

59 lectstátic Z Z Z ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( cs θ P l tnt el cmp ce p ls cgs e plición en el cent e l cvi es: Ah, p supepsición, summs ls cmps extei el ce p ls cgs e plición sí btenems el cmp ttl en el cent e l cvi: Z Z ext P ˆ ˆ ) ( () () () int Z P ˆ ) ( () Z ˆ () int

60 lectstátic jecici 5 Utilin ls cnicines e cntn p ls cmps electstátics tenems: LA COMPONNT NOMAL DL CAMPO: D N -D N ρ S ; cm en l intefce n h cg libe: ρ S D N D N Ε cs N Ε N Ε csα Ε α (ecución ) LA COMPONNT TANGNCIAL DL CAMPO: Sbems que ést se cnsev Ε Ε Ε senα Ε sen (ecución ) T T α P hll l iección el cmp en el mei, tenems que veigu α p ell l más sencill es ivii l ecución núme () ente l ecución (): tg α tgα tgα tgα. Despejn: α ctg tg est seá l iección que estábms buscn α xisten s fms psibles e clcull mgnitu el cmp : ) Open cn ls ecucines () (): elevn ls s ecucines l cu multiplicn l () p, ns quen ls siguientes expesines: Ε cs α Ε cs α Ε sen α Ε sen α Si h summs ls s expesines tenems:

61 lectstátic ( ) cs Ε Ε α α sen, ne en el segun miemb e l ecución se tuv en cuent que: sen α cs α. P últim, espejn Ε : Utilin el teem e pitágs ) cs ( ) ( ) cs ( ) ( α α α α Ε Ε Ε Ε Ε Ε Ε sen sen T N cs Ε Ε α α sen cmpbms que ns el mism esult.

62 lectstátic jecici 6 l pblem especific que se especien ls efects e be. st quiee eci que ls lámins están mu junts se ttn cm plns infinits, cn l que pems supne que el cmp en l egión inten el cnens es unifme. Si hubiésems cnsie el efect e be el cmp n hubie si unifme en ls extems e ls plcs. Al tene un ifeenci e ptencil, ente ls plcs mbs quen cgs cn un cg espectivmente. Cmp Aplicn Guss l pime plc () p cnce el pte que eli l cmp e l egión inten:

63 lectstátic s s s s s s S S S S S S S ρ S ρ S, S, v s s ρ s x l nmient segui cn l segun plc (-) es nálg, e mne que: ρ s x sumn ls ptes e l plc () (-), btenems que el cmp en l egión inten el cnens es: ρ s x Densi e cg P clcul l ensi e cg supeficil en ls plcs ns ums e que cncems el ptencil (es un t el pblem), cncems el cmp cncems l expesión que elcin cmp ptencil: l l l l ρs,, ρs l l l negí L enegí se puee clcul e s mnes. Un e ells es utilin l fómul e l enegí en un cnens: W que utiliems más elnte. l segun cmin que pems segui p su cálcul es l utilición e l fómul genel: W D

64 lectstátic tenien en cuent que el mei es linel, es eci: D eslvien p este mét: ρs S v v v Sl W l ent ent Cpci ρss S C, C, C C ρ sl l b) Mntenien l ifeenci e ptencil que existí ente ls plcs el cnens se intuce h un ieléctic e l siguiente fm: Al plise el ieléctic se nuln ls cgs e ls ipls inteies sól quen ls cgs extens en l supeficie el mism. sts cgs n sn libes, sn cgs ligs. Al hbe intuci un ieléctic en el intei el cmp mntenien el ptencil cnstnte, btenems un vición en l ensi e cg que cnteste el efect el ieléctic.

65 lectstátic Cmp Sbems que un e ls cnicines e cntn en l supeficie que sep s meis es: D D ρ n n s Aplicn est ls cs extens el ieléctic, tenien en cuent que l ensi e cg libe en su supeficie es, btenems l siguiente cnición e cntn p ls s supeficies que sepn el ieléctic e ls huecs: D D, D D n n n n p tnt: D D D n n n Aemás en este cs D Dn, D Dn, D Dn, l se ls vectes D pepenicules ls supeficies ente meis. De est fm sól tenems que clcul un e ls D p cncels ts. Clculms D : Supnien que el fluj e cmp eléctic en S es l nulse el fluj puci p cn el e : D s D s D s D S S S S D S, D S ρ S, D ρ D D D ρ v s s s e quí btenems:

66 lectstátic ρs D ρs, ρs, D ρ, ρ, s s ρs D ρs, ρs, ρs Densi e cg L hllms tvés el ptencil, que sigue sien el t el pblem, l expesión que cncems el pt ) que ns elcin cmp ptencil l : l l l ρs l ρs l ρs l ρsl ρsl ρs, ρs ρs l sien ρs l ensi e cg en ls plcs ntes e intuci el ieléctic (l el pt ) ) negí Utiliems h l fómul e l enegí e un cnens: S W ρss, W W l sien ) ) Cpci W l enegí el cnens ntes e intuci el ieléctic (l el pt ρss S C, C, C C C l sien C l cpci el cnens ntes e intuci el ieléctic (l el pt ) )

67 lectstátic c) n este pt cnsiems que, ntes e inset el ieléctic en l egión inten el cnens, l fuente e tensión h si escnect. De est mne l cg que existí en ls plcs v pemnece cnstnte (igul que en el pt ) ) l que cmbi h p cntest el efect el ieléctic es el ptencil. Cmp l cmp en ls huecs en el ieléctic v segui tenien ls misms expesines que clculms en el pt b): hue ρs ρs, ie Densi e cg Se mntiene igul que ntes e inset el ieléctic (pt ) ): ρ s l negí P clcul l enegí p l fómul e l enegí en un cnens necesitms cnce el ptencil. L clculms pti e l elcin l ls expesines cncis e :

68 lectstátic l l l ρs l ρs l ρs l ρsl ρsl sí tenems: ρsl S W ρss W W l sien ) ) Cpci W l enegí el cnens ntes e intuci el ieléctic (l el pt ρss S S C, C C C l l sien C l cpci el cnens ntes e intuci el ieléctic (l el pt ) )

69 lectstátic jecici 7 () (). ) Antes e l fctu : Ls s cnenses sn igules están smetis l mism tensión, entnces: / ( - ) D D ( / ) ( /) ( - ) b) Después e l fctu: Cm l fctu se puce espués e hbe escnect l bteí, l cg ttl en ls plcs se cnsev. t ntes t espués Hlln l cg ntes e l fctu : ρ S S ( / ) ttl S ( / ) () Mients que p l cg espués e l fctu se h e cnsie que en el cnens existen s cmps eléctics: (cmp en el ieléctic) f (cmp en l fctu), que vienen s p: S S Cn l que l cg ttl seá: ttl S ( ) () Iguln ls ecucines () () : S ( / ) S ( ) Así, ( ) ( / ) ()

70 lectstátic Aemás, si llmms l tensión e ls cnenses ts l fctu, se h e cumpli que: f. P () () espectivmente. P tnt: f. f. () P t l, plicn l cntinui el esplmient eléctic ente el ieléctic l fctu el cnens (), sumien que n existen cgs libes supeficiles, tenien en cuent que ls vectes esplmient eléctic sn nmles ls plcs: D Df f f f (5) Ls expesines (), () (5) fmn un sistem e tes ecucines cn tes incógnits. Si ls eslvems ns cm esult: / ( - ) / ( - ) f / ( - ) D / ( - ) Df f / ( - ) b) l ptencil ente ls plcs l pems clcul en el cnens () cm: / /

71 lectstátic jecici 8 Un esquem e l sección tnsvesl el cble cxil es el mst en l figu. l Cnuct Dieléctic u Cn c i t Ls especificcines e pti sn: n el cnuct : i - m i n el cnuct : n el ieléctic:.6 ig. Dieléctic 6 /m mx /m i k je L pime que ebems hce es hll cm se istibue el cmp eléctic en el ieléctic. Aplicn el pincipi e supepsición, este cmp es l sum el cmp ce p el cnuct intei el ce p el cnuct extei: Clculems pime el vect esplmient eléctic: D D D, que genen mbs cnuctes, utilicémsl p clcul el cmp. P ell eliminems D S pime el cnuct. l esplmient D pems hlll plicn l D genelición e l Le e Guss: # DS s v, ne S S ρ h s es un supeficie ce culquie v es l cg libe ence ent e l supeficie. Así, cnsien que el cnuct tiene un ensi supeficil e cg ρ s, elegiems cm supeficie gussin un cilin cxil l cnuct, e i ltu biti h. P simetí, cm supnems que el mei cicunnte (ieléctic) es simple, el vect esplmient eléctic seá il su móul sól epeneá e l istnci l eje : D D. Sól existiá fluj tvés e l supeficie ltel el cilin, que en ls tps D es pepenicul S su puct escl seá nul. P t pte, en l supeficie ltel mbs vectes sn plels su puct escl equivle l puct e sus móuls. Así: D S D S D S # s S. Lt. S. Lt.

72 lectstátic Cm es cnstnte en ts ls punts e l supeficie ltel, D tmbién es cnstnte puee sli e l integl, p l que: D S D S hd SLt.. SLt.. P t pte, l cg v ence en el cilin vle, tenien en cuent que l ensi supeficil e cg se istibue unifmemente: v ρss ρs h i Y plicn l Le e Guss: i i hd ρsh i D ρs D ρs Clculems h l cntibución el cnuct. Al elimin el cnuct, es fácil veti que el vect esplmient eléctic ce p un cilin huec cm el cnuct es nul en su intei, que si plicms l Le e Guss, l cg libe ence p culquie supeficie ce cnteni en el intei el cilin es ce, p tnt, el esplmient es nul: D. Así, el esplmient eléctic en el intei el ieléctic se ebe sól l cnuct intei: D D. l ieléctic es un mei simple, est ns pemite escibi: D D ρ i s D que el cmp eléctic en el ieléctic es invesmente ppcinl l istnci l eje el cble, el cmp máxim se puciá p l istnci mínim, es eci, en l supeficie el cnuct intei ( i ): i 6 mx () ρs ρs i 5 /m i st ns pemite hll l siguiente cnición p l ensi e cg, ρ s : 6 ρs 5 C/m L ifeenci e ptencil ente s punts viene p: l, i ne pems elegi culquie cmin C. L más sencill es integ l lg el cmin señl en el esquem e l sección tnsvesl el cble (en l iección il), ne es plel e senti puest l : i i i ρs ρs l (ln ln i) i i i Despejems ρ s p btene l cnición que h e cumpli : 6 ρs 5 ln lni (ln i ln) i ln(.) e,.5 m 5. mm Así que el cnuct exten ebe tene un i intei men igul que 5. mm, p segu que el cmp eléctic en el islnte n supe el 5% e su igie ieléctic. i, C

73 lectstátic jecici 9 ρ s ieléctic e pemitivi ieléctic eltiv. x Se ns pie l cpci, C, que se btiene cm C. Clculems pti el cmp e integn. Supnien que ls cgs se istibuen unifmemente tenems un ensi supeficil en c plc ρ s ρ s, ne: ρ s S ρ s S Ls cnicines e cntn ente el ieléctic ls plcs vienen s p: ; t t n n ( ) D D ρ n n s inicn cn el ieléctic cn el metl. Cm en ls metles n existe cmp en su intei: n D n n ρ s ntnces, cm Cálcul e : ρ s ρ s S S. ( ) S S S.

74 lectstátic S S ( ) S S Clculems h l cpci cm: S S S C , ) ( 8 9 Fis S C S S S S S ) ( 9 8 ltis S

75 lectstátic jecici Según ls ts el pblem tenems l siguiente istibución: - A x O ) P etemin el cmp eléctic ( ), el esplmient eléctic ( D ) el vect plición ( P ), utiliems ls siguientes elcines: D P (ecución ) D (ecución ) D ρ v (ecución ) l enunci ns ice que el ieléctic n cntiene cgs libes en su intei. Cm el pblem es uniimensinl, l ecución implic que D es cnstnte ent el cnens: D D D cte P t l, cm el cmp es cnsevtiv: l, ne C [, ] C De l ecución espejms sustituen el esult en l integl ntei: l

76 lectstátic D cte D l, ne D l D D ln( )] ln() ( / ) D D ln() ln() L expesión bteni p D l sustituims en l ecución sí cnseguims etemin : D D ln(), cn ln() [ / ] Despejn el vect e plición en l ecución, sustituen ls expesines hlls p D, se tiene que: P D P P ln() ln(). b) Clcul e ls ensies e plición. Densi e cg vlumétic: ρ P P P P ln( ) ( ) Densi e cg supeficil en el ieléctic: PS P ρ n () en el igen, : () ρ PS ( ) ln() () () en : ( ) ρ PS ln() ( ) ln() c) Clcul e l cpci. Utiliems l siguiente fómul: C