TEMA 5 FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO

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1 Físic II TEMA 5.- FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO \ 1 TEMA 5 FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO 1. Ley de iot y Svt En 18, el físico dnés H. Chistin Oested obsevó que l guj de un bújul se desvib cundo se encontb cec de un hilo conducto ecoido po un coiente, lo cul e indicio de l pesenci de un cmpo mgnético en ls poximiddes del conducto. P ve l fom que tienen ls línes de cmpo, bst con situ l bújul en divesos puntos lededo del lmbe y ve l diección y sentido que dopt su guj: el polo note de l guj, como sbemos, se line con el vecto Cmpo. Si el conducto es ectilíneo y muy lgo, se obsev expeimentlmente que ls línes de cmpo son cicunfeencis centds en el hilo y situds en plnos pependicules l mismo, y el sentido de ciculción de ls misms se obtiene con l egl de l mno deech: si el pulg Figu 1 indic el sentido de l coiente que cicul po el conducto, el esto de los dedos de l mno indicn el sentido de ciculción de ls línes y, po tnto, el sentido del cmpo cedo po l coiente (Figu 1). L existenci de ests línes de cmpo (que no su sentido de ciculción) pueden ponese de mnifiesto espolvoendo limdus de hieo sobe un ppel pefodo pependiculmente po el hilo conducto: se lineán fomndo cicunfeencis concéntics. L únic pecución que hy que tom es que l intensidd se lo suficientemente gnde como p que el cmpo mgnético que cee se muy supeio l teeste, con el fin de que éste no enmsce quél. Lo que fltb p pode evlu e su elción cuntittiv con l intensidd de coiente I que cicul po el conducto. Po quell époc se sbí que un cg eléctic puntul ceb un cmpo eléctico E que obedecí un elción cuntittiv simple con q. Aho Oested cbb de descubi un nuev fuente del cmpo mgnético (un coiente eléctic) y e peciso encont un ley, nálog l de Coulomb, que elcionse el cmpo con su fuente. El poblem e que no se podí isl un punto de coiente que hiciese ls veces de l cg puntul en el cmpo eléctico: lo único que se podí hce e supone que el cmpo mgnético en un punto culquie del espcio e l sum de un conjunto infinito de pequeñs contibuciones, d, debids elementos difeenciles de conducto, d l. Tles elementos se compotín en el límite mtemático (no físico) como puntos de coiente. El cmpo en un punto culquie seí entonces: d [5.1] donde l integl se extendeí todo el conducto. Poco después del descubimiento de Oested, Jen ptiste iot y Felix Svt llegon l conclusión Agui Gcí, J; Delgdo Cbello, J. (11). Físic II OCW- Univesidd de Málg jo licenci Cetive Commons Attibution-Non-Comecil-SheAlike 3.

2 Físic II TEMA 5.- FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO \ expeimentl de que el cmpo mgnético elementl ( d ) cedo po un elemento de conducto ( d l ) ecoido po un coiente estcioni I tení ls siguientes popieddes (Figu ): ) Es pependicul tnto d l (cuy diección y sentido son los de l coiente) como (posición del punto especto de d l ). b) El módulo es invesmente popocionl l cuddo de l distnci ente y el punto ( ). d l c) El módulo es diectmente popocionl d l y l intensidd de coiente. d) Tmbién es diectmente popocionl l seno del ángulo que fomn y. d l Estos esultdos condujeon iot y Svt enunci su ley de l siguiente fom: Idl u d Km [5. ] Figu L constnte de popocionlidd, K m, se mide en el S.I., en N/A Tm/A (más delnte veemos ots posibles foms de expes l unidd de K m ). Su vlo numéico se just en función de l definición de Ampeio: veemos en el siguiente epígfe que el Ampeio se define de fom que K m se igul 1!7 N/A. Con objeto de cionliz ls fómuls (igul que en l ley de Coulomb), es costumbe escibi K m como : /4, donde : ecibe el nombe de pemebilidd mgnétic del vcío (y vle, evidentemente, 4A1!7 N/A ), con lo que l ley de iot y Svt se escibe: Idl u d [5. b] y el cmpo totl poducido po el conducto se obtendá medinte l ecución [5.1]. Si tommos un vecto unitio,, en l diección y sentido de d l, l ley de iot y Svt se escibe: u l Idl ( ) [5. ] d u l u c Si l compmos con el cmpo eléctico cedo po un cg elementl (Ecución [1.1]), que e: 1 de ε dq u obsevmos que cd cmpo es diectmente popocionl su fuente (dq p el cmpo eléctico, e IdR p el mgnético) e invesmente popocionl l cuddo de l distnci. Sin embgo, ls diecciones de mbos no son compbles: mients que de siempe tiene l diección de u, d es pependicul u (y u l ). Además, mients de sólo es nulo en el infinito, d es nulo en culquie punto de l ect que contiene d l, Agui Gcí, J; Delgdo Cbello, J. (11). Físic II OCW- Univesidd de Málg jo licenci Cetive Commons Attibution-Non-Comecil-SheAlike 3.

3 Físic II TEMA 5.- FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO \ 3 po lo que ls línes de mbos cmpos tmpoco son nálogs Cmpo mgnético cedo po un coiente ectilíne Vmos clcul el cmpo mgnético cedo po un conducto finito y ectilíneo ecoido po un coiente de intensidd I en un punto P que dist un distnci del conducto (Figu 3). Puesto que l diección y el sentido de y lo sbemos, clculemos su módulo, p lo cul empezemos po clcul el módulo del poducto vectoil ente d l y u. dl u dl 1 senφ como: N + / Y sen N cos, y qued pues: dl u dlcosθ I dl u I cosθ dl d Tenemos 3 vibles (, R y ), sí que pondemos de ells en función de l tece. Concetmente, elegiemos como únic vible. con lo que: l tgθ dl dθ cos θ cosθ Figu 3 I cosθ dl I cosθ cos θ dθ I d cosθ dθ cos θ Con objeto de que los ángulos que intevienen en l fómul finl sen los gudos, l integ demos signo los ángulos extemos de integción. Como sen (! )! sen quedá: I I θ1 cosθ dθ senθ1 sen θ θ I ( θ θ ) 1 + sen sen [5.3] ( ) Agui Gcí, J; Delgdo Cbello, J. (11). Físic II OCW- Univesidd de Málg jo licenci Cetive Commons Attibution-Non-Comecil-SheAlike 3.

4 Físic II TEMA 5.- FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO \ 4 Si el conducto es indefinido (R64) o, simplemente, si «R, entonces 1. 9 con lo que (sen 1 + sen ), y po tnto: l >> I π [5.4] 1..- Cmpo mgnético cedo po un espi de coiente Nos ceñiemos l cso pticul de un espi cicul y clculemos sólo el cmpo lo lgo de su eje (Figu 4). Se el elemento de coiente Id l. Dicho elemento ceá en el punto P, que dist del cento de l espi, el cmpo d mostdo en l figu: dicho cmpo lo descomponemos en un componente según el eje de l espi ( d 11 ) y ot pependicul dicho eje ( d 1 ). El elemento de coiente Id l ' (situdo en el oto extemo del diámeto que ps po d l ) ceá en el mismo punto un cmpo d ' simético d especto del eje, po lo que sus componentes pependicules se nuln y, po tnto, sólo hemos de sum ls componentes plels p obtene el cmpo totl. dl u dl 1 senπ dl * R + como: d 11 d sen I dl u Idl d R senθ R R R + ( + ) sustituyendo quedá: d I R 11 3 ( R + ) dl Figu 4 integndo l expesión obtenemos: I R I R d R I R l π ( R + ) π ( R + ) ( R + ) Este cmpo tiene po diección l del eje y su sentido se obtiene medinte l egl de l mno deech: si con los dedos índice, cozón, nul y meñique ecoemos l espi en el sentido de l coiente, el pulg indic el sentido del cmpo; es deci, el cmpo tiene el mismo sentido que el vecto supeficie, lo que podemos indic medinte un vecto unitio u S, en dich diección y sentido. Así pues, I R ( R + ) 3 u S [5.5] Agui Gcí, J; Delgdo Cbello, J. (11). Físic II OCW- Univesidd de Málg jo licenci Cetive Commons Attibution-Non-Comecil-SheAlike 3.

5 Físic II TEMA 5.- FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO \ 5 En puntos muy lejdos de l espi ( o R), (R + ) 3/. 3 po lo que l ecución [5.5] se escibe: Recodndo l definición de momento dipol mgnético (tem nteio) de un espi: M y sustituyéndol en l ecución [5.6] qued: I R [5.6] 3 R us R I S I SuS Iπ R us M [5.6 bis] 3 π expesión simil l cmpo eléctico cedo po un dipolo eléctico en puntos de su eje muy lejdos del dipolo (ecución [1.6]). L ecución [5.6bis] es tmbién un buen poximción del cmpo mgnético en puntos muy lejdos del cento de l espi unque no estén en el eje de l mism. En el cento de l espi ( ), el cmpo mgnético vldá, ( pti de l ecución [5.5]) C I u R S [5.7] C [5.7 bis] 3 M π R Figu 5: ) Cmpo cedo po un pequeño imán. b) Cmpo cedo po un espi de coiente. c) Regl nemotécnic p l identificción de ls cs Note y Su de un espi de coiente. A l vist de los esultdos obtenidos, podemos compob l temend similitud ente los pequeños imnes y ls espis: no sólo expeimentn el mismo momento de tosión en pesenci de un cmpo mgnético exteno, sino que mbos cen cmpos sopendentemente pecidos. L figu 5 muest ls línes de cmpo de un pequeño imán y de un espi de coiente, sí como un egl nemotécnic p identific los polos de un espi..- Fuez mgnétic ente coientes plels. Definición de Ampeio y Culombio Un semn después del descubimiento de Oested, Ampèe demostó que dos coientes plels se ten mutumente si ciculn en idéntico sentido y se epelen si ciculn en sentidos opuestos. L figu 6 muest dos coientes plels muy lgs sepds un distnci. L coiente I 1 ce un cmpo mgnético que, en l líne ocupd po el conducto es (Ecución [5.4]) Figu 6 Agui Gcí, J; Delgdo Cbello, J. (11). Físic II OCW- Univesidd de Málg jo licenci Cetive Commons Attibution-Non-Comecil-SheAlike 3.

6 Físic II TEMA 5.- FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO \ 6 1 I1 π Puesto que el conducto está ecoido po un coiente, un tozo del mismo de longitud R expeimentá un fuez mgnétic, ejecid po el cmpo cedo po el conducto 1, que vldá, en módulo (Ecución [4.13]): I Il F Il 1 Il 1 π 1 con lo que l fuez que se ejece sobe el conducto po unidd de longitud es: F l 1 I I π [5.8] Aho bien, el conducto tmbién ce un cmpo mgnético en l egión que le ode y, po tnto, ejeceá sobe el conducto 1 un fuez dd po: I Il F1 I1l1 I1l1 π 1 1 con lo que l fuez po unidd de longitud que el conducto ejece sobe el conducto 1 es: F I I l π [5.8 bis] Ests fuezs son tctivs si, como en el ejemplo indicdo en l Figu 6, ls coientes son de igul sentido y epulsiv en cso contio. Ls ecuciones [5.8] se emplen p defini l unidd de intensidd de coiente eléctic en el S.I.: el Ampeio. Un Ampeio es l intensidd de coiente que ciculndo po dos conductoes plelos e indefinidos, sepdos un distnci de un meto en el vcío, hce que se tign con un fuez de 1!7 N po cd meto de longitud. Est definición oblig que l pemitividd mgnétic del vcío (: ), vlg 4A1!7 N/A. Un vez definido el Ampeio, l definición de Culombio (unidd de cg en el S.I.) es inmedit pti de l ecución [3.1]: Un Culombio es l cg que, en un segundo, tvies l sección ect de un conducto po el que cicul un coiente de un Ampeio. 3.- Ley de Ampèe Supongmos un hilo conducto ectilíneo po el que cicul un coiente estcioni de intensidd I. En l figu 7, el conducto es pependicul l ppel y l coiente ent en el mismo. Se C un líne ced culquie: el cmpo mgnético cedo po l coiente I no es Figu 7 Agui Gcí, J; Delgdo Cbello, J. (11). Físic II OCW- Univesidd de Málg jo licenci Cetive Commons Attibution-Non-Comecil-SheAlike 3.

7 Físic II TEMA 5.- FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO \ 7 constnte lo lgo de C, unque sí lo es lo lgo de cd cicunfeenci dibujd tzos discontinuos. En cd un de ells, el cmpo mgnético se obtiene po plicción diect de l ecución [5.4]. En un punto P culquie de l cuv C, el poducto escl dl vle: dl dl cosθ ds siendo ds un elemento de l cicunfeenci cuyo cento está en el conducto y cuyo dio es l distnci del punto P l mismo. Si llmmos dn l ángulo que bc el co ds, es evidente que ds dn ( es el dio de l cicunfeenci), po lo que I I φ φ φ π π dl d d d L ciculción del cmpo mgnético lo lgo de l líne ced C seá: I I dl dφ π I π π que es l ley de Ampèe: L ciculción del cmpo mgnético lo lgo de culquie líne ced es igul : veces l intensidd de coiente que tvies l supeficie que delimit. [5.9] d l I Es peciso eslt el hecho de que l ley de Ampèe sólo es válid cundo ls coientes son estcionis, po lo que no esult se un ecución fundmentl del cmpo electomgnético. Al igul que l ley de Guss del cmpo electostático, sólo es útil p clcul cmpos mgnéticos cundo tenemos un lto gdo de simetí. De todos modos, l ecución [5.9] nos suminist un infomción dicionl: puesto que l ciculción del cmpo mgnético lo lgo de culquie líne ced no es nul, el cmpo mgnético no es consevtivo Cmpo mgnético cedo po un Tooide Un bobin tooidl const de multitud de vuelts devnds lededo de un estuctu en fom de donut (cilindo cedo sobe sí mismo en fom cicul); tl estuctu, que se muest en l figu 8, ecibe el nombe de tooide. Suponiendo que ls vuelts están muy junts, vmos clcul el cmpo en el inteio de l bobin un distnci del cento, p lo que clculemos l ciculción del cmpo lo lgo de l cicunfeenci de dio. Po simetí, el cmpo es constnte en módulo lo lgo de l líne y tngente ell en cd punto. Po lo tnto: dl dl dl π T. de Ampèe NI { } siendo N el númeo de vuelts de l bobin, pues cd vuelt tvies l supeficie cicul un vez y, po tnto, l coiente totl que tvies l Figu 8 Agui Gcí, J; Delgdo Cbello, J. (11). Físic II OCW- Univesidd de Málg jo licenci Cetive Commons Attibution-Non-Comecil-SheAlike 3.

8 Físic II TEMA 5.- FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO \ 8 supeficie cicul es N I. Despejndo qued: NI π [5.1] L ecución [5.1] nos dice que el cmpo en el inteio de un bobin no es unifome: es invesmente popocionl l distnci l cento. No obstnte, si es gnde en compción con el dio de l sección tnsvesl del tooide, entonces el cmpo es poximdmente unifome en el inteio de l bobin. En un bobin tooidl idel (espis cicules muy junts), el cmpo fue de l bobin es nulo, y que l coiente totl (net) que tvies l supeficie delimitd po culquie cicunfeenci fue de l bobin (incluid l zon del gujeo del tooide) es ceo. No obstnte, en los tooides eles en los que ls espis no son estictmente cicules (son ms bien espiles) existe un pequeño cmpo mgnético fue de l bobin Cmpo mgnético cedo po un solenoide Un solenoide es un conducto olldo helicoidlmente N veces sobe un sopote. Clculemos el cmpo mgnético en el inteio del solenoide en puntos lejdos de los extemos. L figu 9 muest un sección del solenoide. Se P un punto de su inteio: si está lejdo de los extemos, l componente pependicul del cmpo cedo en P po un de ls espis (l 1, po ejemplo) se nul con l componente pependicul de l espi simétic (l ), po lo que el cmpo totl esultnte en P tiene diección l del eje y po sentido el que d l egl de l mno deech. De tles consideciones Figu 9 deducimos, demás, que el cmpo es constnte en módulo (siempe que P esté lejdo de los extemos del solenoide). P plic l ley de Ampèe, tomemos un líne ced como l mostd en l figu 9. Evidentemente, dl dl + d + d + d b l bc l cd l d Puesto que lo lgo de bc y de d y d l son pependicules ( dl ), dl. bc dl d A lo lgo de cd el cmpo mgnético es muy débil (demás el cmpo mgnético decece con l distnci, po lo que bstí con escoge cd muy lejd del solenoide), po lo que tendemos d l. Así pues: cd dl dl dl dl x b b b Po ot pte, si el solenoide tiene n vuelts po unidd de longitud, el númeo de espis en un longitud x de solenoide es nx siendo ese, justmente, el númeo de veces que l coiente I 1 tvies l supeficie delimitd po nuest líne ced. Así pues, dl I x ni x ni [5.11] T Agui Gcí, J; Delgdo Cbello, J. (11). Físic II OCW- Univesidd de Málg jo licenci Cetive Commons Attibution-Non-Comecil-SheAlike 3.

9 Físic II TEMA 5.- FUENTES DEL CAMPO MAGNÉTICO \ 9 Es deci, el cmpo mgnético en el inteio del solenoide es popocionl l númeo de vuelts po unidd de longitud (po lo que debe emplese un conducto muy fino estechmente olldo) y l intensidd de l coiente que cicul po él. En l elidd, el cmpo mgnético en el inteio de un solenoide no es estictmente unifome y ví con l posición del punto según se muest en l gáfic de l Figu 1 figu 1. En l figu 11 se muest un esquem de ls Figu 11 línes de cmpo. 4.- Flujo mgnético. Ley de Guss p el mgnetismo Cundo desollmos l electostátic, vimos que l ley de Coulomb e sustituid con éxito po l ley de Guss; demás ést seguí teniendo vlidez donde quéll fllb: en el contexto de cgs en movimiento. Podímos pens ho si existe un ley simil p el mgnetismo, es deci, un ley que nos pemit clcul de fom sencill cmpos mgnéticos (unque y tenemos un: l ley de Ampèe) y po ello empezemos po defini flujo mgnético de fom nálog como definimos flujo eléctico, es deci: Φ ds m [5.1] S En el S.I. el flujo mgnético se mide en Webe (1 Wb 1 T m ) y en el CGS electomgnético en Mxwell (1 Mxwell 1 G cm 1!8 Wb). Puesto que l ley de Guss del cmpo eléctico hbl del flujo tvés de un supeficie ced, tendemos que pens cuánto vle el flujo del cmpo mgnético tvés de un supeficie ced culquie, y p ello hbá que ecod que el flujo es popocionl l númeo neto de línes de cmpo que tviesn l supeficie: puesto que no existe el monopolo mgnético, ls línes del cmpo mgnético son siempe ceds y, po tnto, escogid un supeficie ced culquie, sldán de ell tnts línes como enten, con lo que el númeo neto de línes de cmpo que l tviesn es ceo. Po tnto: ds [5.13] S que es l ley de Guss p el mgnetismo, que sí es un ecución fundmentl del electomgnetismo. Cundo l supeficie es biet, el flujo no tiene po qué se ceo y se clcul plicndo l ecución [5.1]. Si l supeficie es múltiple 1 el flujo seá l sum de los flujos tvés de tods ls supeficies. En el ejemplo comentdo en l not 1, ls supeficies son poximdmente igules po lo que si el flujo tvés de un de ells es M, el flujo totl seá: donde M se clcul medinte l ecución [5.1]. M N M [5.14] 1 Po ejemplo, un bobin de N vuelts limit un supeficie cicul p cd vuelt Agui Gcí, J; Delgdo Cbello, J. (11). Físic II OCW- Univesidd de Málg jo licenci Cetive Commons Attibution-Non-Comecil-SheAlike 3.