Campoelectrostáticoenelvacío 1

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1 Índice Genel 2 Cmpo electostático enel vcío 2 2. Intoducción Cgeléctic Conductoesislntes: inducciónelectostátic Electiciónpoomiento Cgdeconductoespoinducciónelectostátic LedeCoulomb Elcmpoeléctico Cmpo eléctico debido un distibución de cgs puntules: pincipio de supeposición Línesdefuedelcmpoeléctico Distibucionescontinusdecg. Densidddecg Cmpoelécticodebidodistibucionescontinusdecg Cmpoelécticodebidodistibucioneslinelesdecg Cmpoelécticodebidodistibucionessupeficilesdecg Cmpoelécticodebidodistibucionesvolúmicsdecg Flujodecmpoeléctico LedeGuss CálculodelcmpoelécticomedintelledeGuss Poblemsconsimetípln Poblemsconsimetícilíndic Poblemsconsimetíesféic QuiénfuequiénenElectomgnetismo? ChlesA.Coulomb Vesión200

2 Tem2 Cmpoelectostáticoenelvcío 2. Intoducción En l ntule se suelen conside cuto tipos de fue distintos: débil, fuete, gvitoi electomgnétic. El objeto del electomgnetismo es estudi los fenómenos poducidos po cgs /o coientes eléctics. L electostátic es l pte del electomgnetismo que estudi los fenómenos poducidos po cgs eléctics en eposo o equilibio. 2.2 Cg eléctic Concepto de cg eléctic: L cg eléctic es un popiedd intínsec de ls ptículs subtómics(potones, electones, etc.), de igul mne que lo es tmbién su ms. L cgdelpotónespositivdevloeldelelectón negtiv e, siendo e l unidd fundmentl de cg. Dos ptículs con cg de signo opuesto (un positiv ot negtiv) se ten, sin embgo, si tienen cg del mismo signo(mbs positiv o mbs negtiv) se epelen. Constitución de l mtei: Cdátomoposeenúcleocote. Elnúcleoes pequeño msivo, contiene potones neutones. Los potones están cgdos positivmente los neutones no poseen cg. Llmmos elemento ls sustncis constituids po átomos todos igules. El númeo tómico de unelemento (Z) es el númeo de potones que henunátomo. Lcoteeslonqueode l núcleo. Tiene un númeo Z de ptículs cgds negtivmente llmds electones. L ms del potón es poimdmente 2000 veces mo que l ms del electón. L cg del potón del electón son igules, peo de signo opuesto, po tnto, el átomo es elécticmente neuto. Cuntición de l cg: En l ntule, tods ls cgs se pesentn como múltiplos enteos de l cg e. En consecuenci, culquie cg q que encontemos en l ntule puede epesse como q=±ne, donden esunnúmeoenteo Consevción de l cg: En culquie poceso físico o químico l cg totl se consev, es deci, l cg totl ntes del poceso esigullcgtotldespuésdelmismo. Po ejemplo, cundo dos objetos se fotn ente sí,unodeellosquedconunecesodeelectones se cg, po tnto, negtivmente, mients que el otoquedconundéficitdeelectones,enconsecuenci,sucgespositiv. Lcgtotldelos dos objetos consided globlmente no cmbi. Uniddes de l cg Enelsistemintencionl(SI)lunidddelcgeselculombio(C). Elculombioesununiddno fundmentlquesedefineenfuncióndelunidd de coiente eléctic, el mpeio. Un culombio se definecomolcntidddecgquefluetvés 2

3 2.3 Conductoes islntes: inducción electostátic 3 deuncbleconductoenunsegundocundolintensidd de coiente es de un mpeio. Epesd en culombios, l cg del potón vle e=, C. 2.3 Conductoes islntes: inducción electostátic Conductoes: Los conductoes son mteiles en los cules pte de los electones son cpces de movese libemente (ej. metles) Aislntes: Los islntes son mteiles en los que todos los electones están ligdos los átomos ninguno puede movese libemente(ej. mde o el vidio) Cg de conductoes po inducción electostátic El electoscopio: Es un dispositivo que pemite l detección de cg eléctic. Está fomdo po dos lminills metálics unids un vill conducto que posee un esfe, tmbién metálic, en su pte supeio. El etemo de l vill del que cuelgn ls lminills está dento de un ecipiente islnte. Cundo ls lminills están descgds cuelgn junts veticlmente. Cundo se pone en contcto l esfe con un cuepo cgdo negtivmente, pte de l cg se tnsfiee l esfe se epte po todo el conjunto (esfe + vill + lminills). En consecuenci, ls lminills, mbs cgds negtivmente,sesepn. Asuve,silesfesepone en contcto con un mteil cgdo positivmente, pte de los electones libes de l esfe psnl mteil esultdo un eceso de cg positiv en todo el conjunto. Como consecuenci ls lminills tmbién se sepn Electición po omiento Los ntiguos giegos fueon los pimeos en dse cuentdequelfotelámb,ésteecpde te pequeños objetos como pjits o plums. En elidd, el témino eléctico pocede de l plb gieg electon, que signific ámb. A este fenómeno lo llmemos electición po fotmiento o omiento. P eplic los fenómenos de electición po omiento desde un punto de vist modeno consideemos dos objetos islntes distintos. Supondemos que, inicilmente, mbos objetos son neutos. Al fotlos mutumente, pte de los electones que se encuentn en ls cps más etens de los átomos de unode los objetos se tsfeián lotoobjeto. Así,lfinldelpoceso,unodelos objetos tendá un eceso de electones, po tnto decgnegtiv,elotoundefectodelosmismos,quesetduceenunecesodecgpositiv. Deestfom,mbosobjetosquednconelmismo eceso de cg peo de signo contio. No es posible cg objetos conductoes medinte fotmiento, po ello hemos de ecui otos métodos, como veemos continución. ) b) Figu 2.: ) Electoscopio descgdo. b) Electoscopio cgdo. Cg po inducción electostátic: Un conducto puede cgse medinte un método llmdo cg po inducción. P ilust este método consideemos dos esfes metálics igules, descgds en contcto. Si cecmos un de ests esfes un b cgd positivmente se poduce, en ls esfes, un eodención de los electones: ) Los electones son tídos po l b, concentándose en l esfe más póim, que qued con cg net negtiv.

4 2.4 Le de Coulomb 4 2)Lesfemáslejddelbpiedeelectones quedndo cgd con l mism cg net que l ot esfe, peo de signo positivo. Este poceso de sepción de cgs dento de un conducto se denomin polición se dice que el conducto est polido. Si ho sepmos ls esfes pimeo, etimos l b después, mbs esfes quedn cgds con igul cg net peo de signo opuesto. ) Tommos un esfe conducto neut cecmos est esfe un b cgd positivmente. Como consecuenci l esfe se poli. 2) Si ho unimos l esfe tie el fenómeno de polición se poduce en todo el conducto (esfe + tie), po tnto, electones de l tie se tnsfieen l esfe. 3) Si continución etimos l coneión tie, l esfe qued cgd negtivmente. 4) Finlmente, etindo l b, l cg net negtiv se edistibue po tod l esfe. Figu 2.2: Cg de dos esfes conductos medinte inducción electostátic. Ejemplo Dos esfes idéntics se cgn po inducción posteiomente se sepn, quedndo l esfeconuncg+qlesfe2conuncg Q. Un tece esfe idéntic ls nteioes e inicilmente descgd se pone en contcto con l esfe luego se sep (). Posteiomente se ponen en contcto ls esfes 2 3, luego se sepn(b). Cuáleslcgfinlencdunde ls esfes?. Rone l espuest. ()Alponeencontctolsesfes3lcgenecesodelesfeseepteentembs. Cundo se sepn ls dos esfes quedn con cgs +Q/2. (b) Al pone en contcto l esfe 3 con cg +Q/2 l esfe 2 con cg Q, l cg net totles Q/2;estcgseeptiáentelsdos esfes l sepls mbs quedán con cgdsconuncg Q/4. Ejemplo2 Unvilldegomconuncgnegtiv Q se cec, sin toc, l esfe de un electoscopio. Como consecuenci ls lminills del electoscopio divegen(). Se toc l esfe con un dedolslminillscenlposiciónveticl(b). Po último, pimeo se eti el dedo después l vill de gom, obsevndo que ls lminills divegen (c). Cuál es l cg finl del electoscopio?. Rone su espuest. ()Alceclvilldecg Qlesfe del electoscopio, éste se poli peciendo un eceso de cg +Q en l esfe un eceso de cg Q en ls lminills. Como consecuenci ls lminills se epelen mutumente divegen. (b)altoclesfedelelectoscopioconeldedolslminillssedescgn,estoes,lcg Q delslminillssevtie. Lesfedelelectoscopiosemntieneconunecesodecg+Q. (c) Retindo el dedo desconectmos el electoscopio de tie, quedndouncg+q en lesfe. Si después etimos tmbién l vill de gom,lcgdelesfesedistibuenpotodo el osciloscopio po tnto ls lminills quedn con cg positiv se epelen mutumente. L cg finl del electoscopio es, po tnto, +Q. Cg po inducción electostátic medinte tom de tie: P muchos popósitos l Tie puede considese como un conducto infinitmente gnde. Utilindo el siguiente pocedimiento, podemos cg un conducto, simplemente, uniéndolo tie. 2.4 LedeCoulomb Lle de Coulombesunleepeimentl,estblecid en 785 po Chles Augustin Coulomb ( ), que epes mtemáticmente l fue ejecid ente dos cgs puntules situds en el vcío en posiciones fijs. Est le equiee ntes de

5 2.4 Le de Coulomb 5 se enuncid l definición de vios símbolos mtemáticos que se ilustn gáficmente en l figu 2.3. Estos símbolos son: Cg fuente, q : supondemosleistencide uncgpuntulq situdenelpuntop devectodeposición Cg testigo o de pueb, q: demás, considemos un cg q situd en el punto P de vecto de posición. Vecto de posición eltiv, R: denotmos po RelvectoquevdesdeP P: R= Distnci ente cgs, R : l distnci ente lcgsq qeselmódulode R: R = Vecto unitio, ˆR: eselvectounitiosegún ldieccióndelvecto R,luego: ˆR= R R =, Teniendo en cuent ls definiciones nteioes, l le de Coulomb se enunci como sigue. P q ( q q) > 0 R = q P Fq q Figu 2.3: Fue ejecid po l cg fuente q sobelcgdepuebq(ledecoulomb). Enuncido de l le de Coulomb: L fue ejecid po un cg puntul sobe ot es diectmente popocionl l poducto de ls cgs e invesmente popocionl l cuddo de su distnci de sepción. L fue está diigid según l ect que une mbs cgs; es epulsiv si tienen igul signo tctiv si tienen signos opuestos Ls popieddes de l fue de Coulomb(mgnitud diección), ecogids en este enuncido, pueden epesse mtemáticmente de l siguiente fom: Mgnitud: Diección: F q q q q R 2 F q q ˆR Po tnto, podemos epes l le de Coulomb en fom mtemátic como F q q=k e qq qq R 2ˆR=Ke R qq ( ) R=Ke 3 3. dondek e esunconstntedepopocionliddcuovlodependedelsistemdeuniddes. EnelSI es usul epes est constnte en l fom K e = siendoɛ 0 esunconstnteuniveslllmdpemitividddelvcío. SuvlouniddesenelSI son ɛ 0 = 36π 0 9 = C 2 Nm 2. Conestevlopɛ 0,lconstnteK e esult K e = =9 0 9 Nm 2 C 2. En su fom más usul, l le de Coulomb se epesenfuncióndeɛ 0,luego F q q= qq ( ) 3. Lfue de Coulombpuede se tctiv o epulsiv:

6 2.4 Le de Coulomb 6 simbscgssondelmismosigno(qq >0), elsentidode F q q coincideconelsentidode Rpotntolfueesepulsiv. silscgstienensignosopuestos(qq <0), el sentido de F q q es el opuesto R po tnto l fue es tctiv. P q R P q α Fq q Pincipio de cción ección p l fue de Coulomb: L fue electostátic veific el pincipio de cción ección: sisuponemos que lcgqes lesponsbledeejeceunfuesobeq. Dich fue vendá dd po F q q = q q ( ) 3 = qq ( ) 3 = F q q. Potnto,lfue F q q esigulenmgnitud desentidocontiolfue F q q Ejemplo 3 Clcul l fue electostátic poducid po un cg puntul de C, situd en el punto P (2,4), sobe ot cg puntul de 2C situd en el punto P(5,3). Detemin l mgnitud delfueelánguloquefomconeleje. Ls coodends de los puntos están dds en el sistem ctesino2denuniddesdelsi. SegúnlledeCoulomb,lfuequeuncg puntul fuente q ejece sobe ot cg puntul testigo q se epes F q q= qq ( ) 3 donde epesentn,espectivmente,losvectoesdeposiciónlcgfuentelcgtestigo. Figu 2.4: P esolve el poblem, comenemos clculndocdundelscntiddesquepecenen l epesión nteio: q =, q = 2, = 2ˆ+4ŷ, = 5ˆ+3ŷ, = 5ˆ+3ŷ (2ˆ+4ŷ)=3ˆ ŷ, = 9+= 0. Tomndo( ) =9 0 9 sustituendoenl epesión de l fue esult F q q = (3ˆ ŷ) = (3ˆ ŷ) N Elmódulodelfuevle F q q = ˆ ŷ = elánguloconeleje α = tn ( F F 0= ( )=tn ) 3 = 0.33d= 8.4 o Ejemplo 4 Sen dos mss igules de electones sepdos un distnci igul l distnci Tie- Lun. Clcul dichs mss p que l fue N

7 2.5 El cmpo eléctico 7 eléctic ejecid ente mbs se igul(en mgnitud)lfuegvittoientelfuellun. Dtos: m T = Kg,m L = Kg,m e = Kg,d T L = m,g= Nm 2 /Kg 2. L fue de tcción gvittoi Tie-Lun vle F g =G m Tm L d 2. T L L fue de tcción electostátic ente dos cntiddes igules de electones sepds un distncid T L vle q 2 F q =K e d 2. T L Si ests dos fues son igules tendemos G m Tm L d 2 T L q 2 =K e d 2, T L de donde despejndo l cg se obtiene GmT m L q= K e = = C El númeo de electones necesio p obtene est cg es N e = q e = = electones L ms coespondiente estos electones vle M q = m e N e = = kg. Sumndo l ms totl de electones esult: kg =65.76 kg. Luego kg de electones poducen un fue electostátic igul l fuegvittoipoducidpo kg de mtei. 2.5 El cmpo eléctico Concepto de cmpo eléctico: LledeCoulombesloqueseconocecomounle deccióndistnci,quenoepliccómol cgtestigoq sbe queuncgfuenteq está en un detemind posición. Además, un viciónenlposicióndeq setduceenunvición instntáne de l fue sobe q. Este concepto se ilustenlfigu2.5. cg fuente q fue Fq q cg testigo q Figu 2.5: Concepto de fue medinte un le de cción distnci. Segúnsemuestenlfigu2.6,esconveniente descomponeelpocesopoelcuállcgq ejece fue sobe l cg q en dos subpocesos: L cg fuente ce unente entod l on del espcio que l ode. Llmemos este ente cmpo eléctico El cmpo cedo es el gente esponsble de poducilfuesobelcgtestigoquese encuente en l on del espcio donde eist dicho cmpo cg fuente q cmpo eléctico E cg testigo q fue F E q Figu 2.6: Fue tvés del concepto de cmpo.

8 2.6 Cmpo eléctico debido un distibución de cgs puntules: pincipio de supeposición 8 Definición de cmpo eléctico. Cmpo debido uncgpuntul Según sbemos, l fue electostátic ejecid po uncgq sobeotcgqes(ledecoulomb): F q q= qq R 3 R. Siguiendo l ide de descompone l fue en dos subpocesos: ) l cg fuente gene un cmpo eléctico 2) el cmpo poduce l fue sobe l cg testigo, podemos englob tods ls cntiddesenlfómulnteioquedependndelcg fuente en un nuev epesión, que llmemos cmpo eléctico E, sí E= q R R 3. Potnto,segúnseilustenlfigu2.7,lepesión nteio epesent el cmpo eléctico, en un punto de obsevción P, cedo po un cg puntul q situd en un punto P. Podemos escibi est fómul de distints foms ltentivs: E= q R R 3 = q ˆR R 2 = q 3 Uniddes del cmpo eléctico: De cuedo con l epesión nteio, ls uniddes delcmpoelécticoenelsison: [ E]= [ F] [q] = Newton Culombio =N/C Altentivmente, como veemos en tems posteioes, puede utilise como unidd del cmpo eléctico [ E]= Voltio meto =V/m Ejemplo5 Secolocuncgpuntuldevlo5 nc en un detemindo puntodel espcioepeimentunfuedevlo2 0 4 Nendiección sentidodelejepositivo. Cuántovleelcmpo en dicho punto? Según estblece el poblem q = C F =2 0 4ˆN,potntoelcmpovldá E= F q = 2 0 4ˆ =4 04ˆ N/C P q> 0 Figu2.7: Cmpoeléctico E,enelpuntodeobsevciónP,debidolcgfuenteq >0. Conocido el cmpo eléctico en l posición de un cg testigo q, l fue ejecid, po el cmpo eléctico, sobe q es: F =q E. R P E 2.6 Cmpo eléctico debido un distibución de cgs puntules: pincipio de supeposición Considemos un sistem de N cgs fuente puntulesq n situdsenunegióndelespcio,según semuestenlfigu2.8. Acdcgq nlecoespondeunvectodeposición n. Considemos, demás,unpuntodeobsevciónpcuovectode posición seá. El vecto de posición eltiv ente lcgfuenteq n elpuntopes: R n = n. Ldistncientelcgfuenteq n elpuntop es: R n =R n = n

9 2.6 Cmpo eléctico debido un distibución de cgs puntules: pincipio de supeposición 9 Elvectounitioenldiecciónde R n vle: q 2 ˆR n = R n R n. q 2 N q N P E N = n Figu2.8: CmpoelécticoenelpuntoPdebido un distibución discet de cg. Comosbemos,elcmpoelécticoquelcgq n poduceenelpuntopseepes E n = q n( n) n 3. Pincipio de supeposición: Elcmpoelécticototl EpoducidopoN cgsfuenteenelpuntopesigullsum vectoil del cmpo E n poducido po cd undelscgsindividulesq nenelpunto P. Mtemáticmente se epes: E= N n= E n = N q n n= n n 3 Un ve detemindo el cmpo eléctico poducido po l distibución, l fue sobe un cg puntul q se clcul simplemente como F =q E=q N E n n= Tmbién puede sumse diectmente l fue ejecid po cd cg fuente: F = N qe n = n= N F n n= E n Ejemplo 6 Dos cgs puntules positivs de igul vloq estánsitudssobeeleje,siméticmenteespectoloigenundistncimutude2l. Clcul el cmpo eléctico en un punto bitio del semi-eje > 0. Resolve el poblem po dos cminos difeentes: ) plicndo diectmente el pincipio de supeposición 2) teniendo en cuent l simetí del poblem. El pincipio de supeposición p dos cgs puntules estblece E= E + E 2 = q ( ) 3 + q 2( 2) 2 3, donde, en nuesto cso, q =q 2=q, =ŷ, =lˆ, 2= lˆ, =ŷ lˆ, = l 2 + 2, 2=ŷ+lˆ, 2 = l Sustituendo estos esultdos en l epesión del cmpo esult E= q (ŷ lˆ) (l ) 3/2+ q (ŷ+lˆ) (l ) 3/2 Simplificndo se obtiene E= 2q (l ) 3/2ŷ N/C 2) Teniendo en cuent l simetí del poblem. Tomemos como punto bitio del eje un puntodecoodendsp(0,),dondeesunvlo culquie. ) Aplicndo diectmente el pincipio de supeposición Ambscgssondeigulvloestánlmism distnci del punto de obsevción. Po tnto, mbs poducen cmpos elécticos de igul mgnitud, esto es E = E 2. Los cmpos elécticos poducidospocdundelscgsenelpunto P(0,)semuestnenlfigu2.9. Debidolsimetí del poblem, se obsev que el cmpo totl

10 2.7 Línes de fue del cmpo eléctico 0 q 2 2 E E α E 2 R 2 2l P(0, R ) Figu 2.9: Cmpo eléctico en P(0, ) debido dos cgs puntules positivs situds en el eje, siméticmente especto l oigen. E E = ˆ P(0, α = ˆ l E ) q q E = cosα Figu2.0: Geometípelcálculode d E cosα. E tendásólocomponente. Suvloseáigul dos veces l componente del cmpo eléctico poducidopoundelscgs. Potnto,elcmpo eléctico buscdo es de l fom E= E + E 2 =2 E cosαŷ dondeαeselánguloquefom E (o E 2 )coneleje. Bsthocondetemin E cosα. P E tenemos ˆ E = q 2 = q l Utilindoeltiángulodelfigu2.0,pcosα se obtiene cosα= l2 + 2 Sustituendo los dos últimos esultdos en l epesión de E, esult E= 2q (l ) 3/2ŷ N/C 2.7 Línes de fue del cmpo eléctico Inicilmente, Fd desolló el concepto básico de cmpo medinte un método de epesentción gáfic. El concepto mtemático ctul de cmpo es un bstcción posteio. P intoduci el concepto de líne de cmpo o líne de fue consideemos un cmpo vectoil que define un vecto en cd punto del espcio. Imginemos hounlínequeencdpuntodelespciosetngentelvectocmpo E,tlcomoseilustenl figu2.. Dichlíneesunlínedecmpo. E E E Figu 2.: Líne de cmpo eléctico. Eistenunseiedeeglsqueseplicnlepesent ls línes de cmpo eléctico: Todlínedecmpoelécticonceenuncgpositivmueeenunnegtiv. El númeo de línes que ncen o mueen en uncgespopocionllvlodelcg Ls línes se dibujn siméticmente, disminuendosudensiddllejsedelcg Lslínesdecmposólopuedencotseenls cgs puntules, donde h singuliddes. Si doslínessecotnenunpuntohbídos vectoes tngentes en el punto. En ls figus se epesentn ls línes de cmpo de cgs individules islds de pejsdecgs,tntodeigulsignocomodesigno opuesto. E

11 2.8 Distibuciones continus de cg. Densidd de cg E E + + Figu 2.2: Línes de cmpo eléctico debids un cg puntul positiv. Figu 2.3: Línes de cmpo eléctico debids un cg puntul negtiv. E + + Figu 2.4: Línes de cmpo eléctico debids dos cgs positivs de igul vlo. E Figu 2.5: Línes de cmpo eléctico debids doscgsdeigulvlosignoopuesto. 2.8 Distibuciones continus de cg. Densidd de cg Como sbemos, escl micoscópic l cg está cuntid. Sin embgo, fecuentemente es necesio tbj con volúmenes que contienen un gn númeo de cgs. En ests situciones, l distncientecgsesmuchomenoqueldimensión linel típic del volumen. Podemos supone, en estos csos, que l cg es un mgnitud continu, en consecuenci, defini un densidd de cg de fom nálogcómose define ldensiddde ms. Consideemos tes csos: distibuciones volúmics, supeficiles lineles de cg Densidd volúmic de cg: En el cso de cuepos tidimensionles l densiddvolúmicdecg(cgpounidddevolumen) se define como q ρ τ = lim τ 0 τ = dq dτ C/m 3, L cg contenid en un elemento de volumen elementl dτ es: dq=ρ τ dτ. Lcgtotlcontenidenunvolumenfinitoτ se obtiene, simplemente, integndo l epesión nteio: Q= ρ τ dτ τ

12 2.8 Distibuciones continus de cg. Densidd de cg 2 Si ρ τ = cte (cg unifomemente distibuid) en todo el volumen: Q=ρ τ dτ=ρ τ τ Not: desde un punto de vist mtemático dτ es un volumen bitimente pequeño. Sin embgo,desdeunpuntodevistfísicodτ eslosuficientemente gnde como p contene un númeo gnde de cgs l ve suficientemente pequeño comopconsidequeldensidddecgρ τ es constnte en dicho volumen. ρ τ Q dτ τ τ d q = ρ τ dτ Figu 2.6: Distibución volúmic de cg Ejemplo7 Uncntidd decg Qestá unifomemente distibuid en el volumen de un esfe de dio. Clcul l densidd volúmic de cg. L cg totl de l esfe se elcion con l densidddecgtvésdelepesión Q= ρ τ dτ. esfe Ldensidddecgesconstnte,quelcg está distibuid unifomemente, luego 4 Q=ρ τ dτ =ρ τ τ=ρ τ 3 π3, de donde se obtiene esfe ρ τ = 3Q 4π 3 C/m 3. Densidd supeficil de cg: Si l cg está en l supeficie de un volumen o sobe un cuepo supeficil, podemos defini entonces un densidd supeficil de cg (cg pounidddesupeficie)enlfom q ρ s = lim S 0 S = dq ds C/m2. Según esto, l cg contenid en un elemento de supeficie es: dq=ρ s ds L cg totl contenid en un supeficie finit se clcul como Q= ρ s ds. Q ρ s S ds dq = ρsds Figu 2.7: Distibución supeficil de cg Ejemplo8 Undiscodedio=mestácgdoconundensiddsupeficildecgρ s = 2ρ C/m 2. Clcullcgdeldisco. Lcgseclculcomo Q= ρ s ds disco dondeρ s vieneddenelenuncidods=ρdρdφ. Sustituendo qued Q= ρ s ds= 2ρ 2 dρdφ. disco disco P eli est integl doble, l fctoimos endosinteglesdelíne,unenφconloslímites deintegciónvindode02π,otenρcon viciónde0hst: ( )( 2π ) Q = 2ρ 2 dρ dφ 0 = 2 ( ρ 3 ) 3 0 (φ) 2π 0 = 4π 3 3. Eldiodelesfevlem,luego Q= 4π 3 S C.

13 2.9 Cmpo eléctico debido distibuciones continus de cg 3 Densidd linel de cg: Podemos supone que objetos tles como hilos, vills delgds o nillos son infinitmente delgdos. Cundo uno de estos objetos está cgdo, decimos que posee un distibución linel de cg, l cul se cctei po su densidd linel de cg (cg po unidd de longitud) que definimos como q ρ l = lim l 0 l = dq dl C/m. L cg contenid en un elemento de longitud es, po tnto: dq=ρ l dl. L cg totl contenid en un longitud finit es Q= ρ l dl L 2.9 Cmpo eléctico debido distibuciones continus de cg Comosbemos,hsitucionesenlsqueconviene conside que l cg tiene ntule continu. En estos csos, p clcul el cmpo poducido po un distibución de cg debeemos plic el pincipio de supeposición, de fom nálog como hemos hecho p un distibución discet. Al conside l cg continu, debeemos eempl l sum po un integl. d q > 0 R P de ρ l Q dl dq = ρ dl l L Figu 2.8: Distibución linel de cg Ejemplo 9 Clcul l cg de un vill situd sobeel ejeconsucentoenel oigendecoodendsdelongitudl=4m,sbiendoquesu densidd linel de cg viene dd po ρ l = 3 2 C/m. Lcgtotldelvillseclculcomo Q= de donde vill ρ l dl= +2 2 Q=6 C. 3 2 d= ( 3) +2 2, Figu 2.9: Cmpo eléctico en P debido un elementodecgdq. Según sbemos, el cmpo poducido un elemento decgdq enunpuntopes: d E= dq ( ) 3. P clcul el cmpo eléctico totl hbá que epes dq en función de l densidd de cg e integ tod l distibución. Este poceso se detll continución p distibuciones lineles, supeficiles volúmics de cg Cmpo eléctico debido distibuciones lineles de cg Considemos un objeto linel ccteido po un densidd linel de cg ρ l, como se muest en l figu En genel, l distibución de cgnoseáunifomepotntoρ l seáfunción de l posición. Si tommos un elemento de líne

14 2.9 Cmpo eléctico debido distibuciones continus de cg 4 dl enunposiciónbitidelcuepo,lcg contenid en este elemento es dq =ρ ldl, El cmpo eléctico poducido po este elemento de cg es: d E= dq ( ) 3 = ρ l ( ) 3dl. El cmpo totl, debido tod l distibución, se obtiene medinte integción l cmino L donde eiste cg fuente: E= L ρ l ρ l > 0 ( ) 3dl N/C. dq = ρ l L dl R P de Figu 2.20: Cmpo eléctico debido un elemento lineldecgdq =ρ l dl. Ejemplo0 Un vill de longitud L, con densidddecgρ l constnteestásitudlolgo delsemi-ejepositivoconunodesusetemosen el oigen. Clcul el cmpo eléctico en el punto P(d,0),cond>L. El cmpo debido un elemento de longitud situdo bitimente dento de l distibución es: d E= dq ( ) 3 = ρ l ( ) 3 dl. d = ρ d q l L = ˆ = dˆ Pd (,0) de Figu 2.2: Cmpo eléctico en P(d,0) debido un elemento de cg situdo en un vill que ceeneleje. Segúnseilustenlfigu2.2: dl =d, =dˆ, = ˆ, =(d )ˆ, =d. Sustituendoestosesultdosenlepesiónded E se obtiene d E= ρ l d (d ) 2 ˆ. P clcul el cmpo totl poducido po l vill cgdtendemos queintegdesde =0 hst =L,luego E = = = opendo esult L ρ l d 0 (d ) 2 ˆ ρ ( ) l L d ˆ 0 ρ ( ) l d L ˆ, d E= ρ l L N/C. d(d L)ˆ Ejemplo Clcul el cmpo electostático poducido,enelpuntop(0,l),pounhilodelongitud 2l,loclidosobeeleje,centdoeneloigen unifomemente cgdo con un densidd linel de cgρ l.

15 2.9 Cmpo eléctico debido distibuciones continus de cg 5 Según se muest en l figu 2.22, debido l simetí del poblem, el cmpo poducido po dos elementos de cg situdos siméticmnte espectoloigenvieneddopo: donde d E=d E +d E 2 =2 d E cosαŷ, d E = dq 2. dq 2 de de α 2 R 2 2 2l de P(0, l) R dq Figu 2.22: Cmpo eléctico en P(0,l) debido dos elementos de cg siméticos, situdos en un hilo cgdo. de de =l ˆ de = de cos P(0, l) α ˆ = α dq l ˆ = ρ d Figu 2.23: Geometí elevnte p el cálculo de d E cosα. Ls cntiddes que pecen en l epesión de d E vlen: =lŷ, = ˆ, 2 =l 2 +( ) 2, demás,segúnseobsevenlfigu2.23 Po tnto, cosα= l l2 +( ) 2. d E=2 d E cosαŷ= ρ l 2ld [l 2 +( ) 2 ] 3/2ŷ. Integndoen conloslímitesvindoente0 l, tenemos E = = l ρ l ld 2πɛ 0 0 [l 2 +( ) 2 ] 3/2ŷ ( ) ρ l d l l 2πɛ 0 l [ 0 +( l )2] 3/2ŷ P hce est integl elimos el cmbio l =tnα, po tnto, ( ) d =d(tnα)=sec 2 αdα l P los límites de integción tenemos: Luego, E = = = = 0 α=tn (0)=0 = l α=tn ()= π 4 ρ π 4 l 2πɛ 0 l 0 ρ l 2πɛ 0 l ρ l 2πɛ 0 l π ŷ sec 2 αdα [ +tn 2 α ] 3/2ŷ Po tnto, el cmpo pedido vle E= cosαdαŷ= ρ l 2πɛ 0 l (sinα) π 4 2ρ l lŷ N/C 0 ŷ dq =ρ ldl =ρ ld,

16 2.9 Cmpo eléctico debido distibuciones continus de cg 6 Ejemplo2 Un nillo de metl mu delgdo de dio,tieneundensidddecgρ l distibuid unifomemente. Hll el cmpo poducido po este nillo en puntos bitios de su eje. Teniendo en cuent l geometí del poblem, tbjemos en coodends cilíndics (ρ, φ, ). Hemos coincidi el plno del nillo con el plno-suejeconeleje.clculemoselcmpo elécticoenunpuntogenéicodeeje,estoes,en elpuntop(0,0,). de dq 2 2 R 2 α de de 2 P(0,0, ) R dq Figu 2.24: Cmpo eléctico en P(0, 0, ) debido dos elementos de cg siméticos situdos en un nillo cgdo. de = ˆ P(0,0, ) α = ρˆ dq ρˆ de cos ˆ = α de Figu 2.25: Geometí elevnte p el cálculo de d E cosα. = ρˆ φ = ρ dφ dq l dφ Figu 2.26: Elemento de cg en un posición biti del nillo. Ttemos se simplific l esolución de este poblem hciendo un estudio pevio de su simetí. Pellotommosunelementodecgdq en un posición bití del nillo oto elemento dq 2 en l posición opuest como se ilust en l figu Debido l geometí del poblemposeldistibucióndecgunifome,ls componentesded E d E 2 pependicules se cnceln, mients que ls componentes plels sesumn. Potnto,elcmpopoducidopoeste pdeelementosdecgenpes d E=d E +d E 2 =2 d E cosαẑ, donde,decuedoconlfigu2.25 cosα= d E = dq 2 Segúnsemuestenlfigu2.26 dq =ρ ldl =ρ ldφ Ademásenlfigu2.25seobsev =ẑ, =ˆρ, 2 = Elcmpototles de= ρ l ẑ 2πɛ 0 ( ) 3/2dφ Integndoenφ de0π,qued [ ρ E= l 2πɛ 0 ( ) 3/2 π 0 dφ ] ẑ,

17 2.9 Cmpo eléctico debido distibuciones continus de cg 7 de donde se obtiene E= 2ɛ 0 ρ l ( ) 3/2ẑ N/C Cmpo eléctico debido distibuciones supeficiles de cg Considemos, como se ilust en l figu 2.27, un cuepo sobe el que eiste un distibución supeficil de cg ccteid po un densidd supeficil ρ s. Lcgcontenidenunelemento deáeds elegidobitimentees dq =ρ sds El cmpo eléctico poducido po este elemento de cgenunpuntodeobsevciónes: d E= dq ( ) 3 = ρ s ( ) 3dS. IntegndotodlsupeficieS dondeeisteρ s, l fue totl esult E= S ρ s ( ) 3dS N/C. ρ s > 0 dq = ρs ds R P de S Figu 2.27: Cmpo eléctico debido un elemento supeficildecgdq =ρ s ds. Ejemplo 3 Detemin el cmpo eléctico cedo po un disco cicul de dio, unifomemente cgdo con un densidd supeficil de cg ρ s, enunpuntobitiodelejedeldisco. P esolve el poblem plntedo empleemos coodends cilíndics nos udemos de l simetí del mismo. Tommos como punto de obsevción uno loclidosobeeleje,undistncibitidel oigen. Considemos tmbién dos elementos de cg,dq dq 2,situdossiméticmenteespecto l oigen. Debido l simetí, el cmpo cedo po estos elementos tiene diección ẑ viene ddo po l epesión con donde d E=d E +d E 2 =2 d E cosαẑ cosα= 2 +(ρ ) 2 d E = dq 2 dq =ρ s ds =ρ s ρ dρ dφ. =ẑ, =ρ ˆρ, 2 = 2 +(ρ ) 2, de dq 2 α R 2 2 de de 2 P(0,0, ) R dq Figu 2.28: Cmpo eléctico en P(0, 0, ) debido dos elementos de cg siméticos situdos en un disco cgdo.

18 2.0 Flujo de cmpo eléctico 8 de = ˆ d = de cos P(0,0, ) α E α = ρ ˆ ρ dq ρˆ ˆ buscdo esult ρ ( s 2ɛ E= 0 ρ ( s + 2ɛ )ẑ si )ẑ si <0 odefommáscompct ( E= ρ s 2ɛ 0 )ẑ N/C , Figu 2.29: Geometí elevnte p el cálculo de d E cosα. Teniendo en cuent estos esultdos el cmpo esult de= ρ s ρ dρ dφ 2πɛ 0 [ 2 +(ρ ) 2 ] 3/2ẑ Fctoindo l epesión nteio en dos téminos, unoquesólodependdeφ otosólodeρ,qued ( ) ( ) ρ d E= s dφ ρ dρ ẑ 2πɛ 0 [ 2 +(ρ ) 2 ] 3/2 Integndo cd témino en su vible coespondienteconφ vindode0hstπ,ρ de0hst, esult ( ρ E = s π ) ( ) dφ ρ dρ ẑ 2πɛ [ 2 +(ρ ) 2 ] 3/2 = ρ s ρ dρ 2ɛ 0 0 [ 2 +(ρ ) 2 ] 3/2ẑ ( ) = ρ s ẑ 2ɛ 0 2 +(ρ ) 2 0 ( = ρ s 2ɛ )ẑ Estudiemos más detenidmente el pime témino del péntesis. En pime lug tendemos que tene en cuent que epesent un distnci po tnto debe se siempe positivo. Po consiguiente, sielpuntodeobsevciónestáenelsemieje>0, entonces 2 =>0;poelcontio,sielpunto de obsevción est en el semieje < 0, entonces 2 = >0. Teniendoestoencuent,elcmpo Cmpo eléctico debido distibuciones volúmics de cg Pocedeemos nálogmente l cso de distibuciones lineles supeficiles. P clcul el cmpo poducido po un distibución volúmic de cg dedensiddρ τ contenidenunvolumenτ,como l mostd en l figu 2.30, tommos un elemento devolumendτ,elculcontendáuncg dq =ρ τ dτ. El cmpo eléctico poducido po este elemento de cg es d E= dq ( ) 3 = ρ τ ( ) 3dτ, El cmpo totl poducido po todo el volumen τ seá E= ρ ( ) τ τ 3dτ. Enelcsogenelenelqueeistnfuentespuntules, distibuciones continus de cg, tnto lineles, supeficiles como volúmics, el cmpo totl poducido en un punto de obsevción seá l sum(vectoil) de los cmpos poducidos po cd fuente, luego E = E(puntos)+ E(línes) + E(supeficies)+ E(volúmenes). 2.0 Flujo de cmpo eléctico Concepto de flujo del cmpo eléctico: Podemos defini el flujo de cmpo eléctico de l siguiente mne:

19 2.0 Flujo de cmpo eléctico 9 dq = ρ τ dτ τ R P de ρ τ > 0 E S () E S α (b) Figu 2.30: Cmpo eléctico debido un elemento volúmicodecgdq =ρ τdτ. E S (c) ElflujodecmpoelécticoΦ E tvésde un supeficie S es un medid del númeo neto de línes de cmpo eléctico que tviesn l supeficie. Mtemáticmente se epes Φ E = S E d S, donde S puede se un supeficie biet o ced. Enelsegundocso,linteglsedenot Φ E = S E d S. Tl como se muest en l figu 2.3, cundo el cmpo eléctico es unifome en l supeficie de integción, es deci, tiene l mism mgnitud diección en todos los puntos de dich supeficie, elcálculodeφ E sesimplificconsideblemente que Φ E = E ds= E S= E S cosα S Se obsev que si E S son plelos entonces α = 0, consecuentemente, el flujo es máimo. Al contio, si E S sonmutumente pependicules entonces α = π/2, po tnto, el flujo es nulo. Figu 2.3: Flujo de un cmpo eléctico unifome. () E plelo S. (b) E S fomn un ángulo bitio α.(c) E es pependicul S. Ejemplo4 Un cg puntul de vlo q está situd en el oigen. Clcul el flujo eléctico que tvies un esfe de dio con cento en l cg. El flujo pedido se clcul medinte l epesión genel: Φ E = S E d S, donde E eselcmpoelécticocedopolcg puntul evludo en l supeficie de integción. SegúnlledeCoulombestecmpovle E= q ˆ 2, po tnto, teniendo en cuent que d S = dsˆ, el

20 2. Le de Guss 20 flujo esult luego Φ E = = esfe = q 2 q 2ˆ dsˆ esfe = Φ E = q ɛ 0 Vm. ds= q 24π2 Elflujoespopocionllcgq nodepende deldiodelesfedeintegción. 2. LedeGuss Enuncidode lledeguss: L le de Guss, tmbién conocid como teoem de Guss, constitue un de ls lees fundmentles de l electostátic. Est le puede enuncise de l siguiente mne: Elflujonetodelcmpoelécticotvés de culquie supeficie ced es igul l cg net enced dento de l supeficie divididpoɛ 0 L epesión mtemátic de est le es: S E d S= Q enc ɛ 0 en el poblem. P ilust el cso más genel consideemos un volumen τ limitdo po un supeficieceds tlcomosemuestenlfigu Suponiendo que dento de τ eisten tnto cgs puntules como distibuciones continus de cg,lcgnetenceddentodes es: Q enc = q n + ρ l dl n L + ρ s ds + ρ τ dτ S τ Nótesequetlcomoseindicenlfigu2.32,en genel,elvolumenτ ocupdopolsdistibuciones volúmics de cgs no coincide con el volumen τ.análogmente,engenel,ss sonsupeficies distints. Puntuliciones sobe l le de Guss: Ls cgs que están fue del volumen τ no fectnlflujode EtvésdeS. Enelcso delfigu2.33 q 5 q 3 q q 4 q 2 S S τ τ Figu 2.33: ρ S ρ l S C ρ τ Φ E = q +q 2 ɛ 0. Sinembgo, q 3,q 4 q 5 sífectnlvlode E encdpuntodelsupeficies. Figu 2.32: Le de Guss L epesión pticul que debemos emple pelcálculodelcgnetenced, Q enc, depende del tipo de distibuciones de cg pesentes El flujo es sólo función del vlo neto de ls cgsdento de S, peo node ls posiciones de ests cgs. Sin embgo, l cmbi ls posiciones, sí cmbi el vlo de E en cd puntodes.

21 2.2 Cálculo del cmpo eléctico medinte l le de Guss Cálculo del cmpo eléctico medinte l le de Guss L le de Guss puede utilise p clcul el cmpo eléctico debido un distibución de cg cundo dich distibución tiene ciets popieddes de simetí. L ide genel consiste en plic l epesión E d S= Q enc S ɛ 0 en uns condiciones que nos pemitn despej el cmpo eléctico, es deci, sclo fue de l integl. P ello, debe elegise un supeficie imgini S, tmbién llmd supeficie gussin. L supeficie gussin óptim es quell en l que encd undesus ptes (supeficiesque l confomn) el cmpo eléctico es nulo, pependicul oplelolvectosupeficieencdpunto. Enel cso de se plelo, l mgnitud del cmpo elécticodebesedemásconstnteenlsupeficie. Síse cumplen ests condiciones, esult sencillo despej elcmpoelécticoquesiesnuloopependicul l supeficie el flujo es ceo, si es constnte plelo l supeficie se puede sc fue de l integl. Como se despende de l discusión nteio, l pliccióndelledegusslcálculodelcmpo eléctico equiee el conocimiento pevio de cuál es l diección del cmpo de qué coodends depende. 6. ClcullcgenceddentodeS 7. Sustitui los dos últimos esultdos en l ecución de l le de Guss despej el cmpo eléctico Eisten tes gndes gupos de poblems que pueden se boddos medinte l le de Guss: poblems con simetí pln, con simetí cilíndic con simetí esféic. A continución discutiemos cd uno de ellos Poblems con simetí pln P esolve este tipo de poblems consideemos coodends ctesins(,, ). Diemos que un distibución de cg tiene simetí pln cundo l densiddde cg es, lo sumo, función de un únic coodend, digmos. Ejemplos de inteés que coesponden este tipo de simetí se muestnenlfigu2.34;sonelplnoinfinitocgdo unifomemente l lámin infinit con densidddecgρ τ,siendoéstbienconstnteobien función de. () ρ s Pocedimiento p clcul el cmpo eléctico medinte l le de Guss: El cálculo del cmpo eléctico medinte l le de Guss puede esumise en los siguientes psos: d (b) ρ τ. Elegi convenientemente un sistem de coodends 2. Detemin de qué coodends depende el cmpo eléctico utilindo gumentos bsdosenlsimetídeldistibucióndecg 3. Detemin l diección del cmpo eléctico pti de l simetí de l distibución de cg 4. Elegi un supeficie gussin S 5. ClculelflujoelécticotvésdeS Figu 2.34: Distibuciones de cg con simetí pln. () Plno infinito. (b) Lámin infinit de espeso d. Ejemplo 5 Detemin el cmpo eléctico cedo po un plno infinito cgdo unifomemente con undensiddsupeficildecgρ s >0.

22 2.2 Cálculo del cmpo eléctico medinte l le de Guss 22 ) Sistem de coodends Tl como hemos menciondo nteiomente, empleemos coodends ctesins hemos coincidi el plno de cg con el plno coodendo -. 2) Dependenci con ls coodends Tomndo un punto de obsevción P(,,) en un posición biti vindo ls coodends /o seguimos viendo ls misms fuentes (cgs)lmismdistnciqueenlposicióninicil,potntoelcmpoelécticonodependede nide. Sinembgo,sivimoslcoodend, cmbi l distnci del punto de obsevción ls fuentes. Po tnto, el cmpo eléctico dependeá, losumo,delcoodend,estoes,buscmosun cmpodelfom E= E().Cómoelcmposólo depende de, tomemos = = 0 sin que esto supong ningun pédid de genelidd, es deci, vmos clcul el cmpo en unpunto bitio deleje. dq 2 de de de 2 P(0,0, ) ρ s > 0 2 dq Figu 2.35: Cmpo eléctico debido dos elementos de cg tomdos siméticmente en un plno infinito unifomemente cgdo. 3) Diección Pveldieccióndelcmpobsttomun pej de elementos de cg, dq dq 2, situdos siméticmente especto l oigen, como se muest en l figu El cmpo cedo po estos elementostendádiecciónẑ (+ẑ si>0 ẑ si <0). Además,elplnocompletosepuedeintepet como un distibución de cg constituid po pejs de estos elementos siméticos; en consecuenci, el cmpo totl cedo po el plno tiene tmbién diección ẑ. Además, debido l simetí, el cmpohde teneigul vloigul distnci delplno,estemospoencimopodebjode éste. Entonces, podemos pone E={ +Eẑ si >0 Eẑ si <0 ρ > 0 s E = + Eˆ E = Eˆ ds ds S ds 2h Figu 2.36: Geometí elevnte p el cálculo, medinte l le de Guss, del cmpo eléctico debido un plno infinito unifomemente cgdo. 4) Supeficie gussin Tomemos como supeficie gussin un cilindo cuo eje coincidconel eje, conbse de áe S situdo con un mitd en el semiespcio > 0 conlotenelsemiespcio<0,tlcomose muest en l figu ) Flujo eléctico El flujo del cmpo eléctico tvés del cilindo gussino vle E d S = Eẑ dsẑ cilindo gussino bse supeio + bse infeio + supeficie ltel ( Eẑ) ( dsẑ) E() d S Enlsupeficielteldelcilindod S tienedieccióndil,potntolosvectoes E d S sonmu-

23 2.2 Cálculo del cmpo eléctico medinte l le de Guss 23 tumente pependicules en culquie punto de dich supeficie; consecuentemente el flujo ltel es nulo. Además, los flujos tvés de ls bses son igules, luego E d S=2 EdS =2E ds=2es ρ s > 0 E cilindo gussino bse bse 5) Cg net enced L cg enced dento del cilindo gussino se coesponde con l cg contenid en el cículo puntedo de l figu 2.36, luego Q enc = cículo ρ s ds =ρ s cículo ds =ρ s S. 6) Resolución Sustituendo los dos esultdos nteioes en l epesióndelledegussqued E= ρ s 2ɛ 0. Po tnto, el esultdo finl es + ρ s ẑ si >0 E= 2ɛ 0 ρ s ẑ si <0 2ɛ 0 Un fom más compct de escibi este esultdo es E= ρ s 2ɛ 0 ẑ N/C. Enlfigu2.37semuestnlslínesdecmpo eléctico debids l plno cgdo unifomemente. Sildensidddecgfuesenegtiv,lslínesde cmpo tendín l mism diección peo con sentido contio, es deci, entnte l plno. L vicióndelcmpoelécticoconldistncilplnose muestenlfigu2.38. Seobsevqueelcmpo es discontinuo l tves l supeficie cgd. El vlodelsltoesigulldensidddecgdivididpoɛ 0,estoes, E(0 + ) E(0 )= ρ s ɛ 0. Figu 2.37: Línes de cmpo eléctico debids un plno infinito unifomemente cgdo. ρ s E() 2ε 0 ρ s 2ε 0 ρ s ε 0 Figu 2.38: Vición del cmpo eléctico con l distnci un plno infinito unifomemente cgdo(lposicióndelplnocoincidecon=0) Poblems con simetí cilíndic Consideemos coodends cilíndics(ρ, φ, ). Diemos que un distibución de cg tiene simetí cilíndic cundo l densidd de cg depende, lo sumo, de l coodend dil ρ. Ejemplos de distibuciones de cg con simetí cilíndic son el hiloectocondensiddlineldecgρ l constnte, l supeficie cilíndic con densidd supeficil de cg ρ s contnte, el volumen cilíndico con densiddvolúmicdecgρ τ constnteofunción delcoodendρ. Entodosloscsos,ldistibución debe se de longitud infinit. Estos ejemplos seilustnellfigu2.39.

24 2.2 Cálculo del cmpo eléctico medinte l le de Guss 24 ρ l ρ s ρ τ Potnto,debidolsimetídeldistibución lunifomidddeρ l,elcmpoelécticodebidol hilo completo tendá tmbién diección ˆρ. Entonces,elcmpobuscdoesdelfom E=E(ρ)ˆρ. () (b) (c) Figu 2.39: Distibuciones de cg con simetí cilíndic. () Hilo infinito. (b) Supeficie cilíndic de longitud infinit. (c) Volumen cilíndico de longitud infinit. Ejemplo 6 Clcul, medinte l le de Guss, el cmpo eléctico debido un hilo ecto, infinito, condensidddecglinelρ l positivconstnte. ) Sistem de coodends Hemoscoincidiel hiloconeleje empleemos coodends cilíndics p esolve el poblem. 2) Dependenci con ls coodends TommosunpuntodeobsevciónP(ρ,φ,)en un posición biti del espcio. Se obsev que incementndo ls coodends φ /o del punto se ven ls misms fuentes l mism distncique enl posicióninicil; po tnto, el cmpo no puede se función de φ ni de. Sin embgo, sicmbimoselvlodelcoodendρdelpunto de obsevción, l distnci l hilo cmbi; en consecuenci cmbiá tmbién el vlo del cmpo eléctico. Concluimos entonces que el cmpo cedopoelhilodependesólodelcoodendρ,esto es, E= E(ρ). 3) Diección Tommosunpejdeelementosdecg,dq dq 2, situdos siméticmente especto l oigen un punto de obsevción situdo un distnci ρ del oigen, como se ilust en l figu El cmpo esultnte en dicho punto tendá diección ˆρ. ρ l dq dq 2 > 0 P( ρ, φ,0) de 2 de Figu 2.40: Cmpo eléctico debido dos elementos de cg tomdos siméticmente en un hilo infinito unifomemente cgdo. 3) Supeficie gussin Como supeficie gussin tomemos un cilindocuoejecoincidconeleje,delongitudfinit Ldedioρ,tlcomoseilustenlfigu2.4. Est supeficie cumple ls condiciones de l le de Gussque Eespependiculd Senlsbses del cilindo, es plelo d S constnte en l supeficie ltel. L ρ l > 0 ds ρ E ds Figu 2.4: Geometí elevnte p el cálculo, medinte l le de Guss, del cmpo eléctico debido un hilo infinito unifomemente cgdo. ds de ρˆ

25 2.2 Cálculo del cmpo eléctico medinte l le de Guss 25 4) Flujo eléctico El flujo eléctico tvés del cilindo gussino delfigu2.4es E d S = E(ρ)ˆρ dsẑ cilindo gussino bse supeio + bse infeio + supeficie ltel E(ρ)ˆρ ( dsẑ) Eˆρ dsˆρ Elflujotvésdelsbsesesnulo,queelcmpo eléctico es pependicul l vecto supeficie, demás el vlo del cmpo eléctico en l supeficie ltel es constnte, luego E d S=E ds=e2πρl. cilindo gussino supeficie ltel 5) Cg net enced L cg net enced dento del cilindo gussino es Q enc = L/2 L/2 L/2 ρ l dl =ρ l dl =ρ l L. L/2 6) Resolución Sustituendo los dos últimos esultdos en l ecucióndelledegussesult Figu2.42: Línesdecmpocedspounhilo de longitud infinit unifomemente cgdo. Análogmente l ejemplo del hilo infinito, el cmpo eléctico cedo po l supeficie cilíndic dependeásólodelvibleρtendádiecciónˆρ, esdeci, E(ρ)=E(ρ)ˆρ. Sin embgo, difeenci del ejemplo nteio, en este poblem se obsev que l distibución de cg divide el espcio en dos egiones: l egión inteiolcilindo(ρ<)legióneteio(ρ> ). En estos csos debe plicse l le de Guss en cd egión po sepdo. ds E ρ s > 0 E= ρ l 2πɛ 0 ρ potntoelesultdofinles E= ρ l 2πɛ 0 ρˆρ. En l figu 2.42 se muest un vist tnsvesl deunhilocgdolslínesdecmpoeléctico ceds. L ρ ds ds E Ejemplo 7 Clcul el cmpo eléctico debido un supeficie cilíndic de longitud infinit dio, unifomemente cgd con un densidd supeficildecgpositivρ s. Figu 2.43: Geometí elevnte p el cálculo del cmpo eléctico debido un supeficie cilíndic infinit unifomemente cgd. Cso ρ <. )Regióninteiolcilindodecg(ρ<) Tomemos como supeficie gussin un cilindo

26 2.2 Cálculo del cmpo eléctico medinte l le de Guss 26 deltuldioρ<,tlcomosemuestenl figu De fom nálog l poblem nteio, elflujodelcmpoelécticotvésdelgussin es E d S = Eˆρ dsˆρ cilindo gussino supeficie ltel = E supefice ltel ds=e2πρl. L cg enced dento de l gussin es ceo Q=0, potnto,elcmpoenestegiónesultnulo E=0 pρ< L cg enced en el cilindo gussino se coesponde con l cg eistente en un longitud L de l supeficie cgd, luego Q enc = ρ s ds =ρ s ds =ρ s 2πL. supeficie ρ= Po tnto, el cmpo esult supeficie ρ= E= ρ s pρ> ɛ 0 ρˆρ Seobsevqueenρ=elcmpoelécticoesdiscontinuo dndo un slto de vlo E( + ) E( )= ρ s ɛ 0 0= ρ s ɛ 0. ds ρ s > 0 E L ds ρ E ds Figu2.45: Línesdecmpocedspounsupeficie cilíndic de longitud infinit unifomemente cgd. Figu 2.44: Geometí elevnte p el cálculo del cmpo eléctico debido un supeficie cilíndic infinit unifomemente cgd. Cso ρ >. b)regióneteiolcilindodecg(ρ>) Tommos como gussin un cilindo de ltu L dioρ>,tlcomoseilustenlfigu2.44. Seobsevqueelflujo,enestecso,tienelmism epesión mtemátic que en el cso nteio: E d S=E2πρL. cilindo gussino Poblems con simetí esféic En l figu 2.46 se muest un supeficie esféic unifomemente cgd un volumen esféico conundensiddvolúmicdecgρ τ.ambosson ejemplos de distibuciones con simetí esféic, queldensidddecgdepende,losumo,del distncidelcentodelesfelpuntodeobsevción. En ots plbs, desde culquie punto situdoundistncifijdelcentodelesfe sevelmismdistibucióndecg. Enelcsode

27 2.2 Cálculo del cmpo eléctico medinte l le de Guss 27 l distibución volúmic de l figu 2.46, l densidddecgpuedeseconstnteodependedel coodend. ρ s ρ τ P dq 2 dq ρ s > 0 P de de 2 de () (b) Figu 2.47: Cmpo eléctico debido dos elementod de cg siméticos tomdos sobe un supeficie esféic. ρ s > 0 Figu 2.46: Distibuciones con simetí esféic. () Supeficie esféic. (b) Volumen esféico. ds E Ejemplo 8 Clcul el cmpo eléctico debido un supeficie esféic de dio con densidd supeficildecgρ s positivconstnte. Hemos coincidi el cento de l esfe con el oigen de coodends. Debido l geometí de l densidd de cg, el cmpo seá únicmente función de l distnci del oigen l punto de obsevción. Además, tl como se muest en l figu 2.47, tomndo elementos de cg situdos siméticmente obsevmos que el cmpo esultnteenelpuntoptendádieccióndil,loculindicemos medinte el vecto ˆ. Podemos be l esfe complet considendo elementos siméticos de cg, po tnto el cmpo totl debido l supeficie esféic tendá diección ˆ. En consecuenci, estmos buscndo un cmpo de l fom E=E()ˆ. En los poblems con simetí esféic, l supeficie gussin decud es un esfe de dio concéntic con l distibución de cg, que en dich supeficie el cmpo eléctico tiene mgnitud constnte es plelo l vecto supeficie. Aligulquesucedióconelejemplodelsupeficie cilíndic, en este poblem es necesio distingui ente ls egiones inteio eteio l esfe decgpliclledegussencdunde ells. )Regióninteiolesfedecg(<) Figu 2.48: Geometí elevnte p el cálculo del cmpo eléctico debido un supeficie esféic unifomemente cgd. Cso <. L supeficie gussin p est egión se muestenlfigu2.48. Elflujoelécticotvésde l esfe gussin vle E d S = Eˆ dsˆ esfe gussin = E esfe gussin esfe gussin ds=e4π 2. Comoseobsevenlfigu2.48,enestegión lcgnetencedpolgussinesnul Q enc =0, po tnto, el cmpo eléctico tmbién lo es, luego E=0 p <. b)regióneteiolesfedecg(>) El flujo eléctico tvés de l supeficie gussinmostdenlfigu2.49vle E d S=E4π 2. esfe gussin

28 2.2 Cálculo del cmpo eléctico medinte l le de Guss 28 ρ s > 0 ds E E() ρ s ε 0 E = 0 0 ρ E = s ε / ρ s Figu 2.49: Geometí elevnte p el cálculo del cmpo eléctico debido un supeficie esféic unifomemente cgd. Cso >. queeselmismoesultdoqueobtuvimosp<. Estoesdebidoque,enlpliccióndellede Guss poblems con vis egiones, l epesión del flujo tvés de l gussin es el mismo con independenci de l egión en l que estemos. Ploneteio, lcgencedpol gussineslcgtotldelesfe Q enc = ρ s ds=ρ s 4π 2. esfe = EmplendolepesióndelledeGuss,elcmpo eléctico esult E= ρ s 2 ˆ p>. ɛ 0 2 A pti de los esultdos obtenidos, se obsev que el cmpo eléctico es discontinuo l tves l supeficie esféic cgd. Tl como se ilust enlfigu2.50,elsltoenelvlodelcmpoes E( + ) E( )= ρ s ɛ 0 0= ρ s ɛ 0, es deci, se obtiene el mismo esultdo que en los ejemplos del plno de l supeficie cilíndic. Figu 2.50: Vición del cmpo eléctico con l distnci l cento de un supeficie esféic de dio, unifomemente cgd. Aligulqueenelejemplonteio,elcmpoelécticobuscdoesdelfom E=E()ˆ;ldistibución volúmic de cg divide el espcio en dos egiones: ><;,poseunpoblemcon simetí esféic, tomemos supeficies gussins enfomdeesfededio. En mbs egiones el flujo eléctico tiene l epesión E d S=E4π 2. esfe gussin P clcul l cg enced po l gussin consideemos cd egión po sepdo. ρ τ ds E = Eˆ Ejemplo 9 Detemin el cmpo eléctico debidoundensiddvolúmicdecgρ τ constnte contenidenunesfededio. Figu 2.5: Geometí elevnte p el cálculo del cmpo eléctico debido un volumen esféico unifomemente cgdo. Cso <. )Regióninteiolesfedecg(<) Segúnseobsevenlfigu2.5,lcgnet

29 2.3 Quién fue quién en Electomgnetismo?. 29 enced dento de l gussin vle 4 Q enc = ρ τ dτ =ρ τ 3 π3. esfe gussin El cmpo esult entonces E= ρ τ 3ɛ 0 ˆ p<. un cg puntul del mismo vlo situd en el cento de l esfe. E() 0 E = ρ τ 3ε 0 E = 2 3 ρ 3 τ 2 3ε 0 / ρ τ E = Eˆ ds Figu 2.52: Geometí elevnte p el cálculo del cmpo eléctico debido un volumen esféico unifomemente cgdo. Cso >. b)regióneteiolesfedecg(>) En este cso, como se ilust en l figu 2.52, l cg net enced dento de l gussin se coesponde con l cg totl, luego Q enc = esfe = ρ τ dτ =ρ τ 4 3 π3. Sustituendo estos dos esultdos en el teoem de Guss ñdiendo l diección se obtiene E= ρ τ 3 3ɛ 0 2ˆ p>. Es inteesnte epes este esultdo en función de lcgtotldelesfe,quevle Q totl =ρ τ 4 3 π3 =Q enc entonces, tmbién podemos epes el cmpo como E= Q totl 2ˆ p>, loculmuestqueelcmpopoducidopolesfeenlegióneteioesigullquepoducií ρ τ Figu 2.53: Vición del cmpo eléctico con l distnci l cento de un volumen esféico unifomemente cgdo de dio. 2.3 QuiénfuequiénenElectomgnetismo? Chles A. Coulomb Chles-Augustin de Coulomb (Angoulême, Fnci, 4 de junio de Pís, 23 de gosto de 806) 2. Físico e ingenieo milit fncés. Se ecued po hbe descito de mne mtemátic l le de tcción ente cgs eléctics. En su hono l unidd de cg eléctic llev el nombe decoulomb(c).enteotsteoísestudiossele debelteoídeltosiónectunnálisisdel fllo del teeno dento de l Mecánic de suelos. Fue el pime cientifico en estblece ls lees cuntittivs de l electostátic, demás de eli muchs investigciones sobe mgnetismo, omiento electicidd. Sus investigciones científics están ecogids en siete memois, en ls que epone teóicmente los fundmentos del mgnetismo de l electostátic. En 777 inventó l blndetosiónpmedilfuedetccióno 2 Fuente: Augustin_de_Coulomb

30 2.3 Quién fue quién en Electomgnetismo?. 30 conocido como"lees de Coulomb". Figu 2.54: Chles A. Coulomb( ) epulsión que ejecen ente sí dos cgs eléctics, estbleció l función que lig est fue con l distnci. Con este invento, en 785 estbleció el pincipio, que ige l intección ente ls cgs eléctics, ctulmente conocido como le de Coulomb. Fue educdo en l École du Génie en Méiees segduóen76comoingenieomilitconel gdo de Pime Teniente. Dunte nueve ños sivió en ls Indis ccidentles, donde supevisó l constucción de fotificciones en l Mtinic. En 774, se convitió en coesponsl de l Acdemi de Ciencis de Pís. Comptió el pime pemio de l Acdemi po su tículo sobe ls bújuls mgnétics ecibió tmbién el pime pemio po su tbjo clásico cec de l ficción, un estudio que no fue supedo dunte 50 ños. Dunte los siguientes 25 ños, pesentó 25 tículos l Acdemi sobe electicidd, mgnetismo, tosión plicciones de l bln de tosión, sí como vios cientos de infomes sobe ingenieí poectos civiles. Coulomb muió en 806, cinco ños después de convetise en pesidente del Instituto de Fnci (ntigumente l Acdemi de Ciencis de Pís). Su investigción sobe l electicidd el mgnetismopemitióqueestáedelfísicsliedel filosofí ntul tdicionl se convitie en un cienci ect. L histoi lo econoce con ecelenci po su tbjo mtemático sobe l electicidd