Tema 3: Juegos dinámicos con información completa. Conceptos de solución. Se dividen en. Las estrategias

Transcripción

1 Teoí de ls decisiones y de los juegos Tem : Juegos dinámicos con infomción complet Qué ccteiz los juegos dinámicos con infomción complet? Supuestos básicos: Elección secuencil. nfomción complet de pgos, esttegis, númeo de jugdoes. Rcionlidd (cd uno mximiz su pgo). onocimiento genelizdo (no sólo mutuo) de l cionlidd: o soy cionl (nivel 0) y sé que los otos jugdoes son cionles (nivel ) y tmbién sé que ellos sben que yo sé que ellos son cionles (nivel ). d infinitum. onceptos de solución Se dividen en nducción hci tás. Equilibio de Nsh pefecto en subjuegos. 4 juegos dinámicos con infomción complet y pefect juegos dinámicos con infomción complet peo impefect L infomción es pefect si en cd momento del juego, el jugdo quien le coesponde decidi (es deci, escoge un cción) conoce l histoi complet de tods ls cciones escogids hst ese momento. Juegos dinámicos con infomción complet y pefect Su epesentción hbitul es en fom extensiv. El jugdo conoce l cción que h escogido el jugdo ntes de decidi o b. Ls esttegis onjunto de esttegis del jugdo, S ={, } onjunto de esttegis del jugdo, S ={, b, b, bb} b si jueg b si jueg Un esttegi de un jugdo es un pln de cción completo, es deci, especific un cción fctible del jugdo en cd contingenci en l que l jugdo le puede coesponde ctu. 5 6

2 nducción hci tás nducción hci tás Juego en dos etps:. El jugdo escoge un cción s.. El jugdo obsev y escoge s.. Ls gnncis son los pgos coespondientes ls cciones s y s. Resolución po inducción hci tás:. eteminmos los pgos en función de ls esttegis.. El jugdo escoge su esttegi de mejo espuest p cd posible elección del jugdo, MR{s }.. El jugdo nticip el compotmiento de y escoge s tl que (s, MR{s }) le popocione el máximo pgo. 7 8 Ejemplo. Ejemplo. 9 Recodemos: S ={, } y S ={, b, b, bb} Pso : MR del jugdo Si elige : MR {}= Si elige : MR {}= b Esttegi de s * = b. Pso : s * mximiz u (s,b). u (,b) = u (,b) = 8 El jugdo elige Equilibio de este juego (s *, s *) = (, b) u (s *, s *)= 8 y u (s *, s *)= 0 unque l fom extensiv es más / b b bb conveniente p esolve un juego dinámico, podemos ponelo en fom noml: (,5) (,5) (8,) (-,-) (-,-) (8,) Teoem: L solución del método de inducción hci tás es un equilibio de Nsh del juego en fom noml. Ejemplo. (, 0, ) (,, ) (5, 4, 4) (0, -, 7) (-,, 0) S ={, }, S ={, }, (-, 5, 6) S ={,,,,,,, } si jueg si y juegn si y juegn Ejemplo. Pso : MR del jugdo Si elige : MR {}= Si elige y : MR {, }= Si elige y : MR {, }= Esttegi de es s * =. Pso : mximiz su utilidd ddo s * =. MR {, } =. Pso : mximiz su utilidd ddo s * = y s * = MR {, } =. Equilibio de este juego (s *, s *, s *) = (,, )

3 Ejemplo. Esttegis vs cciones Un cción o movimiento es un elección que puede hce un jugdo en lgún nodo suyo. Un esttegi del jugdo i se simboliz con s i y es un pln completo que especific un cción p todos sus nodos. En el ejemplo. ls esttegis de equilibio son (s *, s *, s *) = (,, ). Sin embgo, ls cciones son: =, = y =. Si los pgos (-, 5, 6) fuesen (6,5,6) entonces ls esttegis de equilibio seín ho: (s **, s **, s **) = (,, ). y ls cciones esultntes: = y =. 4 Ejemplo. ho que sbemos cuáles son los conjuntos de esttegis, cuál es el juego en fom noml coespondiente? Pist: Un jugdo escoge un fil, oto jugdo escoge un column, y el tece jugdo escoge un mtiz 5 Ejemplo.: L btll de los sexos, vesión secuencil. L ventj del que jueg pimeo. S ={, F} y S ={cc, cf, fc, ff} c (, ) Pso : MR del jugdo Si elige : MR {}=c Si elige F: MR f {F}= f (-,-) Esttegi de s * = cf. Pso : s * mximiz u (s,cf). c (0, 0) u (,cf) = F u (F,cf) = f El jugdo elige F (, ) Equilibio de este juego (s *, s *) = (F, cf) con pgos u (s *, s *)= y u (s *, s *)= en otos juegos, jug pimeo siempe d ventj? 6 Ejemplo.: L btll de los sexos, vesión secuencil. En fom noml: pte de l solución / cc cf fc ff (F,cf), hy otos equilibios de Nsh: (,cc) y (F,ff), peo no son buens pedicciones. onsideemos (,cc). F (,) (,) (,) (-,-) (-,-) (,) Ventjs del inducción hci tás: Eliminción de ls menzs no ceíbles. esventjs del inducción hci tás: Pedicción del juego, l cionlidd. Ejemplo.4: El juego del ciempiés. 7 Supongmos que et () menz lbet () con i l cine independientemente de l cción que tome, es ést un menz ceíble? Si elige F y cumple su menz, ecibií un pgo de ceo en lug de un pgo de. do que los jugdoes son cionles (mximizn su utilidd), un vez que hy elegido F el jugdo pefeiá no cumpli su menz. escoge l esttegi que mximiz su utilidd en l segund etp del juego: f. L solución po inducción hci tás elimin ls menzs no ceíbles. 8 c c P p P p P p (,0) (0,) (,) (,4) (5,) (4,6) (6,5) El jugdo comienz eligiendo ente p el juego con lo que se obtienen unos pgos (,0), o continu, en cuyo cso l elección de p o continu eceí sobe el jugdo, con l pime elección el juego se p y se obtienen los pgos (0,), de continu l esponsbilidd de continu o no ece en el jugdo, ltenándose hst el finl o hst que uno de los jugdoes decid p. c

4 esventjs del inducción hci tás: Pedicción del juego, l cionlidd Ejemplo.4: El juego del ciempiés. Pedicción del juego: El juego no se jueg nunc!!! El jugdo elige P l comienzo del juego lo que le pot un pgo de, el jugdo ecibe un pgo de 0. Qué ocue si obsev que h elegido? no es cionl se h equivocdo espe que sig p lcnz el pgo (6,5). Juegos dinámicos con infomción complet peo impefect Repesentción en fom extensiv : undo el jugdo elige ente o b no sbe en que nodo se encuent, es deci, desconoce l elección del jugdo. Este ejemplo en pticul epesent un juego estático. El supuesto de cionlidd se mntiene lo lgo del juego. No tenemos pedicciones de l continución del juego p esttegis fue de equilibio Juegos dinámicos con infomción complet peo impefect. Juegos dinámicos con infomción complet peo impefect En los juegos dinámicos con infomción complet peo impefect los jugdoes escogen de mne secuencil, peo en lgun etp del juego lgún jugdo escoge un sol cción p múltiples nodos (suyos) de mne simultáne. Es peciso intoduci lgunos conceptos dicionles: onjunto de infomción y Subjuegos. onjunto de infomción Un conjunto de infomción de un jugdo i es un colección de nodos de decisión tl que. cundo en el tnscuso del juego se lleg un nodo del conjunto, el jugdo i no sbe qué nodo del conjunto se h llegdo y (po lo tnto). el jugdo i h de tom un sol decisión p todos los nodos del conjunto. Subjuego Un subjuego es un juego en fom extensiv, y siempe. empiez en un nodo de decisión n que se un conjunto de infomción con un único elemento;. incluye todos los nodos de decisión y teminles que siguen n;. no intesect ningún conjunto de infomción. Subjuegos. Ejemplo.5 Subjuegos onside l siguiente vición del Ejemplo. (-, 5, 6) (,, ) (5, 4, 4) (0, -, 7) (-,, 0) (, 0, ) uáles son sus subjuegos? Subjuego Subjuego (,, ) (, 0, ) (5, 4, 4) (0, -, 7) (-, 5, 6) (-,, 0) 4 4

5 Subjuegos Subjuegos? Sí, son todos. y... Subjuego : El juego enteo! (,, ) (5, 4, 4) (0, -, 7) (-,, 0) (, 0, ) (-, 5, 6) 5 6 Subjuego? No. (ond..) Subjuego? No. (ond..) n e ( 4,-7) s t ( -, ) ( 5, 0) (, ) (,-) (-, -) (-, -) n e ( 4,-7) s t ( -, ) ( 5, 0) (, ) (,-) (-, -) (-, -) Subjuego? No. (ond..) s ( -, ) t ( 5, 0) n ( 4,-7) (, ) (,-) e (-, -) (-, -) 0 onjunto de infomción, memoi pefect b b ( 0, 5) 4 (, ) (, 4) ( 4, 0) b (, ) 4 b (, ) El jugdo no ecued lo que h elegido en el pime nodo de decisión! Supondemos que esto no ocue nunc, es deci, supondemos que todos los jugdoes tienen memoi pefect. 5

6 Equilibio de Nsh pefecto en subjuegos efinición: Un equilibio de Nsh es pefecto en subjuegos (EPS) si ls esttegis constituyen un equilibio de Nsh en cd subjuego. Equilibio de Nsh pefecto en subjuegos, infomción pefect En el cso de infomción pefect, el equilibio de Nsh pefecto en subjuegos se obtiene po inducción hci tás (y y está!). Ejemplo.: el equilibio de Nsh pefecto en subjuegos es (, b); el esultdo o l tyectoi es el cmino detemindo po ls cciones esultntes: (, b); los pgos son (8,). Equilibio de Nsh pefecto en subjuegos, infomción impefect onsideemos el Ejemplo.5, un juego con infomción impefect. El equilibio de Nsh pefecto en subjuegos es (,, ). Po qué? Equilibio pefecto en subjuego, infomción impefect Subjuego Subjuego MR {}= MR {}= (,, ) (5, 4, 4) (0, -, 7) (-,, 0) MR {}= MR {}= (, 0, ) (-, 5, 6) MR {}= 4 Equilibio pefecto en subjuego, infomción impefect Ejemplo.6 Subjuego : El juego enteo. onsidéese el juego en fom extensiv. 5 (, 0, ) (-, 5, 6) (,, ) (5, 4, 4) (0, -, 7) (-,, 0) 6 c d c d x y (-,0) (0,) (-,) (,) (,) (-,-). Especifíquense el conjunto de esttegis pus de cd jugdo.. lcúlense los equilibios de Nsh pefectos en subjuegos en esttegis pus. 6

7 Ejemplo.6 Ejemplo.7 Espcios de esttegis pus: S ={,, }; S ={xc, xd, yc, yd}. Hy tes equilibios de Nsh pefecto en subjuegos: (s *, s *) = (, xd) y. onsidéese el juego en fom extensiv. b (-,0) (0,) (-,). Especifíquense el conjunto de esttegis pus de cd jugdo.. lcúlense los equilibios pefectos en subjuegos en esttegis pus. (,) (,) 7 8 Ejemplo.7 Ejemplo.8 Espcios de esttegis pus: S ={,,, }; S ={, b}. Hy dos equilibios de Nsh pefectos en subjuegos (en esttegis pus): (s *, s *) = (, b) y (s, s ) = (, b). b b (6, ) (, 0) (, ) (, ) onjuntos de esttegis pus? EN? Equilibio pefecto en subjuegos? Juegos epetidos. Juegos epetidos Supongmos que el juego del dilem del pisioneo se epite dos veces: etp etp El único equilibio de Nsh en l segund etp es (, ) que popocion un pgo de (-0, -0). En l pime etp, sumndo los pgos que se obtendán en l segund etp, tenemos / N (-0,-0) (0,-) / N (-0,-0) (0,-) etp 4 N (-,0) (-,-) N Empezmos po l etp. (-,0) (-,-) 4 / N (-0,-0) (-,-0) Not: U i = u i,t + u i,t N (-0,-) (-,-) Ls cciones esultntes del único equilibio pefecto en subjuegos son p mbos jugdoes. 7

8 . Juegos epetidos efinición: do un juego de etp G, G(T) denot el juego epetido finitmente en el que G se jueg T veces, hbiendo los jugdoes obsevdo los esultdos de tods ls jugds nteioes ntes de que empiece l siguiente. Ls gnncis de G(T) son simplemente l sum de ls gnncis de los T juegos de etp.. Juegos epetidos Si el juego de etp G tiene un único equilibio de Nsh, entonces, p culquie T finito, el juego epetido G(T) tiene un único esultdo pefecto en subjuegos: en cd etp se jueg el equilibio de Nsh de G Ejemplo.9 Ejemplo.9 45 onsidéese el juego G={S =S ={,, }; u, u } que se jueg dos veces. / (,) (0,5) (5,0) (4,4) (,) EN= {(, ), (, )} 46 cundo tenemos múltiples equilibios de Nsh? Podemos coodin y obtene lgo mejo? En l segund etp se jugá culquie de los equilibios de Nsh. En genel, en l últim etp de un juego epetido finitmente siempe se jueg un EN. Supongmos que l elección de (, ) los jugdoes esponden con (, ) en l segund etp y culquie ot elección esponden con (, ) en l segund etp. onstituye este pln un equilibio de Nsh pefecto en subjuegos? Ejemplo.9 Ejemplo.9 47 Etp : Si en l etp dos se jueg (, ) en espuest (, ) el pgo es de (, ). Seá de (,) en todos los demás csos. / (,) (,6) (,) (6,) (7,7) (,) (,) (,) (4, 4) Si jugmos (, ), en l segund etp jugemos (, ) que popocion un pgo de (,). El pgo finl u i = +. Si jugmos (, ), en l segund etp jugemos (, ) que popocion un pgo de (,). El pgo finl u i = 4 +. Etc. Po tnto, el pln sí que constituye un equilibio pefecto en subjuegos, con pgos supeioes los EPS simples. 48 En l pime etp no necesimente se jueg un equilibio de Nsh. Ls esttegis (, ) no fomn pte de un EN en el juego de un sol tid. L epetición pemite l coopeción p lcnz un equilibio Peto supeio. Sin embgo en l segund etp siempe se jugá un EN. (Po ello el dilem del pisioneo unque se epit T veces no podá lcnz el esultdo eficiente, menos que se epit infinitmente.) 8

9 Juegos epetidos infinitmente, dilem del pisioneo Juegos epetidos infinitmente, dilem del pisioneo 49 onside el dilem del pisioneo epetido infinitmente: / (, ) (0, 5) (5, 0) (4, 4) El fcto de descuento o medid de pcienci de los jugdoes es δ, 0<δ<. (δ=/(+), donde es el tipo de inteés) 50 En el peíodo t se conocen ls t- jugds nteioes. álculo de los pgos (el vlo ctul): π + δπ +δ π + δ π 4 = t= δ t- π t onside l siguiente esttegi del jugdo i: - jueg i en l pime etp - en l etp t, jueg i si en tods ls etps nteioes los jugdoes hn jugdo (, ). En cso contio, jueg L i. Este pefil de esttegis es un equilibio de Nsh pefecto en subjuegos si δ>/4. ( Po qué?) ilem del pisioneo, conclusiones L epetición finit del dilem del pisioneo no mplí, en compción con su vesión de un sol tid, ls posibiliddes de coopeción de los jugdoes. En el cso en el que el dilem del pisioneo se epite un númeo ilimitdo de veces es posible mteiliz ls posibiliddes de coopeción ente los individuos si estos son suficientemente pcientes (fcto de descuento suficientemente gnde). Juegos epetidos infinitmente Un consecuenci de un teoem popul (Fiedmn, 97) p el dilem del pisioneo es lo que cbmos de ve: Si los jugdoes son lo suficientemente pcientes, l coopeción puede sostenese como un equilibio de Nsh pefecto en subjuegos. P pode fomliz el teoem de Fiedmn (p culquie juego de etp G) necesitmos l siguiente definición: Si los pgos un jugdo lo lgo del juego infinito G(,δ) son π,π,π, etc., entonces el vlo ctul es π + δπ +δ π + δ π 4 = t= δ t- π t = π lo cul es equivlente ecibi en cd etp l gnnci medi (-δ)π. ( ompuéblo!) 5 5 Teoem popul, Fiedmn Teoem popul, Fiedmn Se G un juego estático, finito con infomción complet. Sen (e,,e n ) los pgos de un EN de G. Sen (x,,x n ) unos pgos fctibles, es deci, existe un pefil de esttegis σ tl que (x,,x n ) =(u (σ),,u n (σ)). Si x i >e i p todo i y si 0<δ< es suficientemente gnde, entonces hy un EPS en el juego G(,δ) que popocion l jugdo i un gnnci medi de x i. En l demostción: v i = u i (e,,e n ) v id = pgo l jugdo i si d mejo espuest σ -i. ondición p que hy EPS que conllev l gnnci medi x: δ >mx i (v id -x i )/(v id -v i )

10 Teoem popul, Wen Teoem popul (EN) 55 Se G un juego estático, finito con infomción complet. efinición: El vlo minimx del jugdo i: v i = min α-i mx αi u i (α i, α -i ). (puede intepetse como un utilidd de esev). Oto teoem popul, más genel (Wen, 994): Sen (x,,x n ) unos pgos fctibles. Si x i >v i p todo i y si 0<δ< es suficientemente gnde, entonces hy un EPS en el juego G(,δ) que popocion l jugdo i un gnnci medi de x i. 56 Ls esttegis que utiliz Wen en l demostción de su teoem son bstnte complicds. Esto es un consecuenci de quee EPS. Sin embgo, si solmente queemos EN, es bstnte fácil constui explícitmente ls esttegis... Teoem popul (EN).4 plicciones Pso. Se σ tl que (x,,x n ) =(u (σ),,u n (σ)). Pso. P cd i, busc α i = (α ji ) j i tl que v i =mx αi u i (α i,α -i ). Pso. Esttegi p cd jugdo j: - siempe jueg σ j, - no se que obseves que un único oto jugdo jugdo i no juegue σ j, entonces jueg l esttegi α i j de ho en delnte. ) uopolio de Stckelbeg Repesentción fom extensiv Modelo de duopolio de Stckelbeg. Solución po el método de inducción hci tás. Ejemplo con empess y función de demnd linel: plicciones uopolio de Stckelbeg emnd: Se un detemindo mecdo de un cieto poducto homogéneo. L función inves de demnd viene detemind po P(Q) = α βq; Q= q + q Supongmos que pticipn empess en el mecdo identificds con el subíndice i, cd empes tiene socid un función de costes i (q i ) = c q i ; c>0. Supongmos que l empes es l líde y l l seguido. L empes líde escoge l cntidd poduci ntes que l seguido. L seguido obsev l elección de l empes líde (infomción pefect) y elige que cntidd poduci..4 plicciones ) ompetenci oligopolístic con difeencición de poducto Los bienes poducidos se suponen homogéneos, peo cd empes elige el lug físico, loclizción, donde suminist el suyo (Hotelling, 99). difeenci del modelo de Hotelling ls empess fijn el pecio en un segund etp. Los consumidoes incuen en un doble costo: el del pecio del bien y el costo del tnspote

11 .4 plicciones.5 Modelo de negocición de Sthl - Rubinstein ompetenci oligopolístic os empess i=, poducen un bien homogéneo. Tienen idéntic tecnologí de endimientos constntes y costo mginl c > 0. L egión sevid po ests empess tiene un estuctu linel y continu, sus puntos se epesentn en el intevlo [0,]. Los consumidoes están unifomemente distibuidos en est egión. d consumido comp un sol unidd del bien de l cul deiv un utilidd, v > 0. Los costes de tnspote son (d) = q d, q>0. El coste de un consumido h de tsldse un empes loclizd en s i es ( h- s i )=q(h-s i ). Ls empess eligen l loclizción y luego compiten en pecios. Un equilibio de Nsh pefecto en subjuegos es un p de loclizciones (s,s ) y pecios (p (s,s ),p (s,s )). os jugdoes, y deben eptise un pemio cuyo tmño nomlizmos. El poceso de negocición se llev cbo en un máximo de T peiodos. Si no hy cuedo después de T peiodos entonces se cb el poceso y cd jugdo ecibe un pgo de ceo. Si T= existe l posibilidd de que nunc se cbe el poceso Modelo de negocición de Sthl - Rubinstein.5 Modelo de negocición de Sthl - Rubinstein Poceso de negocición: etps t=,,,,t Si t es imp: el jugdo ofece un eptición (x(t), -x(t)), donde x(t) es l poción del pemio que popone le coesponde. El jugdo cept o echz l ofet. Si cept l popuest el juego temin con esultdo (δ t- x(t),δ t- (-x(t))). Si echz l ofet psmos l etp t+ (si t+ T). Si t es p: el jugdo ofece un eptición (x(t), -x(t)), donde x(t) es l poción del pemio que popone le coesponde. El jugdo cept o echz l ofet. Si cept l popuest el juego temin con esultdo (δ t- x(t),δ t- (-x(t))). Si echz l ofet psmos l etp t+ (si t+ T). Si no se lleg un cuedo en ls etps t=,,,,t, entonces los jugdoes eciben los pgos. (x(), -x()) Sí No (x(), -x()) (x(), -x()) (δx(), δ(-x())) Sí No 6 (Recued: δ< es un fcto de descuento.) 64.5 Modelo de negocición de Sthl - Rubinstein El concepto de solución popido es EPS. ( Po qué?) (nálisis po inducción. Según T, el hoizonte de negocición.) Si T=: el único EPS es: el popone (, 0) el cept culquie popuest Si T=: Sbemos (po el nálisis de T= ) que si el juego lleg t= el esultdo seá unos pgos de (0,) en t=. Po tnto el pgo de seí de δ. Si (y sólo si) el ofece -x() δl en t=, el ceptá l popuest. En t=, el ofeceá exctmente -x() = δ. Si T=: Sbemos (po el nálisis de T= ) que si el juego lleg t= el esultdo seá unos pgos de (δ, -δ) en t=. Po tnto el pgo de seí de δ(-δ). Si (y sólo si) el ofece -x() δ(- δ) l en t=, el ceptá l popuest. En t=, el ofeceá exctmente -x() = δ(- δ)= δ-δ..5 Modelo de negocición de Sthl - Rubinstein. Si T=: Sbemos (po el nálisis de T= ) que si el juego lleg t= el esultdo seá unos pgos de (δ, -δ) en t=. Po tnto el pgo de seí de δ(-δ). Si (y sólo si) el ofece -x() δ(- δ) l en t=, el ceptá l popuest. En t=, el ofeceá exctmente -x() = δ(- δ)= δ-δ. Si T=4: Sbemos (po el nálisis de T= ) que si el juego lleg t= el esultdo seá unos pgos de (δ-δ,-δ+δ ) en t=. Po tnto el pgo de seí de δ [ -δ+δ ] = δ-δ +δ. Si (y sólo si) el ofece -x() δ-δ +δ l en t=, el ceptá l popuest. En t=, ofeceá exctmente -x() = δ-δ +δ

12 .5 Modelo de negocición de Sthl - Rubinstein El único equilibio pefecto en subjuegos del poceso llev un cuedo inmedito en t = sobe l popuest T T ( x(), x()) = ( δ + δ δ ( ) δ, 4 T T δ δ + δ δ ( ) δ ). O, equivlentemente, T T T + T ( ) δ δ ( ) δ,. + δ + δ.5 Modelo de negocición de Sthl - Rubinstein El único equilibio pefecto en subjuegos es: En cd t=,,t: () Si el jugdo i es el que popone en t, demnd p él T t+ T t+ ( ) δ + δ y ofece l cntidd complementi p j i. (b) Si el jugdo i es el que esponde en t, cept de j i culquie popuest que le otogue l menos T t+ T t+ δ ( ) δ + δ y echz culquie ot popuest Modelo de negocición de Sthl - Rubinstein Si considemos equilibios de Nsh, culquie cuedo, po simético que este se, define un EN del juego de negocición descito. Ejemplo p T p: (i) En cd t =,, 5,, T-: - El jugdo popone (, 0); - El jugdo echz l popuest (x, -x) si x 0. (ii) En cd t =, 4, 6,, T: - El jugdo popone (0, ); - El jugdo cept tod popuest (x, -x). El nteio ejemplo constituye un EN. El juego temin en l etp donde cept l popuest de, los pgos seán de (0, δ). Este sin embgo no es EPS poque en los subjuegos en los que h popuesto dle l un cntidd -x > δ, el no debe echz (y que luego ecibiá como máximo el pgo descontdo δ) Modelo de negocición de Sthl - Rubinstein onsidendo el único equilibio pefecto en subjuegos y tomndo T : En cd t=,, : () Si el jugdo i es el que popone en t, demnd p él +δ y ofece l cntidd complementi p j i. () Si el jugdo i es el que esponde en t, cept de j i culquie popuest que le otogue l menos δ + δ y echz culquie ot popuest..5 Modelo de negocición de Sthl - Rubinstein lo cul llev un cuedo inmedito en t = sobe l popuest δ ( x(), x()) =,. + δ + δ Podemos demost que p el cso T = ls esttegis descits en () y () - efectivmente constituyen un SPE, - y que no hy oto SPE. 7