EJERCICIOS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS PUNTOS

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1 EJERCICIOS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS PUNTOS Ejecicio nº.- Repeent lo punto iguiente: A(, 5, ), B(,, ) C(,, ) Ejecicio nº.- Repeent lo punto iguiente: A(,, ), B(,, ) C(,, ) Ejecicio nº.- Repeent lo punto iguiente: A(,, ), B(,, ) C(,, ) Ejecicio nº.- Repeent lo punto iguiente: A(,, ), B(,, ) C(,, ) Ejecicio nº 5.- Repeent lo punto iguiente: A(,, ), B(5,, ) C(,, ) Ejecicio nº 6.- Hll l cooen e lo punto P Q que ivien l egmento e etemo A(,, ) B(,, ) en te pte igule. Ejecicio nº 7.- Hll el imético, P ', el punto P(,, ) epecto e Q(, 5, ).

2 Ejecicio nº 8.- Clcul el vlo e p el cul lo iguiente punto etán lineo: A(,, ), B(6, 5, ), C(8, 7, ) Ejecicio nº 9.- Do e lo vétice e un plelogmo on lo punto A(,, ) B(,, ). El cento el plelogmo etá en el punto M(,, ). Hll lo oto o vétice. Ejecicio nº.- Lo punto A(,, ), B(5,, ) C(,, ) on vétice conecutivo e un plelogmo. Obten el cuto vétice el cento el plelogmo. Ejecicio nº.- RECTAS ) Invetig l poición eltiv e l o ect iguiente en el epcio: L pime etá po 5 7, l egun, po lo plno:. 7 Eplic el poceimiento. b) Hll i e poible, el punto e inteección. Ejecicio nº.- Coniemo l o ect: : : Hll el vlo e p que l ect e coten. Hll el punto e inteección p el vlo e obtenio.

3 Ejecicio nº.- ) Etui l poición eltiv e l iguiente ect: b) Compueb i lo punto A(,, ) B(,,6) petenecen lgun e l ect nteioe. Ejecicio nº.- Etui l poición eltiv e l iguiente ect egún lo vloe e k: Ejecicio nº 5.- Etui l poición eltiv e l ect : Ron l epuet. PLANOS Ejecicio nº 6.- Hll l ecución el plno que p po el punto e inteección e: e plelo l plno que contiene lo punto: A(,, ), B(,, ) C(,, ) Ejecicio nº 7.- Detemin, en función e, l poición eltiv e lo iguiente plno: 6 : : 5 k : : λ λ λ : : 5 ( ) ( ) ( )

4 Ejecicio nº 8.- Do lo plno: π: m m 6 σ: m etui u poición eltiv egún lo vloe e m. Ejecicio nº 9.- ) Hll lo vloe e m n p que lo iguiente plno en plelo: π : 5 π : m n b) Obtén l ecución e un plno plelo π que pe po el punto A(,, ). Ejecicio nº.- Hll l poición eltiv e lo iguiente plno egún el vlo el pámeto : λ µ π : λ µ µ π : 5 Ejecicio nº.- RECTAS Y PLANOS Eplic cuál h e e el vlo e m que hce que el tece plno e l iguiente fmili conteng l ect efini po lo o pimeo. Lo plno on: m Ejecicio nº.- Hll l ecución el plno que contiene l ect: : l punto P(,, ). Eplic el poceimiento.

5 Ejecicio nº.- No n l ect, etemin po lo punto A(,, ), B(,, ), etemin po C(,, ) D(,, ). ) Ecibe l ecución genel (o implícit) el plno plelo que p po el oigen e cooen. b) Ecibe l ecución genel el plno que p po B e pepenicul. Ejecicio nº.- Se conien l ect: :, : el plno π, que p po lo punto A(,, ), B(,, ) C(,, ). ) D l ecución genel o implícit e π. b) Un e l o ect cot π. Detemínl. c) Compueb que l ot ect e plel π. Ejecicio nº 5.- Hll l ecución el plno π que contiene l ect e plelo l ect, ieno: : : 8 5

6 PUNTOS SOLUCIONES Ejecicio nº.- Repeent lo punto iguiente: A(, 5, ), B(,, ) C(,, ) Ejecicio nº.- Repeent lo punto iguiente: A(,, ), B(,, ) C(,, ) Ejecicio nº.- Repeent lo punto iguiente: A(,, ), B(,, ) C(,, ) 6

7 Ejecicio nº.- Repeent lo punto iguiente: A(,, ), B(,, ) C(,, ) Ejecicio nº 5.- Repeent lo punto iguiente: A(,, ), B(5,, ) C(,, ) 7

8 Ejecicio nº 6.- Hll l cooen e lo punto P Q que ivien l egmento e etemo A(,, ) B(,, ) en te pte igule. P,,,, ( ) ( ) ( ) Q,,,, Ejecicio nº 7.- Hll el imético, P ', el punto P(,, ) epecto e Q(, 5, ). Llmmo P '(α, β, γ), e mne que: α β 5 γ α β 9 γ 5 P' (, 9, 5) Ejecicio nº 8.- Clcul el vlo e p el cul lo iguiente punto etán lineo: A(,, ), B(6, 5, ), C(8, 7, ) 8

9 9 mim iección. Eto ocue cuno u cooen on popocionle: Ejecicio nº 9.- Do e lo vétice e un plelogmo on lo punto A(,, ) B(,, ). El cento el plelogmo etá en el punto M(,, ). Hll lo oto o vétice. Llmemo C (,, ) D (,, ). C e el imético e A epecto e M, po tnto: Po oto lo, D e el imético e B epecto e M. Aí: Lo punto, etán lineo iempe que lo vectoe tengn l A B C AB BC ( ),, C ( ) 5 6,, 5 6 D

10 Ejecicio nº.- Lo punto A(,, ), B(5,, ) C(,, ) on vétice conecutivo e un plelogmo. Obten el cuto vétice el cento el plelogmo. Como e tt e un plelogmo, e tiene que AB DC. Si D (,, ): (,, ) (,, ) e one:,, D(,, ) El cento el plelogmo e el punto meio e un e l o igonle, í: M,, Ejecicio nº.- RECTAS ) Invetig l poición eltiv e l o ect iguiente en el epcio: L pime etá po 5 7, l egun, po lo plno:. 7 Eplic el poceimiento. b) Hll i e poible, el punto e inteección. ) Pime ect, ( 5, 7, ) Punto : R : Vecto iección : (,, ) Segun ect, Punto:,, : Vecto iección: S(,, ) (,, ) (,, ) ( 6,, ) Lo vectoe iección no on plelo. Po tnto, e cotn o e cun.

11 P veigu i plno que cooen e RS ( 9, 6, ) ocue lo uno o lo oto, vemo i el vecto. P ello etuiemo el, RS. RS, eteminnte e l etá o no en el mimo mti fom po l Po tnto, RS etá en el mimo plno que, lo que implic que l ect e cotn. b) 5 λ Epemo l pime ect en pmétic : 7 λ λ Sutituimo en uno e lo plno que efinen l egun ect: (5 λ) (7 λ) λ Sutituimo ete vlo e λ obtenemo P(5, 7, ). Ejecicio nº.- Coniemo l o ect: : : Hll el vlo e p que l ect e coten. Hll el punto e inteección p el vlo e obtenio. Vemo cuále on l ecucione pmétic e : Un punto e :, R(,, ) Vecto iección: (,, ) (,, ) (,, ) // (,, ) Ecucione pmétic e : λ λ Ecucione pmétic e :

12 Un punto: (,, ) Vecto iección: (,, ) Ecucione pmétic e : µ µ µ P que e coten, el iguiente item h e tene olución: µ λ µ λ µ µ λ Si, l ect e cotn en el punto (,, ), (e obtiene l utitui λ en l ecucione e, o bien µ en l ecucione e ). Ejecicio nº.- ) Etui l poición eltiv e l iguiente ect: : : 6 b) Compueb i lo punto A(,, ) B(,,6) petenecen lgun e l ect nteioe. Vecto iección:,,,,, 5, 5 ) : Un punto: i, P,, Vecto iección : Un punto: Q : PQ (,, ) (,, ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,, 6) El ngo e l mti fom po l cooen e lo vectoe, no infom obe l poicioón eltiv e. PQ El ngo e (,, PQ) e te. Po tnto, l ect e cun. b) Ni A ni B petenecen l ect.

13 Ejecicio nº.- Etui l poición eltiv e l iguiente ect egún lo vloe e k: k : : 5 : : (,, 5) R (,, ) (,, ) S (,, k ) RS (,, k ) Etuiemo el ngo e l mti fom po l cooen e, RS: 5 k 6k ; 6k k Si k cotn. Si lo vectoe, k, Ejecicio nº 5.- on linelmente epeniente, po Etui l poición eltiv e l ect : RS l ect e cun. tnto l ect e λ λ : : λ Ron l epuet. Vecto e iección : : Un punto: i (,, ) (,, ) (, 5, ), R (,, )

14 Vecto iección : : Un punto : R R R (,, ) (,, ) (,, ) El ngo e l mti fom po l cooen e lo vectoe, RR obe l poición eltiv e : no infom 5 ( 6) El ngo e (,, RR ) e.po tnto, l ect e cun. PLANOS Ejecicio nº 6.- Hll l ecución el plno que p po el punto e inteección e: 5 e plelo l plno que contiene lo punto: A(,, ), B(,, ) C(,, ) El item: 5 tiene como olución el punto: (,, ) Obtenemo el plno que contiene A, B C: P AB AC (,, 7) (,, 6) n AB AC ( 8,, ) El plno buco tiene como vecto noml n P ( 8,, ) p po (,, ), í: 8( ) ( ) ( ) 8

15 5 Ejecicio nº 7.- Detemin, en función e, l poición eltiv e lo iguiente plno: Etuimo l poición eltiv pti e lo eteminnte: Lo te plno e cotn en un ect., lo te plno e cotn en un punto. Ejecicio nº 8.- Do lo plno: π: m m 6 σ: m etui u poición eltiv egún lo vloe e m. L ecucione e lo plno on: Lo coeficiente e l incógnit on popocionle i m. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) lo cot. oto ( el ) o plno coinciente ( Tenemo o o o 8 ) ( ) ( ) ( ) ( 6 m m m

16 En tl co, l ecucione on: 6 Lo plno on plelo, pue u témino inepeniente no iguen l mim elción e popocionli que lo coeficiente e l incógnit. Si m, lo plno e cotn en un ect, pue el item e comptible inetemino e ngo. Ejecicio nº 9.- ) Hll lo vloe e m n p que lo iguiente plno en plelo: π : 5 π : m n b) Obtén l ecución e un plno plelo π que pe po el punto A(,, ). ) Si π π hn e e plelo, e tiene que: m n m, n b) El plno buco h e e e l fom: D Si contiene l punto A, ebe veifice: () D D 9 El plno eá: 9 Ejecicio nº.- Hll l poición eltiv e lo iguiente plno egún el vlo el pámeto : λ µ π : λ µ µ π : 5 6

17 π, epeo e fom implícit, e: 5 Aí, tenemo el item: 5 5 Lo coeficiente e l incógnit on popocionle i. En tl co, lo plno on plelo, pue u témino inepeniente no iguen l mim elción e popocionli que lo coeficiente e l incógnit. Si, lo plno e cotn en un ect, pue el item e comptible inetemino e ngo. Ejecicio nº.- RECTAS Y PLANOS Eplic cuál h e e el vlo e m que hce que el tece plno e l iguiente fmili conteng l ect efini po lo o pimeo. Lo plno on: m Se tt e hll el vlo e m p que el item e comptible inetemino. Mticilmente: Como m A A', efectivmente lo o pimeo plno e cotn lo lgo e un ect. P que el e plno conteng ich ect, h e e n(a) n(a'). 7

18 P etui el ngo e A' hllmo el eteminnte iguiente: Con too eto poemo fim que n(a) n(a'). P que ete ngo e, btá con que A : A m m 8 m m 7 m Concluión: P m 7, el item e comptible etemino. Ejecicio nº.- Hll l ecución el plno que contiene l ect: : l punto P(,, ). Eplic el poceimiento. º. Hllmo un punto, R. Po ejemplo, hcieno obtenemo: R(,, ) º. Hllmo, vecto iección e : (,, ) (,, ) (,, 7) º. El vecto RP eá noml l plno buco : RP (,, ) RP (,, ) (,, 7) (,, ) Poemo tom n( 7, 7, ). 8

19 º. El plno p po P(,, ) e pepenicul (7, 7, ). Su ecución eá: 7( ) 7( ) ( ) Ejecicio nº.- No n l ect, etemin po lo punto A(,, ), B(,, ), etemin po C(,, ) D(,, ). ) Ecibe l ecución genel (o implícit) el plno plelo que p po el oigen e cooen. b) Ecibe l ecución genel el plno que p po B e pepenicul. ) (,, ) n e un vecto pepenicul l plno buco. Ecución el plno: b) Un plno pepenicul tiene po vecto noml (,, ). Ecución el plno buco: ( ) ( ) ( ) Ejecicio nº.- Se conien l ect: :, : el plno π, que p po lo punto A(,, ), B(,, ) C(,, ). ) D l ecución genel o implícit e π. b) Un e l o ect cot π. Detemínl. c) Compueb que l ot ect e plel π. ) Obtención el vecto noml l plno π: 9

20 AB AC (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) n AB AC (,, ) Ecución el plno: ( ) ( ) ( ) π: b) Hllmo lo vectoe e iección e l ect: (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) cot π? Vemo i e o no plelo n: (,, ) (,, ) n Po tnto, cot π. c) cot π? Vemo i e o no plelo n : n (,, ) (,, ) Po tnto, e plel π o, co, etá conteni en π. Hllmo un punto e :, S(,, ) S no petenece π, po tnto, e plel π. Ejecicio nº 5.- Hll l ecución el plno π que contiene l ect e plelo l ect, ieno: : : 8 El vecto e iección e e obtiene pti e lo vectoe nomle lo plno que efinen l ect. (,, ), n (,, ) n (,, ) (,, ) (,, ) El vecto noml, n, l plno π buco e pepenicul. Po tnto:

21 n (,, ) (,, ) (,, 5) Pueto que π contiene, loclicemo un punto e π pti e : En, i, e obtiene, 8. Po tnto, (8,, ) π. Ecución e π: ( 8) ( ) 5 ( ) 5 6