VARIEDADES LINEALES. Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind. 2ª Edición. Enero 1997.

Transcripción

1 VARIEDADES LINEALES Po Jvie de Montoliu Sisc, D. Ing. Ind. ª Edición. Eneo 997.

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3 TABLA DE CONTENIDO TABLA DE CONTENIDO... I VARIEDADES LINEALES... A.- PREAMBULO.... B.- GENERALIDADES Definición de viedd linel Rect o viedd de dimensión Viedd Vm m-dimensionl (m<n; n= Dim E) Plelismo Otogonlidd y pependiculidd Sum e intesección de subespcios C. ECUACION DE º GRADO DE COEFICIENTE VECTORIAL Ecución genel Intesección de plnos Posiciones eltivs de dos vieddes D.- ECUACION DE º GRADO CON COEFICIENTE TENSORIAL Ecución genel Convesión de ecuciones Posiciones eltivs Intesecciones Resolución de lgunos sistems de ecuciones en un espcio tidimensionl E.-PROYECCIONES ORTOGONALES DE TENSORES Poyección otogonl de un vecto sobe un subespcio Poyección sobe un plno INDICE DE ECUACIONES I

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5 VARIEDADES LINEALES. A.- PREAMBULO. En este ensyo estudiemos de fom elementl l utilizción de sistems coodendos cuvilíneos, y en especil l plicción de éstos los espcios de Riemnn. P ello seguiemos en línes geneles el oden del texto de "Elementos de Algeb Tensoil" de Lichneowicz. Nuesto objeto no es pofundiz en estos tems ni hce demostciones, sino solmente, intent ve si el método intínseco de álgeb y nálisis tensoil que hemos plicdo en escitos nteioes puede se útil p el estudio de un espcio de Riemnn. El estudio está dividido en dos ptes. En l pime se conside un espcio euclidino en genel (unque no se popimente euclidino), tvés de l dopción de un sistem de coodends cuvilínes. Est pime pte constituye un intoducción l segund pte, que está dedicd los espcios iemninos. Bcelon, febeo de.

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7 B.- GENERALIDADES..- Definición de viedd linel. Denominmos viedd linel de un espcio vectoil n- dimensionl E sobe K, tod pte A de E que veific: v,w K A λ : λv (-λ) w A De est definición se infiee que culquie punto, ect o plno del espcio geomético odinio son vieddes lineles. P culquie dimensión, tmbién son vieddes lineles E y, unque ests últims, slvo excepción, no ls vmos conside de ho en delnte. Est definición de viedd linel, no se ve fectd po el punto de efeenci doptdo...- En este texto llmemos ects ls vieddes lineles unidimensionles y plnos ls vieddes lineles (n- )-dimensionles. A ls vieddes lineles ls denominemos simplemente vieddes...- Definición de subespcio vectoil. Llmmos subespcio vectoil y culquie viedd que conteng l punto de efeenci u oigen, y es subespcio vectoil culquie pte E' de E que veifique: v,w E λ, K : λ λ v λ v = E.3.- Intesección de vieddes. Es ot viedd, y sólo l intesección de subespcios es un subespcio..- Rect o viedd de dimensión...- Un viedd que contiene puntos distintos y b es un ect cundo puede expesse po: R = {x / x =λ λ b ; λ,λ K; λ λ = } Est ect seá un subespcio cundo uno de los puntos tl como, se pued expes po =µb con lgún µ K (Recodemos que el petenece K). 3

8 Evidentemente l ect seá un subespcio cundo uno de los dos puntos distintos, es el oigen. Si po ejemplo uno de ellos es b = y el oto es,l expesión nteio qued en: R = {x / x =λ ; λ K}..- En consecuenci, como el vecto nulo no es un vecto independiente de ningún conjunto, dos puntos de un ect están epesentdos po vectoes independientes si, y solo si l ect no es un subespcio. 3.- Viedd Vm m-dimensionl (m<n; n= Dim E). Contiene m puntos distintos que l deteminn, de los cules po lo menos m puntos coesponden un sistem de vectoes independiente En función de m vectoes independientes, l viedd puede epesentse sí: V m = {x / x = m λ i ; ( i): λ i i K; m λ i = } 3..- Si uno de los m puntos que deteminn l viedd es el oigen, l viedd detemind po el esto de m puntos coespondientes vectoes independientes, es un subespcio que psá expesse sí: E m = {x / x = m λ i i ; ( i): λ i K } En lo sucesivo y p bevi, l vecto coespondiente un punto tmbién le llmemos punto. 4.- Plelismo Decimos que l viedd A es plel l B cundo p lgún punto de vecto v se veific: v A B y esto solo es posible cundo l dimensión de A no es myo que l dimensión de B. Pueden ocui dos csos:.- P A B, B contiene A.- P A B =, B y A no tienen ningún punto común. De est definición se deduce que un punto es plelo culquie viedd excepto. 4

9 4..- Decimos que dos vieddes A y B son plels ente sí o mutumente plels, cundo l vez A es plel B y B es plel A, y esto sólo es posible cundo A y B tienen igul dimensión. Dos vieddes A y B seán mutumente plels siempe que exist un punto de vecto v tl que veifique: v A = B Siempe existe un subespcio mutumente plelo un viedd dd. Cundo B no es un subespcio se veific: ( α K ): A = αb y p α= considemos que el poducto es el subespcio mutumente plelo B Denominmos diección contenid en un viedd A, todo subespcio unidimensionl plelo A. 5.- Otogonlidd y pependiculidd Dos vieddes son otogonles suplementis cundo lo son los subespcios mutumente plelos ells. L sum de sus dimensiones es l dimensión del espcio, y su intesección es un punto. Dd un viedd A, y un punto de l mism, hy un viedd otogonl suplementi y solmente un, que teng este punto en común. Tl punto es l intesección de ls vieddes Sen dos vieddes A y B, los subespcios E A y E B mutumente plelos ls misms y los subespcios E A y E B otogonles suplementios los nteioes. Pocedeemos ls siguientes definiciones: A y B son otogonles si y sólo si E A E B, lo que equivle E B E A. A y B son pependicules si y sólo si E A E B, lo que equivle E B E A Popieddes de un p A y B de vieddes otogonles. ) Los subespcios E A y E B son subespcios otogonles. Es deci: ( ; E A )( b ; b E B ): b = b) Dim A Dim B n (dimensión del espcio). 5

10 c) Tods ls diecciones de un viedd son otogonles tods ls diecciones de l ot. d) Un punto es otogonl culquie viedd Popieddes de un p A y B de vieddes pependicules. ) Dim A Dim B n (dimensión del espcio). b) Cd viedd contiene ls diecciones otogonles tods ls diecciones de l ot. Ejemplo: Dos plnos pependicules del espcio geomético odinio Como continución de '5. podemos señl ls siguientes popieddes de un p A,B de vieddes otogonles suplementis, l considels l vez como vieddes otogonles en genel y como vieddes pependicules, en fom de situción límite común mbs ctegoís. ) E A =E B sí como E B =E A b) Dim A Dim B = n (dimensión del espcio). c) Ls diecciones de A son exctmente tods ls otogonles B y ecípocmente Si dos vieddes son otogonles o pependicules, lo son tmbién sus subespcios otogonles suplementios. 6.- Sum e intesección de subespcios L sum de subespcios es un subespcio y l de vieddes es un viedd. Se incluye quí como subespcio o viedd l espcio totl. L intesección de subespcios es un subespcio y l de vieddes no plels es un viedd Sen dos pes E,E y E,E de subespcios otogonles suplementios. El subespcio otogonl suplementio de E E ess E E. Pues po un pte, tod diección de E E po petenece E y E es otogonl E y E y po tnto E E. Y po ot, tod diección otogonl E E lo seá E y E, po lo que peteneceá E y E y en consecuenci E E. Análogmente demostímos que el subespcio otogonl suplementio de E E... E n es E E...E n. 6

11 6.3.- Sen dos pes E,E y E,E de subespcios otogonles suplementios. Si y sólo si E E tendemos E E. Pues si y sólo si E E = E (ó se E E ) tendemos E E = E, o se E E. 7

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13 C. ECUACION DE º GRADO DE COEFICIENTE VECTORIAL..- Ecución genel Se un espcio E n-dimensionl. L ecución genel de gdo de coeficiente vectoil, es: (,x E; ; α K): x α =..- TEOREMA º.- L solución X de l ecución genel de º gdo de coeficiente vectoil es un viedd (n-)-dimensionl o plno. ) Hy po lo menos un punto solución: x α = - como es fácil compob. b) X es un viedd linel, pues si l solución es un solo punto éste es un viedd y si hy dos x ' y x " lo seán tmbién todos los puntos ( λ; λ K): λx (-λ)x de l ect que deteminn, como vmos veific: [λx (-λ)x ] α = λ x (-λ) x λα (-λ)α = = λ( x α) (-λ)( x α) = c) Conociendo un punto x de X, l ecución puede ponese en l siguiente fom: () (x -x ) = puesto que: x = x' α α = (x x)' x' X = plno. d) X es un viedd linel de dimensión n- ó se un Puesto que con l ecución en l fom () vemos que X- x ' es el subespcio otogonl suplementio de l ect de diección. P α= es un subespcio plno...- Pié de l ect otogonl X desde el oigen. 9

14 Es el punto: () p α = - que petenece X. Efectivmente, éste es el vlo que esult de elimin λ (λ K) en el sistem: p = λ p = λ p α = ( λ) α = p = λ α λ = α p = α λ = Si X es un subespcio, quedá p =..3.- Ecución de X en función de p no nulo. Se deduce inmeditmente de () y (): p (x -p ) =.4.- Condición de equivlenci ente ls dos ecuciones: x α = x α = Es que exist un escl λ no nulo que veifique: = λ ; α = λα Pues como solo hy un diección otogonl X, y, que no pueden se nulos p que existn ecuciones, debeán tene l mism diección. Y po tnto = λ con λ. En tl cso multiplicndo l segund ecución po λ tendemos los siguiente sistems equivlentes: x λ x α λα = = α x λα α = =.5.- TEOREMA º.- Tod viedd linel X de dimensión n- es solución de lgun ecución de º gdo. Pues podemos detemin p pié de l otogonl desde el oigen. Si no es nulo, l ecución seá:

15 p (x -p ) = y si p =, tendemos X y X seá el subespcio de ecución x = siendo culquie vecto de l únic diección otogonl X..6.- TEOREMA 3º.- Los coeficientes de l ecución x α= del plno que ps po los n puntos {x i } que fomn un sistem independiente, son: = [(x -x ) (x -x )... (x -x )] 3 n siendo l expesión de exteio. α = - x l del vecto pol de un poducto Po se independiente el sistem {x i }, no seá nulo Si x es solución, l ecución podá ponese en l fom (x -x ) = y sustituyendo po el vlo signdo, po álgeb tensoil tendemos: (x -x ) = [(x -x ) (x 3 -x )... (x n -x )(x -x ] = con lo que qued evidente que los puntos ddos son soluciones de l mism..7.- TEOREMA 4º.- El coeficiente de l ecución x = del subespcio plno que contiene los n- puntos {x i ) que fomn un sistem independiente, es: = (x x... x n- ) Análogmente l cso nteio, tenemos: x = (x x... x n- ) x = (x x... x n- x ) = y con no nulo, x se nul p los puntos ddos..8.- TEOREMA 5º.- Se un conjunto { i } de n vectoes independientes. Adoptndo un bse culquie hllemos los coeficientes de cd vecto y ls mtices fil { i } coespondientes. Podemos fom un mtiz A de deteminnte A que teng sus fils A i = { }. i Si { j } es el conjunto dul de { i } y fommos un mtiz A cuys columns esulten de multiplic po A ls mtices column de los j. tendemos:

16 A j = { j } A Se veific que A es l mtiz djunt de A. Efectivmente. Si multiplicmos mticilmente ls mtices A y A esult: AA = A A. An { ' A' A ' n } A = AA' AA' A na' n AA' AA' n AA' AA' n A na' A na' Tendemos: AA = A i A j = A' j i j A = {δ ij } A ; { j } = A y po consiguiente A es l mtiz djunt de A. Recodemos del cálculo mticil, que l mtiz A djunt de A, y que cumple l nteio popiedd, es l mtiz en l que todo témino de column i y fil j es el cofcto del elemento de A de fil i y column j.

17 .- Intesección de plnos...- Intesección de n plnos de un espcio n- dimensionl cuys ecuciones tienen los coeficientes vectoiles fomndo un sistem independiente. Hll l intesección equivle esolve el sistem: x = x =... nx n = con l condición V=(.. n ). P ello multipliquemos odendmente ls ecuciones po los vectoes de l bse { i } dul de l { i }. Obtendemos un sistem equivlente: ( x ) = ( x ) =... n( nx n) = Sumndo miembo miembo tendemos: = i ( i x ) α i i = ( i i )x α i i = x α i i y po tnto l solución es el punto: (3) x = - α i i..- Aplicción l espcio bidimensionl: Se ε el tenso coespondiente l plicción gio positivo de 9º de mtiz { ε } = en bse otonoml y sen dos puntos y con ( ) = V. Recodndo el lgeb tensoil, tendemos: V = -ε ; V = ε ; y plicndo l fómul hlld tenemos: x ( ) ( ) = - α ε α ε ( ) 3

18 .3.- Aplicción l espcio tidimensionl. Emplendo el poducto vectoil de signo, ecodemos del álgeb tensoil: V = -( 3 ) = ( 3 ); V = -( 3 ) = ( 3 ) V 3 = ( ) = ( ); V = ( ) = ( 3 ) 3 y po consiguiente: x α( 3) α( 3 ) α3( ) = - ( ) Método mticil genel p hll l intesección de n plnos dds sus ecuciones cundo sus coeficientes vectoiles { i } fomn un sistem independiente. Se bs en fom un mtiz A con sus fils A i ={ }', y i hll su deteminnte y su mtiz djunt A. Como sbemos po '.8 que ls columns de A son A j = { j } A, l plic l fómul (3) obtenemos: {x } = - α A i i A.5.- Vmos pone un ejemplo con l esolución de un sistem de ls siguientes ccteístics: A ={ 3 }: A = { }; A 3 ={ }; A 4 ={ }; α = α = - α 3 = α 4 = - Pocedeemos sí: 3 A= A = A = ;A = ;A 3 = ;A 3 = Po ot pte tenemos A =-. Po consiguiente: {x } = - α A i = A i () (-) () (-) = L esolución del poblem nteio y l de los 4

19 que siguen sobe intesección de plnos, se educe esolve sistems escles de n ecuciones con n incógnits, y p ello pueden emplese los distintos métodos que señln los textos sobe l mtei. Como estos métodos los suponemos conocidos y se sepn de nuesto objetivo, nos bstendemos de desolllos quí..7.- Intesección de m plnos (m<n), dds sus ecuciones que tienen sus coeficientes vectoiles fomndo un sistem independiente. Podemos hll su intesección ñdiendo los m plnos n-m plnos más con coeficientes vectoiles que completen un bse del espcio, y con coeficientes escles indetemindos, psndo pocede después como en '.5. Se { } = {,,..., p m m n } el sistem de coeficientes vectoiles ñdido. El subespcio genedo po { p } es evidentemente otogonl suplementio l subespcio genedo po los coeficientes oiginles {,,..., }. m Tendemos pues, p el punto solución: {x α A i i } = - A n i m α A i i = - A i - n α A i m A i Asignndo un vlo bitio cd uno de los elementos de {α p }={α m,α m,..,α n } obtendemos un vlo del témino del º miembo de l iguldd nteio que epesentá un punto y l que coespondeá un vlo de {x } y un punto de l intesección buscd. El conjunto de los vloes bitios posibles de tl º témino seá, po lo visto en '.8: n α A p m S = - A p n... p p α m y coesponde l subespcio genedo po los { p }, que según cbmos de ve, es el otogonl suplementio l subespcio genedo po los { } oiginles. i Como el pime témino es un vecto s que epesent un punto, tendemos finlmente: X = s S y, po lo tnto, l intesección buscd es un viedd linel mutumente plel S, o se otogonl suplementi l subespcio genedo po los { i } oiginles y de dimensión n-m. 5

20 .8.- Ejemplo. Se un sistem de dos ecuciones de ls ccteístics siguientes: A = { 3 }; A = { } α = α = - Añdiemos dos ecuciones bitis cuyos coeficientes vectoiles completen un bse del espcio: A 3 = { ): A 4 = { } α 3 K α 4 K En est situción, el poblem qued educido l del ejemplo de '.4. Como hemos dispuesto los coeficientes de modo que coincidn, excepto po l indeteminción de α 3 y α 4, tendemos nálogmente: {x } = () (-) α 3 α 4 = α 3 α4 α3 α4 5 α3α Intesección de m plnos en genel. L condición p que exist solución es l comptibilidd del sistem de sus ecuciones y l condición p que no exist ningún plno supefluo es l ieductibilidd del sistem de sus ecuciones. L condición conjunt, es evidentemente que el conjunto de coeficientes vectoiles fome un sistem independiente. L condición es necesi, puesto que si hy comptibilidd, hbá po lo menos un punto común x y el sistem podá dopt l fom: (x -x ) = (x -x ) =... m (x -x ) = y si hy ieductibilidd, todos los coeficientes seán independientes. L condición es suficiente, pues hemos visto en los páfos nteioes que, si se cumple, existe po lo menos un punto común, que l solución es un viedd linel de dimensión n-m y que no se puede pescindi de ningun ecución...- Tnsfomción de un sistem de ecuciones en oto equivlente e ieducible. 6

21 P ello nos vemos obligdos ecui l cálculo mticil odinio. Un citeio de comptibilidd mticil es: A = { } { } ; B = { } m { } { } { } m Rngo de A = Rngo de B Si el sistem es comptible, o se que veific este citeio, seá equivlente culquie oto que podmos fom con quells ecuciones que esulten fectds po culquie mtiz del ngo de A extíd de A. De est mne hemos obtenido un sistem comptible e ieducible y el poblem se sitú en los csos y estudidos. 7

22 3.- Posiciones eltivs de dos vieddes. Vmos estudi en pime lug ls posiciones eltivs de dos plnos ddos po sus ecuciones A: x α = ; B: x α = y veemos que vienen deteminds po ls siguientes condiciones: ( λ): λ... Secntes. =... Pependicules.... No pependicules. ( λ): =λ... Plelos. α = λα... Coinciden. α λα... Sin punto común P λ, podemos fom un sistem independiente {,,.. } eligiendo vloes p,,..,. n 3 4 n y A, B y n- plnos más tienen un punto común y con myo zón lo tienen A y B. No coinciden A y B pues sus ecuciones no eúnen l condición de equivlenci. P que sen pependicules, seá peciso que l únic diección otogonl A ó se l de esté contenid en B. Como l ecución de B tmbién es: (x B): (x -x ) = l condición de pependiculidd se educe = Si =λ, y tienen igul diección y po consiguiente A y B seán mbos plelos l subespcio plno otogonl y ) y po tnto seán plelos ente sí. P que coincidn seá peciso α =λα, completándose sí ls condiciones de equivlenci de ls ecuciones Se un viedd linel A dd po el sistem siguiente de ecuciones comptibles: A.. x α x α mx α Se veific que {,,.., m } es un bse del subespcio E A otogonl suplementio de A. 8 m = = =

23 Pues es un sistem independiente de vectoes, y cd uno de ellos i es otogonl tods ls diecciones del plno incluíds ls comunes todos los plnos del sistem po petenece su intesección y se po tnto ls únics diecciones de l viedd A. Po consiguiente todos los i son otogonles A y petenecen E A. Como A es (n-m)-dimensionl, y el subespcio E A es m-dimensionl el sistem independiente { i } constituye un bse de E A Pependiculidd u otogonlidd de vieddes lineles A y B dds po sendos sistems de ecuciones comptibles e ieductibles. Sen ls vieddes siguientes: A.. x x mx α α α m = = = B.. bx bx bpx β β β p = = = con ls siguientes bses de sus subespcios otogonles: E A :,,.., m ; E B ; b,b,..,b p y l siguiente mtiz de poductos escles: M = b b b p b mb b mb bp mbp A continución estudiemos los dos csos que se pueden pesent Pime cso: (mp)-n Dim A Dim B n De cuedo con B'5.4, no es posible l otogonlidd no suplementi y sí lo es l pependiculidd, en l que consideemos incluíd est otogonlidd suplementi. Hemos visto en B'5.4 que l condición de pependiculidd ente A y B es que B conteng tods ls diecciones otogonles A. Como ls diecciones de B fomn pte del conjunto de diecciones comunes los p plnos indicdos, l condición nteio equivle deci que tods ls diecciones otogonles A, que son ls i, estén contenids en 9

24 cd uno de los p plnos cuy intesección poduce B. L siguiente ecución expes pues est condición: ( i)( j): i b j = M = Segundo cso: (mp)-n> Dim A Dim B < n L pependiculidd no es posible. Estudiemos l otogonlidd. Supongmos tmbién m>p. Consideemos M como un mtiz cudd ñdiendo m-p fils nuls y estudiemos el poducto mticil de M po culquie vecto column Q peteneciente Núc M. Se Q ~ = {λ λ... λ m } Se veificá: = M m λ λ λ = b b b b b b b b b p m m p p m m m m λ λ λ λ λ λ λ λ λ = MQ = )b ( )b ( )b ( p m m m m m m λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( j): (λ λ... λ m m )b j = Siendo { i } un bse de E A, el péntesis seá un vecto de E A. Este vecto petenece E B si y sólo si el poducto indicdo p todo j es nulo y esto sólo ocue cundo el vecto Q utilizdo petenece l Núcleo de M. A un bse de Núc M coespondeá biunívocmente un bse del subespcio E A E B y po tnto este subespcio y Núc M tendán igul dimensión. Aho bien, l condición de otogonlidd de A y B es, según se vió en B'5., que E B esté contenido en E A, ó se que se veifique E A E B =E B y evidentemente esto ocuiá si y sólo si l dimensión de Núc M es igul l dimensión de E B o se n-p.

25 Como l dimensión de M es m, esto es lo mismo que deci que l dimensión de Im M ó se Rngo M se m -(n-p). L condición de otogonlidd es pues: Rngo M = m-(n-p) = (mp)-n Plelismo ente dos vieddes lineles A y B, dds po sendos sistems de ecuciones comptibles e ieducibles. Sen ls vieddes A y B expesds en '3.4 y estblezcmos m p. L condición p que A se plel B es: E A E B E A E B Si epesentmos { } po A y {b } po B i i i i se puede ve po cálculo mticil que l condición de plelismo es l pime de ls expesiones que siguen y que cundo se cumple ést, l de E A E B es l segund. A A Rngo Am B Bp A α A α = m; Rngo Am αm B β Bp βp = m

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27 D.- ECUACION DE º GRADO CON COEFICIENTE TENSORIAL.- Ecución genel. Se un espcio vectoil E n-dimensionl popimente euclidino. L ecución de º gdo con coeficiente tensoil es: x v = en l cul los coeficientes y v son, espectivmente, un tenso de oden no nulo y un vecto, mbos constuídos sobe E...- TEOREMA º.- L solución X de l ecución genel de pime gdo con coeficiente tensoil, es un viedd linel mutumente plel Nuc, cundo existe, y existe si y sólo si el coeficiente v petenece Im. ) L ecución puede ponese en l fom equivlente: v = (-x ) y po tnto l condición de que exist un punto x ' solución de l mism es que se veifique v Im escibi: ) Se un punto x solución de l ecución. Podemos x v x v = = ( x x) = (x x) Nuc x X x X y po tnto, p x X, tenemos X-x =Nuc y finlmente X = x Nuc..- TEOREMA º.- Tod ecución con solución puede tnsfomse en ot equivlente de coeficiente tensoil simético,po multiplicción contct de sus dos miembos po el tenso ~ tnspuesto de. ) Sbiendo po cálculo tensoil que: l nuev ecución seá: ~ ( x ) = ( ~ )x ~ ( x v) = ( ~ )x ~ v = que se veificá p todos los puntos solución de l nteio. Po álgeb tensoil sbemos que ~ es un tenso simético. 3

28 b) L nuev ecución tendá solución si y sólo si l pime ecución l tiene. Pues l nuev condición es ~ v Im ( ~ ) y evidentemente se veificá si y sólo si se veific l nteio condición, ó se que p lgún vecto se veific v =. Po tnto, v Im tmbién se podá estblece como condición p que l nuev ecución teng solución. c) L nuev ecución es equivlente ( ~ )x ~ v = ~ ( x v ) = x v Nuc y como tmbién se veific: v Im x v Im y se sbe po cálculo tensoil que Nuc ~ es el subespcio otogonl Im, y que sólo tienen en común el vecto nulo, l nuev ecución tmbién seá equivlente x v = y mbs ecuciones tendán ls misms soluciones..3.- En delnte, de no dvetise pevimente lo contio, consideemos que ls ecuciones tienen solución y que el coeficiente tensoil tiene núcleo e imgen otogonles, lo que siempe ocue si es simético o egul. punto:.4.- Pié de l noml X desde el oigen. Es el (v Im ): p = - - v ) Petenece X: (- - v ) v = -( * - )v v = - v v = -v 'v = b) L diección p es otogonl X pues petenece Im y po tnto es otogonl Nuc y en consecuenci X. c) Po consiguiente tmbién se veific que el punto p es l intesección ente Im y X: p = Im X.5.- Solución genel de x v = : L expesión genel cundo x es el pié de l noml desde el oigen, es l siguiente: 4

29 Como I - podemos escibi: X = - - v Nuc es el tenso unitio de Núc, tmbién X = {x / x = - - v (I - )w ; w E}.6.- Ots expesiones de l condición v Im. ) De cuedo con lo que cbmos de ve, tendemos: (I - )v = b) Genelmente es más útil l compobción mticil: (T ={ } ; V ={v }): Rngo {TV} = Rngo T.7.- P que l solución genel se un subespcio, l condición es v =. Puesto que debeá contene l solución y entonces: v = v =.8.- Resolución de un ecución..- Aunque no se simético ni egul, podemos hll X utilizndo los vloes de y - obtenidos po el método de l ecución ccteístic de, tendiendo sus popieddes..- Si hy solución, podemos esolve l ecución equivlente { x } {v } = { } peo con coeficiente mticil simético, que esult del poducto de l ecución po { ~ }. Entonces, l solución que se hlle es igul l obtenid pti de un bse otonoml y un simético de igul núcleo. P v no peteneciente Im, como no hy solución, l compobción de l solución que se encuent de est mne, esultá negtiv..9.- Ejemplo de esolución de un ecución. Vmos esolve l de los coeficientes siguientes: { } = 6 {v } = 3 3 en donde tiene los siguientes invintes (coeficientes de l 5

30 6 ecución ccteístic): = ; = 43; 3 = 48; 4 = =. Teniendo pesente el lgeb tensoil, pocedeemos sí: ) Cálculo de y de = = = Deducimos de ests igulddes: { } = 3 3 ; { - } = b) Existenci de solución (I - )v = {(I - )v } = = c) Cálculo de l solución p = {- - v } {p} = = = d) Cálculo de Nuc. Podemos detemin Nuc sbiendo que ls mtices de sus vectoes son tods ls geneds po ls mtices column de {I - }. Tmbién podemos deteminlo desollndo {I - } {w } y dndo {w } componentes bitis. e) Expesión mticil de l solución genel:

31 7 X = α = α α α..- Oto ejemplo: { } = ; {v } = ; =; =; 3 =4; 4 = ) Cálculo de y = = = = 4 ( 3 - ); - = 4 ( - ) { } = ; { - } = 4 3 b) Existenci de solución: {(I - )v } = = c) Cálculo de l solución p = {- - v } {p } = = d) Expesión mticil de l solución genel:

32 {x } = β = β β β..- Rect de ecución ( ): x = b en un espcio tidimensionl. Tendemos en cuent ls popieddes del poducto vectoil. ) Condición de solución: b Im ( ) ( m): b = m Es: b = ó b = (diección b otogonl diección ) b) Nuc { ). El núcleo de un tenso ntisimético de º oden es unidimensionl, y po tnto X es un ect. Sen dos puntos x y x solución. Tendemos: x = b (x -x ) = x = b Po consiguiente l diección de l ect es plel y po tnto, p b, otogonl b. c) X es un subespcio, o se que el oigen petenece X, si y sólo si b=. Pues es evidente que ést es l condición p que l ecución se veifique p x =. d) Si X no es un subespcio, tod solución x coesponde un vecto otogonl b, ddo que sbemos que un poducto vectoil es otogonl cd uno de los fctoes. e) Si X no es un subespcio, el vecto que define el pié de l noml X desde el oigen, po se noml X es otogonl, y po c) es otogonl b. Podemos pues epesentlo po p = α(b ) p lgún vlo α escl. Como p es un punto de X, veificá: b = [α(b )] = α[ (b )] = α( b -( b ) ] = α b y po consiguiente: α = p = b Como el poducto vectoil veific: 8

33 9 (b )(b ) = b [ (b )] = b [ b -( b ) ] = b l distnci del oigen l pié de l noml seá: p = ) )(b (b = b = b = b.-convesión de ecuciones. Pso de un sistem de m ecuciones de pime gdo de coeficientes escles en un espcio popimente euclidino n- dimensionl, l expesión equivlente de coeficiente tensoil, y viceves. Adoptemos un método mticil. ) Cso º: m=n. Se A i = { i } y el vecto v con {v } = n α α α Tendemos: = = = x x x n n α α α x.. x x n n α α α n A A A {x } n α α α = { } {x } {v } x v Este poceso l ives es el que podemos segui p ps de un expesión tensoil l sistem equivlente, se culquie el tenso. b) Cso º: m<n. Podemos segui el poceso nteio considendo ñdids n-m ecuciones de coeficientes nulos. Vmos pone un ejemplo. Sen 3 ecuciones de ls siguientes ccteístics: { } =A = { - }; { } =A ={ -}; { 3 } =A 3 ={ - } α = - α = α 3 = -

34 3 Tendemos: { } = T = ; {v } = = V El poceso inveso es sencillo. Si hy solución, podemos hll un ecución equivlente, multiplicndo los dos miembos de l ecución mticil po T ~. Los nuevos coeficientes seán: { s }'= T~ T = = 6 {v s }= T~ V= = 3 3 c) Cso 3: m>n. Se un sistem de ls ccteístics siguientes: { } = { - }; { } = { -}; { 3 } = { - }; α = -; α = ; α 3 = -; { 4 } = {4 }; { 5 } = {3 -} α 4 = ; α 5 = T = 3 4 ; V = Siendo 3 el ngo de T, sí como el de {TV}, el sistem se educe l del cso nteio. Como se que V Im, tmbién podemos hll un ecución equivlente si considemos que nos hllmos en un espcio vectoil de más de n dimensiones, de l siguiente mne:

35 3 { } = T ~ T = = {v } = T ~ V = 3 4 = Posiciones eltivs Plelismo. Sen ls vieddes: X... x v = ; X... x v = TEOREMA 3º.- P que X se plelo X, l condición necesi y suficiente es: * = Puesto que evidentemente X seá plelo X si y sólo si se veific. Nuc Nuc Im Im ( v ): ( v ) = v * = y si lo suponemos simético, el último poducto mticil es pemutble. Hubiésemos podido utiliz en vez de con nálogo esultdo. Es fácil ve que un condición necesi peo no suficiente es: Rngo Rngo X plelo X está contenido en X cundo demás se veifique: v = ( - v ) Puesto que existiendo el plelismo, bstá que

36 tengn un punto común, tl como el pié de l noml desde el oigen X. O se: (- - v ) v = v = ( - v ) X y X seán mutumente plelos cundo: = pues los núcleos de mbos tensoes debeán coincidi Como consecuenci de los dos últimos páfos, dos ecuciones seán equivlentes, es deci, X = X, si y sólo si se veific: = - v = - v Pues entonces X y X son mutumente plels con igul pié de noml Otogonlidd o pependiculidd. Sen ls vieddes: X... x v = ; X... x v = con y tensoes siméticos. TEOREMA 4º.- Ls condiciones de otogonlidd o pependiculidd son ls siguientes: Pependiculidd: Nuc Im Otogonlidd: Nuc Im Otogonlidd suplementi: Nuc = Im Pues X y X seán pependicules u otogonles si y sólo si lo son Nuc y Nuc. Como po se siméticos mbos tensoes, su núcleo es otogonl suplementio su imgen, l elción buscd ente núcleos equivle un elción de inclusión ente Nuc y Im Vmos ve ls foms que pueden dopt ests condiciones según sen ls dimensiones m de Nuc y m de Nuc. Recodemos del álgeb tensoil que se tiene: Im = Im = Nuc (I - ) 3

37 Im = Im es otogonl suplementio de Im(I - ) ) Cso º: m m > n Sólo es posible l pependiculidd. L condición es: Nuc Im y en función de los subespcios otogonles y suplementios mbos miembos, seá: Im Im (I - ) y po consiguiente: ( v ): (I - )( v ) = v y como el pime miembo esult: (I - )( v ) = I ( v ) - ( v ) = v - ( * )v sustituyendo qued: ( v ): v - ( )v = v ( v ): -( )v = y finlmente: = ( = ) b) Cso º: m m < n Sólo es posible l otogonlidd. L condición es Nuc Im Im(I - ) Im ( v ): [(I - )v ] = (I - )v (I - ) = I - - I = (= ) c) Cso 3º: m m = n L condición es = I que se deduce inmeditmente de hbese de cumpli l vez ls dos condiciones nteioes. Recípocmente, de cumplise est últim condición se cumplen tmbién ls ots dos. Efectivmente, multiplicndo mticilmente los dos miembos de l condición po se 33

38 obtiene: = I = = y con ello se deduce inmeditmente l condición que flt. 34

39 4.- Intesecciones TEOREMA 5º.- Ddos dos tensoes siméticos y, se veific: Nuc( ) = Nuc Nuc Nuc( - ) = Nuc Nuc Im Im Podemos conside el espcio totl como l eunión de cuto conjuntos disjuntos que se señln continución po, b, c y d, de mne que todo vecto m no nulo peteneceá uno de estos conjuntos y sólo uno y vmos ve qué ocue en cd cso con el vecto ( ± )m ) (m Nuc : m Nuc ): ( ± )m = m ± m = b) (m Nuc ; m Nuc ): ( ± )m = m c) (m Nuc ; m Nuc ): ( ± )m = ± m d) (m Nuc ; m Nuc ): ( ± )m = m ± m = m i±m i Deducimos de quí que todos los vectoes del conjunto petenecen tnto Nuc( ) como Nuc( - ), y que los vectoes de los conjuntos b y c no petenecen ninguno de los dos. En cunto los del conjunto d, ddo que m i y m i po hipótesis no pueden se nulos, hbá dos subcsos: d) Si los sumndos m y m i i su sum no podá nulse. no tienen igul diección, d) Si l diección es l mism, ést hbá de petenece Im =m =m Im. Po ot pte tendemos entonces m i i i, pues coesponden un únic poyección otogonl de m sobe l diección común. L ect poyectnte únic debe se plel Nuc y Nuc y po tnto Nuc Nuc. Así pues, de cuedo con lo y visto, l condición de que m se de igul diección que m i i equivle : (m n Nuc Nuc ; m i Im Im ): m = m n m i y po consiguiente el cso d) qued desdobldo en: ( )m = m m = m i i i 4..- Consecuenci: ( - )m = m - m = i i 35

40 36 Nuc ( ) Nuc ( - ) P hll l intesección de dos vieddes expesds po sus ecuciones tensoiles, puede pocedese tnsfom sus ecuciones en dos sistems equivlentes de coeficientes vectoiles y esolve el sistem conjunto, según se vió en C'. después de ve su comptibilidd y elimin ls ecuciones supeflus. Cundo cd ecución tiene solución tmbién podemos pocede tensoilmente sí: = = v x X : v x X : = = v x v x = = v v )x ( :' X v v )x ( :' X Los sistems equivlentes nteioes nos indicn que X X = X X. Como po el páfo nteio hemos visto que X es plelo X, l solución seá X siempe que uno de sus puntos veifique l ecución de X, y no hbá solución en cso contio.

41 5.- Resolución de lgunos sistems de ecuciones en un espcio tidimensionl Intesección de l ect de ecución x =b y del plno de ecución c x =α. deci: Supondemos pevimente que existen ect y plno, es ; c ; b = Los puntos x de l ect veificán: x =b ( x ) c = b c (c x ) - (c )x = b c ) Si se tiene: c =, α b c se veificá: (c x ) α c x α y l ect seá plel l plno sin punto común con él. b) Si se tiene: c =, α = b c se veificá: (c x ) = α c x = α y l ect está contenid en el plno. c) Si se tiene c se veificá: x = α b c c y l ect cotá l plno en este punto Intesección de un ect de ecución n x = y de ot ect de ecución m x =b. Po ttse de dos ects tendemos: n ; m, n =; b m = ) Si se tiene m =λn p lgún escl λ, es deci, que m y n tienen l mism diección, ls ects son plels ente sí, pues l pime contiene l diección de n y l segund l de m. ) b =λ. Ls ecuciones son equivlentes y ls ects coinciden. ) b λ. Ls ecuciones no tienen solución común y ls ects son plels. 37

42 b) m y n independientes. Ls ects no son plels. Multiplicndo l ecución de l pime ect po m y l de l segund po n, se obtiene: m (n x ) = m (m n )x = m n (m x ) = n b (n m )x = n b Evidentemente, l pime ecución coesponde un plno que contiene l pime ect y l segund ecución un plno que contiene l segund ect. Como mbos plnos tienen coeficientes opuestos, son mutumente plelos. b) m -n b. Los plnos no tienen ningún punto común y po lo tnto lo mismo sucede con ls ects, que se cuzn sin cotse. b) m = -n b. Los plnos coinciden en uno solo, y como entonces, ls dos ects no plels están contenids en él, se cotn en un punto En este último cso, p hll el punto de intesección pocedeemos hll el de intesección de los tes plnos que tienen ls siguientes ecuciones: (m n )x = m (p, m, n ) positivo (p n )x = -p (p m )x = p b y en que p es un vecto bitio independiente de m y de n. El pime plno hemos visto que contiene ls dos ects. El segundo contiene l pime ect pues su ecución es l ecución de l ect multiplicd po p. Y po motivo nálogo el tece plno contiene l segund ect. Po consiguiente l intesección de los tes plnos coincide con el punto de intesección de ls dos ects del poblem. 38

43 E.-PROYECCIONES ORTOGONALES DE TENSORES.- Poyección otogonl de un vecto sobe un subespcio. Recodemos del lgeb tensoil que, ddo un tenso de núcleo otogonl su imgen, l poyección otogonl de un vecto v sobe el subespcio Nuc es (I - )v, siendo I el tenso idéntico ó fundmentl y el tenso unidd del subespcio Im. Diemos ho que l poyección otogonl de un vecto v sobe un viedd linel X de ecución x = efeid un punto de l mism, es: v = (I - )v y diemos que v es de X cundo v =v...- Poyección otogonl de un tenso. Se un tenso σ culquie considedo como un sumtoio de poductos tensoiles de vectoes. Definimos como poyección otogonl de un tenso σ en genel, sobe un viedd X, l tenso σ que esult de sustitui en el sumtoio de los poductos tensoiles de σ cd vecto fcto po su vecto poyección otogonl sobe X: σ = ( i b i.. ) σ i = ( b.. ) i i i Evidentemente el tenso σ tendá po lo menos ls misms simetís y ntisimetís que el tenso σ oiginl. Diemos de un tenso σ que es de X cundo todos sus fctoes son vectoes de X...- TEOREMA º.- Si l poyección otogonl de σ sobe un viedd X de ecución x = es σ y µ es un tenso de X (ó se µ =µ ), se veific: (σ µ ) = σ µ Pues cundo σ y µ son poductos tensoiles únicos, po ejemplo: σ =.. m.. σ =.... m µ = b b.. b m podemos escibi: 39

44 (σ µ ) = ( b )( b )..( m b m )( m.. ) (σ µ ) = ( b )( b )..( m b m )( m.. ) (σ µ ) = ( b )( b )..( m b m )( m.. ) Peo tenemos (I - ) (I - )=(I - ) que es un tenso simético, sí como v =(I - )v ', y po consiguiente: i b i = i [(I - )b i ]= [(I - ) i ]b i = i b i Veificándose l iguldd p poductos tensoiles únicos debeá veificse tmbién p sumtoios de poductos tensoiles..3.- L poyección otogonl de un tenso σ sobe un viedd X es únic. Pues si hubie dos distints tles como σ y σ, po el teoem nteio en el espcio X se veificí: ( µ / µ X): σ µ = σ µ σ = σ.4.- El teoem nteio se puede enunci tmbién de est ot mne: Si en el espcio puntul fín, σ es el tenso de l plicción linel tl que el tenso µ tiene po imgen el tenso σ µ, σ es el tenso de X que coesponde l plicción que todo µ, cundo µ petenece X, hce coesponde el tenso (σ µ ) de X, o se el tenso poyección otogonl sobe X del tenso imgen de σ. Decimos entonces, que po lo que espect tl plicción, σ es el tenso inducido en X po el tenso σ del espcio puntul fín..5.- Cundo el tenso σ que poyectmos sobe X es pecismente de º oden, tmbién podemos escibi: σ = (I- ) σ (I - ) Y que, en genel, p µ y ω tensoes siméticos de º oden y expesndo σ po i b i podemos escibi p todo v : [µ ( i b i ) ω ]v = µ [( i b i )(ω v )] = µ [ i (ω v )]b i = = µ [(ω i )v ]b i = [(ω i )v )](µ b i ) = (ω i µ b i )v y po consiguiente: µ ( i b ) ω = ω i µ b i 4

45 y en pticul, p µ = ω = I -, se tiene: (I - ) ( i b i ) (I - ) = [(I - ) i ] [(I - )b i ] y como el º miembo po definición es σ,tendemos: (I - ) σ (I - ) = σ.- Poyección sobe un plno. Consideemos desde ho, que l viedd X es un plno o viedd (n-)-dimensionl, de veso noml b y que el tenso que poyectmos sobe él es un tenso simético σ de segundo oden. Tendemos = b b...- TEOREMA º.- Se veific: ) σ b =. b) σ = σ - (σ b b ) - (b σ b ) [(b b )σ ](b b ) L pime poposición es evidente po se b otogonl l plno X. En cunto l segund, desollndo l expesión de σ tenemos: σ = (I- ) σ (I - ) = σ - σ - σ σ Opendo sobe cd uno de los sumndos º 3º y 4º del segundo miembo pevimente multiplicdos po un vecto v culquie, obtenemos: ( σ )v = (σ v )=(b b )(σ v )=[b (σ v )]b =[(σ b )v ]b=(σ b b )v σ = σ b b (σ )v =σ ( v )=σ [(b b )v ]=σ [(b v )b ]=(σ b )(b v )=(b σ b )v σ o = b σ b ( σ )v = [(σ )v ] = (b b )[(b σ b )v ]=(b b )(b v )(σ b )= =(b v )[b (σ b )]b = [b (σ b )](b b )v = [σ (b b )](b b )v σ = [σ (b b )]b b ) Sustituyendo los vloes hlldos, tenemos l iguldd 4

46 que se queí demost...- Se l poyección de un tenso simético σ de º oden sobe un plno de veso noml b, Vmos estudi ls condiciones que deben existi p que no siendo nulo el tenso σ, se nul su poyección σ sobe el plno. P ello exminemos este poblem en los divesos csos distintos en que nos podemos hll. ) b Nuc σ. Tendemos evidentemente σ b = y con ello l expesión hlld p σ se educe que σ es igul σ que no es nulo po hipótesis y po tnto σ en este cso no puede se nulo. b) b Im σ ; σ b =λb (ó se b es veso popio de σ ). Aplicndo l mism expesión, ó se: σ = σ - (σ b b) - (b σ b) [(σ b)b](b b) sustituyendo σ b po λb y simplificndo, se obtiene: σ = σ - λ(b b) y hbá dos posibiliddes: b) σ = λ(b b ) σ = b) σ λ(b b ) σ c) b Im σ ; σ b λb ; Dim (Im σ ). Po hipótesis σ b y σ b = b petenecen Im σ y son independientes. Po tnto no es posible Dim (Im σ ) < c) Dim (Im σ ) <. Es un cso imposible c) Dim (Im σ ) >. En este cso siempe hbá un veso popio de σ simético, que petenezc Im σ, se independiente de σ b y de σ b, y que teng un vlo popio α no nulo. Efectundo l multiplicción contct de expesión genel de σ, obtenemos: po l σ = σ - [σ b b] - [b σ b] [(b b)σ ](b b) σ = σ - [ (σ b)]b - ( b)(σ b) ( b)[(b b)σ ]b L nulidd de σ exige σ = y po tnto que el º 4

47 miembo de l iguldd pecedente se nulo. Teniendo en cuent que σ = α, este º miembo es un función de los vectoes independientes, σ b y b, y po consiguiente, p su nulción, debeá nulse cd uno de sus coeficientes. Así pues, como el coeficiente α del témino en, po hipótesis no es nulo, en este cso c) nunc podá se nulo σ. d) b Im σ ; σ b λb ; Dim (Im σ ) =. El tenso σ seá nulo si, y sólo si, su poducto po todos los vectoes de un bse es nulo. Consideemos l bse fomd po los vectoes b =σ b, - σ b de Im σ y po un bse {v } de Nuc σ i. El vecto σ - b es independiente de b puesto que si no fue sí se veificí σ - b = βb y po consiguiente σ b = β - b, lo que es imposible po hipótesis. Siendo sí, podemos conside l bse fomd po los vectoes b =σ b, σ - b de Im σ y po un bse {v i } de Nuc σ. El poducto σ 'b es nulo según el teoem nteio. El poducto de σ po culquie v del núcleo de σ i lo podemos obtene sustituyendo en l expesión de σ del cso nteio el vecto po el vecto v i, con lo cul se ve inmeditmente que el esultdo es nulo po selo σv y v b i i. Qued po tnto como condición necesi y suficiente p tene σ = el que se veifique σ (σ - b )=. Como siempe tenemos σ(σ - b )=σ b l expesión genel de σ (σ - b ) deducid de l de σ que hemos visto, seá σ (σ -b )= σ b -[(σ -b )(σ b )]b -[(σ -b )b ](σ b )[σ (b b )][(σ -b )b ]b Sbemos que ho el pime témino del desollo es igul b y vmos ve continución que se nul con el segundo témino. El coeficiente de -b en el º témino del º miembo es (σ - b )(σ b ) = σ [b (σ - b )] y po se simético σ tmbién tendemos: (σ - b )(σ b ) = σ [(σ - b ) b ] = [σ (σ - b )]b = (σ b )b = b b = y el segundo témino qued en -b, o se opuesto l º. Po lo tnto,p este cso podemos escibi: 43

48 σ (σ - b )= -[(σ - b )b ](σ b ) [σ (b b )][(σ - b )b ]b P σ '= seá necesio que, en el º miembo, función de b y σ b independientes, los coeficientes de mbos vectoes sen nulos, y po consiguiente se deduce inmeditmente del único témino en σ b, que un condición necesi es que se veifique: = (σ - b )b = σ - (b b ) Si tenemos en cuent que l cumplise est condición, no sólo se nul el témino º de l expesión educid, sino que tmbién se nul evidentemente el último témino, l condición necesi nteio h psdo se tmbién suficiente. Así pues podemos estblece: d) σ - (b b ) = σ = d) σ - (b b ) σ Obsevemos que p b Imσ no nulo, l condición nteio, ó se σ - (b b ) =, incluye que se veifique σ b λb. Pues si se veific entonces σ b =λb, λ seí un vlo popio no nulo de σ, y se veificí σ - b =λ - b sí como σ - (b b )=λ - b. e) b Im σ ; b Nuc σ ; σ b λb i El vecto b i =σ b es l poyección otogonl de b sobe Im σ y no puede se nulo ni igul b. Se l expesión genel ntes obtenid p σ (σ - b ), en que se h sustituído σ b po b i : σ (σ - b )= b -[(σ - i b )(σ b )]b -[(σ - b )b ](σ b )[σ (b b )][(σ - b )b ]b El sistem {b,b i,σ b } es independiente, pues σb y b i unque de distint diección petenecen mbos Im σ y no pueden gene b que no petenece Im σ. Po est expesdo σ (σ - b) en función de tes vectoes independientes, p nulse pecisá que sen nulos los tes coeficientes coespondientes y como el de b i siempe es uno, no puede nulse y po tnto tmpoco puede nulse σ. f) b Im σ ; b Nuc σ ; σ b = λb i. Tendemos ho: σ b = λb ; i i b b i = (b i b n )b i = b i b i Po tnto b i es vecto popio de σ con vlo popio λ que tendá ho igul diección que σ b, y se veificá: - σ b = σ - b = i λ- b i 44

49 Sustituyendo los nuevos vloes en cd témino del miembo de l expesión genel hlld p σ (σ - b ), esult: º. σ b = b i º. -[(σ - b )(σ b )]b = -[(λ - b i )(λb i )]b = -(b i b i )b 3º. -[(σ - b )b ](σ b ) = -[(λ - b i )b ](λb i )]=-(b i b )b i = -(b i b i )b i 4º. [σ (b b )][(σ - b )b ]b = [(σ b )b ]][(σ - b )b ]b = = [(λb i )b ][(λ - b i )b ]b = (b i b i )(b i b i )b Sustituyendo se tiene: σ (σ - b ) = b - (b b )b i i i -(b b )b (b b )(b b )b i i i i i i i = = b [-b b ] - [(b b )b ][-b b ] = i i i i i i i = [-b b ][b -(b b )b i i i i i ] Est expesión esultnte no puede nulse, pues el pime cochete no puede se nulo poque b b i i siempe seá meno que uno, y el º cochete tmpoco podá selo, y que b y b son i de distint diección se nulo. Po consiguiente en este cso f) el tenso σ ' no puede.3.- Resumen del cso nteio. L poyección otogonl σ de un tenso σ simético de º oden no nulo, sobe un plno otogonl un veso b, se nul si, y sólo si, estmos en uno de los dos csos siguientes: º.- ( λ): σ = λ(b b ) º.- b Im σ ; σ - (b b ) = ; Dim (Im σ ) =.4.- P que l poyección otogonl σ de un tenso simético de º oden no nulo sobe un plno otogonl un veso b, se igul σ (en su espcio) l condición necesi y suficiente es que se veifique: σ b = b Nuc σ. Pues dd l expesión hlld p σ siendo un vecto culquie: σ = σ - [ (σ b)]b - ( b)(σ b) ( b)[(b b)σ ]b es evidente que l condición es: 45

50 ( ): [ (σ b )]b ( b )(σ b ) = ( b )[(σ b )b ]b y po tnto seá necesio que se veifique: ( λ): σ b = λb Sustituyendo este vlo en l ecución nteio obtenemos l condición en est fom: ( ): ( λb )b ( b )λb = ( b )(λb b )b = ( b )λb ( ): = ( λb )b = λ (b b ) Po consiguiente, como es peciso λ=, l condición necesi es σ b = que se ve fácilmente que tmbién es suficiente. 46

51 INDICE DE ECUACIONES ()... 9 ()... (3)