UNIDAD13.PRODUCTO ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO. APLICACIONES

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2 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. UNIDAD.PRODUCTO ESCALAR VECTORIAL Y MIXTO. APLICACIONES. Podcto ecl de do ectoe libe.. Definición.. Intepetción geométic.. Epeión nlític. Podcto ectoil de do ectoe libe... Definición.. Intepetción geométic.. Epeión nlític. Podcto mito de ectoe libe.. Definición.. Intepetción geométic.. Epeión nlític 4. Apliccione 4.. Apliccione con ectoe 4... Módlo ecto nitio 4... Ánglo de do ectoe. Vectoe pependicle 4... Vecto noml n plno diecto de n ect 4.. Ánglo ente elemento del epcio 4... Ánglo ente do ect 4... Ánglo ente do plno 4... Ánglo ente n plno n ect 4.. Ditnci ente elemento del epcio 4... Ditnci ente do pnto 4... Ditnci de n pnto n ect 4... Ditnci de n pnto n plno Ditnci de n ect n plno Ditnci ente do plno Ditnci ente do ect 4.4. Poeccione Poección de n pnto obe n plno Poección de n pnto obe n ect Poección de n ect obe n plno 4.5. Elemento imético Simético de n pnto epecto oto pnto Simético de n pnto epecto n plno Simético de n pnto epecto n ect Simético de n ect epecto n plno 4.6. Rect qe e pon obe ot do ect Se pon en l do ect p po oto pnto Se pon en l do ect on plel ot ect 4.7. Cálclo de áe olúmene Áe del plelogmo del tiánglo Volmen del plelepípedo el tetedo. Joé Li Loente Agón 6

3 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Conteto con l P.A.U. Ete tem e l continción del nteio. Mient qe en el tem e deciben l epeione qe identificn pnto ect plno í como l poicione elti en el tem qe no encontmo e etdi l elcione métic ente eto elemento. Al finl del tem e elin lo ejecicio del bloqe de Geometí de lo último eámene de l PAU. 6 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

4 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio.. Podcto ecl de do ectoe... Definición En el co nteio e etdió l definición de podcto ecl p ectoe en el plno en éte lo etendeemo l epcio (i l tece coodend de lo ectoe e nl podemo pticli l podcto ecl en el plno). Definición: El podcto ecl de do ectoe libe w e n númeo el (ecl) definido como: w w co ( ( w ) ) donde: - w on lo módlo de lo ectoe ( ) - co ( ( w ) ) e el coeno del ánglo qe fomn lo ectoe w i e plicn dede el mimo pnto Si eced en Fíic el tbjo elido l depl n m e igl l podcto ecl de l fe el deplmiento W F d F d co( α ) w El ánglo qe fomn do ectoe ( w ) e el qe del pimeo l egndo en el w entido hoio Popiedde del podcto ecl de do ectoe: - El podcto ecl de n ecto po í mimo e igl l cddo del módlo: co ( ( ) ) co() - El podcto ecl e conmttio w w pe co( ( w ) )co( ( w ) ) ( pe ( w ) 6º- ( w ) el coeno cmple co(α)co(6-α) - El podcto ecl e ditibtio epecto l m de ectoe: ( w ) w - El podcto ecl de do ectoe e nlo i ólo i on pependicle o lgno de lo ectoe e ceo: w w ( w ) 9º ó 7º ó /o w Joé Li Loente Agón 6

5 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio... Intepetción geométic del podcto ecl Se pede elcion geométicmente el podcto ecl de do ectoe con l poección de n ecto obe el oto: w po ( w) po w ( ) w donde : - po (w) e el lo de l poección de w obe - po w () e el lo de l poección de obe w Demotción: P ( w ) po w () Q w po w () PQ co( ( w)) mltiplicndo w w co( ( w)) w po w ().. Epeión nlític del podcto ecl. A pti de l popiedd ditibti del podcto ecl del podcto ecl de lo ectoe nitio podemo obtene l epeión nlític del podcto ecl de do ectoe cleqie. Vemo pimeo el podcto ecl de lo ectoe nitio: i i co() j j co() k k co() i j j i i k k i j k k j co(9) De et mne el podcto de do ectoe ) w ( w w w ) iene definido nlíticmente como: w w w w Demotción: w ( i j k) ( wi w j wk) i ( w i w j w k) j ( w i w j w k) k ( w i w ( j w k) w w w Ejemplo: (-) (4) - 4 on pependicle () (-) (-)() (-) co(α) α co 5 64 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

6 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio.. Podcto ectoil de do ectoe.. Definición Definición: El podcto ectoil de do ectoe libe w e oto ecto qe deignemo como w qe e define pti de l igiente popiedde: - módlo w w en( ( w )) - diección l pependicl imltánemente w - entido el de nce deech de n ccocho gindo de w (*) (*) Sentido del podcto ectoil Popiedde del podcto ectoil: - El podcto ectoil e nticonmttio. El módlo l diección no cmbin peo el entido e el opeto (e egl ccocho). ( w) ( w ) - El podcto ectoil e ditibtio con l m: ( w) w - El podcto ectoil e nlo iempe qe e cmple n de l do igiente condicione: ) no de lo do ectoe o lo do on nlo b) on ectoe plelo ( w )º qe en() Joé Li Loente Agón 65

7 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio... Intepetción geométic del podcto ectoil Sen do ectoe w con oigen común. Si tldmo el ecto w obe el etemo de el de obe el etemo de w e fom n plelogmo (e fig) ( w ) w ) h en( ( w) El áe del plelogmo e w h iendo h en( ( w) ). Aí el áe del plelogmo e igl l módlo del podcto ectoil de lo do ectoe qe lo fomn A plelogmo w en( ( w) ) w..epeión nlític del podcto ectoil P clcl l epeión nlític del podcto ectoil emo el podcto ectoil de lo ectoe nitio: k i j k j k i k i j j i k k j i i k j A pti de eto podcto ectoile de l popiedd ditibti podemo clcl de fom encill el podcto ectoil de do ectoe ( ) w (w w w ) w ( i j k ) (w i w j w k ) w w k - w j - - w k w w i w j - w i w ( w - w ) i ( w - w ) j ( w - w ) k Se pede clcl fácilmente pti del igiente deteminnte: i j k w w w k i w j i j 66 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

8 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. (-) () () i j k Ejemplo: () () i j k ( ). Podcto Mito de ectoe...definición El podcto mito de te ectoe podcto ectoil ecl. w e n lo nméico definido pti del Definición: El podcto mito de ectoe w qe e deign como [ w ] e obtiene del podcto ecl del pime ecto po el ecto eltnte de mltiplic ectoilmente lo oto do: w ( w) [ ] Popiedde del podcto mito: - Si pemtmo do ectoe del podcto mito ete cmbi de igno: w -[ w] [ w ] w [ ] [ ] - El podcto mito e ditibtio epecto l m de ectoe: [ ' w ] [ w] [ ' w] w i lgún ecto e nlo o on coplnio (linelmente dependiente). - [ ].. Intepetción geométic del podcto mito. Conideemo lo te ectoe w plicdo obe el mimo oigen de mne qe fomen n plelepípedo (con poeccione). Se cmple qe el olmen del plelepípedo e igl l lo bolto del podcto mito de lo te ectoe qe lo fomn V plelepipedo e be h w co( ( w) )[ w] w h w Joé Li Loente Agón 67

9 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio... Epeión nlític del podcto mito Aplicndo l epeión nlític del podcto ectoil ecl de lo ptdo nteioe e fácil e como el podcto mito e pede pone pti del igiente deteminnte: [ w] w w w Ejemplo: [()(--)()] on coplnio e deci linelmente dependiente. Ejecicio. Sen lo ectoe ) Clcl lo podcto ecle ente lo te ectoe ( 5) (4 ) w ( 7) w w 6 4 b) Detemin el módlo de lo te ectoe ( 5) w c) Hll el ánglo qe fomn ente ello 9 ( ) co co 9º7' 7' ' 8 9 w ( w) co co º 4' 7' ' w 8 5 w ( w) co co º 4' 44' ' w Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

10 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Joé Li Loente Agón 69 Ejecicio.- Sen lo ectoe. Hll todo lo ectoe de módlo nidd qe fomen n ánglo de º con de 45º con ) ( 4 ; () () () () () ) ( 4 ) ( ) ( co( 45) 45) co( ) ( 4 6 ) ( ) ( co( ) co( ) ) ( ) ( Ec w w Ec w w Ec w w olcione Do Ejecicio. Clcl n ecto qe cmpl en cd co l igiente condicione: ) Se popocionl l ecto demá (k-kk) ) ( ) ) ( ( k k k k k k k k b) Se pependicl lo ectoe 8 5 demá 4 (): 96 (Ec ) (Ec ) 5 8 (Ec ) 5 8 () () 64 () () - () 8--5(-) () ±

11 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio (789 64) 89 (789 64) 89 Ot fom má encill: el podcto ectoil de do ectoe e n ecto pependicl mbo i j k k ( w) k k (78 6) 8 5 k (7 8 6 ±4 )96 k 89 (789 64) 89 (789 64) 89 c) Qe e pependicl l eje OZ cmpl 9 4 iendo 5 (-) () k (Ec ) -59 (Ec) w --4 (Ec ) Reoliendo el item (-) Ejecicio 4.- P lo ectoe clcl ( ) ( ) w () i j k i j k 7i 7 j 7k ( ) w i 4 j 7k i j k i j w i j 7k ( w) k 7 Not: en el podcto ectoil no e cmple l popiedd ditibti i j 9k 7 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

12 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Joé Li Loente Agón 7 Ejecicio 5.-Ddo lo ectoe 5 clcl ( ) E el podcto mito [ ] 7 5 ) ( w w Ejecicio 6.- Ddo lo ectoe e cmple ) módlo on epectimente b). Clcl ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( 5 ( co ( co ( co en en 4. Apliccione 4.. Apliccione con ectoe En ete ptdo eemo l pliccione del módlo del podcto ecl ectoil mito eltio l popiedde de lo ectoe. Recodemo qe mch mgnitde fíic como l poición elocidd l fe on ectoe de qí l gn impotnci de ete pnto Módlo ecto nitio A pti del podcto ecl e fácil clcl el módlo el ecto nitio de dicho ecto. Módlo: Po oto ldo el ecto nitio de n ecto e oto ecto con l mim diección entido peo con módlo nidd. P clcllo e diide el ecto po módlo: 4.. Ánglo de do ectoe A pti del podcto ecl o del módlo del podcto ectoil e fácil clcl el ánglo qe fomn do ectoe: ) ( co ) ( en

13 Lego i do ectoe - - Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. on pependicle e cmple: 4.. Vecto noml n plno diecto de n ect ) Ddo n plno con ección genel :ABCD demotemo lo dicho en el tem nteio eto e qe el ecto (ABC) e pependicl l plno : Se P ( ) A B C D () Se P ( ) A B C D () Retndo ()-() A( - )B( - )C( - ) Podemo epe et igldd pti del igiente podcto ecl del ecto n (ABC) el ecto P P (( - )( - )( - )) contenido en el plno: (ABC) (( - )( - )( - )) n P P lego e n ecto pependicl clqie ecto contenido en el plno po lo tnto n e pependicl. n P P ) Se l ect dd como inteección de do plno : : A B A B C C D D Se cmple qe l ect etá contenid en lego el ecto diecto de l ect e pependicl n n lego e pede epe como el podcto ectoil de n n : n n i A A j B B k C C Ejemplo: : n ( ) i j k 5i 5 j 5 k n ( ) 7 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

14 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. 4.. Ánglo ente lo elemento del epcio En ete ptdo clclemo lo ánglo qe fomn lo ditinto elemento del epcio ectoe ect plno. P cálclo emo el podcto ecl de lo ectoe ccteítico de ello el ecto diecto de l ect el noml del plno. 4.. Ánglo ente do ect. Sen do ect co ectoe diectoe on ; el ánglo qe fomn et do ect e el mimo qe fomn ectoe diectoe: ( ) ( ) co Not: l do ect fomn do ánglo qe mn 8º (on plementio). El ánglo qe fom qe e d e el meno de ello e deci el qe e meno o igl qe 9º. De et fom i α co e n ánglo mo qe 9º el ánglo de l ect e el plementio (8º-α) Co: ) ect pependicle ( ) b) ect plel ( ) λ 4.. Ánglo ente do plno. Sen do plno co ectoe nomle on n n epectimente. Si llmmo α l ánglo ente lo do ectoe nomle el ánglo qe fomn lo do plno e 8º-α. ( ) 8º ( n n ) 8º co n n Not: lo do plno fomn do ánglo qe mn 8º (on plementio). El ánglo qe fom qe e d e el meno de ello e deci el qe e meno o igl qe 9º. De et fom i α8- co e n ánglo mo qe 9º el ánglo de l ect e el plementio (8º-α) n n Joé Li Loente Agón 7

15 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Co: ) plno pependicle: ( ) n n n n b) plno plelo: ( ) n n n n n n n λ n 4.. Ánglo ente n ect n plno. Se n ect con ecto diecto n plno con ecto noml n. Si llmmo α el ánglo qe fomn n el ánglo qe fomn l ect el plno eá 9º-α: n ( ) 9º ( n ) 9º co n Not: l ect el plno fomn do ánglo qe mn 8º (on plementio). El ánglo qe fomn qe e d e el meno de ello e deci el qe e meno o igl qe 9º. De et fom i α co e n ánglo mo qe 9º el ánglo qe etmo 9º en l fóml e el plementio (8º-α) n α 9-α 74 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

16 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Ejecicio7.- Clcl el ánglo qe fomn l ect : : ( ) ( ) co ( ) ( ) co 6 º 4 8' 45' ' El ánglo qe e ele d e el meno de lo do qe fomn ( ) 8º- º º 4 85 Ejecicio 8.- Clcl el ánglo qe fomn plno :- l ect : : - n ( ) : ( ) ( ) 9º ( n ) 9º co n n 9º co º 47' 44'' Ejecicio 9.- Clcl el ánglo qe fomn lo plno :- :- : - n ( ) : - n ( ) n n 4 ( ) 8º ( n ) 8º co 8º co n n n º ' 9' ' 4..Ditnci ente lo elemento del epcio En ete ptdo etdimo l ditnci ente lo elemento del epcio pnto ect plno ente i Ditnci ente do pnto L ditnci ente do pnto P( ) Q( ) del epcio e igl l módlo del ecto PQ e deci: d(pq) ( ) ( ) ( ) Joé Li Loente Agón 75

17 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio Ditnci ente n pnto n ect L ditnci de n pnto P( ) n ect (con ecto diecto ) ( iendo Q( ) n pnto de l mim) e l mínim ditnci ente P l ect. H do fom de obtene l ditnci ente P PQ ) d(p) b) d(p) PQ ( po ( PQ )) PQ PQ Demotción: () P PQ h plelogmo be h d(p) PQ depejndo: d(p) PQ Q (b) P PQ h d(p)h Po el teoem de Pitágo: PQ ( po ( PQ )) Q po (PQ ) 4... Ditnci ente n pnto n plno L ditnci ente n pnto P( ) n plno (con ecto noml n ( A B C) qe contiene n pnto Q( )) e l meno ditnci qe eite ente P el plno. S lo nméico e: PQ n A B C D d( P ) po n ( PQ) n A B C 76 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

18 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Demotción PQ n A( - )B( - )C( - )A B C -A -B -C -D-A -B -C qe A B C -D l petenece P l plno. Q po n (PQ) n P Ditnci ente n ect n plno P clcl l ditnci ente n ect (con ecto diecto ( ) conteniendo n pnto P( )) n plno (con ecto noml n ( A B C) pnto Q( )) lo pimeo tenemo qe hce e compob l poición elti ente mbo. Aí egún e et: ) Se cotn d() b) Rect contenid en el plno d() c) Son plel d() d( P ) po n ( PQ) PQ n n A B A B C C D 4..5 Ditnci ente do plno P etdi l ditnci ente do plno pimeo e tiene qe etdi l poición elti de mb. Aí ditingimo: A) Si lo plno e cotn o on el mimo d( ) B) Si on plelo d(')d(p )d(q) donde P e n pnto de Q de Joé Li Loente Agón 77

19 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio Ditnci ente ect P etdi l ditnci ente do ect ( P ) ( Q ) pimeo e tiene qe etdi l poición elti de mb. Aí ditingimo: A) Rect qe e cotn d() B) Rect plel d()d(p)d(q) donde P e n pnto de Q de. C) Rect qe e cn el pocedimiento egi e el igiente: hllmo el plno qe contiene l ect e plel. L ditnci ente l do ect e l mim qe l ditnci de l plno e deci l ditnci ente n pnto de l ect el plno. PQ n d( ) d( ) d( Q ) n ( ) PQ [ PQ ] Q d() Ejecicio. Clcl l ditnci ente el pnto P(-4) l ect : d(p) PQ PQ / 4 / tenemo qe hll n pnto n ecto diecto de l ect. λ / Pmo l ect pmétic: : 4 λ / λ Q(/4) ( / ) PQ ( 5/ ) 5 6 PQ PQ 5 7 d(p) Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

20 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Ejecicio. Hll l ección del plno plelo :-6 qe dit 4 nidde de l ect : Si etdimo l poición elti del plno l ect emo qe e cotn lego clqie oto plno plelo cotá tmbién l ect dd po lo tnto no pede dit 4 nidde de l mim. Ejecicio. Hll l ditnci del pnto A() cd no de lo eje coodendo El eje OX tiene ecto diecto ( ) n pnto Q() d(a) AQ AQ AQ ( ) PQ AQ o d(aox) 4 ( Pitgo) Hciendo lo mimo en lo oto do eje: d(aoy) d(aoz) 5 d(aoz) A d(aoy) d(aox) Joé Li Loente Agón 79

21 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Ejecicio. Hll l ditnci ente l ect : Vemo l poición elti ente l do ect: : P(-) ( ) : () : ()() -/ ; -/-/ () : ng( ng( λ / λ / Q() ( ) λ ) Se cn. PQ ) n PQ [ PQ ] 5 d( ) d( ) d( Q ) 9 n ( 8 ) 89 Ejecicio 4. Hll l ditnci ente l ect qe pn po lo pnto A() B() el eje OY L ect qe p po A B : el eje OY: λ. () ( ) PQ ( ) ng( ) Se cn ng( PQ ) n PQ [ PQ ] d( ) d( ) d( Q ) 77 n () 8 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

22 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Ejecicio 5. Clcl l ditnci ente el pnto P(-) l ect : 4 λ L ect en pmétic pede epee como : 4 Q(-4) ( ) λ PQ () PQ 9 PQ 4 d(p) PQ PQ Ejecicio6. Hll l ditnci ente l ect : L ect e cn: n [ PQ ] PQ d( ) d( ) d( Q ) n : 4 Ejecicio7. Clcl l ditnci ente el plno : - : Vemo pimeo l poición elti ente lo do plno: A B C D A' B' C' D' 4' 6' n ( ) P() ' n ( 4 6) Q( ) ' PQ ( -6) PQ n 66 n 4 6 on plelo d( )d(p ) PQ n po n ( PQ) n Poeccione L poeccione de n pnto P obe en n plno o n ect on lo pnto itdo en éto qe ditn l meno ditnci de P. P poect n ect e poectn do pnto de l mim. Joé Li Loente Agón 8

23 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio Poección de n pnto obe n plno L poección de n pnto P obe n plno e el pnto M itdo en el plno l meno ditnci de P. Clclndo ete pnto podemo detemin l ditnci ente el plno el pnto como l ditnci ente P poección M. El pnto M e tl qe l ect qe p po P M e pependicl l plno. Aí obtendemo M como inteección del plno con l ect noml qe p po P. Po p obtene M:. Clclmo l ect pependicl (ecto diecto n ( A B C) ) qe p po P. Clclmo l inteección del plno con l ect obtenid en. P M n Poección de n pnto obe n ect L poección de n pnto P obe n ect e el pnto M itdo en l ect l meno ditnci de P. Clclndo ete pnto podemo conoce l ditnci ente l ect el pnto como l ditnci ente P poección M. Po p obtene M:. Clclmo el plno pependicl (ecto noml n ) ) qe p po P. Clclmo l inteección de l ect el plno obtenido en. ( P M 8 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

24 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio Poección de n ect en n plno L poección de n ect (ecto diecto pnto P) obe n plno (ecto noml n pnto Q) e ot ect itd en el plno tl qe l poección de clqie pnto de obe e encent en. Do fom de obtene l poección: ) Do po:. Obtenemo l poección de do pnto de P P obe (M M ). Clclmo l ect qe p po M M. b) Do po:. Hllmo el plno qe p po e pependicl. Do ectoe diectoe del plno on ( ) el ecto noml del plno n (ABC). Un pnto del plno e el pnto P de l ect. L poección e l ect inteección ente lo do plno P n P M M Ejecicio 8. Clcl l igiente poeccione ) Poección del pnto P(4-) en el plno : λ Po : Clclemo l ect qe p po P pependicl : : λ λ 49 Po : Inteección : (4λ)-(--λ)-(-λ)- λ-6/7 M ( ) b) Poección del pnto P(4-) obe l ect : Po : Clclemo el plno qe p po P pependicl : :5-D. P po P --D D-. Lego :5-- Po : inteección :()(λ5λ7-λ) (λ)5 (5λ)-(7-λ)- λ M(7) Joé Li Loente Agón 8

25 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. c) L ect : Lo hemo po el egndo método: en el plno : Po : Clclmo el plno qe contiene (e deci p po P(-) el ecto diecto (-)) pependicl (e deci el oto ecto diecto w n ()) : 4 5 Po : L ect e l inteección de : : Elemento imético En ete ptdo eemo lo igiente elemento imético: - Pnto epecto oto - Pnto epecto n plno - Pnto epecto n ect - Rect epecto n plno Simético de n pnto epecto oto pnto. El imético de n pnto P(P P P ) epecto n pnto M(M M M ) e oto pnto P () tl qe M e el pnto medio del egmento PP. Se cmple entonce: P M P M P M P ( M P M P M P ) d P d M P Simético de n pnto epecto n plno. El imético de n pnto P epecto de n plno e oto pnto P tl qe e cmple qe lo do pnto eqiditn del plno l ect qe p po P P e pependicl. P clcl P do po: Po : Clclmo M l poección de P obe. Po : El imético P e el pnto imético de P epecto M. 84 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

26 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. P M P Simético de n pnto epecto n ect. El imético de n pnto P epecto de n ect e oto pnto P tl qe e cmple qe lo do pnto eqiditn de l ect l ect qe p po P P cot e pependicl. P clcl P do po: Po : Clclmo M l poección de P obe. Po : El imético P e el pnto imético de P epecto M. P M Simético de n ect epecto n plno. Se n ect n plno el imético de l ect obe el plno e ot ect qe e l qe e eí eflejd en el plno i ete fe n epejo. P obtenel do po. Po : Tommo do pnto de P P clclmo imético epecto P P. Si no de lo pnto qe tommo e el pnto de inteección de l ect el plno (iempe qe e coten) imético e el mimo. Po : L ect bcd e l qe contiene P P P P P P P M M M M P P P P Joé Li Loente Agón 85

27 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Ejecicio 9. Hll el imético del oigen epecto l plno : Simético de P() epecto el plno :. Po : Clclmo M poección de P epecto. P ello emo l inteección de con n ect qe p po P e pependicl. ) Rect pependicl po P: n ecto diecto de l ect e el ecto noml del plno n (). De et fom :()(λλλ). b) L poección M: λλλ λ/ M( ). De et fom P e clcl como el imético de P epecto M: Po : Simético de P epecto de M. P ( M P M P M P ) P( ) Ejecicio. Hll el imético de P() e pecto l ect : Po : Clclemo l poección M de P obe l ect. ) Pimeo clclemo el plno pependicl qe p po P. S ecto noml e n ( ) el pnto P() lego :-D. P clcl D obligemo qe P pe po 4D D-5. Aí :--5 b) P hll l inteección de con epemo l ect en pmétic :()(λ-λλ). Aí M eá (λ)-(-λ)(λ)-5 λ M(). Po : Simético de P epecto de M. L coodend de P on entonce: P ( M P M P M P ) P(45) Ejecicio. Ddo el plno :- hll el imético de : Po : Clclemo el imético del pnto P () obe. Clclemo l inteección de P co imético e el mimo pnto: ) imético de P clclmo l ect t qe pe po P pependicl ( ( ) ). L inteección de t eá M poección de P en : t:()(λ-λλ). L inteección eá (λ)-(-λ)(λ) λ-/ M ( ). Simético P ( P M P M P ) 4 ) M ( b) Inteección de eá P co imético e el mimo P P. :()(λλλ). De et fom l inteección con : λ-(λ)λ λ- P P (--6-5) Po: L ect bcd p entonce po lo pnto P (--6-5) P 4 ). El ( ecto diecto de l ect e P ' P' ( 4 ). Podemo n ecto popocionl 6 5 ' (4) : 4 86 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

28 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio Rect qe e pon en ot ect Se po en l do ect p po oto pnto Dd do ect n pnto P bcmo ot ect qe cote et do ect (e poe) qe pe po el pnto P. P obtene l ect tenemo qe tili el igiente pocedimiento nlítico en po: Po : Hllmo el plno qe contiene P Po : Hllmo el plno qe contiene P Po : L ect bcd e l inteección de. P Se po en l do ect e plel ot dd Bcmo n ect tl qe cote ot do dd qe e plel ot con ecto diecto. P obtenel emo el igiente pocedimiento geomético con po: Po : Hllmo el plno qe contiene l ect n ecto diecto. Po : Hllmo el plno qe contiene l ect n ecto diecto. Po : L ect bcd e l inteección de Joé Li Loente Agón 87

29 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Ejecicio. Detemin l ección de l ect qe e po en l ect: p po P(-) Po : Cálclo del plno qe e po en p po P: el ecto ( ) e diecto del plno demá p po lo pnto P(-) po clqie de l ect en conceto po Q (-). Con eto do pnto fommo oto ecto diecto del plno PQ ( ). Tomndo Q como pnto del plno; l ección del plno en epeión genel e: : Po : clclo del plno qe e po en p po P: p po lo pnto P(-) po clqie de l ect po ejemplo Q () demá tiene n ecto diecto ( ).El oto ecto diecto eá Q P ( ). L ección de e: : Po : e l inteección de : Cálclo de áe olúmene Áe del tiánglo del plelogmo El áe de n plelogmo de ldo no plelo imo en el podcto ectoil: A plelogmo w w iene definido como El áe de n tiánglo co do ldo contigo etán definido po lo ectoe w eá igl l mitd del áe del plelogmo co ldo no plelo etán definido po lo mimo ectoe. w A tiánglo w 88 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

30 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio Volmen del plelepípedo del tetedo. Como imo en l intepetción del podcto mito de ectoe el olmen de n plelepípedo de it concente en n mimo étice w e: V plelpípedo [ w ] Un plelepípedo pede decomponee en 6 tetedo (piámide de be tingl) igle í qe el olmen de n tetedo de it concente en n mimo étice w e: V tetedo [ w ] 6 w w Ejecicio. Dd l ect : el pnto Q(-) ) Hll l ección del plno qe p po Q e pependicl : λ : λ λ () Q() Como el plno e pependicl entonce n ( ) p po P(-). El plno tiene de ección genel: : D (-)D D- lego : -. b) Hll el áe del tiánglo co étice on lo cote de con lo eje de coodend; Cote de con lo eje coodendo: Con eje OX: A() Con eje OY: B( ) Con eje OZ: C( ) i j k AB AC i j k ( ) ( ) 6 Joé Li Loente Agón 89

31 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Ejecicio 4. Se conocen étice de n plelogmo A() B(-) C(-). Clcl el qe flt cánt olcione h? Tenemo co: B D B A C A C D B D A C D AC BD (-)(--) D () D CA BD (--)(--) D (-) D AB D C (-)(----) D (4-) b) El áe del plelogmo e iglen lo te (pob) AB AC CB CA BA BC 6 Ejecicio 5. Hll el olmen del plelepípedo de be ABCD EFGH biendo qe A(8) B(8) C(8) E(888). Obtene l coodend del eto de étice. H G E F D C A B D H G F BC AD (-88)(-8--) D(8-88) AE DH (88)(-88-8) H(86) AE CG (88)(---8) G(8) AB EF (-88)(-8-8-8) F(68) V[ AB AC AE ]4 9 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

32 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Ejecicio de l P.A.U. Jnio 4. Peb A PR-. Se l ect. ) Ecíbe l ect en fom pmétic. b) P cd pnto P de detemínee l ección de l ect qe p po P cot pependiclmente l eje OZ ) Pmétic --. Llmndo λ λ λ λ b) Cd pnto P de cmple P()(λ--λλ) λ R. Si e pependicl l eje OZ l ect etá itd en el plno pependicl OZ po tnto ecto noml e n (). Conocido entonce el ecto noml P el plno e p cd λ: D como P λ D D λ λ. L ect eá l qe pe po P l inteección (Q) de con eje OZ () λ. Lego Q(λ) P cd λ l ect p po P(λ--λλ) Q( λ) con ecto diecto PQ ( λ λ). Aí l ección en fom contin e λ λ λ C-4 Detemínee i el plno :-4 cot o no l egmento de etemo A() B(). L ección de l ect qe p po A B en pmétic e ( AB ( ) ) λ : λ. λ Lo pnto de l ect qe etán ente A B on lo de l ect iempe qe λ [] qe i λ el pnto de e A() i λ e B() Vemo l inteección de con (λ) (λ)-4 5λ- λ-/5. El pnto no petenece l ect qe -/5 []. Joé Li Loente Agón 9

33 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Jnio 4. Peb B C-. Hállee l ección del plno qe contiene l ect : e pependicl l plno : -- Llmemo l plno qe bcmo L ect tiene como ecto diecto ( ) p po el pnto P(). Ete ecto eá diecto del plno. Si el plno e pependicl l plno entonce el ecto noml de ( n ( ) ) e oto ecto diecto del plno bcdo. Lego el plno en pmétic e: λ µ : λ µ λ µ n Septiembe 4. Peb A PR-. Se m n númeo el en l ect el plno ddo epectimente po. ) Etúdiee l poición elti de en fnción del lo de m. b) P el lo m hállee l ección del plno qe p po el pnto de cote de e pependicl l ect t:. m m ) Poición elti de :-m m Tenemo qe e el ngo de l igiente mti: M M ' m m m Rngo de M: M-m 9 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

34 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. m R-{} ng(m). Si m ng(m) Rngo de M : m ng(m ) m M ' ng(m (m)). m mr-{} ng(m) ng(m ) Poición elti contenid en Se cotn b) m e cotn en el pnto olción del item. Reoliendo el item el pnto bcdo e M(-) Si e pependicl t entonce e cmple qe el ecto noml l plno bcdo e igl l ecto noml de l ect t n ( ) lego el plno e D l p po M entonce -D D C-: Clcúlee l ditnci ente l ect de eccione λ λ P clcl l ditnci ente do ect: ) pimeo tenemo qe e l poición elti de l do: ( ) P() ( ) Q() ng( ) ng( PQ ) Se cn PQ n d( ) d( ) d( Q ) n ( ) PQ [ PQ ] Joé Li Loente Agón 9

35 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. [ PQ ] i j k k i j d( ) Septiembe 4. Peb B C-: Hállee l ección genel del plno qe p po lo pnto A(-) B(4) e pependicl l plno 5 6. Si p po eto do pnto e pependicl l plno tenemo do ectoe diectoe del plno bcdo: AB( ) n ( 5 ). λ µ El plno en pmétic e : λ 5µ Genel : λ µ 5 : Septiembe de 5. Peb A. PR-: ) Clcúlene lo loe de p lo cle l ect 6 λ λ λ on pependicle. b) P clcúlee l ect qe p po () e po en. ) Son pependicle i ectoe diectoe lo on. P clcl el ecto diecto de tenemo qe epe ét en fom pmétic: Opendo: ()() ()(9-6) () titendo en 94 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

36 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Joé Li Loente Agón 95 De et fom: : λ λ λ ) ( El ecto diecto de l ect e ) ( b) : λ λ λ ) 9 ( P (-) : λ λ λ () P (-) Po : plno qe p po Q() Do ectoe diectoe del plno: ) 4 9 ( Q P (-) p po Q(): : 4 9 :-- Po : Plno qe p po Q() Do ectoe diectoe del plno ) ( Q P (-) : :-4 Po : L ect e l inteección de t: 4 - :

37 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. C-.- Clcúlee el imético de P() epecto del plno :. Po : Clclmo el pnto M poección de P obe : ) Clclmo l ect pependicl qe p po P() : n ( ) :()(λλλ) ) Inteección de con (λ)(λ)(λ) λ- M() Po : El imético P de P epecto e tmbién el imético de P epecto de M iendo M el pnto medio de P P P (---). Septiembe de 5. Peb B. C-4: Clcúlee el olmen del tetedo de étice A() B() C() D() P clcl el olmen del tetedo clclmo lo ectoe diectoe qe len del mimo étice: AB ( ) AC () AD ( ) V tetedo ( 8 ) Jnio de 5. Peb A. C-: Clcúlee l ditnci del oigen l plno qe p po A() contiene l ect. El plno p po A() contiene l ect ( ) P( ) Lego el plno p po A() do ectoe diectoe del mimo on ( ) w AP ( ). El plno en fom contin e: 7 5 L ditnci ente P() e PQ n d( P ) po n ( PQ) n A B A B C C D Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

38 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Jnio de 5. Peb B. PR-: ) Detemínee el pnto imético de A(--7) epecto de l ect. b) Hállee l ditnci ente A. ) Po p obtene el imético: Po : Obtenemo M l poección de A obe. P ello do po: ) Plno qe contiene P pependicl de et fom n ( ) con lo qe l ección de :D A --4D D5 :5 ) L inteección de con e M; l mejo fom de obtene M e pone en fom pmétic ()(-λλ-λ) titi en -λ(λ)(-λ)5 λ- M(---5) Po : A e el imético de A epecto de M: A (---) 5 7 b) d(a)d(am) iendo M e l poección de A en : d(a)d(am) ( ) ( ) ( 5 7) 8 C-: Ddo el pnto A(5-) l ect hállee el pnto B peteneciente tl qe el ecto de etemo A B e plelo l plno de ección : -5. Pongmo en pmétic : λ : λ 4λ El pnto B e po lo tnto en fnción de λ: B(λ-λ-4λ). El ecto AB ( λ 7 λ4λ). Si e plelo l plno entonce e pependicl l ecto noml de ( n ( ) ) po lo tnto AB (-λ)- (-7λ) (4λ)8λ8 λ- B(---5) n Joé Li Loente Agón 97

39 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. 98 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU Jnio de 6. Peb A. PR-: Sen l ect dd po. ) Hállee el lo de m p qe mb ect e coten. b) P m hállee l ección del plno qe contiene. ) M M m ng(m) P qe e ccen e debe cmpli qe M clclemo el deteminnte hciendo ceo l ª colmn: ) 5 (5 4 ) ( 4 m m m m m Lego iempe qe m e cn b) Si m entonce ng(m)ng(m ) l ect e cotn en n pnto. P obtene l eccione del plno e neceio conoce n pnto do ectoe diectoe del mimo. Podemo tom clqie pnto de l do ect lo ectoe diectoe de. P eto tenemo qe pone l ect en pmétic: ) ect - --(-)5-4 : 5 4 λ λ λ 5) ( 4) ( P ) ect - /-/ : λ λ λ ) ( ) ( P : µ λ µ λ µ λ 4 5

40 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. λ C-.- Clcúlee l ditnci del pnto P() l ect λ P clcl l ditnci de n ect n pnto tilimo l intepetción del podcto ecl (poección de n ecto obe oto) o del podcto ectoil (áe del tiánglo). Vmo hcelo pti del podcto ecl: P Po el teoem de Pitágo: PQ h d(p)h PQ ( po ( PQ )) Q po (PQ ) De l ect dd obtenemo Q(-) el ecto diecto ( ).De et fom: PQ ( ) PQ 9 po (PQ) PQ 5 d(p)h PQ PQ 5 8 ( po ( )) Septiembe de 6. Peb A. PR-. ) Hállee el lo del pámeto p qe l ect 5 el plno : - en plelo. b) P clcúlee l ección del plno qe contiene e pependicl hállee l ditnci ente ) Si on plelo el ecto noml del plno n ( ) el ecto diecto de l ect ( ) ( 5) on pependicle po lo tnto n : n ( ) [ ( ) ( 5) ][ ( ) ( )( 5) ] 6 5 (e pede e l mim condición etdindo l poición elti de n plno n ect). Lego p plno ect on plelo. Joé Li Loente Agón 99

41 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. b) p el plno - l ect Son plelo. 5 Si el plno bcdo contiene entonce e n ecto diecto de el pnto P de l ect tmbién etá del plno. Po oto ldo l e pependicl n (-) e el oto ecto diecto de. n P Tenemo qe obtene P p eto pmo l ección de l ect pmétic mndo l do eccione ()() - titendo en (). Con lo qe en pmétic e λ : λ P() () λ L ección del plno bcdo e: :4-7-4 L ditnci ente l e plel iene dd po: PQn A B C D 7 6 d()d(p) po n PQ n A B C 4 6 C-. Hállene l eccione de l ect qe p po P() etá contenid en el plno : - pependicl 4 Si etá contenid en e neceio qe todo lo pnto de l ect etén contenido en el plno en conceto P. Compobémolo: (--). Si etá contenid en entonce e pependicl n peo tmbién e pti pependicl lego e pependicl. Podemo obtene el ecto del podcto ectoil de n : n () ()(-5) ()(-)λ(-5) Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

42 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. n P Septiembe de 6. Peb B. C-4. El tiánglo ABC e ectánglo en A iendo A() B(645) C(5 ). Clcúlee el lo de hállee el áe del tiánglo. Si e ectánglo h te poibilidde: A A C A C B C B AB BC AB AC AC BC B Como no dicen en el poblem qe el ánglo ectánglo e A el tiánglo bcdo e AB ( 46) el egndo tiánglo: AB AC AC ( ) 6 A tiánglo AB AC AB AC Jnio de 7. Peb A PR.- Se el plno : --5 l ect : e pide ) Clcl l ditnci de l ect l plno b) Hll n plno qe conteng e pependicl c) Hll el pnto imético de P(-) epecto ) Tenemo qe e l poición elti de mb : - : 5 M * M 5 Joé Li Loente Agón

43 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Vemo l poición elti: M ng(m) 5 ng(m ) Lego on plelo Pongmo en pmétic λ : λ λ Un pnto de l ect e P() ( ) Un pnto del plno 5 Q(5). Vecto noml del plno n (-) d( ) d( P ) PQ n A B C D 5 5 po n ( PQ) n A B C 4 6 b) Si contiene el pnto P() e del plno e ecto diecto del plno. De igl fom n e oto ecto diecto del plno bcdo ( qe pependicl ) c) Po: ) L poección de P(-) obe :. Rect pependicl po P : ()(-λλ-λ) b. Inteección (-λ)(λ)-(-λ)-5 λ-/ M(-.5.5 ) ) El imético P e el imético de P epecto de M: (-.5.5 ) -4 - P (-4-) C-.- Hll el áe del tiánglo co étice on A() B() C( 4). i j k e AB AC 5k.5 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

44 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Jnio de 7. Peb B C-.- Dd l ect : : hll n pnto de cd n de 7 5 ell de tl fom qe el ecto qe lo n e pependicl mb. Pongmo l ect en pmétic : Pnto de P(λ.5-.5 λ.5.5λ) Pnto de Q(-5µ) λ 7 λ 7 λ : 5 µ PQ ( λ 8.5.5λ µ.5.5λ) PQ pependicl ( ) PQ 4-λ8.5-.5λµ-.5-.5λ PQ pependicl () PQ µ-.5-.5λ 9 λ µ λ5 µ6.5.5λ µ P(56) Q(-56) Septiembe de 7. Peb A C-.- Detemin el pnto imético de P(4) epecto del plno de ección. : - P clcl el imético egiemo do po:. Clcl l poección (M):. Rect pependicl l plno po P ()(4λ-λ) b. Inteección 4λλ λ-. Lego M(). El pnto bcdo P e el imético de P epecto M: 4 () 4 P (4) Joé Li Loente Agón

45 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Septiembe de 7. Peb B PR-.- De n ect e be qe etá contenid en el plno : - qe A() petenece qe el ecto qe ne A B(-) e pependicl. ) Detemin l ect b) clcl l ditnci ente el plno plelo qe p po B. ) Si etá contenid en el plno el ecto diecto e pependicl l ecto n ( ) Tmbién pependicl l ecto AB ( ). Al e pependcl mbo ectoe podemo clcl po el podcto ectoil de éto: i n AB i j k () : j k b) Clclemo plelo :- qe p po B(-): :-D como B -D D- :-- Como etá contenid en n plno plelo e plelo con lo qe l ditnci e: AB n A B C D d( ) d( A ') po n ( AB) n A B C C-.- Se A el pnto medio del egmento de etemo P() Q(-). Clcl el olmen del tetedo de étice A B() C() D(4). Clclemo A A A( ) V tetedo [ 6 AB AC AD] Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

46 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Jnio de 8. Peb A PR-.- Se el plno :4 l ect ) Detemin lo loe de p qe ect plno en plelo b) P clcl l ect qe p po P(-) e plel e po en. ) P qe e plel no tienen qe tene ningún pnto en común po tnto ng 5 5 b) P :44. L ect bcd l denominemo. Si l ect bcd p po P(-) e plel entonce etá contenid en el plno plelo po P qe lo denominemo : :4D clclemo D biendo qe P(-) -4D D :4 L ect bcd e po en eto qiee deci qe l cot lego podemo clcl el pnto de inteección de l do ect como el de cote del plno. Q inteección de :4. Reoliendo el item tenemo qe Q(7 -/5-6/5). Y tenemo do pnto de el pnto P(-) el pnto Q(7-/5-6/5). Con eto do pnto e fácil clcl : PQ (6 / 5 / 5) ( ) Q P Joé Li Loente Agón 5

47 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. C-4.- Sbiendo qe te de lo étice de n plelogmo on lo pnto A( ) B( 4) C(6) hll el áe del mimo. plelogmo i j k AB AC 4i 4 j Jnio de 8. Peb A C-4.- Dd l ect : clcl el pnto P de l ect tl qe l pependicl po P pe po el pnto (). Etmo en n poblem de dimenione. L ect :- tiene pendiente m-. Lego l ect pependicl tiene de pendiente m/.5 El pnto de l ect bcdo e P( - ) po lo tnto l ect eá -(- ).5( ). P hll el pnto obligemo qe l ect pe po (-) --.5(- ) 7/5. En conecenci - (7/5)-4/5 con lo qe P(7/5-4/5) Septiembe de 8. Peb A C-.- Hll l ditnci ente el pnto A(4) l ect De l ect bemo ecto diecto n pnto de de e Q(-) AQ d ( A ) AQ ( po ( AQ )) AQ AQ d ( A ) AQ Septiembe de 8. Peb B PR-.- Se coniden l ect de eccione epecti: ) Etdi l poición elti de. b) Detemin l ect qe cot pependiclmente c) Clcl l ditnci ente 6 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU

48 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. Joé Li Loente Agón 7 ) Poición elti de l do ect etdiemo el ngo de * M M ng(m) pe ng(m * )4 pe Lego e cn b) Llmemo l ect bcd t. P clcl t ect qe cote pependicl mb ect e cmple qe ecto diecto e pependicl lo ectoe diectoe de. E deci Como l ect t cot podemo tom n pnto de oto pnto de (donde cot l ect). P tom n pnto de cd ect pongámol en fom pmétic: λ µ P(λ) Q(µ). Lego el ecto diecto de l ect t e λ. P clcl λ pliqemo qe iendo -λ iendo Aí P() Q() qe on pnto de l ect bcd; t: λ c) ditnci ente do ect qe e cn: [ ] ) ( PQ d iendo P Q pnto de : P() Q() k k j i d ) (

49 Unidd. Podcto ecl ectoil mito. Apliccione en el epcio. C-.- Hll el eno del ánglo fomdo po l ect el plno con eccione: P clcl el ánglo ente neceitmo. Pongmo en pmétic: λ λ.5 o podemo no popocionl λ Po oto ldo :-.(-) ( ) 9º ( n en(º) 9 ) 9º co n 9º co 9º º.º º n 8 Apnte de Mtemátic II p pep el emen de l PAU