1. Halla un vector en la dirección de la bisectriz de los vectores u 1,4 1
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- Carlos Lara Blanco
- hace 7 años
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1 º DE BCHILLERTO CUESTIONES DE SELECTIVIDD Geometí--. Hll n eto en l dieión de l ieti de lo etoe. L dieión de l ieti iene md po el eto m iempe qe lo módlo de lo do etoe mndo en igle. Btá entone enont do etoe en l dieión de lo ddo peo on el mimo módlo po ejemplo mo nitio he m Sen do etoe tle qe 9 eto. 7 Se eele fáilmente plindo l popiedde del podto el Cll el módlo del. Un eto de módlo e deompone en m de oto do de módlo igle qe fomn n ánglo 5º. Hll el módlo de d no de lo etoe mndo. 5º El polem e eele enillmente po tigonometí. Bt pli el teoem del oeno l tiánglo de l fig. o5. Siendo qe qe 6º detemin el ánglo fomdo po iendo plindo l popiedde del podto el Como o6º elt.
2 -- Geometí SOLUCIONES º DE BCHILLERTO. Po ot pte 9 9 o 9 9 o 5. En n étie de n o e plin te fe diigid egún l digonle de l te qe pn po diho étie. Lo módlo de et fe on. Hll el módlo de l fe eltnte de qell te. Tomndo n item de oodend dedo l fe plid etán en l dieión de lo etoe. Peo no on éto etmente poqe módlo no oiniden on lo pedido. jtndo lo módlo lo indido F F F l eltnte eá 5 5 F F F i 6. Ddo lo etoe tle qe ll l m de lo igiente podto ele SUMNDO 6 9 6
3 º DE BCHILLERTO CUESTIONES DE SELECTIVIDD Geometí-- 7. Se BC n tiánglo ióele o ánglo deigl e. Hll el oeno del ánglo iendo qe l medin td dede lo étie B C on eípomente pependile. M ) B ) C ) M Tomemo n item de efeeni tl qe lo pnto B C en lo indido en l fig. Lo pimeo qe tenemo qe he e detemin ál ále on lo tiánglo ióele qe tifen l ondiión de pependilidd impet en el ennido. Si ponemo qe el étie e mee lo lgo del eje poiión qedá detemind en d o po el lo del pámeto. P n poiión detemind de lo pnto medio de lo ldo igle on M M. L dieión de l medin l qe e efiee el ennido ienen md po lo etoe // BM CM // on lo qe BMCM 9 H do tiánglo en l ondiione deit en el polem no po enim del eje oto po dejo peo lo do imétio epeto de él. Un e qe emo l poiión del tee étie el ánglo fomdo po lo etoe; B o B C B C C. 8 5 el polem e ede enont 8. Enent lo etoe nitio de ánglo de 6º on w. qe on pependile fomn n Como el eto pedido e de P ello tdiemo l ondiione impet eione I) tendá te oodend qe deemo detemin.
4 -- Geometí SOLUCIONES º DE BCHILLERTO o 6º 6º w w w II) III) L oodend e deteminn eoliendo el item El polem tiene do olione 9. Detemin t p qe lo pnto B 5 C D t en oplnio. P diho lo de t otén el áe del polígono BCD. B C D T T Lo pnto eán oplnio i D C B t t t Como no emo nd oe l eglidd del polígono p enont áe eimo tinglión D C C B S S S T T ) ) k j i D C k j i C B 7 S 5 S
5 º DE BCHILLERTO CUESTIONES DE SELECTIVIDD Geometí-5-. Un tiánglo tiene do de étie en lo pnto ) B ). El teeo C lo tiene oe l et. Enent l oodend del tee étie iendo qe el áe del tiánglo e. Se tt de detemin n pnto C on l ondiión de qe B C. L fom má ómod de otenelo e tili l eión pméti i j k C C C B C B C 6 6 Lego el polem tiene do olione C ) C ). En V e oniden lo etoe. d. ) Demot qe lo etoe on oplnio ) Demot qe d on pependile do do enont el olmen del plelepípedo qe deteminn. ) Como en el epio tidimenionl te etoe on oplnio i olo i on linelmente dependiente tá po qe ) pe ; d pe d d pe d. El olmen del plelepípedo e detemin on el podto mito d 6 V p. Detemin n pnto de l et qe fome on lo pnto ) ; B ) C ) n tetedo de olmen.
6 -6- Geometí SOLUCIONES º DE BCHILLERTO El polem e m peido l nteio pe e tt de detemin n pnto de peo ho on l ondiión de qe V tet. B C D. 6 B C D B C D 6 Eiten do pnto qe mplen l ondiione impet D ) D ). Un o o olmen e 8 tiene do de oe lo plno Hll lo poile loe de. Como eto do plno on plelo ditni oinidiá on l longitd de l it del o e dei d 8 Po ot pte l ditni ente do plno plelo e igl l ditni de n pnto de no de ello l oto. Tommo entone n pnto P e imponemo qe d P 8. Tomndo omo pnto de 6) d P 8 P elt dp Dd l et t 8 6 6t t ) Etdi poiión elti enont el ánglo qe fomn. ) Si do de l it de n o e enentn oe et et hll olmen. ) P el etdio de l poiión elti de l et neeitmo epeti deteminione linele. ) B 86) 6 ) ) Como l et e otn o e n. 6 6 B 7 l et e n.
7 º DE BCHILLERTO CUESTIONES DE SELECTIVIDD Geometí-7- P detemin el ánglo fomdo po do et t enont el ánglo fomdo po etoe dieión o. L et e n pependilmente ) Po el ptdo nteio dedimo qe l et ontienen do it qe e n lego l ditni ente ell oinide on l longitd de l it del o. Bt entone detemin d tendemo qe el olmen e d. Como ólo neeitmo d no lo pnto de l pependil omún l fom má ápid de otenel e po l epeión d B d. demá ete podto mito e el deteminnte lldo nteiomente en el etdio de l poiión elti. i j k 6 8 8) ). Lego 6 d V 8 5. Dd l et e pide ) Etdi poiión elti ) Hll l et qe ot l do nteioe demá e plel l et de eión t ) Tommo omo deteminión linel de l et e inmedito ompo qe e n. ) ) B ) ) ) P eole ete ptdo t enont P P P ) Q Q ) PQ Q PQ ). PQ )
8 -8- Geometí SOLUCIONES º DE BCHILLERTO Lo pnto do on ) P Q l et l detemind po t P t ) ) t 6. En el epio en eje OXYZ; el eje OZ e etil endente) e oniden l et Un ondión de g op l poiión de. En n pnto P de et ondión e pode n fg de g; el oepondiente goteo e oe n pnto Q de. Hll P Q. dmitiendo qe el goteo eá etilmente e dei en l dieión de ) k e tt de detemin P Q ) QP. Empeemo po enont l eione pméti de m et Q Q P P ) QP QP Po lo qe lo pnto do on ) ) Q P 7. En el epio en eje OXYZ; el eje OZ e etil endente el plno OXY e hoiontl) e onide l ill etil de etemo ) 9 ). En do momento detemindo de n dí l om qe poet oe el plno OXY on lo pnto ) S ) 6 S. Se pide ) L et qe deie l om de lo lgo del dí. ) L om S de en el momento en el qe l o de l ill e má ot. ) L om S de en el momento del dí en el qe l om de tiene l mim longitd qe l om S
9 º DE BCHILLERTO CUESTIONES DE SELECTIVIDD Geometí-9- ) dmitiendo qe l om del etemo peio de l ill deie n et ontenid en el plno del elo ) et eá l qe p po lo pnto S S po lo qe n deteminión linel e 6 en fom pméti. S 6) SS 9) ) S 6 S ) L longitd de l om de l ill e en d intnte i l ditni ente pnto S i el pie de l ill po lo qe S e l poeión otogonl de oe. l l l S S Bmo S S ) S S 6 ). ) i Plno del elo i S ) S ) S ) ) Si l longitde de l om tienen qe e igle e dei d S d S el- S dee e el imétio de Sepeto de S. Imponiendo qe S pto. medio de S S t S 9 ) el pnto 8. Do ill fij BB de epeo depeile etán enteld po n gom eláti omo indi l fig. L gom qe etá ten pede delie liemente po l ill in omiento. Se e qe l ill opn l poiione 5 B B ) Qé poiión elti tienen et et? ) Hll l longitd totl de l gom en poiión de eqiliio B B ) Otenido n deteminión linel de d et fáil ompo qe l do et e n. P5) ) Q) BB e ) ) Un gom eláti qe e deli liemente tendeá op l poiión qe l pemit et lo meno ten poile e dei op poiión de mínim longitd. Et mínim longi-
10 -- Geometí SOLUCIONES º DE BCHILLERTO Btá entone en- td oinide neeimente on l ditni mínim ente l do et. ont l ditni ente et et mltiplil po do. PQ 9 l l Hll l eión de l et qe e otiene l poet otogonlmente oe el plno l et. L fom má ómod de otene l poeión de n et oe n plno e omo inteeión de do plno no el plno el oto el plno qe ontiene e pependil. ). Po ot ) pte w ) on lo qe tenemo n deteminión linel del plno do ) ) w ) L poeión en fom implíit e l et. Un foo lminoo e enent en el pnto P ) n ill op l poiión de l et. L ill oj n om oe el plno. Hll el pnto de et om qe etá en el plno. En ete o tmién e tt de poet n et oe n plno peo no otogonlmente i no egún lo o lminoo qe ptiendo de P otn l et. L om eá entone l et inteeión del plno ddo on el plno detemindo po P.
11 º DE BCHILLERTO CUESTIONES DE SELECTIVIDD Geometí-- plno H de P L om e l et el pnto de inteeión de ét on el elo ) Q Q ). Ddo l et lo pnto B ) C ) e pide ) Hll n pnto de l et qe dite del pnto B el dole qe de C eté po dejo del plno XY. ) Hll l poeión otogonl de C oe l et BP donde P e el pnto de inteeión de l et del ptdo nteio on el plno YZ. ) Como l eión pméti de l et dd e ) d B ) d C ) e tt de detemin. H do pnto qe mplen l ondiión peo omo demá e pide qe eté po dejo del eje plno XY el pnto pedido e ) ) P enont l poeión lo pimeo qe neeitmo e l eión de l et oe l qe deemo poet. De ell onoemo n pnto el B ) no dien qe oto el l inteeión de on el plno. L fom má enill de enont l inteeión de et plno e lle l eione pméti de l et l implíit del plno en ete o B) P ) on lo qe l et. BP ) L poeión de C oe e C CC C
12 -- Geometí SOLUCIONES º DE BCHILLERTO. Se oniden lo plno de eión ) Etdi poiión elti en fnión de. ) Si p lo plno ontienen de n o ll el olmen de éte. ) L poiión elti iene detemind po l de epetio etoe oido. Vemo ndo éto on plelo ndo no lo on. pe h ido e- w w lido). w w lo plno e otn. w w lo plno on plelo o oinidente. lo plno on plelo. ) Como p lo plno on plelo l del o qe etán ontenid en ello tmién lo on l longitd de l it eá l ditni ente eto do plno. L ditni ente do plno plelo e l ditni de n pnto de no de ello l oto plno. P ) l d 9 V Co 8 7. Detemin en fnión de lo ditinto loe de l poiión elti de lo plno. - Sitem omptile detemindo lo plno e otn en n pnto.
13 º DE BCHILLERTO CUESTIONES DE SELECTIVIDD Geometí-- ) ) M omo tnt olione omptile indetemindo Sitem Lo plno e otn en n et i lo etdimo do do emo qe lo ot. ) ) M inomptile Sitem Lo te plno no tienen ningún pnto en omún peo i lo nlimo do do emo qe no h plno plelo po lo qe lo plno e otn do do deteminndo te et plel.. Hll p qe el plno 7 l et en plelo Se el eto dieión de w el eto teítio de w ) 5 7) k j i w 5 7 w 5. Dd l et detemin p qe e oten pependilmente. Neeitmo n deteminión de d n de l et. ) ) B ) ) ) ) L et e otn i B
14 -- Geometí SOLUCIONES º DE BCHILLERTO Sen B C lo pnto de l et qe etán en lo plno oodendo. Se pide ) Detemin ondmente ál de lo te pnto e ent ente lo oto do. ) Siendo D n pnto eteio l et indi ondmente ál de lo tiánglo DB DC o DBC tiene mo áe. C D P h B P tj on mo omodidd ponemo l et en fom pméti P Lo pnto de ote on lo plno oodendo on B 6 C 6 B55 C L poiión de lo pnto B C epeto P iene dd po el lo oepondiente del pámeto. C etán n ldo pongmo l iqied po e demá má lejdo qe C. Po n ón nálog B etá l deeh de P po lo qe l poiión elti e l indid en l fig e dei C etá ente B. P ontet l egndo ptdo t tene en ent qe lo te tiánglo tienen l mim lt h d D po lo qe tendá mo áe qél qe teng mo e. Po el ptdo nteio éte e el tiánglo DB. 7. Se BC n tiánglo tl qe l medin M oepondiente l ldo BC diide l ánglo  en do ánglo qe miden 6º º. Hll ondmente lo te ánglo del tiánglo. Hll en fnión de l longitd m M de l medin el áe del tiánglo. m C ) 6º m M m m ) B) Como  qed diidido en do ánglo de 6º º e eidente qe ˆ 9º podemo fij n item de oodend on oigen en eje l et qe ontienen lo teto del tiánglo ddo. l oodend de lo étie del tiánglo epeto l item de oodend etleido. Po e M m m el pnto medio del egmento BC eá m po lo qe podemo fim qe el tiánglo MB e ióele en oneeni B ˆ 6º. Po n ón peid ét o enillmente poqe l m de lo ldo de n tiánglo dee e 8º C ˆ º. Sen B C
15 º DE BCHILLERTO CUESTIONES DE SELECTIVIDD Geometí-5- En el tiánglo etánglo podemo tom omo e men 6º m po lo qe el áe e m m o 6º m po lt m m S e pide ) Detemin lo loe de p lo qe lo etoe w on linelmente depeniente ) Etdi i el eto ) depende linelmente de lo etoe w p el o. Jtifi l epet. ) Jtifi ondmente i p e mple l igldd w iendo el podto etoil. 8. Ddo lo etoe w ) L dependeni linel de lo etoe w depende del deteminnte. Si tom lgno de eto loe lo etoe on linelmente dependiente en oto o on independiente. ) P w on te etoe linelmente independiente en el epio etoil tidimenionl en oneeni n e po lo qe ) lqie oto pde ponee omo ominión linel de ello. e pependil todo lo etoe del plno detemi-. O enillmente w e el podto mito de eto te etoe qe oin- ) P w omo w ndo po w tmién lo e en ee o po lo qe w omo po definiión w ide on el lo del deteminnte éte e nlo p 9. Ddo lo pnto del epio P Q R e pide ) Enont l ditni l ditni del pnto P l et qe p po Q R. ) Hll el áe del tiánglo o étie on lo pnto ddo. ) Enont todo lo pnto S del plno detemindo po P Q R de fom qe el diláteo de de étie P Q R S e n plelogmo. Lo do pimeo ptdo e enentn fáilmente plindo l epeione dd en teoí po lo qe ólo e deoll l últim. En elidd l ondiión de qe lo pnto S do etán en el plno detemindo po P Q R no e neei pe el heho de fom n plelogmo on éto e n ondiión qe impli el e oplnio. Btá entone impone únimente l ondiión qe deen mpli lo pnto p qe deteminen n plelogmo qe no e ot qe lo etoe qe elt l nilo do do en eqipolente Si deignmo po S lo o qe e peden peent on lo igiente
16 -6- Geometí SOLUCIONES º DE BCHILLERTO PQ SR S QP SR S PR SQ S 5 Se pede ompo qe l ot te ominione poile on eqilente ét RQ SP PQ SR ; PR QS QP SR ; RQ SP PR SQ. Reele l igiente eión etoil 5 iendo qe 6 donde el ímolo ignifi podto etoil. Si ) l pime ondiión no onde i j k 5 5 ) 5 ) 5 qe podemo ompo e n item omptile indetemindo qe eoliendo en fnión de 5 elt. Teniendo en ent eto eltdo 6 5 ) 6 5 Lo qe no indi qe h do etoe qe eifin l do ondiione impet 5 5 ). Se l pefiie eféi de eión Se pide ) Detemin ento dio. ) Hll l eión de l et qe ontiene l diámeto plelo l eje OY. ) Otene el ento el dio de l infeeni qe elt l ot dih efe on el plno d) Hll l eión del plno tngente l efe en pnto del eje OX. ) L efe de ento C dio tiene po eión Iglndo on lo oefiiente de l eión dd 6 6 C ) 8 5 9
17 º DE BCHILLERTO CUESTIONES DE SELECTIVIDD Geometí-7- ) Po ontene n diámeto l et dee p po el ento; po e plelo l eje OY etá en l dieión del eto i ) C) i )// ) Po tte de l inteeión de do pefiie e eión e pede epe omo el item fomdo po do eione qe efetimente e n infeeni o elemento omo en el pime ptdo e peden otene identifindo oefi- iente 6 6 C ) 6 9 d) El pnto de inteeión pedido e P P ). El plno pedido iene detemindo po P) PC) PC) D P) D. Siendo lo pnto ) ; B ) C ) e pide ) Compo qe no etán linedo lqie qe e el lo del pámeto ) Hll el áe del tiánglo qe deteminn lo te pnto ) C ) B ) ) P ompo qe lo pnto no etán linedo tá po qe lo etoe B C on iempe linelmente independiente o lo qe e lo mimo qe B C B ) C ). B C El ngo de et mti ólo depende del meno
18 -8- Geometí SOLUCIONES º DE BCHILLERTO po lo qe eidentemente B C. ) Como B C S t B C ) on lo qe iendo el podto etoil t ompo qe S t. Ddo l et el plno k e pide m ) Cll m k p qe l et e pependil l plno. ) Cll m k p qe l et ete ontenid en el plno. ) Como m) w k) w m m 8 k k ) P qe en pime lg tiene qe e w m ) k) m k *). Con l ondiión nteio e gnti qe p qe t impone demá qe n pnto de l et po ejemplo ) petene l plno. ) k k. Llendo ete eltdo l eión *) otenemo m k. Lo étie de n tiánglo on ) B 75) C ) ) Cll el áe del tiánglo en fnión de e. tle qe el áe nteio e 6 ) Enont el lg geométio de lo pnto ) En pime lg p pode tili el podto etoil en el állo del áe del tiánglo plntemo el polem en el epio tidimenionl. Conidemo qe lo pnto ddo qe on pnto de n plno etán oe el plno del elo on lo qe oodend pn e ) B 75) C ). Con eto el áe del tiánglo e S T B C B C i j 9 6 k S T ) El lg geométio pedido e el onjnto de pnto tle qe e dei
19 º DE BCHILLERTO CUESTIONES DE SELECTIVIDD Geometí-9- Se tt de do et plel demá plel l eto B lo qe tiene n enill intepetión. Se pede onide qe todo lo tiánglo pedido tienen po e B po lo qe h h C B 6 lt dee e h e dei el pnto C dee e tl qe ditni l et qe ne B e peimente h. Eo on oimente lo pnto de n p de et plel l ldo. 5. Siendo B do pnto del plno e pide ) Detemin l eione de tod l infeeni qe pn po B onndo dónde etán itdo ento ) De ente l infeeni del ptdo nteio hll ento dio de l qe e tngente l et C H infinidd de infeeni qe pn po do pnto ddo peo el ento iempe etá en el lg geométio de lo pnto qe eqiditn de B e dei en mediti. En ete o oneto l mediti e el eje OY e dei l et po lo qe el ento eá neeimente n C l eión de l pnto de l fom infeeni del tipo B Po ot pte dee e d C po lo qe. Si llemo ete eltdo l eión nteio implifimo otendemo qe e l fmili de infeeni qe mple l ondiione impet. C P eole el egndo ptdo tendemo en ent qe omo l infeeni e tngente l et el ento dee et en l et n pependil po. E fáil otene l eión de et et n. El ento de l infeeni eá l inteeión de n el eje OY e dei C ) el dio n
20 -- Geometí SOLUCIONES º DE BCHILLERTO d C) po lo qe en ete o l eión e qé lógimente oinide on el eltdo qe otendímo i en l fmili de infeeni nteio hemo Dd l et 6 ) Detemin l poiión elti de egún lo pámeto de. ) Cll l ditni ente l et ndo Ente l ditint fom de tj lo hemo pti de deteminión linel 6 P Q o P e en ál de lo do o no enontmo tenemo qe onide el eto PQ l et po lo e tt de do et plel. qe no e plelo lo etoe dieión de lo etoe no on plelo po lo qe l et e otn o e n lo qe depende del ngo de qe p e pe el deteminnte e. En oneeni en ete o e tt de do et qe e n.
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