ÁLGEBRA. DETERMINANTES

Transcripción

1 ÁLGER. DETERMINNTES MT II. DEFINICIÓN Dd un mtiz udd de oden n,... n n n n nn e llm deteminnte de l mtiz y e epeent po, l un númeo el que e igul : det( i( ( ( (... n ( n S n E dei, el deteminnte de un mtiz udd e el númeo el que e otiene umndo todo lo n ftoil (n! poduto poile de n elemento (oden de l mtiz de l mtiz, de fom que en d poduto hy un elemento de d fil y uno de d olumn, peedido d poduto on el igno + ó egún que l pemutión de lo uíndie que indin l olumn teng un númeo de inveione, epeto del oden ntul, que e p o imp... Deteminnte de oden do Dd un mtiz udd de oden, det(,e llm deteminnte de l mtiz, l númeo el iguiente: Ejemplo: ( (.. Deteminnte de oden te. Regl de Su Dd un mtiz udd de oden, e llm deteminnte de l mtiz l númeo: Ete deollo poedente de l definiión de deteminnte, puede eode fáilmente on ete digm, onoido omo l egl de Su: Ejemplo: ( ( ( (

2 . PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES El deteminnte de un mtiz e igul l deteminnte de u tpuet. t Si lo elemento de un fil o de un olumn e multiplin todo po un númeo, el deteminnte qued multiplido po diho númeo. Si lo elemento de un líne e pueden deompone en um de do (o má umndo, el deteminnte eá igul l um de do deteminnte (o má que tienen tod l etnte líne igule y en dih líne tienen lo pimeo, egundo, et. umndo. El deteminnte del poduto de do mtie udd e igul l poduto de lo deteminnte de l mtie: Si en un deteminnte lo elemento de un líne on nulo, el deteminnte e nulo. Si en un mtiz e pemutn do fil (o do olumn, el deteminnte mi de igno. Si un deteminnte tiene do líne plel igule, el deteminnte e nulo. Si un mtiz udd tiene do fil o do olumn popoionle, u deteminnte e nulo. 9 Si lo elemento de un líne on ominión linel de l etnte líne plel, el deteminnte e nulo. Si lo elemento de un líne e le um un ominión linel de l etnte líne plel, el deteminnte no ví.

3 . DESRROLLO DE UN DETERMINNTE POR DJUNTOS. Definiión: Dd un mtiz udd, de oden n, e llm meno omplementio del elemento ij, y e epeent po ij, l deteminnte de oden (n que e otiene l elimin l fil i y l olumn j. Definiión: Dd un mtiz udd, de oden n, e llm djunto del elemento ij y e epeent po ij, l meno omplementio ij, peedido del igno + o egún que l um de lo uíndie (i + j e p o imp: ( ij i j ij í, el djunto del elemento eá: = y el djunto del elemento eá: = +. El deteminnte de un mtiz udd de oden n e igul l um de lo poduto de lo elemento de un líne ulquie po u djunto oepondiente Ejemplo: Vmo deoll un deteminnte de oden medinte lo djunto de l pime fil: Si deollmo el deteminnte po lo djunto de l egund fil (o de l egund olumn no enontmo on un poduto en que uno de lo ftoe e nulo, lo que no implifi el álulo: Po tnto, undo e omin ete método p lul deteminnte on l popiedde de lo mimo, y tjmo nte p onegui el myo númeo poile de eo en un líne, podemo lul de fom muy enill diho deteminnte po lo djunto de dih líne. Ejemplo: F F F F Medinte ete método e h pdo de lul un deteminnte de oden lul un deteminnte de oden. Definiión: Se llm mtiz djunt de l mtiz l mtiz fomd po lo djunto de l mtiz, y e epeent po dj( Ejemplo: dj(

4 dj(. MTRIZ INVERS. Reodemo que un mtiz udd e llm egul (o inveile i exite ot mtiz udd, llmd inve y que e epeent po, que multiplid po l mtiz no d l mtiz identidd. I Si el deteminnte de no e nulo: dj t L ondiión neei y ufiiente p un mtiz udd teng inve e que u deteminnte e ditinto de eo. Po oto ldo, I luego I y, po l popiedd :. RNGO DE UN MTRIZ.. Meno de un mtiz Dd un mtiz de dimenión m n, e llm meno de oden l deteminnte fomdo po l inteeión de fil y olumn de l mtiz. í, po ejemplo, en l mtiz: - Lo deteminnte y eán lguno de lo menoe de oden. - Lo deteminnte, y eán lguno de lo menoe de oden. - Lo deteminnte y on menoe de oden. En ete o l mtiz no tiene menoe de oden upeio, pue ólo tiene te fil... Rngo de un mtiz Se llm ngo de un mtiz l oden del meno de myo oden no nulo. Ejemplo:

5 Como l mtiz no e l mtiz nul, t on eoge un elemento no nulo p ompo que el ngo de l mtiz e po lo meno. Tommo el elemento y tjmo pti del él (podímo he ogido ulquie oto: g( Tjmo ho pti del meno de oden que hemo tomdo, p ontui lo menoe de ódene upeioe. g( L mtiz no puede tene ngo myo que pue ólo tiene do olumn. Ejemplo: Como l mtiz no e l mtiz nul, y emo que u ngo eá myo o igul que y po lo tnto empezmo tj on menoe de oden. El ngo no puede e myo que. g( y 9 g( Ejemplo: C Tommo un meno de oden que e ditinto de eo y tjmo on él p fom lo menoe de oden y upeioe. g( C Fommo un meno de oden : Como ete meno de oden e nulo, fommo oto meno de oden, peo iempe pti del mimo meno de oden, ht que enontemo un meno de oden que e ditinto de eo, i lo hy: Como todo lo menoe de oden que e pueden fom on nulo, entone el ngo de l mtiz e. E inteente onoe et popiedd: Si lo todo lo menoe de un detemindo oden on nulo, tmién lo on lo de ódene upeioe.