EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO

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1 El espio etoil eulídeo. EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO TEMA : EL ESPACIO AFÍN EL ESPACIO AFÍN SUBESPACIO AFINES SISTEMAS DE REFERENCIA 4 CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA 5 LA RECTA EN EL ESPACIO 7 EL PLANO EN EL ESPACIO 7 POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS 8 POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS 9 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS 9 POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO TEMA : EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO PRODUCTO ESCALAR ORTOGONALIDAD 4 ÁNGULO DE DOS VECTORES 6 COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR 6 PRODUCTO VECTORIAL 7 PRODUCTO MIXTO 9 DOBLE PRODUCTO VECTORIAL TEMA : EL ESPACIO EUCLÍDEO COORDENADAS CARTESIANAS RECTANGULARES DISTANCIA. ESPACIO MÉTRICO DISTANCIA EN EL ESPACIO EUCLÍDEO VECTOR PERPENDICULAR A UN PLANO 4 VECTOR PARALELO A UNA RECTA 5 ÁNGULOS 5 PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE PLANOS, ENTRE RECTAS Y ENTRE 6 PLANOS Y RECTAS DISTANCIAS 7 ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO 9 ÁREAS 9 VOLÚMENES U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

2 El espio fín eulídeo. TEMA : EL ESPACIO AFÍN EL ESPACIO AFÍN Definiión: Sen E el onjunto de puntos del espio, V (R) el espio etoil el de los etoes ϕ: EE V (R) lies del espio, y un pliión que eifi: (A,B) ϕ (A,B) AB I) Relión de Chles Si A, B, y C E ϕ (A,B) ϕ (B,C) ϕ (C,A) o tmién B AB BC CA II) A E, V, eiste un únio punto B E tl que ϕ (A, B). Entones l ten (E, V (R), ϕ ) se le denomin espio fín y se esie A. Los elementos del espio fín A son los puntos del espio odinio. En osiones, se suele identifi el espio fín A on el onjunto de puntos E, lo que no es oeto, peo si pemisile, p simplifi l notión. Definiión: L dimensión del espio fín es l dimensión del espio etoil soido V (R). A C Definiión: Diemos que los puntos A, B, C y D son linelmente independientes (o linelmente dependientes) si lo son los etoes AB,AC,AD. Popieddes: ) AB A B ; ) AA ; ) 4) AB BA ; AB BC AC Demostión: ) De l segund ondiión de l definiión: II) A E, V, eiste un únio punto B E tl que ϕ (A,B) AB B A. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

3 El espio etoil eulídeo. ) De l elión de Chsles ϕ (A,A) ϕ (A,A) ϕ (A,A) o tmién AA AA AA AA. ) Aho ϕ (A,B) ϕ (B,A) ϕ (A,A) o tmién AB BA AA y de quí 4) Análogmente, AB BC CA, AB BC AC AB BC AC, que ) onstituye l definiión de sum etoil. A B C AB BC AC AB BA. SUBESPACIO AFINES Definiión: Se A (E, V (R), ϕ ) un espio fín. Se F un suonjunto no ío de E, se die que B(F,V(F),ϕ ) es un suespio fín de A si eiste un punto A F tl que V(F){ AX / X F} es un suespio etoil del espio etoil V (R). Al suespio fín tmién se le denomin iedd lineles fines o ieddes lineles. Poposiión: El suespio fín es independiente del punto que se tome. Demostión: PX/ X B QX/ X B Se el suespio fín B del espio fín A. Si P,Q B entones { } { } En efeto: PX PQ QX QP QX QX QP PX PQ PX { PX / X B} { QX / X B} Al suespio etoil V(F) se le denomin suespio etoil soido l suespio fín. B. Definiión: L dimensión del suespio fín es l dimensión del suespio etoil soido.. Definiión: Sen A un espio fín, A un punto de E y W un suespio etoil de V (R). Entones X E/AX W B(F,W, ϕ ) es un suespio fín de A, siendo F{ } Al suespio etoil W se le llm dieión de F. Al suespio fín B(F,W, ϕ ) que ontiene l punto A y de dieión W se le epes de fom simplifid: BAW U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

4 El espio fín eulídeo. Clsifiión de los suespios fines: Si dim B X A punto. Si dim B X A t et. Si dim B X A t sw plno. Si dim B X A i yj zk ; B A espio totl SISTEMAS DE REFERENCIA Definiión: Se A un espio fín y R O,U,U,U un uten de puntos, se { } die que R onstituye un sistem de efeeni del espio fín A undo los etoes OU,OU, OU fomn un se de V (R). O es el oigen del sistem de efeeni. Si OU u, OU u,ou u entones se R O;u,u,u un sistem de tiene { } efeeni. OU u O OU u U OU u U U Definiión: Se R { O;u,u,u } denomin eto de posiión del punto A. un sistem de efeeni fín, si A E l eto lie OA se le Poposiión: Sen A, R { O;u,u,u } un efeeni fín y R el espio etoil el de dimensión. Entones l pliión :ER definid po (A)(,y,z) son ls oodends del eto OA espeto de l se B { u, u, u } es iyeti. Demostión: u, u, es P d punto A se otiene el eto de posiión que espeto l se B { } ϕo i u OA u yu zu (, y, z), es dei, E V (R) R, luego i ϕ que es iyeti po se A OA (,y,z) omposiión de pliiones iyetis. Definiión: Con l mism notión, se die que (,y,z) son ls oodends del punto A espeto del sistem de efeeni R si (A)(,y,z). Coolio : Ls oodends etoiles de OA son ls oodends fines del punto A. 4 U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

5 El espio etoil eulídeo. Coolio : Ls oodends de un eto lie AB son ls oodends del etemo B menos ls oodends del oigen A, es dei, AB OB - OA. A O B CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA Sen R { O; u, u, u } y R' { O' ;,, } dos sistems de efeeni del espio fín A tles que: u u u O'O O u Si X tiene po etoes de posiión OX (, y, z) y O ' X (', y', z' ) espeto de R y R O u u X espetimente, luego O'X O'O OX. Entones: ' y' y [ ] R' A. [ ] R z' z que epesentn ls euiones del mio de sistem de efeeni de R R, que onsidendo l mtiz A po loques seá: ' y' z' l se { } y, siendo P l mtiz del mio de l se { u y O'O P,u, u } z z,,. P otene el mio de sistem de efeeni de R R, st despej en l euión nteio: U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí 5

6 El espio fín eulídeo. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí 6 z' y' ' P O O' z y z' y' ' P O O' P z' y' ' P OO' P Csos ptiules: I) Si l se no mi, es dei, u, u, u esult: z y z' y' ' un tslión II) Si los oígenes oiniden(oo ), es dei esult: z y z' y' ' un mio de se etoil. Poposiión: Todo mio de efeeni en el espio fín es igul l poduto de un tslión po un mio de se. Demostión: En efeto:

7 El espio etoil eulídeo. LA RECTA EN EL ESPACIO Un et qued detemind po dos puntos P y Q distintos. Si X es un punto ulquie de l et y R { O; u, u, u } un sistem de efeeni del espio fín, l euión etoil de l et es OX OP t PQ y sus euiones pmétis p P (p, p, p), (q, q, q ), y (,, ) espeto de Q R, son: p p p t(q t(q t(q Se (,, ) X ) ) ) un eto dieto de l et, es dei, un eto de l dieión de l et entones l euión etoil es X P t y ls euiones pmétis: De donde eliminndo el pámeto t qued en fom ontinu: O P Q p p p t t t.. X EL PLANO EN EL ESPACIO Se el sistem de efeeni R { O; u, u, } u Un plno qued detemindo po tes puntos P, Q y R no linedos, ulquie punto oplnio on ellos eifi X P t PQ s PR. De l euión etoil, p P (p, p, p), Q (q,q,q), R (,, ) y (,, ) se otienen ls euiones X pmétis: p t(q p t(q p t(q ) s( ) s( ) s( ) ) ) O P Q R π X U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí 7

8 El espio fín eulídeo. Si onsidemos un punto P y dos etoes linelmente independientes (,, ) y (w, w, w ) el plno qued detemindo de fom etoil po X P t sw y po sus w euiones pmétis: w w w p p p t t t sw sw sw de donde eliminndo los pámetos t y s qued:, l euión genel, tesin o implíit del plno d POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Sen los plnos: α on (,, ) (,,) ; β on (,, ) (,,) onsidendo: (A) (A*) Si (A) (A*) el sistem es omptile indetemindo y los dos plnos son sentes, es dei se otn según un et. NOTA: Tod et qued identifid omo inteseión de dos plnos sentes medinte sus euiones tesins. Denominmos hz de plnos que ontienen un et l ominión linel de dos plnos ulesquie que ontengn dih λ et: ( ) μ ( ). α β Si (A) ; y (A*) el sistem es inomptile y los dos plnos son plelos. Si (A) (A*) el sistem es omptile indetemindo y los dos plnos son oinidentes. 8 U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

9 El espio etoil eulídeo. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí 9 POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS Sen los plnos: (,,) ),, on ( α ; (,,) ),, on ( β ; (,,) ),, on ( γ on: (A) (A*) Si (A) (A*) el sistem es omptile detemindo y los tes plnos se otn en un punto. Si (A) ; y (A*) el sistem es inomptile y se pesentn dos susos: I) Si tods ls sumties de oden son de ngo dos. Los plnos se otn dos dos. II) Si tods ls sumties de oden son de ngo dos, slo un que es de ngo uno. Dos plnos son plelos y el teeo les ot. Si (A) (A*) el sistem es omptile indetemindo y se pesentn dos susos: III) Si tods ls sumties de oden 4 son de ngo dos. Los tes plnos se otn fomndo un et. En este so, dos plnos onstituyen lo que se denomin un hz de plnos. IV) Si tods ls sumties de oden 4 son de ngo dos, slo un que es de ngo uno. Dos plnos son oinidentes y el teeo les ot. Si (A) ; (A*) el sistem es inomptile y se pesentn dos susos: V) Si tods ls sumties de oden 4 son de ngo dos. Los tes plnos son plelos. VI) Si tods ls sumties de oden 4 son de ngo dos, slo un que es de ngo uno. Dos plnos son oinidentes y el teeo plelo. Si (A) (A*) el sistem es omptile indetemindo y los tes plnos son oinidentes. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Sen ls ets y s deteminds po los plnos: β α (,,) ),, on ( (,,) ),, on ( δ γ (,,) ) d, d, on (d d d d d (,,) ),, on ( s on: d d d (A) d d d d (A*)

10 El espio fín eulídeo. Si (A*) 4. Ls dos ets se uzn, pues no están en el mismo plno. Si (A*) 4. Ls dos ets son oplnis y se pesent los siguientes susos: Si (A) (A*). Ls dos ets se otn en un punto. Si (A) ; (A*). Ls dos ets son plels. Si (A) (A*). Ls dos ets son oinidentes. POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO Sen l et detemind po los plnos α y β y el plno γ : α on (,, ) (,,) ; on (,, ) on (,,) β (,,) ; γ (,,) on: (A) (A*) Si (A) (A*). L et es inidente on el plno. Si (A) ; (A*). L et es plel l plno. Si (A) (A*). L et est ontenid en el plno. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

11 El espio etoil eulídeo. TEMA : EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO PRODUCTO ESCALAR Definiión: Se V (R) el espio etoil de los etoes lies del espio soe el uepo R. Llmmos poduto esl en V (R) l pliión: V(R) V(R) R ( y, ) y. y siendo α el ángulo.osα que fomn, en un punto ulquie, un epesentnte de y oto de y on α π. El númeo el. y.osα se llm poduto esl de po y. Poposiión: El poduto esl de dos etoes es el poduto del módulo de un eto po l poyeión del oto soe él. Además, e y, el poduto esl de po y es un númeo positio, negtio o eo según que el ángulo que fomen e y se gudo, otuso o eto espetimente. y α poy (y) y osα Demostión:.y y os α poy (y) Popieddes del poduto esl ) Si o y o e y son pependiules, entones y. Demostión: y. y.osα. y.os9º ) Si e y, entones y si y sólo si e Demostión: ó y. y.osα y ó os α α 9º y son pependiules. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

12 El espio fín eulídeo. ) Conmutti: y y, y, V Demostión: y. y.os α. y.os, y y..os y, y ( ) ( ) 4) Distiuti espeto de l sum: ( y z) y z,, y, z V Demostión: Medinte l poyeión de los etoes y,z e yz soe el eto : ( y z). y z.os(, y z) poy ( y z) ( poy ( y) poy ( z) ) poy y poy z y z ( ) ( ) 5) Pseudosoiti: λ( y) ( λ) y ( λy) ( y) λ,, y V, λ R Demostión: λ( y ) λ.y.os αλ..y.os (,y ).y. λ.os(,y ). y. λ.os( λ, y ) si λ> si λ. y. λ.os( λ, y) ( λ) y. y. λ. ( os( λ, y )) si λ< λ< λ> λ 6) Si, entones >; si y sólo si. Demostión:..osα..os,..osº ( ) λ Antes de ps enuni el esto de ls popieddes del poduto esl neesitmos d l siguiente definiión: P d V, llmmos nom de :, es dei, l nom de un eto oinide on su módulo. Más genelmente, se define nom en V omo ulquie pliión: V(R) R que eifiquen ls siguientes ondiiones: ) ; ) ; ) y y ; 4) λ λ. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

13 El espio etoil eulídeo. En ptiul, l pliión: V R, que soi d eto su módulo, es un nom soe V. 7) Desiguldd de Cuhy-Shwtz: Demostión: y. y.os α. y.osα. y 8) Desiguldd de Minkowski: y <. y,y V. y y,y V Demostión: Aplindo l desiguldd nteio y y <. y y y y y y y y. y y. y y y y de quí: y y,y V ( )( ) ( ) Epesión nlíti del poduto esl Se B { u, u, u} un se de V. Sen y, V tles que u u u y yu yu yu. Entones: u ( ) u u u u u y y u u u u u u y u u u u u u y e Definiión: Un espio etoil V en el que se h definido el poduto esl se die que es un espio etoil eulídeo. ORTOGONALIDAD Definiión: Se die que los etoes e y son otogonles si su poduto esl es eo. Teoem de Pitágos Dos etoes de un espio etoil eulídeo son otogonles si, y sólo si el uddo de l nom de su sum es igul l sum de los uddos de sus noms; es dei: y y y. Demostión:,y V y y y y y y y y y ( ) ( ) Poposiión: Tes etoes otogonles dos dos y distintos del eto nulo fomn un se del espio etoil V. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

14 El espio fín eulídeo. Demostión: Supongmos que los tes etoes, y, z son otogonles dos dos no nulos y demás linelmente dependientes, entones λ λ yλ z, λi. Si multiplimos eslmente los dos miemos po, otenemos λ( ) λ( y) λ( z) y omo ( y), ( z), esult λ ( ) y omo λ. Análogmente se otiene λ, λ y los tes etoes son linelmente independientes y onstituyen un se de V. Definiión: Deimos que l se B { u u u },, es otonoml o méti undo sus etoes son unitios ( u i, i,,) y otogonles ente sí (pependiules dos dos). y y ui ui ui y ( ) y ( ) y, y que: ui uj si i j y y Con l mism notión nteio, si l se B es otonoml l epesión nlíti del poduto esl de po y es: y y y y. Po tnto, el módulo de un eto es undo l se es otonoml. Definiión: Se V un espio etoil eulídeo y F y G dos suonjuntos de V, se die que F y G son otogonles (esiimos F G) si y solo si todo eto de F es otogonl ulquie eto de G. Teoem: F y G son otogonles si y solo si los suespios etoiles que genen lo son. En ptiul en V se eifi: ) Dos ets etoiles son otogonles si y solo si lo son sus etoes dietoes. ) Un et etoil es otogonl un plno etoil si y solo si el eto dieto de l et es otogonl un se del plno. Demostión: Sen F { u,...,u p} y G {,...,q} dos suonjuntos de etoes de un espio etoil V. Se umple que F G < F> < G >. Vemos l demostión: Po se < F >, < G > suespios otogonles todos su etoes son otogonles ente sí. F G. Reípomente, todo eto del suespio < F > es de l fom λ u... λpup un eto del suespio < F >, < G >. Efetundo el poduto: y μ... μqq es 4 U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

15 El espio etoil eulídeo. λ u... λ u )( μ... μ q q ( p p tnto F G < F> < G > ) ( ) ( ) p p q q p q p q Poposiión: L inteseión de dos suespios otogonles es { }. λ u μ... λ u μ λ μ u... λ μ u, y po Demostión: u F Si u F G on F G < F> < G >, esult que u F G u u u u u G Conseueni: En V dos plnos nun son suespios otogonles. Definiión: Ddo un suonjunto F de V, llmemos otogonl de F y se esie F, l suonjunto de V fomdo po todos los etoes otogonles F. F es siempe un suespio etoil de V unque F no lo se. Demostión: F { V/ u, u F } es un suespio etoil de V, y que umple l teizión de los suespios etoiles, es dei, λ, μ R,w F λ μw F. Puesto que: ( ) F F F F u λ μ w λu μu w λ. μ. Teoem: Si F es un suespio etoil de V, se eifi: ) ( F ) F (Si F no es un suespio etoil de ( F ) F) ) F F V ) dim F dim V dim F Demostión: Como F { V/ u, u F } F lo es de F. esult ( F ) { u V/ u, F } y ulquie eto de Vemos que F F V : U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí 5

16 El espio fín eulídeo. Se un se otonoml { e,...,e} se otonoml { e,...,e,e,...,e } n del suespio etoil F, se puede polong hst onsegui un e,..., e un sistem lie po del espio etoil V; siendo { } se etoes de un se y demás sistem genedo del suespio etoil F.En efeto. F,..., n R / e... e e... ne non u u F, en ptiul on e F, se umple que: e e... e e... e e e e... e e e e... e e. ( ) n n n n Análogmente multiplindo eslmente po e,...,e esult... n e... e e,..., e es un sistem genedo de F y po lo tnto se, n n que pue que { } siendo l dim F n-dimv-dimf y demás omo F F { } se tiene que F F V. n l sum F F V es sum diet y Conseuenis: ) El otogonl de tod et (suespio etoil de dimensión ) es un hipeplno (suespio de dimensión n-). Po tnto, en V, el otogonl de un et es un plno y iees. ) Todo eto u V se puede desompone de mne úni en l fom, u u u donde u F, u F. n ÁNGULO DE DOS VECTORES Po definiión y. y.os(, y), de quí se otiene: os( y, ) Si los etoes están efeidos un se otonoml, entones: y y y os( y, ) y y y y. y. COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR Definiión: Si u u u B u u u,, un se de V, se llmn osenos, siendo { } dietoes de los osenos de los ángulos que fom on los etoes de l se. Si l se es otonoml, los osenos dietoes son: os(, u ) ; os( u, ) ; os( u, ) y se eifi entones que : os ( u, ) os ( u, ) os ( u, ). 6 U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

17 El espio etoil eulídeo. PRODUCTO VECTORIAL Definiión: Se llm poduto etoil en V un pliión: V V V ( y, ) y tl que: ) y. y.senα. y ) L dieión del eto y es pependiul l plno definido po e y y. ) El sentido del eto y iene detemindo po l ley del sohos : es el sentido de ne de un sohos que gie intentndo lle el eto l posiión de eto y según el ángulo meno de 8º. Epesión nlíti del poduto etoil Se B { u, u, u} un se otonoml de V. Sen y, V tles que u u u e y yu yu yu. Entones: u u u y y y u y y u y y u y y y Demostión: Busmos un eto y w pependiul los etoes e y, que espeto l se otonoml seá: w wu wu wu uys oodends deen eifi el siguiente sistem: w w w w w y w y w yw yw yw Y uyo módulo stisfe l euión y.y.sen α.y. ( os α ).y ( y ) u u u esoliendo el sistem se otiene: y y y u y y u y y u y y y Popieddes del poduto etoil ) Si o y o e y son plelos (linelmente dependientes), entones y. Demostión: Si son plelos fomn un ángulo de º: y. y.senα. y.senº y ) Si e y son pependiules, entones y. y Demostión: Si son pependiules fomn un ángulo de 9º: y. y.senα. y.sen9º. y U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí 7

18 El espio fín eulídeo. ) y y, y, V Demostión: Aunque sus módulos son igules, sus sentidos son opuestos. y y y 4) Distiuti espeto de l sum: ( y z) y z, ( y z) y z,, y, z V Demostión: Es onseueni de ls popieddes de los deteminntes, puesto que si esiimos ls oodends espeto de un se otonoml o méti, se eifi: u u u u u u u u u ( y z) y z y z y z y z y y y z z z 5) Pseudosoiti: λ( y) ( λ) y ( λy) ( y) λ,, y V, λ R Demostión: u u u u u u λ( y) λ λ λ λ ( λ) y y y y y y y 6) No es soitio. Demostión: y z y z Vemos un ontejemplo p demost que ( ) ( ) Si y z ( y z ) mio ( y) z z es distinto l eto eo y pependiul l y en 7) y y ( y) Demostión: y.y.sen α.y. os α.y.y.os α.y y ( ) ( ) ( ) 8 U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

19 El espio etoil eulídeo. Intepetión geométi del poduto etoil Se eifi lo siguiente: el módulo del poduto etoil de los etoes e y es igul l áe del plelogmo onstuido on un epesentnte de y uno de y po un punto. y. y.sen α.h áe y h y PRODUCTO MIXTO Definiión: Se llm poduto mito en V un pliión: V V V R ( yz,, ) yz,, ( y z) [ ] Epesión nlíti del poduto mito Se B { u, u, u} un se otonoml de V. Sen yz,, V tles que u u u y yu yu yu y z zu zu zu. Entones: u u u yz,, ( y z) u u u y y y y y y [ ] ( ) z z z z z z ; Popieddes del poduto mito ) [, y, z] ( y z) ( y ) z yz,, V Demostión: Es onseueni de ls popieddes de los deteminntes, puesto que si esiimos ls oodends espeto de un se otonoml o méti, se eifi: [, y, z] ( y z) ( y ) z y y y z z z yz,, V ) [ yz,, ] [ yz,, ] [ zy,, ] [ yz,, ] [ zy,, ] [ zy,, ] Demostión: Intemindo ls fils: U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí 9

20 El espio fín eulídeo. y y y z z z y y y z z z z z z y y y y y y z z z z z z y y y z z z y y y ',,,, ',,, ', yz, V ) [ yz] [ yz] [ yz] Demostión: [ ',y,z] ' ' ' z z z y y y y y y z z z ' ' ' y y y [, y,z ] [ ', y,z ] z z z 4) λ[ yz,, ] [ λyz,, ] [, λyz, ] [ y,, λz ] yz,, V, λ R Demostión: El esl λ multipli un fil o un olumn elusimente. λ[, y,z λ λ λ ] λy y y y y y [ λ,y,z ]. z z z z z z yz,, son oplnios 5) [ yz,, ] yz,, son linelmente dependientes Demostión: [, y,z] y y y yz,, son linelmente dependientes z z z yz,, son oplnios 6) Dos ets X P t y X Q tw son oplnis PQ,,w. Demostión: Po l popiedd nteio los tes etoes son oplnios, en so ontio ls ets se uzn. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

21 El espio etoil eulídeo. Intepetión geométi del poduto mito Se eifi lo siguiente: el lo soluto del poduto mito de tes etoes es igul l olumen del plelepípedo onstuido soe dihos etoes. Demostión: [, y,z ] (y z). y z.os,y z. y z.os α ( ).S.os α.s.sen 9º α S.H V olumen del plelepípedo. ( ) y z z α y H S DOBLE PRODUCTO VECTORIAL Definiión: Se llm dole poduto etoil en V un pliión: V V V R ( yz,, ) ( y z) Epesión nlíti del dole poduto Se B { u, u, u} un se otonoml de V. Sen yz,, V tles que y yu yu yu y z zu zu zu. Entones: u u u ; ( y z) u u u y y y y y y z z z z z z Popiedd de epulsión ( y z) ( z) y ( y) z, y,z V Demostión:,, y y,y,y z z,z,z Utilizemos l notión etoil ( ), ( ), ( ) U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

22 El espio fín eulídeo. Vemos el pime miemo de l iguldd u u u ( y z) y y y y y y z z z z z z ( y z y z y z y z, y z y z y z y z, y z y z y z y z ) El segundo miemo: ( z) y ( y) z z z z y,y,y y y y z,z,z ( )( ) ( )( ) (zy zy zy yz yz yz,,zy zy zy yz yz yz,,z y zy zy yz yz yz ), y ms epesiones oiniden. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

23 El espio etoil eulídeo. TEMA : EL ESPACIO EUCLÍDEO Definiión: Se llm espio fín eulídeo o espio eulídeo l espio fín undo el espio etoil el soido V es un espio etoil eulídeo. Lo epesentmos po E. COORDENADAS CARTESIANAS RECTÁNGULARES Definiión: Un sistem de efeeni R { O; u, u, u } se llm métio u otonoml si l se B{ u, u, u } es otonoml. R O; u, u, es un sistem de efeeni otonoml y A, B, y C son puntos tles que Si { } u OA u, OB u, OC u, ls ets OAi, OBj, y OCk se llmn ejes de oodends tesins etngules. Definiión: Se llmn oodends tesins etngules de un punto sus oodends tesins undo el sistem de efeeni es métio u otonoml. DISTANCIA. ESPACIO METRICO Definiión: Se A un onjunto ulquie, no ío. Llmmos distni en A un pliión d : A A R {} que eifique ls ondiiones siguientes: (, y) d(, y) ) d(, y) y,, y A ) d(, y) d(y, ),, y A ) d(, y) d(, z) d(z, y),, y,z A Definiión: Llmmos espio métio un onjunto A en el que se h definido un distni. DISTANCIA EN EL ESPACIO EUCLÍDEO Poposiión: L pliión d : E E (X, Y) R { } d(x, Y) es un distni en el espio eulídeo E. XY Demostión: En efeto, se umplen ls tes ondiiones: ) d(x,y) XY X Y, X,Y E U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

24 El espio fín eulídeo. ) d(x,y) XY YX d(y,x), X,Y E ) d(x, Z) XZ XY YZ d(x, Y) d(y, Z), X, Y, Z E Podemos, entones, d l siguiente definiión. Definiión: Ddos dos puntos X e Y del espio eulídeo, llmmos distni ente dihos puntos l númeo el: d (X, Y) XY ; y y el espio eulídeo es un espio métio. Cálulo de d(x,y): Si (,, ) e (y, y, y ) espeto iet se otonoml, entones d(x, Y) X ( y ) ( y ) ( y ). Y Not: A pti de quí, y hst el finl del tem, mients no se dig lo ontio, tjemos en el espio eulídeo on l distni nteio y supondemos que el sistem de efeeni utilizdo es otonoml. VECTOR PERPENDICULAR A UN PLANO Poposiión: Ddo el plno π d, el eto n (,,) es pependiul diho plno. Se le llm eto teístio de π. Demostión: Si π X P t sw, de ls euiones pmétis, eliminndo los pámetos siendo n w w, l euión genel, tesin o implíit del plno d, w i j k w (,,). Po tnto n es un eto pependiul π. w w w 4 U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

25 El espio etoil eulídeo. VECTOR PARALELO A UNA RECTA Definiión: Dd l et X P t, lo llmmos eto dieto de ( es plelo ). d Not: Si, y ' ' ' d' llmmos n (,,) y n ' (', ',' ), n ' ( ', ', ') podemos otene un eto dieto hiendo n n'. α n (,,) ÁNGULOS β Ángulo ente dos plnos. Definiión: Se llm ángulo ente dos plnos l meno de los ángulos diedos que dihos plnos fomn l otse. π Poposiión Sen los plnos π' ' ' os( π, π' ) d. Se eifi, entones, que: ' d' ' ' ' ' ' ' Ángulo ente dos ets. Definiión: Se llm ángulo ente dos ets l meno de los ángulos que fomn sus plels po un punto ulquie. Es el ángulo ente sus etoes dietoes. Poposiión Sen ls ets eifi, entones, que: y os(, ' ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '. Se U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí 5

26 El espio fín eulídeo. Ángulo ente et y plno. Definiión: Se llm ángulo ente un et y un plno l ángulo ente dih et y su poyeión otogonl soe el plno. Poposiión Sen l et eifi, entones, que: y el plno π d sen(, π ). Se PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE PLANOS, ENTRE RECTAS Y ENTRE PLANOS Y RECTAS. Pependiulidd y plelismo ente dos plnos. Definiión: Dos plnos π y π ', on etoes pependiules n y n ', espetimente, son plelos undo n y n ', lo son. Análogmente, π y π ', son pependiules undo lo son n y n '. π Poposiión Sen los plnos π' ' ' d. Se eifi, entones, que: ' d' ) π // π' ' ' ' ) π π' ' ' ' Pependiulidd y plelismo ente dos ets. Definiión: Sen y dos ets on etoes dietoes y ', espetimente. Deimos que y son plels undo lo son y '. Análogmente y son pependiules undo lo son y '. Poposiión Sen ls ets eifi, entones, que: y ) // ' ' ' ' ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '. Se 6 U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

27 El espio etoil eulídeo. Pependiulidd y plelismo ente un et y un plno. Definiión: Se un et on eto dieto y un plno π, on eto pependiul n. Deimos que y π son plelos undo y n son pependiules. Análogmente, y π son pependiules undo y n son plelos. Poposiión Sen l et eifi, entones, que: y el plno d ) // π ) π π Se DISTANCIAS Distni de un punto un plno Poposiión: se el plno π d y el punto P ( p, p, p ). L distni de P p p p d π iene dd po: d(p, π ). Demostión: d P, π Inf d P,X /X π. Se define: ( ) { ( ) } Se P ' π l inteseión de l pependiul π tzd desde P. Entones d( P, π ) d( P,P' ) d y de l definiión de poduto esl: XP n XP.nosα nd XP n ( p,p,p ) (,,) p p p p p p d d n π n α α X P P En ptiul, si el punto es el oigen O(,,): d d(o, π ). U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí 7

28 El espio fín eulídeo. Distni de un punto un et y y z z Poposiión: Se l et (un punto ulquie A(, y, z ) y el eto dieto (,, ) de l et) y el punto P ( p, p, p ). L distni de P iene dd po: dp (, ) AP p y p z p z p y p y Not: En ez de pli l fómul nteio, si se tz po P un plno π pependiul, l distni usd es dd(p,q), siendo Q el punto en el que el plno π ot. Demostión: Se define: d( P,) Inf{ d( P,X ) /X }. Se A, el áe del plelogmo fomdo po los etoes AP y es: S AP.h AP d( P,) d( P,H) h Distni ente dos plnos plelos. Sen π y π' dos plnos plelos. Se un et pependiul mos. Sen P π y Q π'. Entones, l distni ente π y π' iene dd po dd(p,q). A P h H Distni ente dos ets. Si ls ets son plels, //, se onstuye un plno π pependiul ms. Sen P π y Q ' π. Entones d(, )d(p,q). Si ls ets se uzn: Dos poedimientos segui: PQ,, '. d (,'), siendo y 'los etoes dietoes de y, espetimente, P y Q sendos ' puntos de y. 8 U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

29 El espio etoil eulídeo. Demostión: Se define: d(,' ) Inf{ d( X,Y ) /X,Y ' }. Sen P,Q ', el olumen del plelepípedo fomdo po los etoes PQ, y ' es: V S.H ' H PQ,,' H d(,') PQ,,' ' Q P H ' S. Se s l et pependiul omún y. Sen P s y Q ' s. Entones d(, )d(p,q). Cálulo de l et s pependiul omún y : s π π'; siendo π plno que ontiene l et y su eto teístio es pependiul los etoes, ' y π' plno que ontiene l et y su eto teístio es pependiul los etoes ' y '. ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO. Definiión: Se die que l euión de un plno es noml undo el eto pependiul l plno es unitio. L euión noml del plno π d es l siguiente: π y z d, es dei, osα osβ y os γ z do (, π), siendo os α,osβ y os γ los osenos dietoes del eto pependiul l plno π. ÁREAS Áe del plelogmo. El áe del plelogmo uyos éties son A (,, ), B (,, ), C (,, ) y D ( d, d, d ), puede lulse medinte l fómul: AB A B AB AD AD D C U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí 9

30 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO Áe AB AD d d d d d d Áe del tiángulo El áe del tiángulo ABD es ½ del áe del plelogmo ABCD, luego: áe del tiángulo ABD AB AD. Áe de un polígono plno Se desompone el polígono en tiángulos que sólo tengn en omún un ldo o un étie y se otiene el áe de d uno de ellos, el áe del polígono se l sum de dihs áes VOLÚMENES A AB B AD D C Volumen de un plelepípedo El olumen del plelepípedo que tiene los etoes AB, AD y AE omo ists, siendo A (,, ), B (,, ), D ( d, d, d ), y E ( e, e, e ) puede lulse medinte l fómul: V d d d Demostión: Se onsiden ls tes ists onuentes, V AB,AD,AE AB ( AD AE) d d d d d d e e e e e e e e A E H D S B U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí

31 El espio etoil eulídeo. Volumen del tetedo Con l mism notión del ptdo nteio, el olumen del tetedo ABDE iene ddo po: V 6 d d d e e e Demostión: El olumen del plelepípedo es igul dos G ees el olumen del pism tingul E ABDEFG y este su ez tes ees el olumen F del tetedo ABDE, luego: D V 6 d d d e e e A Not: El deteminnte puede se un númeo positio o negtio, po lo que el olumen seá el lo soluto de diho númeo. Volumen de un piámide El olumen de un piámide se otiene lulndo el áe de l se, S, y l distni del étie l se, h, on l siguiente fómul V/ S.h. B Volumen de un poliedo oneo Se tom un punto inteio de l figu y se onsiden tnts piámides omo s tiene el poliedo. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogfí, Geodesi y Ctogfí