EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO

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1 EL ESPACIO AFÍN EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO TEMA : EL ESPACIO AFÍN EL ESPACIO AFÍN SUBESPACIO AFINES SISTEMAS DE REFERENCIA CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA LA RECTA EN EL ESPACIO EL PLANO EN EL ESPACIO POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO TEMA : EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO PRODUCTO ESCALAR ORTOGONALIDAD ÁNGULO DE DOS VECTORES COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR PRODUCTO VECTORIAL PRODUCTO MIXTO DOBLE PRODUCTO VECTORIAL TEMA : EL ESPACIO EUCLÍDEO COORDENADAS CARTESIANAS RECTANGULARES DISTANCIA. ESPACIO MÉTRICO DISTANCIA EN EL ESPACIO EUCLÍDEO VECTOR PERPENDICULAR A UN PLANO VECTOR PARALELO A UNA RECTA PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE PLANOS, ENTRE RECTAS Y ENTRE PLANOS Y RECTAS DISTANCIAS ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO ÁREAS VOLÚMENES Unidd Doente de Mtemátis

2 EL ESPACIO AFÍN TEMA : EL ESPACIO AFÍN EL ESPACIO AFÍN Definiión: Sen E el onjunto de puntos del espio, V (R) el espio etoril rel de los etores lires del espio, y ϕ: EE V (R) un pliión que erifi: (A,B) ϕ (A,B) AB ) Relión de Chrles Si A, B, y C E ϕ (A,B) ϕ (B,C) ϕ (C,A) o tmién B AB BC CA ) A E, V, eiste un únio punto B E tl que A ϕ (A, B). C Entones l tern (E, V (R), ϕ ) se le denomin espio fín y se esrie A. Los elementos del espio fín A son los puntos del espio ordinrio. En osiones, se suele identifir el espio fín A on el onjunto de puntos E, lo que no es orreto, pero si permisile, pr simplifir l notión. Definiión: L dimensión del espio fín es l dimensión del espio etoril soido V (R). Definiión: Diremos que los puntos A, B, C y D son linelmente independientes (o linelmente dependientes) si lo son los etores AB,AC,AD. Propieddes: ) Demostrión: punto AB A B ; ) AA ; ) AB BA ; 4) AB BC AC ) De l segund ondiión de l definiión: ) A E, V, B E tl que ϕ (A,B) AB B A. eiste un únio ) De l relión de Chrles ϕ (A,A) ϕ (A,A) ϕ (A,A) o tmién AA AA AA AA. Unidd Doente de Mtemátis

3 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO ) Ahor ϕ (A,B) ϕ (B,A) ϕ (A,A) o tmién AB BA AA y de quí AB BA. ) 4) Análogmente, AB BC CA, AB BC AC AB BC AC, que B onstituye l definiión de sum etoril. A C AB BC SUBESPACIO AFINES Definiión: Se A (E, V (R), ϕ ) un espio fín. Se F un suonjunto no ío de E, se die que B(F,V(F),ϕ ) es un suespio fín de A si eiste un punto A F tl que V(F){ AX / X F} es un suespio etoril del espio etoril V (R). Al suespio fín tmién se le denomin riedd lineles fines o rieddes lineles. Proposiión: El suespio fín es independiente del punto que se tome. Demostrión: Se el suespio fín B del espio fín A. Si P,Q B entones { PX/ X B} { QX/ X B} En efeto: PX PQ QX QP QX QX QP PX PQ PX { PX / X B} { QX / X B} Al suespio etoril V(F) se le denomin suespio etoril soido l suespio fín. B.. Definiión: L dimensión del suespio fín es l dimensión del suespio etoril soido. Definiión: Sen A un espio fín, A un punto de E y W un suespio etoril de V (R). Entones X E/AX W B(F,W, ϕ ) es un suespio fín de A, siendo F{ } Al suespio etoril W se le llm direión de F. Al suespio fín B(F,W, ϕ ) que ontiene l punto A y de direión W se le epres de form simplifid: BAW Unidd Doente de Mtemátis

4 Clsifiión de los suespios fines: EL ESPACIO AFÍN dim B Euiones Nomre X A PUNTO X A t RECTA X A t sw PLANO X A i yj zk ESPACIO TOTAL SISTEMAS DE REFERENCIA Definiión: Se A un espio fín y R { O, U, U, U } un utern de puntos, se die que R onstituye un sistem de refereni del espio fín A undo los etores OU u O U OU u U OU formn un se de V (R). O,OU, OU es el origen del sistem de refereni. OU u Si OU u, OU u,ou u entones se O;u, u, u un sistem de tiene R { } U refereni. Definiión: Se R { O; u, u, } un sistem de refereni fín, si A u denomin etor de posiión del punto A. E l etor lire OA se le Proposiión: Sen A, R { O;u, u, u } un refereni fín y R el espio etoril rel de dimensión. Entones l pliión :ER definid por (A)(,y,z) son ls oordends del etor OA respeto de l se B { u, u, } u es iyeti. Demostrión: Pr d punto A se otiene el etor de posiión que respeto l se B { u, u, } u es OA u yu zu (, y, z), es deir, ϕo i E V (R) R, luego i ϕ que es iyeti por ser A OA (,y,z) omposiión de pliiones iyetis. Unidd Doente de Mtemátis 4

5 EL ESPACIO AFÍN Definiión: Con l mism notión, se die que (,y,z) son ls oordends del punto A respeto del sistem de refereni R si (A)(,y,z). menos ls oordends del origen A, es deir, AB OB - OA. A Corolrio : Ls oordends etoriles de OA son ls oordends fines del punto A. Corolrio : Ls oordends de un etor O B lire AB son ls oordends del etremo B CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA O;u, u, u O';,, Sen R { } que: u u u O'O y R { } dos sistems de refereni del espio fín A tles u Si X tiene por etores de posiión OX (, y, z) y O u O ' X (', y', z' ) respeto de R y R respetimente, luego O'X O'O OX. Entones: O u X ' y' y z' z [ ] R' A. [ ] R que representn ls euiones del mio de sistem de refereni de R R, que onsiderndo l mtriz A por loques será: Unidd Doente de Mtemátis 5

6 EL ESPACIO AFÍN Unidd Doente de Mtemátis 6 z y z' y' ' y O'O P z, siendo P l mtriz del mio de l se { } u,,u u l se { },,. Pr otener el mio de sistem de refereni de R R, st despejr en l euión nterior: z' y' ' P O O' z y z' y' ' P O O' P z' y' ' P OO' P Csos prtiulres: I) Si l se no mi, es deir, u, u, u result: z y z' y' ' un trslión II) Si los orígenes oiniden(oo ), es deir result: z y z' y' ' un mio de se etoril. Proposiión: Todo mio de refereni en el espio fín es igul l produto de un trslión por un mio de se. Demostrión: En efeto:

7 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO LA RECTA EN EL ESPACIO Un ret qued determind por dos puntos P y Q distintos. Si X es un punto ulquier de l O;u, u, u un sistem de ret y R { } refereni del espio fín, l euión etoril P Q X r de l ret es OX OP t PQ y sus euiones prmétris pr (p, p, p ), P (q, q, q ), y (,, ) respeto de Q X p t(q p) R, son: p t(q p ) O p t(q p) Se (,, ) un etor diretor de l ret, es deir, un etor de l direión de l ret entones l euión etoril es X P t y ls euiones prmétris: De donde eliminndo el prámetro t qued en form ontinu: p p p p p t t t p.. EL PLANO EN EL ESPACIO Se el sistem de refereni R { O;u, u, u } Un plno qued determindo por tres puntos P, Q y R no linedos, ulquier punto oplnrio on ellos erifi PQ X P t s PR. P Q X De l euión etoril, pr (p, p, p ), P (q,q,q ), (r, r, r ) y Q R (,, ) se otienen ls euiones X R π prmétris: p t(q p t(q p t(q p) s(r p) p ) s(r p ) p ) s(r p ) O Unidd Doente de Mtemátis 7

8 EL ESPACIO AFÍN Si onsidermos un punto P y dos etores linelmente independientes (,, ) w (w, w, w) el plno qued determindo de form etoril por X P t sw y por sus y euiones prmétris: p p p t t t sw sw sw de donde eliminndo los prámetros t y s qued: p w p q r p w p q r p w p q r d, l euión generl, rtesin o implíit del plno POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Sen los plnos: α on (,, ) (,,) ; β on (,, ) (,,) onsiderndo: r (A) r r (A*) r Si r(a) r(a*) el sistem es omptile indetermindo y los dos plnos son sentes, es deir se ortn según un ret. NOTA: Tod ret qued identifid omo interseión de dos plnos sentes medinte sus euiones rtesins. Denominmos hz de plnos que ontienen un ret l ominión linel de dos plnos ulesquier que ontengn dih ret: ( ) λ ( ) µ. α β r Unidd Doente de Mtemátis 8

9 EL ESPACIO AFÍN Si r(a) ; y r(a*) el sistem es inomptile y los dos plnos son prlelos. Si r(a) r(a*) el sistem es omptile indetermindo y los dos plnos son oinidentes. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS Sen los plnos: α on (,, ) (,,) ; β on (,, ) (,,) ; γ on (,, ) (,,) on: r (A) r r (A*) r Si r(a) r(a*) el sistem es omptile determindo y los tres plnos se ortn en un punto. Si r(a) ; y r(a*) el sistem es inomptile y se presentn dos susos: I) Si tods ls sumtries de orden son de rngo dos. Los plnos se ortn dos dos. II) Si tods ls sumtries de orden son de rngo dos, slo un que es de rngo uno. Dos plnos son prlelos y el terero les ort. Si r(a) r(a*) el sistem es omptile indetermindo y se presentn dos susos: III) Si tods ls sumtries de orden 4 son de rngo dos. Los tres plnos se ortn formndo un ret. En este so, dos plnos onstituyen lo que se denomin un hz de plnos. IV) Si tods ls sumtries de orden 4 son de rngo dos, slo un que es de rngo uno. Dos plnos son oinidentes y el terero les ort. Si r(a) ; r(a*) el sistem es inomptile y se presentn dos susos: V) Si tods ls sumtries de orden 4 son de rngo dos. Los tres plnos son prlelos. VI) Si tods ls sumtries de orden 4 son de rngo dos, slo un que es de rngo uno. Dos plnos son oinidentes y el terero prlelo. Si r(a) r(a*) el sistem es omptile indetermindo y los tres plnos son oinidentes. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Sen ls rets r y s determinds por los plnos: α r β on (,, ) (,,) on (,, ) (,,) Unidd Doente de Mtemátis 9

10 EL ESPACIO AFÍN Unidd Doente de Mtemátis δ γ (,,) ) d, d, on (d d d d d (,,) ),, on ( s on: d d d r (A) r d d d d r (A*) r Si r(a*) 4. Ls dos rets se ruzn, pues no están en el mismo plno. Si r(a*) 4. Ls dos rets son oplnris y se present los siguientes susos: Si r(a) r(a*). Ls dos rets se ortn en un punto. Si r(a) ; r(a*). Ls dos rets son prlels. Si r(a) r(a*). Ls dos rets son oinidentes. POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO Sen l ret r determind por los plnos β α y y el plno γ : (,,) ),, on ( α ; (,,) ),, on ( β ; (,,) ),, on ( γ on: r (A) r r (A*) r Si r(a) r(a*). L ret es inidente on el plno. Si r(a) ; r(a*). L ret es prlel l plno. Si r(a) r(a*). L ret est ontenid en el plno.

11 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO TEMA : EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO PRODUCTO ESCALAR Definiión: Se V (R) el espio etoril de los etores lires del espio sore el uerpo R. Llmmos produto eslr en V (R) l pliión: V(R) V(R) R ( y, ) y. y.osα siendo α el ángulo que formn, en un punto ulquier, un representnte de y otro de y on α π. El número rel. y.osα se llm produto eslr de por y. Proposiión: El produto eslr de dos etores es el produto del módulo de un etor por l proyeión del otro sore él. Además, e y, el produto eslr de por y es un número positio, negtio o ero según que el ángulo que formen e y se gudo, otuso o reto respetimente. Demostrión:.y y os α proy (y) y α proy (y) y osα Propieddes del produto eslr ) Si o y o e y son perpendiulres, entones y. Demostrión: y. y.osα. y.os9º ) Si e y, entones y si y sólo si e y son perpendiulres. Demostrión: ó y. y.osα y ó os α α 9º Unidd Doente de Mtemátis

12 EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO ) Conmutti: y y, y, V Demostrión: y. y.os α. y.os, y y..os y, y ( ) ( ) 4) Distriuti respeto de l sum: ( y z) y z,, y, z V Demostrión: Medinte l proyeión de los etores y,z e yz sore el etor : y z. y z.os, y z proy y z proy y proy z ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) proy y proy z y z ( ) ( ) 5) Pseudosoiti: λ( y) ( λ) y ( λy) ( y) λ,, y V, λ R Demostrión: λ( y ) λ.y.os αλ..y.os (,y ).y. λ.os(,y ). y. λ.os( λ, y ) si λ> si λ. y. λ.os( λ, y) ( λ) y. y. λ. ( os( λ, y )) si λ< λ< λ> λ 6) Si, entones >; si y sólo si. Demostrión:..osα..os,..osº ( ) λ Antes de psr enunir el resto de ls propieddes del produto eslr neesitmos dr l siguiente definiión: Pr d V, llmmos norm eulíde de :, es deir, l norm de un etor oinide on su módulo. Más generlmente, se define norm en V omo ulquier pliión: V(R) R que erifiquen ls siguientes ondiiones: Unidd Doente de Mtemátis

13 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO ) ; ) ; ) y y ; 4) λ λ. En prtiulr, l pliión: V R, que soi d etor su módulo, es un norm sore V. 7) Desiguldd de Cuhy-Shwrtz: y <. y,y V. Demostrión: y. y.os α. y.osα. y 8) Desiguldd de Minkowski: y y,y V Demostrión: Aplindo l desiguldd nterior y y <. y ( )( ) ( ) y y y y y y y. y y. y y y y de quí: y y,y V Epresión nlíti del produto eslr B u, u, u un se de V Sen Se { } y y u y u y u. Entones: ( ) y y, V tles que u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u e y y y Definiión: Un espio etoril V. en el que se h definido el produto eslr se die que es un espio etoril eulídeo. ORTOGONALIDAD Definiión: Se die que los etores e y son ortogonles si su produto eslr es ero. Unidd Doente de Mtemátis

14 Teorem de Pitágors EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO Dos etores de un espio etoril eulídeo son ortogonles si, y sólo si el udrdo de l norm de su sum es igul l sum de los udrdos de sus norms; es deir:. y y y Demostrión:,y V y y y y y y y y y ( ) ( ) Proposiión: Tres etores ortogonles dos dos y distintos del etor nulo formn un se del espio etoril V. Demostrión: Supongmos que los tres etores, y, z son ortogonles dos dos no nulos y demás linelmente dependientes, entones λ λ yλ z, λi. Si multiplimos eslrmente los dos miemros por, otenemos λ( ) λ( y) λ( z) y omo ( y), ( z), result λ ( ) y omo λ. Análogmente se otiene λ, λ y los tres etores son linelmente independientes y onstituyen un se de V. Definiión: Deimos que l se B { u u u },, es ortonorml o métri undo sus etores son unitrios ( u i, i,,) y ortogonles entre sí (perpendiulres dos dos). y y y ( ) y ( ) y, y que: y y ui ui ui ui uj si i j Con l mism notión nterior, si l se B es ortonorml l epresión nlíti del produto eslr de por y es: y y y y. Por tnto, el módulo de un etor es undo l se es ortonorml. Definiión: Se V un espio etoril eulídeo y F y G dos suonjuntos de V, se die que F y G son ortogonles (esriimos F G) si y solo si todo etor de F es ortogonl ulquier etor de G. Unidd Doente de Mtemátis 4

15 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO Teorem: F y G son ortogonles si y solo si los suespios etoriles que genern lo son. En prtiulr en V se erifi: ) Dos rets etoriles son ortogonles si y solo si lo son sus etores diretores. ) Un ret etoril es ortogonl un plno etoril si y solo si el etor diretor de l ret es ortogonl un se del plno. Demostrión: Sen F { u,...,u p} y G {,...,q} dos suonjuntos de etores de un espio etoril V. Se umple que F G < F> < G >. Vemos l demostrión: Por ser < F >, < G > suespios ortogonles todos su etores son ortogonles entre sí. F G. Reípromente, todo etor del suespio < F > es de l form λ u... λpup µ... µ y q q es un etor del suespio < F >, < G >. Efetundo el produto: λ u... λ u )( µ... µ q q ( p p tnto F G < F> < G > λ u µ... λ u µ λ µ u... λ µ u, y por ) ( ) ( ) p p q q p q p q Proposiión: L interseión de dos suespios ortogonles es { }. Demostrión: Si u F G on F G < F> < G >, result que Conseueni: En V dos plnos nun son suespios ortogonles. u F u F G u u u u u G Definiión: Ddo un suonjunto F de V, llmremos ortogonl de F y se esrie F, l suonjunto de V formdo por todos los etores ortogonles F. F unque F no lo se. Demostrión: es siempre un suespio etoril de V Unidd Doente de Mtemátis 5

16 F V/ u, u F { } EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO es un suespio etoril de V, y que umple l rterizión de los suespios etoriles, es deir, λ, µ R,w F λ µ w F. Puesto que: ( ) F F F F u λ µ w λu µ u w λ. µ. Teorem: Si F es un suespio etoril de V, se erifi: ) ( F ) F (Si F no es un suespio etoril de ( F ) F) ) F F V, es deir, F es un suespio suplementrio de F ) dim F dim V dim F Demostrión: Como F { V/ u, u F } F lo es de F. result ( F ) { u V/ u, F } y ulquier etor de Vemos que F F V: Se un se ortonorml { e,...,er} se ortonorml { e,...,e,e,...,e } r r n del suespio etoril F, se puede prolongr hst onseguir un e,..., e un sistem lire por del espio etoril V; siendo { } ser etores de un se y demás sistem generdor del suespio etoril F.En efeto. r n F,..., n R / e... rer r e r... ne non u u F, en prtiulr on e F, se umple que: e e... e e... e e e e... e e e e... e e. ( ) r r r r n n r r r r n n Análogmente multiplindo eslrmente por e,...,er result... n e... e e,..., e es un sistem generdor de F y por lo tnto se, r r n n que prue que { } r n Unidd Doente de Mtemátis 6

17 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO siendo l dim F n-rdimv-dimf y demás omo F F { } se tiene que F F V. l sum F F V es sum diret y Conseuenis: ) El ortogonl de tod ret (suespio etoril de dimensión ) es un hiperplno (suespio de dimensión n-). Por tnto, en V, el ortogonl de un ret es un plno y ieers. ) Todo etor u V se puede desomponer de mner úni en l form, u u u donde p:v F u F, u F. L pliión se llm proyeión ortogonl del etor u sore F. u p(u) u ÁNGULO DE DOS VECTORES Por definiión y. y.os(, y), de quí se otiene: os( y, ) y. y. Si los etores están referidos un se ortonorml: os( y, ) y y y y y y COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR Definiión: Si u u u B u, u, u un se de V, se llmn osenos, siendo { } diretores de los osenos de los ángulos que form on los etores de l se. Si l se es ortonorml, los osenos diretores son: os( u, ) ; os( u, ) ; os( u, ) y se erifi entones que: os ( u, ) os ( u, ) os ( u, ). PRODUCTO VECTORIAL Definiión: Se llm produto etoril en V un pliión: V V V ( y, ) y tl que: ) y. y.senα. y ) L direión del etor y es perpendiulr l plno definido por e y. y Unidd Doente de Mtemátis 7

18 ) El sentido del etor EL ESPACIO AFÍN y iene determindo por l ley del sorhos : es el sentido de ne de un sorhos que gire intentndo ller el etor l posiión de etor y según el ángulo menor de 8º. Epresión nlíti del produto etoril Se B { u, u, u} un se ortonorml de V. Sen y, V tles que u u u y yu yu yu u u u y y y u y y u y y u y y y e Demostrión: Busmos un etor y w perpendiulr los etores e y, que respeto l se ortonorml será: w wu wu wu uys oordends deen erifir el siguiente sistem: w w w w w y w y w y w y w y w Y uyo módulo stisfe l euión y.y.sen α.y. ( os α ).y ( y) u u u resoliendo el sistem se otiene: y y y u y y u y y u y y y Propieddes del produto etoril ) Si o y o e y son prlelos (linelmente dependientes), entones y. Demostrión: Si son prlelos formn un ángulo de º: y. y.senα. y.senº y ) Si e y son perpendiulres, entones y. y Demostrión: Si son perpendiulres formn un ángulo de 9º: y. y.senα. y.sen9º. y ) y y, y, V Unidd Doente de Mtemátis 8

19 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO Demostrión: Aunque sus módulos son igules, sus sentidos son opuestos. y y y 4) Distriuti respeto de l sum: ( y z) y z, ( y z) y z,, y, z V Demostrión: Es onseueni de ls propieddes de los determinntes, puesto que si esriimos ls oordends respeto de un se ortonorml o métri, se erifi: u u u u u u u u u y z y z ( ) y z y z y z y y y z z z 5) Pseudosoiti: λ( y) ( λ) y ( λy) ( y) λ,, y V, λ R Demostrión: u u u u u u λ y λ λ λ λ λ y ( ) ( ) y y y y y y 6) No es soitio. Demostrión: y z y z Vemos un ontrejemplo pr demostrr que ( ) ( ) Si y z ( y z ) mio ( ) y z z es distinto l etor ero y perpendiulr l y en 7) y y ( y) Demostrión: Unidd Doente de Mtemátis 9

20 EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO y.y.sen α.y. os α.y.y.os α.y y ( ) ( ) ( ) Interpretión geométri del produto etoril Se erifi lo siguiente: el módulo del produto etoril de los etores e y es igul l áre del prlelogrmo onstruido on un representnte de y uno de y por un punto. y. y.sen α.h áre y h y PRODUCTO MIXTO Definiión: Se llm produto mito en V un pliión: V V V R ( yz,, ) yz,, ( y z) [ ] Epresión nlíti del produto mito Se B { u, u, u} un se ortonorml de V. Sen yz,, V tles que u u u y yu yu yu y z zu zu zu u u u yz,, ( y z) u u u y y y y y y [ ] ( ) z z z z z z ; Propieddes del produto mito, y, z ( y z) ( y ) z yz,, V ) [ ] Demostrión: Es onseueni de ls propieddes de los determinntes, puesto que si esriimos ls oordends respeto de un se ortonorml o métri, se erifi:, y, z ( y z) ( y ) z y y y [ ] z z z Unidd Doente de Mtemátis

21 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO yz,, yz,, zy,, yz,, zy,, zy,, yz,, V ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Demostrión: Intermindo ls fils: y y y z z z y y y z z z z z z y y y y y y z z z z z z y y y z z z y y y ',,,, ',,, ', yz, V ) [ yz] [ yz] [ yz] Demostrión: [ ',y,z] ' ' ' y y y z z z y y y z z z ' ' ' y y y [, y,z ] [ ', y,z ] z z z yz,, V, λ R 4) λ[ yz,, ] [ λyz,, ] [, λyz, ] [ y,, λz] Demostrión: El eslr λ multipli un fil o un olumn elusimente. λ[, y,z ] λy y y z z z λ λ λ y y y z z z [,y,z] λ.,, yz,, son linelmente dependientes 5) [ yz] Demostrión: yz,, son oplnrios y y y z z z [, y,z] yz,, son linelmente dependientes yz,, son oplnrios 6) Dos rets X A λ y X A λ son oplnris. AA,,. Demostrión: Por l propiedd nterior los tres etores son oplnrios, luego ls rets son oplnris. Unidd Doente de Mtemátis

22 EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO Interpretión geométri del produto mito Se erifi lo siguiente: el lor soluto del produto mito de tres etores es igul l olumen del prlelepípedo onstruido sore dihos etores. Demostrión: [, y,z ] (y z). y z.os,y z. y z.os α ( ).S.os α.s.sen 9º α S.H V olumen del prlelepípedo. ( ) y z z H α y S DOBLE PRODUCTO VECTORIAL Definiión: Se llm dole produto etoril en V un pliión: V V V V (, y,z) (y z) Epresión nlíti del dole produto Se B { u, u, u} un se ortonorml de V. Sen yz,, V tles que y yu yu yu y z zu zu zu. Entones: u u u ; ( y z) u u u y y y y y y z z z z z z Propiedd de epulsión ( y z) ( z) y ( y) z, y,z V Demostrión: Utilizremos l notión etoril (,, ), y ( y,y,y ), z ( z,z,z ) Unidd Doente de Mtemátis

23 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO u u u Vemos el primer miemro de l iguldd ( y z) y y y y y y z z z z z z ( y z y z y z y z, y z y z y z y z, y z y z y z y z ) El segundo miemro: ( z) y ( y) z z z z y,y,y y y y z,z,z ( )( ) ( )( ) (zy zy zy yz yz yz,,zy zy zy yz yz yz,, z y z y z y yz y z y z ), y ms epresiones oiniden. Unidd Doente de Mtemátis

24 EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO TEMA : EL ESPACIO EUCLÍDEO Definiión: Se llm espio fín eulídeo o espio eulídeo l espio fín undo el espio etoril rel soido V es un espio etoril eulídeo. Lo representmos por E. COORDENADAS CARTESIANAS RECTANGULARES O;u, u, u se llm métrio u ortonorml si l se Definiión: Un sistem de refereni R { } B{ u, u, } es ortonorml. u Si R { O;u, u, u } OA u, OB u, OC u rtesins retngulres. es un sistem de refereni ortonoml y A, B, y C son puntos tles que, ls rets OAi, OBj, y OCk se llmn ejes de oordends Definiión: Se llmn oordends rtesins retngulres de un punto sus oordends rtesins undo el sistem de refereni es métrio u ortonorml. DISTANCIA. ESPACIO MÉTRICO Definiión: Se A un onjunto ulquier, no ío. Llmmos distni en A un pliión d : A A (, y) R d(, y) {} que erifique ls ondiiones siguientes: ) d(, y) y,, y A ) d(, y) d(y, ),, y A ) d(, y) d(, z) d(z, y),, y, z A Definiión: Llmmos espio métrio un onjunto A en el que se h definido un distni. DISTANCIA EN EL ESPACIO EUCLÍDEO Proposiión: L pliión d : E E (X, Y) R { } d(x, Y) es un distni en el espio eulídeo E. XY Demostrión: Unidd Doente de Mtemátis 4

25 En efeto, se umplen ls tres ondiiones: ) d(x,y) XY X Y, X,Y E ) d(x,y) XY YX d(y,x), X,Y E EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO ) d(x, Z) XZ XY YZ d(x, Y) d(y, Z), X, Y, Z E Podemos, entones, dr l siguiente definiión. Definiión: Ddos dos puntos X e Y del espio eulídeo, llmmos distni entre dihos puntos l número rel: d (X, Y) XY ; y y el espio eulídeo es un espio métrio. Cálulo de d(x,y): Si (,, ) e (y, y, y ) respeto iert se ortonorml, entones X d(x, Y) Y ( y ) ( y ) ( y ). Not: A prtir de quí, y hst el finl del tem, mientrs no se dig lo ontrrio, trjremos en el espio eulídeo on l distni nterior y supondremos que el sistem de refereni utilizdo es ortonorml. VECTOR PERPENDICULAR A UN PLANO Proposiión: Ddo el plno π d, el etor n (,,) es perpendiulr diho plno. Se le llm etor rterístio de π. Demostrión: Si π X P t sw, de ls euiones prmétris, eliminndo los prámetros p p p siendo n w w w, l euión generl, rtesin o implíit del plno d, i j k w (,,). Por tnto n es un etor perpendiulr π. w w w Unidd Doente de Mtemátis 5

26 EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO VECTOR PARALELO A UNA RECTA Definiión: Dd l ret r X P t, lo llmmos etor diretor de r ( es prlelo r). d Not: Si r, y ' ' ' d' llmmos n (,,) y n ' (', ',' ), podemos otener un etor diretor hiendo n n'. α n ' ( ', ', ') n (,,) r β ÁNGULOS Ángulo entre dos plnos. Definiión: Se llm ángulo entre dos plnos l menor de los ángulos diedros que dihos plnos formn l ortrse. π Proposiión Sen los plnos π' ' ' d. Se erifi, entones, que: ' d' os( π, π' ) ' ' ' ' ' ' Ángulo entre dos rets. Definiión: Se llm ángulo entre dos rets l menor de los ángulos que formn sus prlels por un punto ulquier. Es el ángulo entre sus etores diretores. Proposiión Sen ls rets r p y p p r' p' ' p' ' p' '. Se erifi, entones, que: Unidd Doente de Mtemátis 6

27 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO os(r, r' ) ' ' ' ' ' ' Ángulo entre ret y plno. Definiión: Se llm ángulo entre un ret y un plno l ángulo entre dih ret y su proyeión ortogonl sore el plno. Proposiión Sen l ret erifi, entones, que: r p p p y el plno π d sen(r, π ). Se PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE PLANOS, ENTRE RECTAS Y ENTRE PLANOS Y RECTAS. Perpendiulridd y prlelismo entre dos plnos. Definiión: Dos plnos π y π ', on etores perpendiulres n y n ', respetimente, son prlelos undo n y n ', lo son. Análogmente, π y π ', son perpendiulres undo lo son n y n '. π Proposiión Sen los plnos π' ' ' ) d. Se erifi, entones, que: ' d' π // π' ' ' ' ) π π' ' ' ' Perpendiulridd y prlelismo entre dos rets. Definiión: Sen r y r dos rets on etores diretores y ', respetimente. Deimos que r y r son prlels undo lo son y '. Análogmente r y r son perpendiulres undo lo son y '. Unidd Doente de Mtemátis 7

28 EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO Proposiión Sen ls rets r p y p p r' p' ' p' ' p' '. Se erifi, entones, que: ) r // r' ) r r' ' ' ' ' ' ' Perpendiulridd y prlelismo entre un ret y un plno. Definiión: Se un ret r on etor diretor y un plno π, on etor perpendiulr n. Deimos que r y π son prlelos undo y n son perpendiulres. Análogmente, r y π son perpendiulres undo y n son prlelos. p p p Proposiión Sen l ret r y el plno π d Se erifi, entones, que: ) // π ) r π r DISTANCIAS Distni de un punto un plno Proposiión: se el plno π d y el punto P ( p, p, p ). L distni de P π iene dd por: dp (, π ) p p p d. Demostrión: Se define: d( P, ) Inf{ d( P,X ) /X } π π. Se P ' π l interseión de l perpendiulr π trzd desde P. Entones d( P, π ) d( P,P' ) d y de l definiión de produto eslr: XP n XP.nosα nd π n α α X P P Unidd Doente de Mtemátis 8

29 EL ESPACIO AFÍN XP n ( p,p,p ) (,,) p p p p p p d d n En prtiulr, si el punto es el origen O(,,): d d(o, π ). Distni de un punto un ret y y z z Proposiión: Se l ret r (un punto ulquier A(, y, z ) y el etor diretor (,, ) de l ret) y el punto P ( p, p, p ). L distni de P r iene dd por: dpr (, ) AP p y p z p z p y p p y Not: En ez de plir l fórmul nterior, si se trz por P un plno π perpendiulr r, l distni usd es dd(p,q), siendo Q el punto en el que el plno π ort r. Demostrión: Se define: d( P,r) Inf{ d( P,X ) /X r}. Se A r, el áre del prlelogrmo formdo por los etores AP y es: S AP.h AP d( P,r) d( P,H) h P A h H r Distni entre dos plnos prlelos. Sen π y π' dos plnos prlelos. Se r un ret perpendiulr mos. Sen P r π y Q r π'. Entones, l distni entre π y π' iene dd por dd(p,q). Unidd Doente de Mtemátis 9

30 Distni entre dos rets. EL ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO Si ls rets son prlels, r//r, se onstruye un plno π perpendiulr ms. Sen P Q r' π. Entones d(r,r )d(p,q). r π y Si ls rets se ruzn:. drr (,') PQ,, ', siendo y ' ' los etores diretores de r y r, respetimente, P y Q sendos puntos de r y r. Demostrión: Se define: d( r,r' ) Inf{ d( X,Y ) /X r,y r' }. Sen P r,q r ', el olumen del prlelepípedo formdo por los etores PQ, y ' es: V S.H ' H PQ,,' H d(r,r') PQ,,' ' Q P H r ' S r. Se s l ret perpendiulr omún r y r. Sen P r s y Q r' s. Entones d(r,r )d(p,q). Cálulo de l ret s perpendiulr omún r y r : s π π'; siendo π plno que ontiene l ret r y su etor rterístio es perpendiulr los etores, ' y π' plno que ontiene l ret r y su etor rterístio es perpendiulr los etores ' y '. ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO. Definiión: Se die que l euión de un plno es norml undo el etor perpendiulr l plno es unitrio. L euión norml del plno π d es l siguiente: π y z d, Unidd Doente de Mtemátis

31 EL ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO es deir, osα osβ y os γ z do (, π), siendo os α,osβ y os γ los osenos diretores del etor perpendiulr l plno π. ÁREAS Áre del prlelogrmo. El áre del prlelogrmo uyos érties son A (,, ), B (,, ), C (,, ) y D ( d, d, d ), puede lulrse medinte l fórmul: AB A B AB AD AD D C Áre AB AD d d d d d d Áre del triángulo El áre del triángulo ABD es ½ del áre del prlelogrmo ABCD, luego: áre del triángulo ABD: AB B C AB AD. A AD D Áre de un polígono plno Se desompone el polígono en triángulos que sólo tengn en omún un ldo o un értie y se otiene el áre de d uno de ellos, el áre del polígono ser l sum de dihs áres VOLÚMENES Volumen de un prlelepípedo El olumen del prlelepípedo que tiene los etores AB, AD y AE omo rists, siendo A (,, ), B (,, ), D ( d, d, d ), y E ( e, e, e ) puede lulrse medinte l fórmul: V d d d e e e Unidd Doente de Mtemátis

32 EL ESPACIO AFÍN Demostrión: Se onsidern ls tres rists onurrentes, V AB,AD,AE AB ( AD AE) d d d e e d d d e e e A E H D S B Volumen del tetredro Con l mism notión del prtdo nterior, el olumen del tetredro ABDE iene ddo por: V 6 d d d e e e Demostrión: El olumen del prlelepípedo es igul dos ees el olumen del prism tringulr ABDEFG y este su ez tres ees el olumen E G F del tetredro ABDE, luego: V 6 d d d e e e A D B Not: El determinnte puede ser un número positio o negtio, por lo que el olumen será el lor soluto de diho número. Volumen de un pirámide El olumen de un pirámide se otiene lulndo el áre de l se, S, y l distni del értie l se, h, on l siguiente fórmul V/ S.h. Volumen de un poliedro oneo Se tom un punto interior de l figur y se onsidern tnts pirámides omo rs tiene el poliedro. Unidd Doente de Mtemátis