β (t) = (1) 2 + ( t 1 t 2 dt = + 1 dt = 1 t 2 + t 1 f(β(ϕ(t))) β (ϕ(t)) ϕ (t)dt = }{{}

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1 Vmos lulr ls siguientes integrles de tryetori ) Se α(t) = (os(t), sin(t)) on t [, π ] y f(x, y) = x + y Sol. Tenemos que f(α(t)) = os(t) + sin(t) por otro ldo α (t) = ( sin(t), os(t) α (t) = ( os(t)) + (sin(t)) = 1 π f = f(α(t)) α (t) dt = os(t) + sin(t)dt = sin(t) os(t) π = b) Se β(t) = (t, 1 t ) on t [, 1] y f(x, y) = x + y Sol. Tenemos que f(β(t)) = t + 1 t por otro ldo β (t) = ( ) t 1, 1 t f = f(β(t)) β (t) dt = (1) + ( t 1 t ) = 1 1 t ( t + ) ( ) 1 1 ( ) t 1 t dt = + 1 dt = 1 t 1 t β (t) = 1 t + t 1 = El vlor de l integrl no depende de l prmetrizión Proposiión 1. Sen urvs de lse 1 α : [, b] R n, β : [, d] R n y se el mpo f : u R n R, si ls urvs son equivlentes entones f = f α Demostrión. Tenemos que α β α(t) = β(ϕ(t)) pr ϕ biyetiv y reiente, entones derivndo α (t) = β (ϕ(t)) ϕ (t) α (t) = β (ϕ(t)) ϕ (t) = β (ϕ(t)) ϕ (t) tenemos entones que b f = f(α(t)) α (t) dt = α b β f(β(ϕ(t))) β (ϕ(t)) ϕ (t)dt = }{{} z=ϕ(t) d f(z) β (z) dz = β f 1

Ejemplo.- Hllr l ms de un lmbre formdo por l interseión de l esfer x +y +z = 1 y el plno x + y + z =. Si l densidd en (x, y, z) está dd por ρ(x, y, z) = x grmos por unidd de longitud de lmbre. Sol.

2 Ejemplo.- Hllr l ms de un lmbre formdo por l interseión de l esfer x +y +z = 1 y el plno x + y + z =. Si l densidd en (x, y, z) está dd por ρ(x, y, z) = x grmos por unidd de longitud de lmbre. Sol. Tenemos que Si x + y + z = entones z = x y sustituimos en x + y + z = 1 obteniendo x + y + ( x y) = 1 simplifindo x + y + xy = 1 Est euión sobre el plno x + y + z = represent un irulo de rdio 1, que se puede prmetrizr por (t) = os(t) u + sin(t) v donde u, v P lno x + y + z = y en ese plno son vetores ortonormles, por ejemplo si tommos los vetores u = 1 ( 1,, 1) y 1 (1,, 1), tnto u omo v est en el plno x + y + z = son ortogonles y de norm 1. Por lo tnto en nuestro so podemos utilizrlos pr dr un prmetrizión del irulo unitrio en el plno x + y + z = teniendo si: (t) = os(t) u + sin(t) v = os(t) ( 1 ( 1,, 1)) + sin(t) ( 1 (1,, 1)) = ( sin(t) os(t), sin(t), os(t) + sin(t) ) de donde (t) = ( os(t) + sin(t), os(t), sin(t) + os(t) )

3 Por tnto (os(t) (t) = os (t) + sin(t) os(t) + sin (t) Por otro ldo F ((t)) = F l ms es ( sin(t) π + sin(t) ) ( ) ( os(t) sin(t) os(t) ) = os(t), sin (t) ( sin (t) (*)Seprndo ls integrles tenemos que π sin (t) dt = 1 π + 4 os (t) + sin (t) sin (t) + os (t) = 1 sin(t) os(t) + os (t) sin(t), os(t) + sin(t) ) ( sin(t) = os(t) ) = sin(t) os(t) + os (t) sin(t) ) os(t) + os (t) dt = }{{} 3 π π sin (t)dt = 1 t sin(t) 4 π = π sin(t) os(t) dt = sin (t) π 1 = π os (t) dt = 1 t + sin(t) π 4 = π Integrl de line (Cmpos vetoriles) = Si F es un mpo de fuerz en el espio y supongmos que un prtíul que se muve lo lrgo de l imgen de un tryetori C mientrs tu sobre ell un fuerz F. Si C es un desplzmiento en line ret ddo por el vetor d y F es un fuerz onstnte, entones el trbjo relizdo por F l mover l prtíul lo lrgo de l tryetori es F d 3

4 (t + t) (t) es el desplzmiento (t + t) (t) t = (t) teorem del vlor medio (t + t) (t) = (t) t el trbjo relizdo pr ir de (t) (t + t) F d = mgnitud de l fuerz por desplzmiento, entones F ((t)) s F ((t)) (t) t Al subdividir [, b] en n prtes igules = t < t 1 <... < t n = b on t = t i t i 1 entones el trbjo relizdo es F ((t i )) s = F ((t i )) (t) t y undo n tenemos que el trbjo será el límite de l sum nterior. El trbjo es b F ((t)) (t)dt Integrl de line (Cmpos vetoriles) Si F es un mpo de fuerz en el espio y supongmos que un prtíul que se muve lo lrgo de l imgen de un tryetori C mientrs tu sobre ell un fuerz F. Si C es un desplzmiento en line ret ddo por el vetor d y F es un fuerz onstnte, entones el trbjo relizdo por F l mover l prtíul lo lrgo de l tryetori es F d 4

5 F d = mgnitud de l fuerz por desplzmiento, entones (t + t) (t) es el desplzmiento (t + t) (t) t = (t) teorem del vlor medio (t + t) (t) = (t) t el trbjo relizdo pr ir de (t) (t + t) F ((t)) s F ((t)) (t) t Al subdividir [, b] en n prtes igules = t < t 1 <... < t n = b on t = t i t i 1 entones el trbjo relizdo es F ((t i )) s = F ((t i )) (t) t y undo n tenemos que el trbjo será el límite de l sum nterior. El trbjo es b F ((t)) (t)dt Ejemplo: Clulr el trbjo relizdo por l fuerz F (x, y) = xyî + senyĵ y undo el punto de pliión de est reorre el ro de prábol y = x undo reorre el segmento de l ret y = x entre los puntos de orte entre mbs urvs. Sol. Los puntos de orte son (, ) y (1, 1). Un prmetrizión de l prábol y = x es (t) = (t, t ), tɛ[, 1] F ((t)) = F (t, t ) = (t 3, sent ) (t) =)(1, t) (t 3, sent ) (1, t)dt = t 3 + tsent dt = t4 1 4 ost = = 1 os(1) ( 1) = 1 os(1) + 1 = 5 os(1) Pr el segundo trbjo 5

6 Un prmetrizión es (t) = (t, t), tɛ[, 1] F ((t)) = (t, sent) y (t) = (1, 1) (t, sent) (1, 1)dt = t + sentdt = t3 1 3 ost = 1 3 os(1) [ 1] = 4 3 os(1). El vlor de l integrl urviline h vrido l mbir l urv.

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