En este tema supondremos al lector familiarizado con las técnicas más elementales de formas bilineales y cuadráticas sobre un espacio vectorial.

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1 Cpítulo 4 El espcio euclídeo 4.1 Introducción En este tem supondremos l lector fmilirizdo con ls técnics más elementles de forms bilineles y cudrátics sobre un espcio vectoril. Definición Un espcio euclídeo es un espcio fín (X, V, +) sobre IR en el que V está dotdo de un producto esclr. Definición Un sistem de referenci métrico (u ortonorml) en (X, V, +) es un sistem de referenci fín R = {O, u 1,..., u n } tl que B = {u 1,..., u n } es un bse ortonorml de V. Not Cmbio de Sistem de Referenci métrico. Sen dos sistems de referenci métricos R = {O, u 1,..., u n }, R = {O, u 1,..., u n} En un cmbio de sistem de referenci fín de ecuciones l mtriz A = n ( ) ( ) 1 x1... x n = 1 x 1... x n n n1... nn n.. n1... nn es l mtriz del cmbio de bse en el espcio vectoril. Si los sistems de referenci son métricos, ls bses son ortonormles y entonces l mtriz del cmbio de bse es ortogonl. En efecto, ls fils de l mtriz A son ls coordends de los vectores u i en l bse {u 1,..., u n } y como mbs bses son ortonormles es clrmente AA t = (u i u j) = I. El conjunto de ls mtrices ortogonles de orden n se represent por O(n) y formn un grupo multiplictivo (l demostrción es inmedit). Como el determinnte de un mtriz ortogonl es +1 o 1, se puede hcer un clsificción de ls mtrices ortogonles: O + (n) = {A O(n) det(a) = 1} 1

2 CAPÍTULO 4. EL ESPACIO EUCLÍDEO Obsérvese que O + (n) es un subgrupo de O(n). O (n) = {A O(n) det(a) = 1} Definición Sen dos sistems de referenci métricos R = {O, B} y R = {O, B }. Diremos que R y R tienen l mism orientción si M(B, B ) O + (n) Nots En un espcio euclídeo hy utomáticmente definid un métric, o distnci entre puntos, en l form siguiente: d(p, Q) = P Q. Est distnci verific ls propieddes usules de un métric, sber: 1. d(p, Q) 0.. d(p, Q) = d(q, P ). 3. d(p, Q) + d(q, R) d(p, R), con iguldd si y sólo si Q P R. En prticulr, lo nterior es un desiguldd pr culquier permutción de P, Q, R si y sólo si estos tres puntos no están linedos. L demostrción de ests propieddes es inmedit prtir de ls propieddes del producto esclr En un espcio euclídeo se verific un relción muy sencill, llmd el teorem de Pitágors, que dice sí: Si A, B, C son tres puntos no linedos tles que AB, AC son ortogonles, entonces d(b, C) = d(a, B) + d(a, C). En efecto, BC = ( AC AB) = AC + AB AB AC = AC + AB Si P, Q X son dos puntos distintos, el lugr geométrico de los puntos que equidistn de P y Q es el hiperplno L = M+ < P Q >, donde M es el punto medio de P Q. A L se le llm el hiperplno medidor del segmento P Q. En el cso prticulr en que dim X = se hblrá de l meditriz del segmento P Q. En efecto, se tiene, pr R X, d(r, P ) = d(r, Q) RP = RQ ( MP MR) = ( MQ MR) MP MR = MQ MR MP MR = MP MR MP MR = 0. que es l ecución del hiperplno que ps por M y es perpendiculr MP. Obsérvese que MP = MQ y que MQ = MP, por ser M el punto medio de P Q. 4. Distnci de un punto un vriedd Definición Se P X un punto, L un vriedd linel fín no vcí. Se llmrá distnci de P L, y se notrá d(p, L) d(p, L) = inf{d(p, Q) Q L}. Es clro que, si P L, d(p, L) = 0. En el siguiente resultdo se comprueb que este ínfimo se lcnz, efectivmente, en un punto de L. Proposición 4... Sen P X un punto y L un vriedd linel fín no vcí. Se L = P +D(L). Se verific: 1. L L es un punto de X: L L = {P 0 }. d(p, L) = d(p, P 0 ).

3 4.3. DISTANCIA ENTRE VARIEDADES. PERPENDICULAR COMÚN 3 El punto de L que minimiz l distnci P es único. Se le llm l proyección ortogonl de P sobre L, o el pie de l perpendiculr por P L. Proposición (Distnci de un punto un hiperplno) Se P un punto y H un hiperplno. Supongmos que respecto de un sistem de referenci métrico P = (p 1,..., p n ) y H : x n x n = 0. Entonces, d(p, H) = p n p n n Definición Llmremos ecución norml del hiperplno H un ecución del tipo H : x n x n n = 0. El vector = ( 1,..., n ) se dirá que es un vector norml H. 4.3 Distnci entre vrieddes. Perpendiculr común De mner nálog lo nterior se define l distnci entre dos vrieddes lineles fines no vcís, unque no existen dos puntos únicos (uno en cd un) que minimicen es distnci (piénsese en dos vrieddes prlels, por ejemplo). Tmbién existe un vriedd linel fín perpendiculr común dos disjunts. Vemos primero uns definiciones. Definición Dos vrieddes lineles fines L, L de X se dicen perpendiculres si D(L) D(L ) o D(L) D(L ). Este hecho se represent escribiendo L L. Definición Sen L 1, L dos vrieddes lineles fines no vcís de X. Se llm distnci de L 1 L, y se not d(l 1, L ), d(l 1, L ) = inf{d(p 1, P ) P 1 L 1, P L }. Evidentemente, si L 1 L entonces d(l 1, L ) = 0. Estudiemos el otro cso. Proposición Sen L 1, L vrieddes lineles fines no vcís y disjunts. Existe un vriedd linel fín L verificndo ls siguientes propieddes: 1. dim L 1.. L L i, pr i = 1,. 3. L L i es un punto P i, pr i = 1,. 4. Tod otr L que verifique ls nteriores condiciones es tl que D(L ) D(L) y, por tnto, dim L dim L. 5. d(l 1, L ) = d(p 1, P ). A est vriedd L se le llm un perpendiculr común L 1 y L. 6. L es únic si y sólo si L 1 y L se cruzn. Proposición (Distnci entre hiperplnos) Sen H 1 y H dos hiperplnos. Entonces: 1. H 1 H o H 1 H y disjuntos.. Si H 1 H y suponemos que respecto de un sistem de referenci métrico sus ecuciones son se verific que H 1 : 1 x n x n + 0 = 0 H : 1 x n x n + 0 = 0 d(h 1, H ) = n

4 4 CAPÍTULO 4. EL ESPACIO EUCLÍDEO 4.4 Ángulos entre vrieddes Not Ángulos entre dos vectores. L desiguldd de Cuchy-Schwrtz nos dice que, ddos dos vectores u, v V, se verific que equivle 1 es decir Por lo tnto existe un único ángulo α, α π, verificndo Definición Al ángulo α [0, π] tl que se le llm ángulo de los vectores u y v y se not: α = (u, v). Obsérvese que el ángulo sí definido es un ángulo no orientdo, es decir, producto esclr, se tiene l expresión: Por otr prte se tiene: = cos(α) = 0 α = π > 0 0 α < π < 0 π < α π = α = 0 = α = π (u, v) = (v, u), y que, pr el Lem Sen u L(u), v L(v), u, v 0. Se verific u v u v = Definición Ángulo entre dos rects. Sen r y s dos rects y sen u D(r), v D(s). Se define el ángulo que formn r y s como el único ángulo α, 0 α π, tl que El lem nterior nos segur que el ángulo de dos rects está bien definido, puesto que no depende de los vectores que se tomen en sus respectivs direcciones. Definición Ángulo entre rect e hiperplno. Se r un rect, u D(r), H un hiperplno y D(H). Si = ( 1,..., n ), l ecución de H será: x n x n = 0. Se define el ángulo entre r y H como (r, H) = π α, siendo α el único ángulo, 0 α π, tl que u u

5 4.4. ÁNGULOS ENTRE VARIEDADES 5 Definición Ángulo entre dos hiperplnos. Sen H 1 y H dos hiperplnos de ecuciones respectivs H 1 : x n x n = 0, = ( 1,..., n ) D(H 1 ) H : b 0 + b 1 x b n x n = 0, b = (b 1,..., b n ) D(H ) Se define el ángulo entre H 1 y H como (H 1, H ) = α, siendo α el único ángulo, 0 α π, tl que b b