CURSO DE MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA ANÁLISIS FUNCIONAL ESPACIOS EUCLÍDEOS. 1. Espacios euclídeos

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1 CURSO DE MÉTODOS DE LA FÍSICA MATEMÁTICA ANÁLISIS FUNCIONAL H. FALOMIR DEPARTAMENTO DE FÍSICA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS - UNLP ESPACIOS EUCLÍDEOS 1. Espcios euclídeos Un espcio linel E sobre el cuerpo de los complejos o los reles) se dice euclídeo si tiene definid un regl que todo pr de vectores de E le sign un número complejo rel en el segundo cso), llmdo producto esclr, que stisfce los siguientes xioms: x, y, z E y α, β C o R), el producto esclr es linel respecto del segundo rgumento, 1.1) z, α x + β y) = αz, x) + βz, y), Hermítico simétrico en un espcio rel), 1.2) y, x) = x, y) donde A indic el complejo conjugdo de A), positivo definido, 1.3) x, x) 0, y x, x) = 0 x = 0, donde 0 E es el vector nulo de ese espcio. Nótese que los primeros dos xioms implicn que el producto esclr en un espcio complejo es ntilinel respecto de su primer rgumento sesquilinel), 1.4) α x + β y, z) = z, α x + β y) = α x, z) + β y, z), mientrs que en un espcio rel es bilinel. Actulizdo el 15 de bril de

2 2 H. Flomir Tod form cudrátic definid sobre un espcio vectoril E, que se linel, Hermític y positiv definid puede ser tomd como producto esclr, pr sí drle E l estructur de un espcio euclídeo. Ejemplos: Pr x, y R n, se define n 1.5) x, y) := x i y i, i=1 y pr x, y C n, n 1.6) x, y) := x i y i. En mbos csos se verificn los nteriores xioms. Se denomin C, b) l conjunto de ls funciones continus xt) definids en el intervlo cerrdo < t b <. Este conjunto se estructur como un espcio vectoril respecto de ls operciones usules de sum de funciones y de producto de funciones por números, cuyo elemento neutro 0t) es l función idénticmente nul. Puede definirse en C, b) el siguiente producto esclr: pr xt), yt) C, b), 1.7) x, y) := i=1 xt) yt) dt, que stisfce todos los xioms necesrios. En prticulr, 1.8) x, x) := y si x, x) = 0, entonces 1.9) 0 = xt) 2 dt i=1 j=1 xt) 2 dt 0, 1 1 xt) 2 dt 0, pr todo 1 b 1 b. En consecuenci, xt) 0. En efecto, como xt) es continu, si fuese distint de cero en un punto tmbién lo serí en todo un entorno de dicho punto, en contrdicción con 1.9). Estructurdo con ese producto esclr, el espcio euclídeo de ls funciones continus en el intervlo [, b] se denot por C 2, b). Los dos primeros xioms implicn que, dds dos combinciones lineles de vectores, x = α 1 x α k x k, y = β 1 y β l y l, donde x 1,..., x k, y 1,..., y l E, y α 1,..., α k, β 1,..., β l C, tenemos k l 1.10) x, y) = αi β j x i, y j ). Además, el producto esclr por el vector nulo es siempre cero, 1.11) x, y) = x + 0, y) = x, y) + 0, y) 0, y) = 0, y E.

3 Espcios Euclídeos 3 Definición 1.1. El xiom de positividd permite definir un norm o longitud pr cd vector de un espcio euclídeo: 1.12) x := + x, x) 0. En prticulr, x = 0 x = 0. Por otr prte, si λ C, 1.13) λ x = λ 2 x, x) = λ x. Esto permite normlizr todo vector de longitud no nul. En efecto, si x 0 entonces x > 0. Se λ C tl que λ = x 1, y se y = λ x. Entonces, 1.14) y = λ x = 1. Ejemplos: Pr x = ξ 1 ξ 2. ξ n R n, 1.15) x = Pr xt) C 2, b) ξ ξ ξ2 n. { 1.16) x = } 1 xt) 2 2 dt. Definición 1.2. Un subconjunto F E se dice cotdo si l longitud de todos los vectores x F está cotd por un mism constnte, x K. Ejemplo: L esfer de rdio 1 en E, que contiene todos los vectores de longitud x 1, es un conjunto cotdo. Consideremos dos vectores no nulos x, y E pr los cules x, y) = e iθ x, y), y se λ R. Entonces, el cudrdo de l norm de l combinción linel λ e iθ x y, P λ) := λ e iθ x y 2 = λ e iθ x y, λ e iθ x y ) = 1.17) λ 2 x, x) λ e iθ x, y) λ e iθ y, x) + y, y) = = λ 2 x 2 2λ x, y) + y 2 0,

4 4 H. Flomir es un polinomio cudrático en λ que no tom vlores negtivos. En consecuenci, P λ) no puede tener dos ríces reles distints, lo que requiere que el discriminnte de l ecución P λ) = 0 se no positivo, 2 x, y) ) 2 4 x 2 y 2 0. De quí se deduce l siguiente Propiedd ) x, y) x y. Est es l desiguldd de Cuchy - Schwrz, que vle pr todo pr de vectores de un espcio euclídeo. Ejemplos: Pr x = 1.19) ξ 1 ξ 2. ξ n, y = η 1 η 2. η n k=1 C n, l desiguldd de Cuchy - Schwrz se reduce { n n } 1 { } 1 2 x, y) = ξk η n 2 k ξ k 2 η k 2 k=1 k=1. Pr xt), yt) C 2, b) tenemos 1.20) b { x, y) = xt) b yt) dt } 1 { 2 b } 1 2 xt) 2 dt yt) 2 dt. Supongmos que pr un ddo pr de vectores x, y E l desiguldd 1.18) se reduce un iguldd, es decir, x, y) = x y. En ese cso el discriminnte de l ecución P λ) = 0 es cero, y P λ) tiene un ríz rel doble: λ 0 R tl que 1.21) P λ 0 ) = λ 0 e iθ x y 2 = 0 y = λ 0 e iθ) x. Dos vectores no nulos proporcionles entre sí se dicen colineles. En un espcio euclídeo rel, l desiguldd de Cuchy - Schwrz permite definir el ángulo entre dos vectores medinte l relción 1.22) cos x y := x, y) x y. Dos vectores x, y E se dicen ortogonles si x, y) = 0, lo que se denot por x y. En prticulr, el vector nulo es ortogonl todo vector de E. En un espcio euclídeo rel, el ángulo entre dos vectores no nulos ortogonles entre sí es π/2 cos x y = 0).

5 Espcios Euclídeos 5 Ejemplos: En R n, los vectores e 1 = 0 y e 2 = 0 son ortogonles entre sí En C 2, b), 1.23) xt) yt) xt) yt) dt = 0. El sistem trigonométrico, 1.24) { cosk t), k = 0, 1,... ; sinl t), l = 1, 2,... } C2 π, π), es un conjunto infinito de vectores ortogonles entre sí demostrrlo!). Lem 1.4. Si los vectores no nulos {x 1, x 2,..., x k } son ortogonles entre sí, entonces son linelmente independientes. En efecto, supongmos que, por el contrrio, son linelmente dependientes. Entonces existen k números C i, no todos nulos, tles que C 1 x 1 + C 2 x C k x k = 0. Supongmos, por ejemplo, que C 1 0, y tomemos el producto esclr de es combinción linel nul con el vector x 1. Como x i x j pr i j, tenemos que 1.25) 0 = x 1, 0) = C 1 x 1, x 1 ) = C 1 x 1 2 x 1 = 0, en contrdicción con l hipótesis. En consecuenci, C i = 0, i = 1,..., k, y los vectores son linelmente independientes. Del Lem 1.4 se desprende que si un sum de vectores ortogonles entre sí es el vector nulo, entonces cd sumndo es 0. Se define l dimensión de un espcio euclídeo E como el máximo número de vectores linelmente independientes que es posible seleccionr en E. Por ejemplo, l dimensión de C n es n. L existenci del sistem trigonométrico, ec. 1.24), muestr que los espcios de funciones C 2, b) no tienen dimensión finit. Lem 1.5. Si los vectores {x 1, x 2,..., x k } son ortogonles y E, entonces tod combinción linel de ellos es tmbién ortogonl y, ) k k 1.26) y, C i x i = C i y, x i ) = 0. i=1 i=1

6 6 H. Flomir El conjunto de tods ls combinciones lineles de {x 1, x 2,..., x k } constituye un subespcio linel F E. Se dice que el vector y es ortogonl dicho subespcio, lo que se denot por y F. En generl, se dice que x es ortogonl un subconjunto G E si x es ortogonl todo vector de dicho subconjunto, 1.27) x G x y, y G. Definición 1.6. Del Lem 1.5 result que el conjunto de todos los vectores ortogonles un subconjunto G E formn un subespcio F E. Si G es él mismo un subespcio de E, se dice que F es su complemento ortogonl. Los espcios euclídeos comprten cierts propieddes métrics conocids de l geometrí en el plno y el espcio, como lo muestrn los siguientes teorems. Teorem 1.7. de Pitágors) Si x, y E son ortogonles entre sí, x y, entonces 1.28) x + y 2 = x + y, x + y) = x 2 + y 2 en un triángulo rectángulo, el cudrdo de l longitud de l hipotenus es igul l sum de los cudrdos de ls longitudes de los ctetos). Su generlizción: Si los vectores {x 1, x 2,..., x k } son ortogonles entre sí, x i x j pr i j, entonces 1.29) x x k 2 = x x k 2. Teorem 1.8. desigulddes tringulres) Ddos x, y E, se tiene que 1.30) x y x + y x + y l longitud de un ldo de un triángulo no super l sum de ls longitudes de los otros dos ldos, ni es menor que su diferenci en vlor bsoluto). En efecto, consideremos el producto esclr 1.31) x + y 2 = x + y, x + y) = x Rx, y) + y 2. L desiguldd de Cuchy - Schwrz permite escribir 1.32) Rx, y) x, y) x y ) 2 ) 2 x y x + y 2 x + y, de donde result 1.30).

7 Espcios Euclídeos 7 Por otr prte, es sbido que en un espcio euclídeo E n de dimensión finit n siempre es posible seleccionr un sistem completo de n vectores ortonormles, 1.33) {e 1, e 2,..., e n } e i, e j ) = δ ij, respecto del cul todo vector x E n puede ser representdo como un combinción linel de l form 1.34) x = ξ 1 e ξ n e n, donde los ξ i son llmdos coeficientes de Fourier de x reltivos l bse considerd. Ellos están ddos por 1.35) ξ i = e i, x), i = 1,..., n. Similrmente, ddo y E n, y = η 1 e η n e n, tenemos pr el producto esclr n 1.36) x, y) = ξi η j e i, e j ) = i,j=1 n ξi η i, i=1 y pr l norm 1.37) x = ξ ξ n 2. Nótese que en estos resultdos nd nos permite distinguir entre el espcio E n consi- derdo y el espcio C n, en el cul hubiérmos selecciondo los vectores x = ȳ = η 1 η 2. η n. En efecto, ξ 1 ξ 2. ξ n e 1.38) x, ȳ) C n = n ξi η i, x C n= ξ ξ n 2. i=1 Por otr prte, l combinción linel α x+β y le corresponde por coeficientes de Fourier los elementos de l n-upl α x + β ȳ. Definición 1.9. Dos espcios euclídeos, E y E, se dicen isomorfos si es posible estblecer entre sus elementos un correspondenci biunívoc que preserve ls operciones

8 8 H. Flomir lineles y los productos esclres: x, y E x, y E tl que si x x, y y 1.39) α x + β y α x + β y, α, β C o R), x, y) E = x, y ) E. Evidentemente, el isomorfismo de espcios euclídeos estblece un relción de equivlenci. Ejemplos: Dos espcios euclídeos reles, de dimensión finit n, culesquier son isomorfos entre sí y, por lo tnto, isomorfos R n ). Pr mostrrlo bst con estblecer un correspondenci uno uno entre los n vectores de dos de sus respectivs bses ortonormles. Similrmente, todo espcio euclídeo complejo de dimensión n es isomorfo C n. 2. Forms lineles sobre espcios euclídeos Un función esclr vlores numéricos) definid sobre un espcio euclídeo E, f : E C o R), es llmd form o funcionl linel si stisfce 2.1) fα x + β y) = α fx) + β fy), x, y E, α, β C o R). Evidentemente, pr un form linel tenemos que f0) = 0, y k ) k 2.2) f α k x k = α k fx k ). Ejemplos: i=1 En un espcio n-dimensionl E n, generdo por l bse {e 1,..., e n }, y pr x = ξ 1 x ξ n e n, tenemos 2.3) fx) = n ξ i fe i ) = i=1 i=1 n c i ξ i, con c i = fe i ). i=1 Por lo tnto, un funcionl linel en un espcio de dimensión finit qued determind por los vlores que ell tom sobre los vectores de un sistem completo. Además, del isomorfismo entre E n y el espcio de ls n-upls de números complejos, result que f está representd en este último espcio por el producto esclr por un vector fijo, c 1 c :=. z = c 1e c n e n. c n El producto esclr por un vector fijo de un espcio euclídeo rbitrrio define un funcionl linel sobre ese espcio. En efecto, si z E, 2.4) fx) := z, x), x E

9 Espcios Euclídeos 9 define un form linel como consecuenci de l linelidd del producto esclr. En prticulr, si zt) es un función continu en el intervlo [, b], entonces 2.5) fx) := define un funcionl linel sobre C 2, b). zt) xt) dt Pero no tod funcionl linel en un espcio de dimensión infinit puede ser representd en l form de un producto esclr por un vector fijo del espcio. En efecto, consideremos nuevmente el espcio C 2, b), y se t 0 [, b]. El vlor que xt) C 2, b) tom en el punto t 0 define un form linel, 2.6) fx) := xt 0 ). Téngse en cuent que no existe ningun función continu δt, t 0 ) tl que 2.7) δt, t 0 ) xt) dt = xt 0 ), xt) C 2, b). Definición 2.1. Un funcionl fx) se dice cotd si existe un constnte 0 K < tl que 2.8) fx) K x, x E. 3. Operdores lineles sobre espcios euclídeos Un operdor sobre un espcio euclídeo E es un función vlores vectoriles definid sobre E, A : E E. Un operdor A se dice linel si 3.1) A α x + β y) = α A x + β A y, x, y E, α, β C o R). Pr un operdor linel se cumple que A 0 = 0, y 3.2) A Ejemplos: k k α k x k = α k A x k. i=1 El operdor nulo, O x = 0, x E, es un operdor linel. El operdor identidd, I x = x, x E, es un operdor linel. Consideremos un subespcio de dimensión finit n de un espcio euclídeo rbitrrio, E n E, y se {e 1,..., e n } un sistem ortonorml y completo en E n. Se define el operdor de proyección sobre el subespcio E n por l relción n 3.3) P x = e i e i, x). i=1 i=1

10 10 H. Flomir Se trt de un operdor linel idempotente: P P x) = P x, x E. En efecto, como P e i = e i, tenemos n n 3.4) P P x) = P e i e i, x) = e i, x) P e i = P x, x E. i=1 i=1 El proyector sobre el complemento ortogonl de E n está ddo por P = I P. En efecto, x E y i = 1,..., n, 3.5) ei, I P )x ) n = e i, x) e i, e j ) e j, x) = 0. En consecuenci, tenemos el siguiente resultdo: Lem 3.1. ddo un subespcio de dimensión finit de un espcio euclídeo, todo vector puede ser representdo como l sum de dos vectores ortogonles entre sí, 3.6) x = u + v, donde u = P x E n, y v = I P )x E n. j=1 En un espcio de dimensión finit E n generdo por el sistem ortonorml y completo {e 1,..., e n }, un operdor linel tl que 3.7) A e k = λ k e k, k = 1,..., n, con λ k números ddos, se dice digonl. Esos números, llmdos utovlores de A, definen completmente su cción sobre un vector rbitrrio: 3.8) A x = Aξ 1 e ξ n e n ) = λ 1 ξ 1 e λ n ξ n e n. L multiplicción de elementos de C 2, b) por un función continu fij φt) define un operdor linel, 3.9) xt) C 2, b), A xt) := φt) xt) C 2, b). El operdor integrl de Fredholm, A : C 2, b) C 2, b), está definido por 3.10) yt) = A xt) := Kt, s) xs) ds, xt) C 2, b), donde el núcleo del operdor, Kt, s), es un función continu de sus dos vribles. Los operdores de los dos ejemplos nteriores están definidos sobre todo el espcio C 2, b). Pero eventulmente es necesrio considerr operdores definidos únicmente sobre ciertos subespcios de C 2, b). Un ejemplo es el operdor diferencil 3.11) D xt) := x t),

11 Espcios Euclídeos 11 definido sólo sobre el conjunto de quells funciones de C 2, b) que tienen un derivd primer continu, x t) C 2, b). Definición 3.2. El núcleo kernel) o subespcio nulo de un operdor linel A, Ker A), es el conjunto de vectores x E que son plicdos en el vector nulo por l cción de A, 3.12) A x = 0, x Ker A) E mostrr que se trt de un subespcio). Definición 3.3. El rngo o imgen de un operdor linel A, Rnk A), es el conjunto de vectores y E que son l imgen por A de lgún vector de x E, 3.13) y Rnk A) E, x E y = A x. Un operdor linel definido sobre un espcio euclídeo de dimensión finit qued determindo completmente por los vlores que tom sobre un bse ortonorml de ese espcio. En efecto, consideremos un espcio de dimensión n, E n, generdo por un sistem ortonorml completo {e 1,..., e n }. El operdor A plic los vectores de l bse en un combinción linel de esos mismos vectores, n 3.14) A e i = e j A j i, i = 1,..., n, j=1 mientrs que pr un vector rbitrrio x = ξ 1 e ξ n e n tenemos n n n 3.15) A x = ξ i A e i = A j i ξ i. i=1 e j j=1 i=1 El vector imgen y = A x = η 1 e η n e n tiene por coeficientes de Fourier η j = n i=1 A j i ξ i, o bien, en notción mtricil, η 1 A A 1 n ξ ). =.... η n A n 1... A n n ξ n En consecuenci, hciendo uso del isomorfismo que existe entre el espcio complejo rel) E n y el espcio C n R n ), vemos que todo operdor linel A puede ser representdo por un mtriz A de n n operdor linel sobre el espcio de l n-upls), cuyos elementos de mtriz reltivos l bse considerd) están ddos por A i j = e i, A e j ). Inversmente, dd un bse ortonorml en E n, tod mtriz de n n define un operdor linel sobre dicho espcio medinte l relción 3.15). En consecuenci, existe un correspondenci biunívoc entre operdores lineles sobre E n y mtrices de n n operdores lineles sobre el espcio de l n-upls).

12 12 H. Flomir Dos operdores lineles A y B definidos sobre un espcio euclídeo E son igules si A x = B x, x E. Al igul que con ls mtrices, es posible definir operciones de sum y multiplicción por números de operdores lineles sobre un espcio euclídeo. En efecto, sen A, B, C operdores lineles sobre E, y λ, λ 1, λ 2 números; ls siguientes operciones definen nuevos operdores lineles sobre E: l sum o dición de dos operdores lineles, C = A + B, es un operdor linel definido por 3.17) C x := A x + B x, x E ; l multiplicción o producto de un operdor linel A por un número λ es un operdor linel definido por 3.18) λ A)x := λa x), x E ; mostrr en mbos csos que el operdor resultnte es linel). Si O es el operdor nulo, y A = 1)A, como consecuenci de ls operciones lineles definids sobre vectores se verific de inmedito que A + B = B + A, A + B) + C = A + B + C), A + O = A, A + A) = O, 1 A = A, λ 1 λ 2 A) = λ 1 λ 2 )A, λ 1 + λ 2 )A = λ 1 A + λ 2 A, λa + B) = λ A + λ B. Esto muestr que el conjunto de todos los operdores lineles definidos sobre un espcio euclídeo E formn ellos mismos un espcio vectoril sobre el mismo cuerpo que E. Tmbién es posible introducir un producto o composición de operdores lineles, que corresponde l producto usul de mtrices. Si A, B son operdores lineles sobre E, l composición C = A B es el operdor linel definido por 3.19) C x = A B)x := AB x), x E. En efecto, el producto A B sí definido es linel: 3.20) A B)α x + β y) = A α B x + β B y) = αa B) x + βa B) y. Con est definición tmbién se verific que AB C) = A B)C, AB + C) = A B + A C,

13 Espcios Euclídeos 13 A + B)C = A C + B C, λa B) = λ A)B = Aλ B), IA = AI = A, pero en generl A B B A. Esto es, l composición de operdores es socitiv, distributiv y no conmuttiv l igul que el producto de mtrices cudrds). L socitividd del producto permite definir potencis positivs de un operdor linel, 3.21) A 1 := A, A 2 := A A,..., A n+1 := A A n, etc. Tmbién se define A 0 := I. De esto result que A n A m = A n+m, n, m N {0}. Definición 3.4. Un operdor B que stisfce B A = I se dice inverso izquierd de A. Similrmente, si C stisfce A C = I se dice inverso derech de A. Estos inversos en generl no existen similrmente lo que ocurre en el cso de ls mtrices cudrds). Un condición necesri pr l existenci del inverso izquierd es que si A x 0 = 0 x 0 = 0. En efecto, BA x 0 ) = B 0 = 0 = B A)x 0 = I x 0 = x 0. En el cso de espcios de dimensión finit, el problem de hllr el operdor inverso izquierd de A se reduce l de invertir l mtriz A socid l operdor, reltiv un bse ortonorml del espcio euclídeo. Eso requiere que el determinnte det A 0, en cuyo cso el inverso derech coincide con el inverso izquierd, y mbos se denotn por A 1, operdor correspondiente l mtriz invers A 1. En el cso de espcios euclídeos de dimensión infinit, el problem del inverso es más delicdo. En prticulr, l existenci de un inverso izquierd no implic l existenci de un inverso derech. De l mism mner, un inverso izquierd no necesrimente tiene su vez un inverso izquierd. Esto se ilustr en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Consideremos el espcio linel formdo por el conjunto de los polinomios en t coeficientes reles, en el intervlo [, ], 3.22) P 2, ) = {P t) = t + 2 t n t n, n N, k R}. Como subespcio del espcio de ls funciones reles y continus C2 R, ), se trt de un espcio euclídeo, que tiene dimensión infinit como consecuenci de que ls potencis de t, {t n, n = 0, 1, 2,... } formn un conjunto linelmente independiente. En este espcio, el operdor integrl A : P 2, ) P 2, ) definido por 3.23) A P t) := t 0 P s) ds = 0 t + 1 t n t n+1 n + 1,

14 14 H. Flomir tiene por invers izquierd l operdor diferencil D : P 2, ) P 2, ) definido por 3.24) D P t) := P t). En efecto, 3.25) D A P t) = d dt t De hecho, D tiene infinits inverss derech, 3.26) D t 0 P s) ds = P t). t 0 P s) ds = P t). Pero D no tiene un invers izquierd, puesto que 3.27) D P t) = t + + n n t n 1, 0 dicho de otro modo, D 0 t 0 ) = 0, 0 0). 4. Sistems de vectores ortogonles Teorem 4.1. Se x 1, x 2,..., x k,... un secuenci finit o infinit) de vectores de un espcio euclídeo E, y se Lx 1,..., x k ) l vriedd linel generd por los k primeros vectores de l secuenci. Entonces, siempre existe un sistem de vectores y 1, y 2,..., y k,... tles que, k, 4.1) Ly 1,..., y k ) = Lx 1,..., x k ), y k+1 Ly 1,..., y k ). Este resultdo puede demostrrse por inducción complet. En efecto, supongmos que hn sido construidos los primeros vectores y 1, y 2,..., y k con ess propieddes. En prticulr, pr k = 1 bst con tomr y 1 = x 1 si x 1 0). Pr un ddo k, l vriedd linel Ly 1,..., y k ) es un subespcio de dimensión finit de E, de modo que el vector x k+1 puede escribirse como l sum x k+1 = u k+1 + v k+1, donde u k+1 Ly 1,..., y k ) y v k+1 Ly 1,..., y k ) ver Lem 3.1). En consecuenci, tomndo y k+1 = v k+1 se stisfce l segund condición. Por otr prte, por hipótesis Ly 1,..., y k ) = Lx 1,..., x k ), mientrs que x k+1 = y k+1 + u k+1. Por lo tnto, Lx 1,..., x k, x k+1 ) Ly 1,..., y k, y k+1 ). Similrmente, ddo que u k+1 Lx 1,..., x k ) y y k+1 = x k+1 u k+1, entonces Ly 1,..., y k, y k+1 ) Lx 1,..., x k, x k+1 ). Finlmente, si y k = 0 pr lgún k, eso signific que x k no es linelmente independiente de los vectores {x 1,..., x k 1 }, y puede ser descrtdo de l secuenci originl. Además, los vectores y k 0 pueden ser normlizdos de modo de obtener un secuenci ortonorml.

15 Ejemplo: Espcios Euclídeos 15 Consideremos l secuenci de funciones linelmente independientes {x 0 t) = 1, x 1 t) = t,..., x k t) = t k,... } C 2 1, 1). En este cso, Lx 0,..., x k ) es el subespcio de polinomios P t) de grdo k, y ls funciones ortogonles y k t) = P k t) que se obtienen son los polinomios de Legendre, P 0 t) = y 0 t) = x 0 t) = 1, P 1 t) = y 1 t) = x 1 t) y 0, x 1 ) y 0, y 0 ) y 0t) = t, 4.2) P 2 t) = y 2 t) = x 2 t) y 0, x 2 ) y 0, y 0 ) y 0t) y 1, x 2 ) y 1, y 1 ) y 1t) = t 2 1 3,. P k t) = y k t) = x k t) y 0, x k ) y 0, y 0 ) y 0t) y k 1, x k ) y k 1, y k 1 ) y k 1t). 5. Operdores cotdos Ddo un operdor linel sobre un espcio euclídeo, A : E E, se define su norm, A, como l mínim cot superior o supremo de l funcionl A x tomd sobre el conjunto de vectores de longitud 1 vectores unitrios) de ese espcio, 5.1) A := sup {x E x =1} A x. Si A <, el operdor A se dice cotdo. Definición 5.1. Todo vector unitrio x 0 E pr el cul es cot es lcnzd se dice vector máximo de A. Ejemplos: El operdor identidd, I, tiene norm I = 1, 5.2) I = sup { x =1} I x = sup { x =1} x = 1, y todo vector unitrio es un vector máximo de I. Consideremos un operdor digonl en un espcio de dimensión finit n, A e i = λ i e i, y se λ mx el utovlor de máximo módulo, λ i λ mx, pr i = 1,..., n, correspondiente l vector unitrio e mx de l bse ortonorml considerd. Entonces, A 2 = sup { x =1} A x 2 = 5.3) n = sup { ξ ξ n 2 =1} λ i 2 ξ i 2 λ mx 2. i=1

16 16 H. Flomir Por otr prte, A e mx = λ mx. Por lo tnto, A = λ mx y e mx es un vector máximo de A. El operdor nulo O tiene norm nul, 5.4) O = sup { x =1} 0 = 0. Inversmente, si A tiene norm nul y x = 1, 5.5) A = 0 0 A x 0 A x = 0, x E. Por lo tnto, A = 0 A = O. Lem 5.2. En un espcio euclídeo de dimensión finit, todo operdor linel result cotdo y tiene un vector máximo. En efecto, consideremos el cso de un espcio rel de dimensión finit n, E n, donde un vector genérico tiene el desrrollo x = ξ 1 e ξ n e n, con ξ i R, respecto de ciert bse ortonorml. L funcionl 5.6) F x) := A x 2 0 se reduce ver ec. 3.15)) n 5.7) F x) = A k l ξ l ) 2 = fξ 1,..., ξ n ) R, k=1 donde fξ 1,..., ξ n ) es un función cudrátic de n vribles reles 1. Est es un función continu que debe ser nlizd en l esfer de rdio 1 de E n, donde ξ ξ2 n = 1, lo que corresponde un región cotd y cerrd de R n. Ahor bien, tod función continu en un región cotd y cerrd de R n está cotd, y como todo conjunto cotdo de números reles tiene un supremo, entonces existe A 0 tl que F x) A 2. Por otr prte, tod función continu fξ 1,..., ξ n ) en un región cotd y cerrd lcnz un vlor máximo que nturlmente coincide con su supremo). Supongmos que ello ocurre en un punto de coordends ξ1 0,..., ξ0 n. Ese punto de R n define un vector unitrio x 0 = ξ1 0 e ξn 0 e n E n pr el cul es 5.8) A x 0 2 = fξ1, 0..., ξn) 0 = A 2 y, en consecuenci, es un máximo de A. A diferenci de lo que ocurre en dimensión finit, en el cso de espcios de dimensión infinit los operdores pueden ser no cotdos de norm no finit) o, siéndolo, pueden no tener un vector máximo. Ejemplo: 1 El cso de un espcio complejo de dimensión n es entermente similr, resultndo fξ) un función rel, cudrátic en 2n vribles reles.

17 Espcios Euclídeos 17 Consideremos el operdor diferencil de l ec. 3.11) y un función de l form e λ t C 2, b), entonces 5.9) D e λ t = e λ t) = λ e λ t = λ e λ t, donde λ C. En consecuenci, D xt) no está cotdo sobre l esfer de rdio 1 del subespcio de funciones diferencibles de C 2, b). Se A un operdor linel cotdo sobre E, y x E un vector no nulo. Entonces y = x/ x es un vector unitrio, de modo que 5.10) A x x = 1 x A x A A x A x. Por otr prte, si x = 0, A x = 0 = A x. En consecuenci, tenemos l siguiente Propiedd 5.3. Si A es un operdor linel cotdo sobre un espcio euclídeo E, 5.11) A x A x, x E. Propiedd 5.4. L norm de un operdor cotdo A puede definirse equivlentemente como 5.12) M := sup {x,y unitrios} y, A x). En efecto, pr todo pr de vectores unitrios x, y E tenemos 5.13) y, A x) y A x A x = A, donde hemos empledo l propiedd 5.11). Entonces, M A. Por otr prte, x unitrio tl que A x 0, y con y = A x 1 A x tmbién unitrio y prlelo A x), result 5.14) y, A x) = y A x = A x M, de modo que sup { x =1} A x = A M. Por lo tnto, M = A. Sen A, B operdores lineles cotdos sobre un espcio euclídeo E. Su sum es tmbién un operdor cotdo, 5.15) A + B A + B, como consecuenci de l desiguldd tringulr pr l norm de los vectores en E, 5.16) A + B) x A x + B x, x E. Esto signific que el conjunto de los operdores lineles cotdos sobre E constituye un subespcio del espcio vectoril de los operdores lineles.

18 18 H. Flomir Además, l norm de operdores cotdos stisfce ls siguientes propieddes: A 0, y A = 0 A = O, 5.17) λ A = λ A, λ C. Ls ecs. 5.15) y 5.17) muestrn que los operdores lineles cotdos sobre un espcio euclídeo formn un espcio normdo o espcio de Bnch 2. Por otr prte, 5.19) A B A B, ddo que 5.20) A B) x A B x A B x, x E. 6. El operdor djunto Señlemos primero que dos operdores que tienen los mismos elementos de mtriz son igules. En efecto, si 6.1) x, Ay) = x, By), x, y E entonces A B)y es ortogonl todo x E, en prticulr, ortogonl sí mismo. En un espcio Euclídeo eso implic que A B)y = 0, culquier que se y E. Por lo tnto A B = O A = B. Ddo un operdor linel cotdo A, definido sobre todo un espcio euclídeo E, A : E E, se define su operdor djunto, A, como quel operdor que stisfce ) 6.2) y, A x = A y, x) = x, A y), x, y E. En el cso de un espcio euclídeo de dimensión finit, generdo por l bse ortonorml {e 1,..., e n }, l mtriz socid l operdor djunto, A, tiene por elementos de mtriz 6.3) A ) ij = e i, A e j ) = A e i, e j ) = e j, A e i ) = A) j i = A ) ij. 2 Un espcio de Bnch F es un espcio linel que tiene definid un norm que, ψ, ϕ F, stisfce ls siguientes propieddes: ψ 0, y ψ = 0 ψ = 0 elemento neutro de F), 5.18) λ ψ = λ ψ, λ C, ψ + ϕ ψ + ϕ. Un espcio euclídeo es utomáticmente un espcio de Bnch, ddo que el producto esclr permite definir un norm con ess propieddes.

19 Espcios Euclídeos 19 Es decir, l mtriz socid l operdor djunto A es l mtriz djunt trspuest y conjugd) de quell socid l operdor A: A = A = A t). Si A es un operdor cotdo, l norm del operdor djunto coincide con l norm de A. En efecto, 6.4) A = sup {x,y unitrios} x, A y) = sup{x,y unitrios} y, A x) = A. Si x 0 unitrio) es un vector máximo de A O es decir, A x 0 = A > 0), entonces y 0 = A x 0 / A tmbién unitrio) es un vector máximo de A. En efecto, A 2 = A x 0 2 = x 0, A A x 0 ) x0 A A x 0 6.5) A A x 0 = A A = A 2 A y 0 = A. Definición 6.1. Un operdor cotdo A definido sobre un espcio euclídeo E se dice simétrico si 6.6) A x, y) = x, A y), x, y E. Ddo que 6.7) A x, y) = y, A x) = A y, x) = x, A y), un operdor simétrico cotdo coincide con su djunto. En efecto, de 6.6) y 6.7) result que 6.8) ) ) x, A A y = 0, x E, y en prticulr, pr x = A A ) y. En consecuenci, ) 6.9) A A y = 0, y E, de modo que, por el tercer xiom del producto esclr ec. 1.3)), es A y = A y, y E. Es decir, A = A. Definición 6.2. Un operdor que coincide con su djunto se dice utodjunto. 3 Los elementos de mtriz de un operdor simétrico A en un espcio euclídeo de dimensión finit, generdo por l bse ortonorml {e 1,..., e n }, stisfcen 6.10) A e i, e j ) = e j, A e i ) = A j i = e i, A e j ) = A ij. 3 L diferenci entre los términos simétrico y utodjunto se pondrá en evidenci más delnte, l considerr operdores no cotdos.

20 20 H. Flomir En consecuenci, l mtriz socid A es utodjunt coincide con su trspuest conjugd), A = A. 7. Subespcios invrintes. Autovectores y utovlores Un subespcio de un espcio euclídeo, E E, se dice invrinte frente l cción del operdor A : E E si 7.1) x E, A x E. Ejemplos: Los subespcios triviles E y {0} son invrintes frente l cción de todo operdor linel sobre E. Todo subespcio de E es invrinte frente l cción de O y de I. El operdor de proyección P sobre un subespcio de dimensión finit E n E definido en l ec. 3.3)) dej invrinte l subespcio E n y su complemento ortogonl E n. En efecto, 7.2) P u = u E n, u E n, P v = 0 E n, v E n. El operdor digonl de l ec. 3.7) dej invrinte el subespcio generdo por culquier subconjunto de vectores de l bse. El operdor de multiplicción de l ec. 3.9), definido sobre C 2, b) como A xt) = φt) xt), con φt) continu, dej invrinte el subespcio de ls funciones continus en [, b] que se nuln idénticmente en el intervlo [, b]. El conjunto de ls combinciones lineles de ls funciones cos t y sin t, L{cos t, sin t} C 2 π, π), es un subespcio invrinte frente l cción del operdor diferencil D xt) = x t). Definición 7.1. Los subespcios unidimensionles invrintes respecto de un operdor linel A juegn un ppel especil. Todo vector no nulo de ess direcciones invrintes es un utovector de A. Ddo un utovector x E, A x es necesrimente colinel con x, 7.3) A x = λ x, pr un λ C. Todo otro vector y de es dirección invrinte es tmbién colinel con x, y puede escribirse como y = c x, con c C. Entonces, A y = Ac x) = c A x = λ y, de modo que el número λ, llmdo utovlor de A correspondiente l utovector x, es independiente del vector no nulo selecciondo, siendo un crcterístic de ese subespcio unidimensionl invrinte. Ejemplos:

21 Espcios Euclídeos 21 Todo vector no nulo x E es un utovector de los operdores O e I, 7.4) O x = 0 x, I x = 1 x. Pr el operdor de proyección tenemos 7.5) P u = 1 u, u E n, P v = 0 v, v E n. El operdor de multiplicción por un función φt) rel monóton no tiene utovectores. En efecto, consideremos l ecución de utovlores 7.6) A xt) = φt) xt) = λ xt). Si xt) C 2, b) es no nul en un punto t = t 0, entonces es no nul en todo un entorno de dicho punto, b). En consecuenci, t debe ser φt) = λ, ecución que no tiene solución pr λ si φt) es monóton creciente o decreciente. Por lo tnto, no existe ningun función continu xt), no idénticmente nul, que stisfg l ec. 7.6). Pr el operdor diferencil D xt) = x t), definido sobre el subespcio de ls funciones diferencibles en, b), l ecución de utovlores tiene solución λ C: 7.7) x t) = λ xt) xt) e λ t. Si < < b <, tenemos que e λ t <, y ese es un vector del espcio λ C. En consecuenci, este operdor tiene un conjunto infinito de utovectores correspondientes utovlores diferentes. 8. Propieddes de los utovectores Teorem 8.1. Los utovectores x 1, x 2,..., x m,... de un operdor linel A, correspondientes utovlores distintos λ 1, λ 2,..., λ m,..., son linelmente independientes. L prueb se hce inductivmente, por reducción l bsurdo. Supongmos que los m 1 primeros utovectores son linelmente independientes, pero que podemos formr un combinción linel nul con los m primeros utovectores, 8.1) c 1 x 1 + c 2 x c m 1 x m 1 + c m x m = 0, con no todos los coeficientes c k nulos. Aplicndo el operdor A λ m I) mbos miembros de est ecución obtenemos 8.2) λ 1 λ m ) c 1 x 1 + λ 2 λ m ) c 2 x λ m 1 λ m ) c m 1 x m x m = 0, lo que requiere que c k = 0 pr k = 1, 2,..., m 1. Pero entonces, de 8.1) result que c m x m = 0, en contrdicción con l hipótesis.

22 22 H. Flomir De quí result, en prticulr, que un operdor linel definido sobre un espcio de dimensión finit n no puede tener más de n utovectores correspondientes utovlores distintos. Teorem 8.2. Los utovectores de un operdor linel A correspondientes un mismo utovlor λ conformn un subespcio linel E λ E. En efecto, si 8.3) A x 1 = λ x 1, A x 2 = λ x 2 Ac 1 x 1 + c 2 x 2 ) = λc 1 x 1 + c 2 x 2 ). E λ es llmdo subespcio crcterístico correspondiente l utovlor λ. En el cso de operdores simétricos, tmbién vlen los siguientes resultdos. Teorem 8.3. Los utovlores de un operdor linel simétrico A son reles. En efecto, supongmos que A x = λ x; entonces 8.4) λ x 2 = x, A x) = A x, x) = λ x 2 λ = λ. Teorem 8.4. Los utovectores de un operdor linel simétrico A correspondientes utovlores diferentes son ortogonles entre sí. Supongmos que A x = λ x y A y = µ y, con λ µ. Entonces, 8.5) λ µ)y, x) = y, A x) A y, x) = 0 y, x) = 0. Por lo tnto, x y si λ µ. Teorem 8.5. Se E un subespcio invrinte frente l cción de un operdor linel simétrico A, definido sobre un espcio euclídeo E. Entonces, el complemento ortogonl de E, E, es tmbién un subespcio invrinte frente A. En efecto, por hipótesis tenemos que A x E, x E. Entonces, x E y x E, 8.6) x, A x ) = 0 A x, x ) = 0, ddo que A es simétrico. Por lo tnto, A x E, x E. Los siguientes resultdos estblecen condiciones suficientes pr l existenci de utovectores de operdores simétricos cotdos definidos sobre espcios euclídeos de culquier dimensión.

23 Espcios Euclídeos 23 Lem 8.6. Se A un operdor simétrico y e un vector unitrio. Entonces, 8.7) A e 2 A 2 e, donde vle l iguldd sólo si e es un utovector de A 2 con utovlor λ = A e 2. En efecto, de l desiguldd de Cuchy - Schwrz obtenemos 8.8) A e 2 = A e, A e) = e, A 2 e) e A 2 e = A 2 e, donde l desiguldd se reduce un iguldd únicmente cundo mbos vectores en el producto esclr son colineles, es decir, si 8.9) A 2 e = λ e. En ese cso, e, A 2 e) = λ = A e 2. Lem 8.7. Si e 0 es un vector unitrio) máximo de un operdor simétrico cotdo A, entonces e 0 es un utovector de A 2 correspondiente l utovlor λ = A 2. Si e 0 es un vector máximo de A, entonces A e 0 = A. Del Lem nterior, y del hecho de que A es cotdo, podemos escribir que 8.10) A 2 = A e 0 2 A 2 e 0 A A e 0 = A 2, de modo que ls desigulddes en 8.10) se reducen igulddes. Por el Lem 8.6, sbemos entonces que e 0 es un utovector de A 2 con utovlor λ = A e 0 2, 8.11) A 2 e 0 = λ e 0, λ = A e 0 2 = A 2. Lem 8.8. Si el operdor simétrico cotdo A tiene un vector máximo e 0, entonces A tmbién tiene un utovector con utovlor µ = A o µ = A. Del Lem nterior sbemos que ) ) 8.12) A 2 e 0 = A 2 e 0 A A I A + A I e 0 = 0. Se x 0 = A + A I ) e 0. Tenemos dos posibiliddes, 8.13) x 0 = 0 A e 0 = A e 0, o bien 8.14) x 0 0 A x 0 = A x 0. En culquier cso, existe un vector e 0 tl que A e = µ e, con µ = A. De hecho, y hemos visto que en un espcio euclídeo de dimensión finit todo operdor linel es cotdo y tiene un vector máximo ver Lem 5.2). En ese cso puede estblecerse el siguiente teorem.

24 24 H. Flomir Teorem 8.9. Todo operdor simétrico A, definido sobre un espcio euclídeo E n de dimensión finit n, tiene n utovectores ortogonles entre sí. En efecto, por el Lem 5.2 sbemos que existe en E n un vector unitrio que es un máximo de A. Y, siendo A simétrico, por el Lem 8.8 sbemos que entonces tiene un utovector e 1 correspondiente un utovlor λ 1, A e 1 = λ 1 e 1, tl que λ 1 = M 1 = A. Ahor bien, el subespcio generdo por e 1, L{e 1 }, es invrinte frente l cción de A. Por lo tnto ver Teorem 8.5), tmbién lo es su complemento ortogonl, E n 1 = L{e 1 }), 8.15) A : E n 1 E n 1. Esto permite considerr l cción del operdor A restringid l subespcio E n 1, de dimensión n 1, donde tmbién define un operdor simétrico y cotdo. Su norm. en este subespcio, 8.16) M 2 := sup {x En 1, unitrio} A x sup {x En, unitrio} A x = M 1, no super l norm de A en el espcio completo. El mismo rgumento que ntes permite concluir que existe en E n 1 un segundo utovector de A, e 2 ortogonl e 1 por construcción), A e 2 = λ 2 e 2, correspondiente un utovlor cuyo vlor bsoluto no super M 1, λ 2 = M 2 λ 1 = M 1. Si hor considermos el subespcio linel generdo por esos dos utovectores, L{e 1, e 2 }, vemos que es invrinte, l igul que su complemento ortogonl E n 2 = L{e 1, e 2 }), de dimensión n 2. Podemos repetir l construcción nterior pr obtener un tercer utovector de A, ortogonl los dos nteriores, correspondiente un utovlor cuyo vlor bsoluto no super M 2. Este proceso puede repetirse hst obtener n máximo número de vectores linelmente independientes en un espcio de dimensión n) utovectores de A ortogonles entre sí, ordendos de modo que el vlor bsoluto de sus utovlores forme un secuenci no creciente: 8.17) A e k = λ k e k, k = 1, 2,..., n, con e i e j, pr i j, y A = λ 1 λ 2 λ n. Corolrio Todo operdor simétrico A definido sobre un espcio euclídeo de dimensión finit n es digonl, es decir, existe un bse ortonorml del espcio formd por utovectores de A. Nótese que l mtriz socid A referid dich bse es digonl, A ij = e i, A e j ) = λ i δ ij.

25 Espcios Euclídeos 25 El polinomio crcterístico de A, P λ) = det A λ), sólo puede tener ríces reles. Tod ríz de multiplicidd 1 < r n corresponde r utovectores degenerdos linelmente independientes y correspondientes l mismo utovlor) del operdor A. A diferenci de lo que ocurre en espcios de dimensión finit, un operdor simétrico en un espcio de dimensión infinit puede o no tener utovectores, como lo muestrn los siguientes ejemplos. Ejemplos: Y hemos visto que el operdor A de multiplicción por un función rel, continu y monóton φt) no tiene utovectores ver ec. 7.6)). No obstnte, se trt de un operdor cotdo y simétrico en C 2, b). En efecto, 8.18) A x 2 = φ 2 t) xt) 2 dt M 2 xt) 2 dt, si φt) M pr t [, b]. Por lo tnto, A M. Por otr prte, x, y C 2, b) tenemos 8.19) y, A x) = ) b φt) yt) xt) dt = = b φt) yt)) xt) dt = A y, x). En consecuenci, este operdor no tiene un vector máximo. El Lem 8.8 estblece como condición suficiente pr l existenci de utovectores de un operdor simétrico que éste se cotdo y teng un vector máximo. Si bien est últim condición se stisfce utomáticmente en el cso de dimensión finit, este ejemplo muestr que ell no puede reljrse en el cso de operdores en espcios de dimensión infinit. El operdor integrl de Fredholm, definido en l ec. 3.10), es simétrico si su núcleo Kt, s) continuo en mbs vribles) es un función Hermític, Ks, t) = Kt, s). En efecto, 8.20) y, A x) = yt) b Kt, s) xs) ds dt = = b ) b Ks, t) yt) dt xs) ds = A y, x). Veremos más delnte que este operdor es cotdo, tiene un vector máximo y un conjunto infinito de utovectores linelmente independientes. El operdor de Sturm - Liouville es un operdor diferencil de segundo orden definido sobre un subespcio DL) C 2, b), que contiene funciones con derivds segunds continus, de modo que 8.21) zt) = L xt) := pt) x t)) + qt) xt) C2, b), xt) DL), donde pt), p t) y qt) son funciones reles y continus.

26 26 H. Flomir Está clro que L es un operdor linel. Si L es demás simétrico en su dominio de definición DL), l diferenci y, L x) L y, x) = 8.22) = { [ ) ] yt) pt) x t) + qt) xt) [ ] } pt) y t)) + qt) yt) xt) dt = = h de ser nul x, y DL). [ pt) yt) x t) y t) xt))] dt = [ ] [ ] = pb) yb) x b) y b) xb) p) y) x ) y ) x) Pr un función pt) rbitrri prte de ser continu en el intervlo cerrdo [, b]) debe grntizrse que l contribución de cd límite de integrción se nul imponiendo condiciones de contorno locles es decir, condiciones en cd extremo de ese intervlo) ls funciones en DL). Consideremos, por ejemplo, l contribución del límite inferior. Un posibilidd es requerir simplemente que x) = 0 pr tod xt) DL). Pero supongmos que ese no se el cso, y tomemos dos funciones en DL) que no se nulen en ; entonces podemos escribir 8.23) x ) x) = y ) ). y) En prticulr, si tommos y = x vemos que ese cociente debe ser rel e independiente de l función considerd, 8.24) x ) = c x), c R, x DL) x) 0. Finlmente, si xt) stisfce es condición, entonces tod otr función yt) DL) debe stisfcer que 8.25) y) x ) y ) x) = y) c y )) x) = 0 y ) = c y). Por lo tnto, el cso más generl de condición de contorno locl en t = corresponde requerir de ls funciones en DL) que 8.26) α x ) + β x) = 0, con α, β R α 2 + β 2 0. En prticulr, α = 0 x) = 0.

27 Espcios Euclídeos 27 Similrmente, l condición de contorno locl más generl en t = b se expres como 8.27) γ x b) + δ xb) = 0, con γ, δ R γ 2 + δ 2 0. Con ls funciones en su dominio de definición sujets ests condiciones, el operdor L result simétrico. Como ls condiciones de contorno son homogénes, el conjunto DL) es un subespcio linel de C 2, b). Más delnte veremos que este operdor tiene un conjunto infinito de utovectores linelmente independientes, no obstnte ser no cotdo. Este ejemplo muestr que ls condiciones del Lem 8.8 pr l existenci de utovectores de operdores simétricos son suficientes pero no necesris. Un cso prticulr de operdor de Sturm - Liouville con ess propieddes se obtiene cundo l función pt) tom el mismo vlor en los extremos del intervlo [, b], pb) = p). En ese cso L tmbién result simétrico si se imponen condiciones de contorno periódics o ntiperiódics ls funciones en su dominio de definición, 8.28) xb) = ±x), x b) = ±x ), como puede comprobrse fácilmente de 8.22). Finlmente, de l ec. 8.22) tmbién se deduce que si pt) se nul en un extremo del intervlo [, b], no es necesrio imponer ls funciones condiciones de contorno en ese punto pr que L resulte simétrico. 9. Distnci y límite en espcios euclídeos Definición 9.1. En un espcio euclídeo E se define l distnci entre dos vectores x, y E como l norm de su diferenci, 9.1) ρx, y) := x y. De ls propieddes de l norm en E result que 4, x, y, z E, ρx, y) = ρy, x) simetrí), ρy, x) 0 y ρx, y) = 0 x = y positividd), ρx, z) ρx, y) + ρy, z) desiguldd tringulr). 4 Un espcio métrico consiste en un conjunto de puntos x, y, z,... entre los cules hy definid un distnci ρx, y) que stisfce los siguientes xioms: ρx, y) = ρy, x), ρy, x) > 0 pr todo x y, y ρx, x) = 0 pr todo x, ρx, z) ρx, y) + ρy, z). De ls propieddes de l norm result que todo espcio de Bnch y, por consiguiente, todo espcio euclídeo) es un espcio métrico.

28 28 H. Flomir Definición 9.2. Diremos que un secuenci de vectores {x 1, x 2,..., x k,... } E converge l vector x E si 9.2) lím k ρx k, x) = 0, lo que tmbién se indic por x k x. Esto signific que, ε > 0, Nε) N tl que si k > Nε) entonces ρx k, x) = x k x < ε. En ese cso, el vector x es llmdo límite de l secuenci. Teorem 9.3. Si existe el límite de un secuenci, entonces ese límite es único. En efecto, supongmos que existen dos vectores x e y que son el límite de l secuenci, x k x y x k y. Entonces, ε > 0 tenemos que ρx k, x) < ε/2 y ρx k, y) < ε/2 si k es suficientemente grnde. En consecuenci, de l desiguldd tringulr result que 9.3) 0 ρx, y) ρx, x k ) + ρx k, y) < ε. Es decir, ρx, y) es menor que culquier número positivo. Por lo tnto ρx, y) = x y = 0 x = y. Ejemplos: Consideremos un secuenci convergente en un espcio euclídeo de dimensión finit n, generdo por l bse ortonorml {e 1,..., e n }. Entonces, los vectores de l secuenci convergente pueden escribirse como {x k = ξ 1) k e ξ n) k e n, k = 1, 2,... }, y tienen como límite l vector x = ξ 1) e ξ n) e n si ) ) ρx k, x) 2 = ξ 1) k ξ 1) e ξ n) k ξ n) 2 e n = 9.4) = n ξ i) k 2 ξi) 0 cundo k. i=1 Siendo un sum de términos no negtivos, esto exige que cd término tiend cero, es decir, 9.5) lím k ξi) k = ξ i), i = 1, 2,..., n. Por lo tnto, l convergenci de un secuenci de vectores en un espcio euclídeo de dimensión finit equivle l convergenci de cd un de ls secuencis numérics formds por los coeficientes de Fourier de los vectores referidos un sistem ortonorml y completo en ese espcio. En el espcio C 2, b), l convergenci de l secuenci x k t) xt) signific que 9.6) ρx k, x) 2 = x k x 2 = x k t) xt) 2 dt 0 cundo k. En consecuenci, se trt de un convergenci en medi.

29 Espcios Euclídeos 29 Recordemos que un secuenci de funciones continus {x k t), k = 1, 2... } converge uniformemente l función continu) xt) en el intervlo [, b] si { } 9.7) lím sup { t b} x k t) xt) = 0. k Lem 9.4. Tod secuenci uniformemente convergente en un intervlo de longitud finit, b <, es tmbién convergente en medi. que 9.8) En efecto, ddo ε > 0, x k t) xt) 2 < ε t, si k es suficientemente grnde, de modo x k t) xt) 2 dt < εb ). En ess condiciones, l distnci ρx k, x) puede hcerse tn pequeñ como se quier con sólo tomr k suficientemente grnde 5. Pero l recíproc no vle: l convergenci en medi no implic convergenci uniforme. En relidd, ni siquier implic convergenci puntul en ningún punto del intervlo [, b]. Por ejemplo, consideremos un secuenci de funciones reles y continus x k t), que tomen vlores entre 0 y 1 y sen nuls fuer de un subintervlo k [, b] de longitud menor que 1/k, en un punto del cul lcncen el vlor 1. En ess condiciones, el cudrdo de l distnci entre x k t) y el vector nulo, 9.9) xk t) 0t) ) 2 dt = k x 2 k t) dt 1 dt < 1 k k, tiende 0 cundo k. Por consiguiente, x k t) 0t) en el sentido de l convergenci en C 2, b). No obstnte, 9.10) sup { t b} x k t) 0t) = 1, k, 5 Nótese que este rgumento sólo vle si l longitud del intervlo considerdo es finit. En efecto, l convergenci uniforme en tod l rect no implic convergenci en medi, como lo muestr el siguiente ejemplo: consideremos ls funciones x k t), pres y continus, tles que 2 k 1 t, 0 t k, k x k t) = 0, t > k. Es secuenci converge uniformemente en tod l rect l función idénticmente nul, 2 x k t) 0t) 0, cundo k, k pero no converge en medi es función, x k t) 0t) 2 dt = 2 k k 0 1 t ) dt = 1, k. k

30 30 H. Flomir de modo que l secuenci no converge uniformemente l función idénticmente nul. De hecho, puede demostrrse que no converge uniformemente ningun función continu. Es más, los subintervlos k pueden ser elegidos de mner tl que l secuenci {x k t)} no se puntulmente convergente pr ningún vlor de t por ejemplo, hciendo que ellos brrn repetids veces l distnci que medi entre mbos extremos de [, b], de modo que pr cd vlor de t l secuenci numéric {x k t)} se oscilnte). 10. Continuidd en espcios euclídeos Definición Un funcionl f definid sobre un espcio euclídeo E, f : E C, se dice continu en un punto x E si, pr tod secuenci convergente x k x, se tiene que l secuenci numéric fx k ) fx). Equivlentemente, f es continu en x si ε > 0 δε) > 0 tl que, si ρy, x) < δε), entonces fy) fx) < ε. Lem Un funcionl linel continu en x = 0 es continu en todo x E. En efecto, x k x x k x) 0, de modo que ) lím k fx k) fx) = lím k fx k x) = 0. Lem Un funcionl linel continu es cotd. Si fx) es continu, tenemos que 10.2) fx) f0) = fx) < ε, x x < δε). Se x 0, y 0 < δ 1 < δε), entonces ) 10.3) f x δ 1 = δ 1 x x f x) < ε f x) < ε x. δ 1 Por lo tnto, tomndo K = ε/δ 1 tenemos 10.4) f x) K x, x E. 6 Si, en cmbio, se sbe que fx) es continu en un punto y 0, teniendo en cuent que xk x+y) y, l linelidd de l funcionl nos permite escribir que fx k ) fx) = fx k x + y) fy) 0 cundo k.

31 Espcios Euclídeos 31 Lem Un funcionl linel cotd es continu. En efecto, supongmos que fx) K x, pr todo x E, y consideremos un secuenci convergente x k x. Entonces, 10.5) fx k ) fx) = fx k x) K x k x 0 cundo k. Teorem Como consecuenci de los tres Lems nteriores result que, pr un funcionl linel fx) definid sobre un espcio euclídeo E, los siguientes enuncidos son equivlentes: fx) es continu en x = 0, fx) es continu x E, fx) es cotd en E. Ejemplos: Y sbemos que el producto esclr por un vector fijo del espcio, z E, define un funcionl linel, fx) := z, x), x E. De l desiguldd de Cuchy - Schwrz result que 10.6) fx) = z, x) z x, x E. Por lo tnto, es funcionl es continu en E. Y hemos dicho que tod funcionl linel en un espcio de dimensión finit corresponde l producto esclr por un vector fijo de ese espcio. Por el resultdo nterior, vemos que tod funcionl linel en un espcio de dimensión finit es continu. Pero tmbién sbemos que en C 2, b) existen funcionles lineles que no pueden ser representds medinte el producto esclr por un vector fijo del espcio, como por ejemplo f[xt)] = xt 0 ), con t 0, b) ver ec. 2.6)). Est funcionl no es continu, ddo que l convergenci en medi no implic convergenci puntul en ningún punto. Por lo tnto, tmpoco es cotd. Lem En un espcio euclídeo E, el producto esclr es un funcionl continu de sus dos rgumentos. Esto signific que si ls secuencis de vectores x k x e y k y, entonces 10.7) lím k x k, y k ) = x, y).

32 32 H. Flomir Pr demostrrlo consideremos l diferenci x, y ) ) ) x k, y k = x, y x x xk ), y y y k ) ) = 10.8) = x, y y k ) + x xk, y ) x x k, y y k ) x, y y k ) + x xk, y ) + x xk, y y k ) x y y k + x x k y + x x k y y k 0 cundo k. Propiedd Como consecuenci del resultdo nterior, l norm de un espcio euclídeo es un funcionl continu: si x k x entonces x k x. Definición Un operdor A, definido sobre un espcio euclídeo E, se dice continuo en un punto x E si ε > 0 δε) > 0 tl que, si ρy, x) < δε), entonces A y A x < ε. Lem Todo operdor linel cotdo A, definido sobre un espcio euclídeo E, es continuo. En efecto, si x k x entonces 10.9) A x k A x = A x k x) A x k x 0, cundo k. 11. Conjuntos densos en espcios euclídeos Definición Un elemento de un espcio euclídeo, x E, se dice punto límite del conjunto F E si existe un secuenci de vectores {x 1, x 2,..., x k,... } F que converge l elemento x. Dicho de otro modo, x es un punto límite de F si ε > 0 existe y F tl que ρx, y) < ε. Definición Un conjunto F E se dice cerrdo si contiene todos sus puntos límite. Lem El complemento ortogonl de un subespcio de un espcio euclídeo es siempre un subespcio cerrdo. Se E E, un subespcio de un espcio euclídeo, y se E su complemento ortogonl. Si x E es un punto límite de E, entonces existe un secuenci de vectores {x 1, x 2,... } E que converge x, x k x.

33 Espcios Euclídeos 33 Ahor bien, pr todo y E tenemos que y, x k ) = 0, k. Y por l continuidd del producto esclr, 11.1) y, x) = lím k y, x k) = 0, x E. Por lo tnto, x E. Definición Ddo un conjunto rbitrrio de vectores de un espcio euclídeo, A E, se llm clusur de A, y se denot por Ā, l unión de A con el conjunto de todos sus puntos límite. Lem L clusur de un conjunto A es un conjunto cerrdo. Se un punto límite de Ā ; mostrremos que Ā. En efecto, ε > 0 existe x Ā tl que ρ, x) < ε/2. Pero siendo x un vector de l clusur de A, tenemos que x A o bien x / A pero sí es un punto límite de A. En culquier cso, existe x A tl que ρx, x) < ε/2. Finlmente, por l desiguldd tringulr tenemos 11.2) ρ, x) ρ, x) + ρx, x) < ε. En consecuenci, es un punto límite del conjunto A y, por lo tnto, Ā. Todo conjunto cerrdo F E que conteng l conjunto A debe tmbién contener su clusur, 11.3) A F Ā F. En ese sentido, l clusur Ā es el conjunto cerrdo más pequeño que contiene A. Ejemplo: L clusur del conjunto de los números rcionles Q sobre l rect es el conjunto de los números reles R. De hecho, los números irrcionles pueden ser introducidos como los límites de secuencis convergentes de rcionles que no convergen un rcionl, como por ejemplo 3, 31 10, , , , π / Q. Lem Todo subespcio de dimensión finit de un espcio euclídeo es un conjunto cerrdo. En efecto, del Lem 3.1 sbemos que si F E es un subespcio de dimensión finit, todo vector x E puede escribirse como l sum de dos vectores ortogonles entre sí, x = u + v, donde u F y v F. Entonces, pr y F tenemos 11.4) ρx, y) 2 = u + v) y 2 = u y 2 + v 2 v 2.