Tema 1. Funciones y matrices básico

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Claudia Martínez Mora
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1 Tem Funciones y mtrices básico

2 FUENTE Y REFERENCIAS

3 Funciones Introducción ls funciones

4 Cuestiones repsr Funciones y tipos de funciones Mtriz cudrd Mtriz digonl Mtriz identidd Trz de un mtriz Mtriz trnspuest Sum de mtrices Producto de mtrices Determinnte de un mtriz Sistem de ecuciones HOMOGÉNEO

5 Función

6 Estructur lgebric Se E un conjunto no vcío, un función f f : E E E se llm ley de composición intern (operción) sobre E. Además, l imgen f(,b) se llm el operdo de y b. Es usul representr ls operciones interns con lgunos símbolos especiles, en vez de letrs, como *,,, entre otros. Por definición, si * es un ley de composición intern sobre E, entonces es cerrd sobre E, es decir, se cumple que, be b E

7 Estructurs Algebrics (cont.) Si * es un ley de composición intern sobre E, se dice que (E,*) posee un estructur lgebric. Un estructur lgebric es un n-tupl (, 2,..., n ), donde es un conjunto ddo no vcío, y { 2,..., n } un conjunto de operciones plicbles los elementos de dicho conjunto. Si * es un ley de composición intern sobre E, se dice que *: Es socitiv: pr culesquier elementos del grupo no import el orden en que se operen ls prejs de elementos, mientrs no se cmbie el orden de los elementos, siempre drá el mismo resultdo. Si, be secumple b c bc 7

8 8 Estructurs Algebrics (cont.) Si * es un ley de composición intern sobre E, se dice que *: Posee elemento neutro o elemento identidd (comúnmente denotdo como e, letr inicil de l plbr lemn einheit, que signific "unidd"): existe un elemento que l ser operdo con culquier otro, no lo modific (como el cero en l sum o el en l multiplicción). L unicidd del elemento neutro es fácilmente demostrble. Si. e E tl que e e Tiene elementos opuestos o inversos: todos los elementos del grupo tienen un elemento opuesto (o inverso), con el que l operrse dn por resultdo el elemento neutro e. El elemento inverso de uno ddo es único. Si E b E tl que b b en cuyo cso se escribe b e

9 Estructurs Algebrics (cont.) Si * es un ley de composición intern sobre E, se dice que *: Es conmuttiv: pr culesquier elementos del grupo no import el orden de los elementos siempre drá el mismo resultdo. Si, b E se cumple b b Un elemento h es bsorbente por l izquierd si h * = h y lo es por l derech si * h = h pr todo. Se dice que es el elemento bsorbente si lo es por l derech y por l izquierd. 9

10 Estructurs Algebrics (cont.) Un elemento es idempotente si * = pr todo. Un elemento es involutivo si * = e pr todo. Un elemento es centrl si conmut con todos los elementos de E, el conjunto formdo por todos los elementos centrles se llm el centro de E y se denot por C(E). (C(E),*) es un subgrupo de (E,*). C E E b b, b E

11 Grupos Si G es un conjunto no vcío y * es un operción intern definid sobre G. Se dice que (G,*) es: Un semigrupo si * es socitiv. Un monoide si es un semigrupo con elemento neutro. Un grupo si es un monoide que cumple l propiedd de los inversos, es decir, (G,*) es un grupo si * es cerrd, socitiv, posee elemento neutro y cd elemento tiene inverso. Un grupo belino o grupo conmuttivo si es un grupo y se cumple l conmuttividd. En el cso de que no se un grupo, se dice que l estructur lgebric es conmuttiv.

12 Grupos (cont.) Notciones: L notción multiplictiv. Operción:,,, llmd producto. Elemento neutro:. Elemento inverso: x. L notción ditiv. Operción: +, llmd sum. Elemento neutro: 0. Elemento opuesto de un elemento x del grupo: -x. 2

13 Grupos (cont.) Si (G,*) es un monoide, se tiene que 0 = e, y pr n nturl, con n : n n n... n veces Si demás cumple con l propiedd de los inversos, los exponentes negtivos se definen como: n n 3

14 Grupos (cont.) Teorem. Si (G,*) es un grupo, en generl se tiene que Demostrción. 4 b b () (2) e e e e b b b b e b b (2) ()

15 Grupos (cont.) Notr que si el grupo es belino se puede escribir b b En cso contrrio se debe respetr () del teorem. Si el grupo es finito, su orden se denot por o(g) y corresponde l crdinlidd como conjunto. 5

16 Otrs cuestiones importntes Cuerpo: En álgebr, un cuerpo es un estructur lgebric en l cul ls operciones de dición, substrcción, multiplicción, y división (excepto l división por cero) se pueden relizr y ls regls socitivs, conmuttivs y distributivs vlen, ls que son fmilires de l ritmétic de números ordinrios Los números reles (R), los números rcionles (Q), o los números complejos (C), son ejemplos de cuerpos

17 Anillos Un nillo es un estructur lgebric formd por un conjunto y dos operciones que están relcionds entre sí, medinte l propiedd distributiv, de mner que generlizn ls nociones de número, especilmente en el sentido de su operbilidd. En un nillo se tienen un conjunto no vcío A, y dos operciones binris + y. 7

18 Anillos (cont.) Un nillo es un triple (A,*,), lo cul es un estructur lgebric en l cul A es un conjunto no vcío y *,: A A A son dos operciones binris definids sobre A que stisfcen ls condiciones siguientes: (A,*) es un grupo belino. (A,) es un semigrupo. L operción es distributiv respecto l operción *. Esto es, pr todo,b A b c b c b c cb c 8

19 Anillos (cont.) Cundo (A,) es un monoide se dice que A es un nillo unitrio o nillo con unidd que representremos por (elemento neutro del producto). Cundo (A,) es un semigrupo conmuttivo, se dice que A es nillo conmuttivo o nillo belino. 9

20 Anillos (cont.) Pr trbjr con un notción más fmilir, el nillo (A,+, ), en el cul: El neutro de (A,+) se denot 0, y pr todo x A, su inverso (pr l operción +) se denotrá x. Si l operción posee neutro en A, éste se denotrá por y se dice que (A,+, ) es un nillo con unidd. Si x A posee inverso pr l operción, éste se denotrá por x. Si es conmuttiv, (A,+, ) se llmrá nillo conmuttivo. 20

21 Anillos (cont.) El ejemplo más sencillo y representtivo de estructur de nillo se encuentr en (Z,+, ), el nillo de los enteros. Este nillo tiene unidd y es conmuttivo. Por similitud con (Z,+, ), cundo trtemos con un nillo unitrio culquier, en generl se refiere l sum y l producto como primer y segund operción, respectivmente, y se utiliz el 0 y el como neutros respectivos. Pr brevir l notción, se escribe b en lugr de b. 2

22 Anillos (cont.) Los xioms de nillo son un bstrcción del comportmiento de los números enteros respecto de ls operciones ritmétics elementles: l sum y el producto. Otr clse importnte de nillos belinos unitrios finitos es (Z n,+, ) el nillo de los enteros módulo n. 22

23 Anillos (cont.) Se (A,+, ) un nillo, entonces: ( x A) 0 x = x 0 = 0. ( x,y A) (x y) = ( x) y = x ( y). ( x,y A) ( x) ( y) = x y. Si el nillo posee unidd, entonces ( x A) x = ( ) x = x ( ). L ley de simplificción es otr propiedd importnte que cumplen los números enteros, es decir, pr todo,b,c Z* = Z {0} se verific b = c b = c. 23

24 Homomorfismos de Grupo Si (G,*) y (F,) son dos grupos. Se dice que un plicción f : G F es un homomorfismo de grupos si pr todo y b en G se stisfce que f( * b) = f() f(b). Si, demás de ser homomorfismo, f es sobreyectiv, entonces f es un epimorfismo. f es inyectiv, entonces f es un monomorfismo. f es biyectiv, entonces f es un isomorfismo. G = F, entonces f es un endomorfismo. G = F y biyectiv, entonces f es un utomorfismo. 24

25 Homomorfismos de Grupo (cont.) Pr un homomorfismo de grupos f : G F se define el núcleo de f como el conjunto N f = f - ({e }), donde e es el elemento neutro de F. El núcleo de un homomorfismo está formdo por los elementos cuy imgen es el neutro. ker f = N f = {x G f(x) = e } 25

26 Imgen y núcleo

27 Homomorfismos de Grupo (cont.) Teorem. Si f : G F es un homomorfismo de grupos, si e es el elemento neutro de G y demás e es el elemento neutro de F, entonces se cumple que f e e' () Demostrción. f x f x (2) f f f () x f x e f x f e x f x f e f x e e' e' f f f e e' f x x f x f x x f x son inversos entresí x f x (2) 27

28 Homomorfismos de Grupo (cont.) Teorem. Se f : G F es un homomorfismo de grupos, con e el elemento neutro de G y e el elemento neutro de F, si N f = {e} entonces f es inyectiv. Demostrción. 28 esinyectiv ' ' ' f b e b e N b e b f e b f f e b f f b f f f

29 Tipologí A recordr: Un homomorfismo que es tmbién un biyección tl que su invers es tmbién un homomorfismo se llm isomorfismo; dos objetos isomorfos son totlmente indistinguibles por lo que l estructur en cuestión se refiere. Un homomorfismo de un conjunto sí mismo se llm endomorfismo, y si es tmbién un isomorfismo se llm utomorfismo. Un homomorfismo que es sobreyectivo se llm epimorfismo. Un homomorfismo que es inyectivo se llm monomorfismo.

30 Biyección

31 Isomorfismo

32 Endomorfismo

33 Automorfismo Clve pr entenderlo An exmple for grph with four utomorphisms. For instnce, interchnging vertices 2 nd 4 s well s 5 nd 7 produces the sme drwing.

34 Función sobreyectiv inyectiv

35 Resumen gráfico

36 Ejemplo

37 Ejemplo 2

38 Not Con estructurs lgebrics, grupos, nillos y homomorfismos se trbjrá más en: MATEMÁTICAS DISCRETAS

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