Artemio González López

Transcripción

1 Cálculo I Artemio González López Mdrid, febrero de 2003

2 Índice generl 0. Preliminres 1 1. L rect rel Concepto de cuerpo Consecuencis de los xioms de cuerpo Potencis Cuerpos ordendos Consecuencis de los xioms de orden Relciones entre y Otrs consecuencis de los xioms de orden Vlor bsoluto Máximo y mínimo Axiom del supremo Consecuencis del xiom del supremo L propiedd rquimedin de los números reles Intervlos Existenci de ríces n-ésims Potencis Funciones reles de vrible rel Definición. Dominio, imgen y gráfic Funciones inyectivs, supryectivs y biyectivs Composición de funciones Funciones monótons Logritmos Funciones periódics Funciones trigonométrics Operciones lgebrics con funciones Límites y continuidd Límites Límites infinitos Límites lterles i

3 ÍNDICE GENERAL ii Propieddes de los límites Continuidd Continuidd en un punto Continuidd en intervlos Teorems fundmentles Teorem de Bolzno Teorem de los vlores intermedios Teorem de cotción Existenci de máximo y mínimo Funciones monótons y continuidd Derivción Definición Cálculo de derivds Regl de l cden Derivds de orden superior Derivd de l función invers Teorems de Rolle y del vlor medio Crecimiento, decrecimiento y extremos locles Teorem de Rolle Teorem del vlor medio Extremos locles Regls de L Hospitl Convexidd Integrción Preliminres Propieddes de l integrl Continuidd e integrbilidd El teorem fundmentl del Cálculo Cálculo de primitivs Integrción por prtes Cmbio de vrible Integrción de funciones rcionles Integrles reducibles integrles de funciones rcionles Integrles impropis Integrles impropis de primer especie Integrles impropis de segund especie Integrles impropis de tercer especie Aplicciones de l integrl Áre limitd por l gráfic de un función Longitud de un rco de curv Volumen y áre de un sólido de revolución

4 ÍNDICE GENERAL iii 6. El teorem de Tylor Sucesiones y series Sucesiones numérics Teorem de Bolzno Weierstrss El criterio de Cuchy Series numérics Criterios de convergenci Sucesiones y series de funciones Convergenci uniforme Series de funciones Series de Tylor y series de potencis

5 Cpítulo 0 Preliminres Aunque ceptremos l noción de conjunto como un concepto primitivo (es decir, no definido en término de otros conceptos más fundmentles), l ide intuitiv de conjunto es l de un colección de objetos. Es esencil que l pertenenci de un objeto un conjunto determindo se un noción bien definid y no mbigu. Por ejemplo, A = { 1,2, 7,Espñ } es un conjunto, l igul que B = {x : x es ciuddno espñol}, mientrs que C = {x : x es un pís desrrolldo} no lo es. Usremos l notción x A (respectivmente x / A) pr denotr que x es (respectivmente no es) un elemento del conjunto A. Denotremos por l conjunto vcío, definido como quél conjunto que no posee ningún elemento. Por ejemplo, { x N : x 2 < 0 } =. Ddos dos conjuntos A y B, diremos que A está contenido en B (ó que A es un subconjunto de B), y escribiremos A B, si todo elemento de A está tmbién en B. Simbólicmente, A B (x A x B). L notción B A signific lo mismo que A B. Por definición, dos conjuntos A y B son igules (lo que será denotdo por A = B) si A B y B A. Equivlentemente, A = B (x A x B). Utilizremos veces l notción A B pr indicr que A B y A B. Ddo un conjunto A, denotremos por P(A) l conjunto de ls prtes de A, definido como el conjunto de los subconjuntos de A: P(A) = {B : B A}. L relción de inclusión ( ) es un relción de orden prcil en P(A), y que goz de ls siguientes propieddes: 1

6 CAPÍTULO 0. PRELIMINARES 2 i) B P(A), B B (propiedd reflexiv) ii) B,C P(A), B C y C B = B = C (prop. ntisimétric) iii) B,C,D P(A), B C y C D = B D (propiedd trnsitiv) Evidentemente, culquier que se A los conjuntos y A son subconjuntos de A (i.e., son elementos del conjunto P(A)). A estos dos subconjuntos en cierto modo triviles se les llm subconjuntos impropios de A, mientrs que un subconjunto propio de A es culquier subconjunto de A distinto de y de A. Ddos dos conjuntos A y B, se definen los conjuntos A B (intersección de A con B) y A B (unión de A y B) medinte A B = {x : x A y x B}, A B = {x : x A ó x B}. Obvimente, A B A, B A B. Denotremos por A B l diferenci de los conjuntos A y B, definid por A B = {x A : x / B} = A {x : x / B}. L unión y l intersección de conjuntos gozn de ls siguientes propieddes elementles: i) A B = B A, (A B) C = A (B C) ii) A B = A A B iii) A = iv) A B = B A, (A B) C = A (B C) v) A B = A B A vi) A = A vii) A B = A C B C, A C, B C = A B C L unión y l intersección verificn demás ls siguientes propieddes distributivs: i) A (B C) = (A B) (A C) ii) A (B C) = (A B) (A C) Demostremos, por ejemplo, l primer de ests igulddes. En virtud de l definición de iguldd de dos conjuntos, bst probr que el miembro izquierdo está contenido en el miembro derecho y vicevers. En primer lugr, B,C B C = A B A (B C), A C A (B C),

7 CAPÍTULO 0. PRELIMINARES 3 de donde se deduce que el miembro derecho está contenido en el miembro izquierdo. Recíprocmente, si x A (B C) entonces x A y x B C, es decir ( x A y x B ) ó ( x A y x C ), de donde se deduce que x (A B) (A C). Esto prueb que el miembro izquierdo está contenido en el miembro derecho. En generl, si I es un conjunto de índices rbitrrio (finito ó infinito) tl que todo i I le corresponde un conjunto A i, se define l unión y l intersección de l fmili de conjuntos {A i : i I} medinte ls fórmuls A i = {x : j I tl que x A j } i I A i = {x : x A j, j I}. i I El producto crtesino de dos conjuntos A y B es el conjunto A B = { (x,y) : x A,y B }. Nótese que en est definición (x,y) es un pr ordendo. En otrs plbrs, (x 1,y 1 ) = (x 2,y 2 ) x 1 = x 2 e y 1 = y 2. De esto se deduce que A B no tiene por qué ser igul B A. (Ejercicio: cuándo es A B = B A?) Más generlmente, ddos n conjuntos A 1,...,A n definiremos su producto crtesino medinte A 1 A 2 A n = { (x 1,x 2,...,x n ) : x i A i, i = 1,2,...,n }. En prticulr, si A 1 = A 2 = = A n = A escribiremos En otrs plbrs, } A A {{ A } = A n. n veces A n = { (x 1,x 2,...,x n ) : x i A, i = 1,2,...,n }. Ejercicio. Son igules los conjuntos, { }, { { } }?

8 Cpítulo 1 L rect rel 1.1. Concepto de cuerpo Definición 1.1. Un cuerpo es un conjunto F en el que hy definids dos operciones + : F F F, : F F F (sum y producto, respectivmente) y dos elementos 0 1 que cumplen ls propieddes siguientes: I) (F,+) es grupo belino: si x,y,z F se tiene i) x + y = y + x (propiedd conmuttiv) ii) (x + y) + z = x + (y + z) (propiedd socitiv) iii) x + 0 = x, x F (elemento neutro ó cero) iv) x F, y F tl que x + y = 0 (inverso respecto de l sum) II) (F {0}, ) es grupo belino: si x,y,z F se tiene v) x y = y x (propiedd conmuttiv) vi) (x y) z = x (y z) (propiedd socitiv) vii) 1 x = x, x F (elemento neutro ó unidd) viii) x F con x 0, y F tl que x y = 1 producto) (inverso respecto del III) Propiedd distributiv de l sum respecto del producto: ix) x (y + z) = x y + x z, x,y,z F A prtir de hor, escribiremos xy en lugr de x y. Ejemplo 1.2. Los conjuntos N y Z no son cuerpos. El conjunto Q sí lo es. El cuerpo más pequeño es el conjunto {0,1} con l sum y multiplicción usules módulo 2. 4

9 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL Consecuencis de los xioms de cuerpo Proposición 1.3. Si (F, +, ) es un cuerpo entonces se cumple: i) 0 es único: si x + 0 = x, x F, entonces 0 = 0. En efecto, = 0 (por ser 0 cero) = 0 (por ser 0 cero) 0 = 0. ii) El inverso respecto de l sum es único: x + y = 0 = x + y y = y. En efecto, y+(x+y) = y+(x+y ) (y+x)+y = (y+x)+y y = y. Debido est propiedd, podemos llmr prtir de hor x l inverso de x respecto de l sum. De l unicidd del inverso respecto de l sum se deduce que ( x) = x, x F. A prtir de hor, x y denotrá el número x + ( y). iii) Si,b F, l ecución x + = b tiene l solución únic x = b. iv) 1 es único: si 1 x = x, x F, entonces 1 = 1. v) El inverso respecto del producto es único: si x 0, xy = 1 = xy y = y. Debido est propiedd, podemos llmr prtir de hor x 1 = 1 x l inverso de x respecto del producto. De l unicidd del inverso respecto del producto se sigue que ( x 1) 1 = x, x 0,x F. A prtir de hor, y x denotrá el número y 1 x. vi) Si x,y 0, entonces 1 xy = 1 1 x y. vii) Si,b F y 0, l ecución x = b tiene l solución únic x = b. viii) x F se tiene 0 x = 0. En efecto, 0 x = (0+0) x = 0 x+0 x 0 x = 0 (sumndo (0 x)). Corolrio no existe en ningún cuerpo. En efecto, x F se tiene x 0 = 0 1. Todo cuerpo incluye los elementos 1 0, = 2, = 3, etc., nálogos los números nturles. L diferenci es que puede ocurrir que k = } {{ + 1 } = 0. Por ejemplo, 2 = 0 en el cuerpo {0,1}. Esto motiv k veces l siguiente definición:

10 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 6 Definición 1.5. L crcterístic de un cuerpo es el número nturl p más pequeño tl que } {{ + 1 } = 0. Si es siempre distinto p veces de cero, diremos que l crcterístic es cero. Por ejemplo, {0, 1} tiene crcterístic 2, mientrs que Q tiene crcterístic 0. Todo cuerpo con crcterístic 0 incluye el conjunto infinito {1,2 = 1 + 1,3 = 2 + 1,... }, que es equivlente N y denotremos simplemente por N prtir de hor. Por el mismo motivo, un cuerpo de crcterístic 0 contiene tmbién (conjuntos equivlentes) Z y Q. Proposición 1.6. Si l crcterístic de un cuerpo es distint de cero, entonces es un número primo. Esto es consecuenci de l siguiente importnte proposición: Proposición 1.7. Se F un cuerpo, y sen,b F. Si b = 0, entonces = 0 ó b = 0. Demostrción. Si 0, multiplicndo por 1 obtenemos b = 0. Análogmente, si b 0 multiplicndo por b 1 obtenemos = 0. Q.E.D. En prticulr, si l crcterístic de un cuerpo fuer un número nturl p = rs con 1 < r,s < p, entonces p = 0 r = 0 ó s = 0, y por tnto hbrí un número nturl (r ó s) menor que p e igul cero. Not: pr todo numero primo p, hy un cuerpo de crcterístic p. Un ejemplo es el cuerpo {0,1,...,p 1} con l sum y el producto ordinrio módulo p Potencis Ddo x F, definimos x 1 = x, x 2 = x x,..., x n = x } x {{ x} (ó, si se n veces quiere, x 1 = x y x n+1 = x x n, recursivmente). Esto define x n pr todo n N. Además, si n,m N se tiene x n x m = x n+m. [Dem.: fíjese n y plíquese inducción sobre m.] Si x 0, podemos definir x n pr todo n Z imponiendo que l fórmul nterior se válid pr todo n,m Z. En primer lugr, como x n+0 = x n x 0 = x n (n N), debemos definir x 0 = 1. Análogmente, l ser x 0 = 1 = x n n = x n x n, debemos definir x n = 1 pr todo n N. Definiendo de xn est form x k pr k Z, se demuestr que l fórmul nterior es válid pr todo pr de enteros m y n:

11 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 7 Demostrción. Si m ó n son cero, o si n,m N, l firmción es trivil. Sólo quedn por considerr los siguientes subcsos: n > 0, m = p < 0, p n: n > 0, m = p < 0, p > n: x n x m = x n p x p 1 x p = xn p = x n+m. x n x m = x n 1 x p n x n = 1 x p n = xn p = x n+m. n < 0, m > 0: se reduce los csos nteriores intercmbindo n y m. n = q < 0, m = p < 0: x n x m = 1 x q 1 x p = 1 x q x p = 1 x p+q = x (p+q) = x n+m. Q.E.D. Nótese que l definición x 1 = 1 x concuerd con el resultdo que cbmos de probr. Del mismo modo se demuestr que x 0 = (x n ) m = x nm, n,m Z. Obsérvese, sin embrgo, que hemos evitdo definir 0 n pr todo n N {0} (y que 1 0 no está definido en un cuerpo). Por último, mencionremos ls dos propieddes elementles pero útiles siguientes: Si u 0 y v 0, x u + y v xv + yu =. uv x F, x = ( 1)x (= ( 1) 2 = 1) Cuerpos ordendos Recuérdese que un relción en un conjunto A es un subconjunto de A A. En Q, demás de ls operciones de cuerpo hy un relción que orden los números rcionles, y tiene propieddes bien conocids. Ests propieddes motivn l siguiente definición generl: Definición 1.8. Un cuerpo (F, +, ) es un cuerpo ordendo si hy un relción definid en F que cumple ls propieddes siguientes: i) x F, x x (propiedd reflexiv) ii) Si x,y F, ó bien x y ó bien y x (ó mbs). Además, si x y e y x entonces x = y. iii) Si x,y,z F, x y e y z = x z (propiedd trnsitiv)

12 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 8 iv) Si x,y F y x y, entonces x + z y + z, z F v) Si x,y F, 0 x y 0 y = 0 xy A l relción se l denomin relción de orden. A prtir de hor, l notción x y será equivlente y x. Por definición, x < y si y sólo si x y y x y. Tmbién utilizremos l notción y > x pr indicr que x < y. Un consecuenci de ests definiciones y de los xioms de es l propiedd de tricotomí: si x e y son elementos culesquier de un cuerpo ordendo, se cumple exctmente un de ls tres relciones x < y, x = y ó x > y. Ejemplo 1.9. Evidentemente, Q es un cuerpo ordendo. No lo es sin embrgo {0,1}. En efecto, si definimos 0 < 1 entonces el xiom iv) implic 1 0, y como 1 0 obtendrímos l contrdicción 1 < 0. Del mismo modo, si definiérmos 1 < 0 obtendrímos 0 < 1. De form nálog se prueb que un cuerpo de crcterístic no nul no puede ordenrse: bst sumr repetidmente 1 mbos miembros de l desiguldd 0 < 1 ó 1 < 0. Esto prueb l siguiente Proposición Todo cuerpo ordendo tiene crcterístic cero. Es interesnte observr que no hy form de introducir un relción en C de form que (C, ) se un cuerpo ordendo (más delnte veremos l rzón). En prticulr, no todo cuerpo de crcterístic cero es un cuerpo ordendo Consecuencis de los xioms de orden Proposición Si (F, +,, ) es un cuerpo ordendo, y x,y,z,... denotn elementos de F, entonces se verific: i) (x < y, y z) = x < z En efecto, x z por l propiedd trnsitiv. Si fuer x = z entonces x y x x = y por el xiom ii). ii) x y 0 y x y x x y 0 Sumr sucesivmente x, y y x l primer desiguldd. iii) x < y = x + z < y + z, z F iv) x i y i i = 1,...,n = n i=1 x i n i=1 y i; si demás x j < y j pr lgún j {1,...,n} entonces n i=1 x i < n i=1 y i L primer es consecuenci de plicr repetidmente el xiom iv), mientrs que l segund es consecuenci de l propiedd i).

13 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 9 v) x < y 0 < y x y < x x y < 0 Se demuestr como ii) utilizndo iii). Definición Se (F, +,, ) un cuerpo ordendo. Diremos que x F es positivo si x > 0, no negtivo si x 0, negtivo si x < 0, no positivo si x 0. Por tnto, 0 es el único número no positivo y no negtivo l vez Relciones entre y Proposición Si (F, +,, ) es un cuerpo ordendo, y x,y,z son elementos de F, entonces se cumple: i) x > 0, y > 0 = xy > 0 Como x 0 e y 0, por el xiom v) xy 0. Si fuer xy = 0, entonces x = 0 ó y = 0, contrdiciendo l hipótesis. ii) x y, z 0 = xz yz ( Se pueden multiplicr ls desigulddes por números positivos.) En efecto, y x 0 y z 0 implic por el xiom v) que z(y x) 0 xz yz. Nótese que x < y, z > 0 = xz < yz (y que xz = yz x = y l ser z 0.) iii) x 0, y 0 = xy 0; x 0, y 0 = xy 0 Pr demostrr l primer, obsérvese que x 0, y 0 ( x)y 0. Como ( x)y = xy se obtiene xy 0, que es equivlente xy 0. L segund se demuestr prtir de l primer plicd x y y. Corolrio Si F es un cuerpo ordendo y x 0 es un elemento de F, entonces x 2 > 0. En otrs plbrs, x F se tiene x 2 0, y x 2 = 0 x = 0. Corolrio > 0. En efecto, 1 = 1 2 y 1 0. Ahor es fácil probr que no se puede introducir un relción de orden en el cuerpo de los números complejos. En efecto, i 2 = 1 > 0 1 < 0. Si F es un cuerpo ordendo, hemos visto que l crcterístic de F es cero, y por tnto F contiene subconjuntos equivlentes N, Z y Q. Además, prtir de los corolrios nteriores se prueb por inducción que el orden inducido por F en N (y por tnto en Z y en Q) coincide con el usul: Proposición Si F es un cuerpo ordendo, k N F se tiene k + 1 > k > 0.

14 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL Otrs consecuencis de los xioms de orden x > 1 x 2 > x; 0 < x < 1 x 2 < x 0 x y, 0 z u = xz yu En efecto x y, 0 z xz yz, y z u, y 0 yz uy. Análogmente se demuestr que 0 x < y, 0 < z u = xz < yu; 0 x < y, 0 z < u = xz < yu 0 x < y = x n < y n, n N Bst plicr repetidmente l segund de ls propieddes nteriores con z = x, u = y. Si x 0 e y 0 entonces x = y x n = y n (n N). Análogmente, si x 0 e y 0 entonces x < y x n < y n (n N). x > 0 1/x > 0 (pues x 1/x = 1 > 0); demás 0 < x < y = 0 < 1 y < 1 x = 0 < y n < x n, n N. En efecto, pr probr l primer implicción bst observr que 1 x > 1 0, y > x y > 0 y multiplicr l desiguldd x < y por 1 1 x y. L segund es consecuenci de plicr repetidmente l primer. Si z 0 y z < x pr todo x > 0, entonces z = 0. En efecto, si z > 0 entonces hciendo x = z obtendrímos z < z Vlor bsoluto Se, como siempre, F un cuerpo ordendo. Si x F, ó bien x 0 ó bien x < 0 x > 0. Por tnto, si definimos el vlor bsoluto de x (denotdo por x ) medinte { x, x 0 x = x, x < 0 entonces x 0 pr todo x F, y x = 0 x = 0. Clrmente x x y x x. De l definición de x se sigue inmeditmente que x = x. Además, de ( x) 2 = x 2 se obtiene fácilmente que x 2 = x 2. Más generlmente, vemos que xy = x y, x,y F. En efecto, como mbos miembros son no negtivos bst probr el cudrdo de est iguldd. Pero xy 2 = (xy) 2 = x 2 y 2 = x 2 y 2 = ( x y ) 2.

15 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 11 Otr propiedd interesnte del vlor bsoluto es que x x. En efecto, si x 0 mbs desigulddes se reducen x, y que x x trivilmente. Y si x < 0 entonces lo nterior implic que x x x x. Un desiguldd muy importnte stisfech por el vlor bsoluto es l llmd desiguldd tringulr: x + y x + y, x,y F. Como mbos miembros de est desiguldd son no negtivos, bst probr su cudrdo. Y, en efecto, se tiene x + y 2 = (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 x xy + y 2 = x x y + y 2 = ( x + y ) 2. Aplicndo repetidmente l desiguldd tringulr se demuestr l siguiente generlizción de dich desiguldd: n n x i x i, x 1,...,x n F. i=1 i= Máximo y mínimo Si x,y F, se define mín(x,y) = { x, x y y, x > y. De l definición se sigue que mín(x,y) = mín(y,x), y mín(x,y) x, mín(x,y) y, pr todo x,y F. Análogmente, definimos { y, x y máx(x,y) = x, x > y. Evidentemente, máx(x,y) = máx(y,x), y máx(x,y) x, máx(x,y) y, pr todo x, y F. De hecho, ls propieddes de máx se pueden deducir de ls de mín observndo que máx(x,y) = mín( x, y).

16 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 12 El vlor bsoluto de x F se expres medinte el máximo por l fórmul x = máx(x, x). Recíprocmente, mín y máx se expresn en términos de por ls fórmuls mín(x,y) = 1 (x + y x y ), 2 máx(x,y) = 1 (x + y + x y ). 2 En generl, si {x 1,...,x n } es un subconjunto finito de F podemos definir mín(x 1,...,x n ) y máx(x 1,...,x n ) por inducción. Al igul que ntes, tnto mín como máx no dependen de como ordenemos sus rgumentos, mín(x 1,...,x n ) x i máx(x 1,...,x n ), i = 1,2,...,n, y máx(x 1,...,x n ) = mín( x 1,..., x n ) Axiom del supremo Un subconjunto A de un cuerpo ordendo F está cotdo superiormente (resp. inferiormente) si x F tl que x, A (resp. x, A). A culquier número x con l propiedd nterior le llmremos un cot superior (resp. cot inferior) de A. Diremos que A es un conjunto cotdo si A es cotdo l vez superior e inferiormente. Escribiremos A x si x es un cot superior de A, y x A si x es un cot inferior de A. Es importnte observr que un cot inferior (o superior) de A no tiene por qué existir, ni ser únic, ni pertenecer A. Ejemplo El conjunto vcío es cotdo, y que culquier que se x F se cumplen trivilmente ls dos firmciones, x y, x l no hber ningún. En prticulr, todo elemento de F es l vez un cot superior e inferior de. Si F es un cuerpo ordendo, entonces el conjunto F no está cotdo ni superior ni inferiormente. En efecto, si por ejemplo F estuvier cotdo superiormente entonces existirí x F tl que x, F. Esto es clrmente contrdictorio si tommos = x + 1.

17 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 13 En el cuerpo Q, el conjunto A = { Q : < 1} está cotdo superiormente, siendo ls cots superiores de A los rcionles x 1. En prticulr, en este cso ningun cot superior de A pertenece A. Además, es clro que A no está cotdo inferiormente. Definición Si A F es un conjunto cotdo superiormente, un cot superior mínim de A es un número x F tl que i) x es un cot superior de A: x, A ii) Si y es culquier cot superior de A, entonces x y De l definición se deduce que si x e y son dos cots superiores mínims de A entonces x = y. Por tnto, un conjunto cotdo superiormente sólo puede tener lo sumo un cot superior mínim. Si tl cot superior mínim existe, l denotremos simplemente por supa (supremo de A). Análogmente, si A F está cotdo inferiormente un cot inferior máxim de A es un número x F tl que i) x es un cot inferior de A: x, A ii) Si y es culquier cot inferior de A, entonces y x Al igul que ntes, un conjunto cotdo inferiormente sólo puede tener lo sumo un cot superior mínim, l que denotremos por inf A (ínfimo de A). Se demuestr fácilmente que si denotmos por A el conjunto inf A = sup( A), A = { x : x A} = {x : x A}. Ejemplo El conjunto vcío (que está cotdo superior e inferiormente) no tiene ínfimo ni supremo. En efecto, si por ejemplo existier x = sup entonces pr todo F se cumplirí x (y que todo elemento de F es un cot superior de ), y por tnto x serí un cot inferior de F. Ejemplo En el cuerpo Q hy subconjuntos no vcíos cotdos superiormente pero sin supremo. Por ejemplo, considérese el conjunto A = { Q : 0} { Q : 2 2 }. Vmos ver que este conjunto, que obvimente no es vcío, está cotdo superiormente pero no posee supremo. En primer lugr, es clro que A está cotdo superiormente; por ejemplo, A 2 (y que 2 0, y > 2 2 > 4). Intuitivmente, el hecho de que A no tiene supremo se debe que el supremo nturl de A, que serí 2, no es un elemento del cuerpo (no hy

18 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 14 ningún rcionl cuyo cudrdo se 2). Vemos l demostrción riguros de este hecho. Pr ello utilizmos ls siguientes identiddes: x Q, y = x(x2 + 6) 3x = y x = 2x(2 x2 ) 3x 2 + 2, y2 2 = (x2 2) 3 (3x 2 + 2) 2. Nótese que x Q y Q, y que 3x > 0. Supongmos que existier x = supa. Si x A, entonces x 1 > 0 (y que 1 A), de donde se sigue que x 2 2, lo cul su vez es equivlente x 2 < 2. Si tommos y como en l fórmul nterior, entonces y x > 0, y 2 2 < 0 implic que y A e y > x = supa, lo que es contrdictorio. Supongmos hor que x / A. Entonces x 2 > 2 y x > 0, y definiendo otr vez y como ntes se tendrá y > 0, y x < 0, y 2 2 > 0. De l primer y l tercer de ests desigulddes se sigue que y es un cot superior de A, que es estrictmente menor que sup A por l segund desiguldd. De nuevo llegmos un contrdicción. Es precismente el hecho de que culquier conjunto no vcío cotdo superiormente posee supremo l propiedd esencil de l que crece el conjunto de los números rcionles, y que sirve pr definir y crcterizr l conjunto de los números reles: Definición El conjunto R de los números reles es un cuerpo ordendo que goz de l siguiente propiedd (xiom del supremo): Si A R está cotdo superiormente y A, entonces existe el supremo de A. En otrs plbrs, R es un cuerpo ordendo en el que culquier subconjunto no vcío y cotdo superiormente posee supremo. Nturlmente, pr que est definición teng sentido hcen flt dos coss: i) Que hy lgún cuerpo ordendo en el que se cumpl el xiom del supremo. Esto se puede demostrr de vris forms, lo que equivle otrs tnts construcciones explícits de los números reles (sucesiones de Cuchy, cortdurs de Dedekind, etc.) ii) Que esencilmente hy un sólo cuerpo ordendo en el que se verifique el xiom del supremo. En efecto, se demuestr que si R 1 y R 2 son dos cuerpos ordendos en los que se verific el xiom del supremo entonces R 1 y R 2 son equivlentes (isomorfos, en el lenguje mtemático), en el sentido de que existe un biyección entre R 1 y R 2 que respet ls operciones de cuerpo y l relción de orden (y, por tnto, l cotción de los conjuntos y los supremos). En otrs plbrs, lo esencil del cuerpo R de los números reles es que R es un conjunto con dos operciones + : R R R, : R R R

19 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 15 y un relción, que verificn los xioms i) ix) de l Definición 1.1 junto con los xioms del orden, y donde se cumple demás el xiom del supremo. A prtir de hor, llmremos simplemente números (ó puntos) los elementos de R (números reles) Consecuencis del xiom del supremo En primer lugr, del xiom del supremo se sigue l siguiente propiedd equivlente de los números reles (xiom o principio del ínfimo): Proposición Si A R es un conjunto no vcío cotdo inferiormente, entonces A posee un ínfimo. Demostrción. Bst plicr el xiom del supremo l conjunto A, que está cotdo superiormente, y tener en cuent que inf A = sup( A). Q.E.D. Tmbién es inmedito probr que si A B y B está cotdo superiormente, entonces A está cotdo superiormente y se cumple supa supb. En efecto, es clro que culquier cot superior de B es l vez un cot superior de A, por lo que A está cotdo superiormente. En prticulr, supb es un cot superior de A, de donde supa supb. Del mismo modo se demuestr que si A B y B está cotdo inferiormente, entonces A está cotdo inferiormente e inf A inf B. Si A R es un conjunto cotdo superiormente y x = supa result pertenecer l conjunto A, diremos que x es el máximo de A, y escribiremos x = máxa (unque el conjunto A se infinito). Equivlentemente, x = máx A x A y x A. Es fácil comprobr que si A es un conjunto finito est definición de máximo coincide con l vist nteriormente. Nótese, sin embrgo, que unque A R esté cotdo superiormente el máximo de A no tiene por qué existir (unque, por supuesto, l existenci de supa está grntizd). Del mismo modo, si A R está cotdo inferiormente y x = inf A A diremos que x es el mínimo de A, y escribiremos x = mín A. Equivlentemente, x = mín A x A y x A. Al igul que ntes, un subconjunto no vcío de R cotdo inferiormente no tiene por qué tener un mínimo.

20 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL L propiedd rquimedin de los números reles Es intuitivmente clro que el conjunto de los números nturles no está cotdo en R. L demostrción riguros de este hecho es un consecuenci inmedit de l siguiente propiedd fundmentl de los números reles, que como vmos ver se deduce del xiom del supremo: Propiedd rquimedin de los números reles. Si x > 0 (x R) e y R, entonces hy un número nturl n N tl que nx > y. Demostrción. Consideremos el conjunto A de los múltiplos de x, es decir A = {nx R : n N}, que es obvimente no vcío. El enuncido que queremos probr equivle que y no es un cot superior de A (ó, como y es rbitrrio, que A no está cotdo superiormente). Pero si A estuvier cotdo superiormente entonces, por el xiom del supremo, existirí z = supa, y se tendrí nx z, n N. Como n + 1 N pr todo n N, de esto deducirímos que (n + 1)x z, n N nx z x, n N. Esto implicrí que z x < z serí un cot superior de A menor que z = supa, lo que es contrdictorio. Q.E.D. Tomndo x = 1 en l proposición nterior obtenemos que N no es cotdo superiormente (sí inferiormente, siendo inf N = mínn = 1), de donde se sigue fácilmente que Z (y por tnto Q, que contiene Z) es no cotdo, ni inferior ni superiormente. Un liger extensión de l propiedd rquimedin permite probr que ddo un número x R existe un único entero n Z tl que n x < n + 1. (Demostrción: se A el conjunto de los enteros myores que x. A es no vcío por l propiedd rquimedin, y está cotdo inferiormente por x. Por el principio de inducción, A tiene un elemento mínimo que denotremos por n + 1. En prticulr, x < n + 1 por ser n + 1 A, y x n por ser n + 1 el mínimo elemento de A. Por último, si m Z y m x < m + 1 entonces m 1 < x m, de donde se sigue que n m 1 < 0 < n m + 1 ó, equivlentemente, n = m.) Al entero n lo denominremos prte enter del número rel x, y lo denotremos [x] (por ejemplo, [3] = 3, [π] = 3, [ 3] = 3, [ π] = 4). Si en el enuncido de l propiedd rquimedin tommos y > 0, entonces nx > y 0 < y n < x, lo que prueb l siguiente

21 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 17 Proposición Si x > 0 e y > 0 son números reles, existe n N tl que 0 < y n < x. En prticulr, esto prueb que ddo y > 0 se tiene { y } inf n : n N = 0. Hy tmbién un propiedd rquimedin en l que interviene el producto en lugr de l sum: Proposición Si x > 1 e y son números reles, entonces existe n N tl que x n > y. Demostrción. Si y 0, podemos tomr n = 1. Si y > 0, bst considerr el conjunto A = {x n : n N}. Q.E.D Intervlos Un ejemplo muy importnte de subconjuntos cotdos (y, por tnto, que poseen supremo e ínfimo l vez) es el de los intervlos. Por definición, ddos dos números reles < b definimos el intervlo cerrdo el intervlo bierto y los dos intervlos semibiertos [,b] = {x R : x b}, (,b) = {x R : < x < b}, [,b) = {x R : x < b}, (,b] = {x R : < x b}. Los números < b se llmn respectivmente extremo superior e inferior del intervlo. Por convenio, si = b definimos [,] = {}. Es inmedito ver que un intervlo I de culquier de los tipos nteriores está cotdo, y que se tiene inf I =, supi = b. A veces es tmbién útil considerr intervlos no cotdos, pr los que utilizmos l siguiente notción: (,b) = {x R : x < b}, (,b] = {x R : x b}, (, ) = {x R : x > }, [, ) = {x R : x } y (, ) = R. Nótese que los símbolos ± se utilizn mermente por convenienci (no son números reles), de modo que ls definiciones nteriores se reduzcn formlmente ls de los intervlos cotdos si convenimos que x > y x < se stisfce pr todo número rel. Un consecuenci importnte de l propiedd rquimedin es l siguiente

22 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 18 Proposición Si < b, todo intervlo (,b) contiene un punto rcionl. Demostrción. En efecto, si h = b > 0 existe n N tl que 1 n < h. Si m = [n] Z entonces Por otr prte m n < m + 1 m n < m + 1 n. m + 1 n = m n + 1 n + 1 n < + h = b. Por tnto, hemos probdo que < m+1 n < b, lo que demuestr que m+1 n pertenece Q (,b). Q.E.D. Corolrio Todo intervlo de extremos < b (bierto, semibierto ó cerrdo) contiene infinitos puntos rcionles. Demostrción. El cso más desfvorble es el de un intervlo bierto (,b). Por l proposición nterior, q 1 Q (,b). Aplicndo hor l proposición l intervlo bierto (,q 1 ) probmos que q 2 Q (,q 1 ) Q (,b). De est form (plicndo reiterdmente l proposición nterior) se construye un conjunto infinito {q 1,q 2,...,q n,... } de rcionles contenido en el intervlo (,b) (y, por tnto, en culquier intervlo de extremos < b). Q.E.D. En términos topológicos, l proposición nterior se formul diciendo que Q es denso en R. Not: como el conjunto de los números rcionles es numerble y el intervlo de extremos < b no lo es, se sigue que todo intervlo de extremos < b contiene tmbién infinitos puntos irrcionles. Por lo tnto, el conjunto de los números irrcionles R Q tmbién es denso en R. Esto se puede probr fácilmente de form direct: cf. Spivk, problem 8-6.) Existenci de ríces n-ésims Otr consecuenci no trivil del xiom del supremo es l existenci de un ríz n-ésim de culquier número rel positivo, pr todo n N: Teorem Si x > 0 es un elemento de R y n N, entonces hy un único número y > 0 en R tl que x = y n. Demostrción. Consideremos el conjunto A = { R : 0 y n x}. Está clro que este conjunto es no vcío (0 A) y está cotdo superiormente: en efecto, si 0 < x 1 entonces A está cotdo por 1 (y que

23 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 19 > 1 n > 1 x), mientrs que si x > 1 entonces A está cotdo por x (y que > x > 1 n > x n > x). Si y = supa, es clro que y > 0, y que si x 1 entonces 1 A, y si 0 < x < 1 entonces 0 < x n < x x > 0, x A. Vemos continución que efectivmente se cumple l iguldd y n = x. En efecto, supongmos primero que fuer y n < x; entonces probremos que A tl que > y, lo cul contrdice el que y = supa. Pr ver esto, se ɛ = x y n > 0, y se 0 < h < 1. Por l fórmul del binomio de Newton (y + h) n = y n + h Tomndo h = mín ( 1 2, ɛ n k=1 ( ) n h k 1 y n k y n + h k = y n + h[(y + 1) n y n ]. (y+1) n y n ) n k=1 ( ) n y n k k entonces 0 < h < 1, por lo que = y + h cumple que > y = supa > 0 y n = (y +h) n y n +ɛ = x, lo cul implic que A y contrdice l iguldd y = supa. Supongmos hor que fuer y n > x; demostrremos continución que hy un cot superior de A estrictmente menor que y, lo que de nuevo contrdice l definición y = supa. En efecto, si ɛ = y n x > 0 y 0 < h < 1 obtenemos como ntes (y h) n = y n h y n h Tomndo h = mín n ( n k n ( n k k=1 k=1 ( y, 1 2, ɛ ) ( 1) k 1 h k 1 y n k y n h n k=1 ) y n k = y n h[(y + 1) n y n ]. (y+1) n y n ) ( ) n h k 1 y n k k entonces 0 < h < 1, por lo que z = y h cumple que 0 z < y = supa y z n = (y h) n y n ɛ = x, lo cul implic que z es un cot superior de A y contrdice l iguldd y = supa. Por último, pr probr l unicidd bst notr que si 0 < y 1 < y 2 entonces y1 n < yn 2. Q.E.D. Llmremos l único número y > 0 tl que y n = x l ríz n-ésim de x, y lo denotremos por n x ó x 1/n. De l unicidd de l ríz n-ésim se siguen tods ls propieddes elementles del cálculo con ríces. Por ejemplo x > 0, y > 0 = (xy) 1 n = x 1 ny 1 n; en efecto, ( 1 ) x ny 1 n ( 1 ) n ( 1 n = x n y n) n = xy. Otr propiedd elementl es que ( x 1 m ) 1 n = x 1 mn,

24 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 20 y que [ (x 1 m ) 1 ] mn {[ (x 1 n = m ) 1 ] n } m ( 1 n = x m) m = x. Tmbién es fácil comprobr l identidd (x m ) 1 n = ( x 1 n) m, x > 0, m,n N. Se, de nuevo, x > 0. Si n N es pr (es decir, si n = 2m pr lgún m N), l ecución y n = x tiene exctmente dos soluciones: y 1 = x 1 n > 0, y 2 = x 1 n < 0. En efecto, hemos visto que si y > 0 l ecución nterior tiene un solución únic que es por definición x 1/n, mientrs que si y < 0 entonces poniendo y = z con z > 0 l ecución se convierte en ( 1) n z n = ( 1) 2m z n = ( ( 1) 2) m z n = z n = x, que de nuevo tiene l solución únic z = x 1 n, lo cul implic que y = z = x 1 n. Por tnto y n = x y = ±x 1 n (x > 0, n pr). Si n es impr (es decir, n = 2m 1 pr lgún m N) y x > 0, entonces l ecución y n = x tiene l solución únic y = x 1 n. En efecto, bst tener en cuent que si y < 0 y n = 2m 1 es impr entonces Por tnto se cumple y n = y 2m 1 = y 2(m 1) y = ( y m 1) 2 y < 0. y n = x y = x 1 n (x > 0, n impr). Se hor x < 0. Si n es pr, l ecución y n = x no tiene ningun solución, y que n pr implic y n 0. Por tnto, en este cso el número x no tiene ningun ríz n-ésim: x < 0, n pr = y R tl que y n = x. Por el contrrio, si n es impr entonces l ecución y n = x tiene exctmente un solución y = ( x) 1 1 n = x n < 0. En efecto, l ser x < 0 h de ser y = z < 0. Sustituyendo en l ecución y n = x y teniendo en cuent que n es impr obtenemos l ecución z n = x > 0, lo que prueb nuestr firmción. Definiremos en este cso n x = x 1/n = y, es decir y n = x y = n x = n x = n x (x < 0, n impr). En prticulr, si x > 0 entonces x 1/n n x > 0, mientrs que si x < 0 y n es impr entonces x 1/n n x < 0.

25 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL Potencis Si r Q, podemos escribir r = p q con p Z, q N. Si x > 0, definimos entonces x r = ( x 1 ) q p ( = x p ) 1 q. Nótese que est definición tiene sentido, y que si m N x mp mq = ( x 1 ) [( mq mp (x 1) 1 ) m ] p ( 1) = q m = x q p. Se demuestr fácilmente que con est definición se cumplen ls regls usules de ls potencis, es decir x r+s = x r x s = 1 x r = x r x rs = ( x r) s (xy) r = x r y r r,s Q, x > 0, y > 0 (x,y R). Si x < 0, l definición nterior en generl no funcion, y que en este cso n x no existe si n N es pr. En este cso sólo podemos definir x r con r Q si l poner r en l form p q con p Z, q N y ( p,q) primos entre sí el número ( ) nturl q es impr. Si r es de est form, definimos de nuevo x p p. q = x 1 q Puede verse entonces que ls regls nteriores siguen siendo válids tmbién en este cso si tnto r como s stisfcen l condición nterior. Utilizndo lo nterior, se puede definir x pr todo > 0 ( R) y pr todo x R. En efecto, empecemos por suponer que > 1. Lem Si R, > 1, r,s Q y r < s, entonces r < s. Demostrción. El número s r > 0 es rcionl, por lo que existirán p,q N tles que s r = p/q. Si z = s r = ( p ) 1/q, entonces z > 1, y que si fuer z < 1 llegrímos l contrdicción z q = p < 1. Multiplicndo l desiguldd s r > 1 por r > 0 llegmos l desiguldd desed. Q.E.D. Definmos continución los conjuntos A = { r : r < x, r Q}, A + = { r : r > x, r Q}. Entonces A < A + (y tnto A como A + obvimente no vcíos) implic (ejercicio) que A está cotdo superiormente, A + está cotdo inferiormente y supa inf A +. De hecho, puede probrse l siguiente Proposición supa = inf A +.

26 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 22 Demostrción. Bst probr que ddo culquier ɛ > 0 existen r,s Q tles que r < x < s y s r < ɛ (ddo que r < supa inf A + < s ; vése l últim propiedd 1.4.2). Empecemos probndo que pr todo ɛ > 0 existe q N tl que 1/q 1 < ɛ. Como mbos miembros de l desiguldd 1/q < 1+ɛ son positivos (myores que 1), bst ver que existe q N tl que < (1+ɛ) q. Pero esto último es consecuenci de l propiedd rquimedin multiplictiv. Ddo ɛ > 0, se t Q tl que t > x, se q N tl que 1/q < 1 + t ɛ, y se r Q (x 1 q,x). Si s = r + 1 q entonces r < x < s y s r = r ( 1/q 1) < r t ɛ < ɛ. Q.E.D. Por definición, x = supa = inf A +. Con esto hemos definido x pr > 1. Si 0 < < 1, guidos por ls propieddes básics de ls potencis de exponente rcionl definimos definimos x = 1 ( 1 ) x, y que 1/ > 1 si < 1. De est form tenemos definido x pr 0 < 1. Finlmente, definimos 1 x = 1, x R 0 x = 0, x R, x > 0. Nótese, en prticulr, que 0 x no está definido si x 0, y que tmpoco se h definido x cundo < 0 y x es un rel rbitrrio ( menos que x se un número rcionl cuy expresión en form de frcción irreducible teng denomindor impr). Con ests definiciones, ls propieddes de ls potencis son ls misms que y vimos pr potencis con exponente rcionl. Not. Es inmedito que si > 0 y x Q l definición de x que cbmos de ver coincide con l definición de potenci de exponente rcionl dd nteriormente. Ejercicio. Sen y x números reles. Probr que > 1, x > 0 = x > 1; 0 < < 1, x > 0 = 0 < x < 1 > 1, x < 0 = 0 < x < 1; 0 < < 1, x < 0 = x > 1. Solución. Si > 1 y x > 0, tomndo r Q (0,x) y plicndo el Lem 1.28 obtenemos 1 = 0 < r supa = x. Esto prueb l desiguldd pedid pr > 1 y x > 0. Ls demás desigulddes son consecuencis inmedits de ést. Por ejemplo, si 0 < < 1 y x < 0 entonces

27 CAPÍTULO 1. LA RECTA REAL 23 1 > 1, x > 0 = ( ) 1 x = 1 x = x > 1. Ejercicio. Probr que si,x,y R se cumple > 1, x < y = x < y ; 0 < < 1, x < y = x > y. (1.1) Solución. Supongmos primero que > 1. Al ser y x > 0, por el ejercicio nterior se verific y x > 1. Multiplicndo por x > 0 se obtiene l primer desiguldd. L segund desiguldd es consecuenci inmedit de l primer. Ejercicio. Probr que si, b, x R se cumple 0 < < b, x > 0 = x < b x ; 0 < < b, x < 0 = x > b x. (1.2) Solución. Si 0 < < b entonces b/ > 1 implic, por el primer ejercicio, que (b/) x = b x / x > 1 si x > 0 y (b/) x = b x / x < 1 si x < 0. Multiplicndo mbos miembros de ests desigulddes por x > 0 se obtienen ls desigulddes propuests.

28 Cpítulo 2 Funciones reles de vrible rel 2.1. Definición. Dominio, imgen y gráfic. Informlmente, un función entre dos conjuntos A y B es un regl que ciertos elementos del conjunto A les sign un elemento bien definido del conjunto B. Por ejemplo, l regl que cd ciuddno espñol le sign su esttur expresd en centímetros es un función del conjunto A de todos los ciuddnos espñoles l conjunto R de los números reles. A nosotros nos interesrán csi exclusivmente ls funciones reles de vrible rel, pr ls cules A y B son subconjuntos de R. Por ejemplo, un tl función es l función f que cd número rel x le soci su cudrdo x 2 (función cudrdo), ó l función g que cd número rel x 0 le soci su ríz cudrd x (función ríz cudrd). Si f es un función entre A y B, escribiremos f : A B; nótese que est notción no signific que f esté definid pr todo elemento de A. Ddo un A pr el que f esté definid, denotremos por f() (imgen de bjo f, ó vlor de f en ) l elemento de B signdo por f l elemento A. Al subconjunto de A formdo por todos los elementos A pr los cules f() está definido lo denominremos dominio de l función f, y lo denotremos por dom f. Análogmente, l conjunto de todos los elementos de B que son l imgen de lgún elemento de A bjo f, es decir l conjunto {y B : A tl que y = f()} = {f() : dom f} le denominremos imgen de l función f, y lo denotremos por im f ó f(a) indistintmente. En prticulr, dom f A, im f B. Ejemplo 2.1. Se f : R R l función definid por f(x) = x

29 CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 25 Entonces dom f es el subconjunto de R tl que x 2 1 0, es decir dom f = {x : x 1} = (, 1] [1, ). Como 0 pr todo 0, l imgen de f está contenid en [0, ). Pr ver si l imgen de f coincide con este conjunto, hy que determinr si pr todo y 0 existe x dom f tl que x 2 1 = y. Esto es cierto, y que l ecución nterior tiene obvimente ls dos soluciones x = ± 1 + y 2 domf. Luego en este cso im f = [0, ). Más formlmente (ddo que el concepto de regl es un tnto impreciso), podemos considerr un función como determind por su vlor en todos los puntos de su dominio, es decir por todos los pres ordendos de l form (,b), donde es un elemento de A pr el que f está definid y b = f() es l imgen de A bjo f. Por ejemplo, l función ríz cudrd está determind por todos los pres de l form (x, x), donde x R es un número rel no negtivo. Equivlentemente, l función ríz cudrd qued perfectmente definid por el conjunto { (x, x) : x R, x 0 }. Evidentemente, si (,b 1 ) y (,b 2 ) son dos pres ordendos socidos l mism función f entonces b 1 = f(), b 2 = f() = b 1 = b 2. Ests considerciones justificn l siguiente definición forml de función: Definición 2.2. Un función f : A B es un subconjunto del producto crtesino A B con l siguiente propiedd: (,b) f, (,c) f = b = c. Por ejemplo, el subconjunto { (x,x 2 ) : x R } R R define un función R R (l función cudrdo), mientrs que { (x,y) R R : x 2 + y 2 = 1 } R R no define un función de R en R, ddo que por ejemplo tnto (0,1) como (0, 1) pertenecen dicho conjunto. Est definición precis de función implic que dos funciones f : A B y g : A B son igules si determinn el mismo conjunto de A B, es decir si

30 CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 26 i) dom f = domg ii) f(x) = g(x), x dom f = dom g Por ejemplo, l función f : R R definid por f(x) = x 2 y l función g : R R definid por g(x) = (x + 1) 2 2x 1 son igules. Ejemplo 2.3. Sen f : R R y g : R R ls funciones definids respectivmente por f(x) = x y g(x) = x 2. Entonces dom f = dom g = R, y f(x) = g(x) pr todo x 0. Sin embrgo, f g, y que f(x) < 0 si x < 0 y g(x) 0 pr todo x R. De hecho, se tiene x 2 = x 2 = x, x R. Si f : R R es un función, su gráfic es el subconjunto del plno R R determindo por f, es decir el conjunto {( x,f(x) ) : x dom f }. Por definición de función, este conjunto tiene l propiedd de que un rect verticl x = ó bien no lo cort (si / dom f) o bien lo cort en un sólo punto (si dom f). x 1/2 (x, x 1/2 ) x Figur 2.1: gráfic de l función ríz cudrd 2.2. Funciones inyectivs, supryectivs y biyectivs Un función f : A B se dice inyectiv (ó uno-uno) si puntos distintos de dom f tienen imágenes distints: Equivlentemente, f es inyectiv si x,y dom f, x y = f(x) f(y) x,y dom f, f(x) = f(y) = x = y.

31 CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 27 L función f : A B se dice supryectiv (ó sobreyectiv) si todo punto de B es l imgen bjo f de un punto de domf: En otrs plbrs, y B, x dom f tl que y = f(x). f es supryectiv im f = B. Nótese que el ser f inyectiv ó supryectiv depende de l elección de los conjuntos A y B. Por ejemplo, si tommos B = im f entonces f es utomáticmente supryectiv. Not. En términos de l gráfic, f : R R es inyectiv si tod rect horizontl cort su gráfic lo sumo en un punto, y es supryectiv si tod rect horizontl cort l gráfic por lo menos en un punto. Ejemplo 2.4. L función f : R R definid por f(x) = x 2 no es inyectiv, y que f( x) = f(x), pr todo x R. Tmpoco es supryectiv, y que im f = [0, ). Sin embrgo, l función g : [0, ) R definid por g(x) = x 2 sí es inyectiv, y que x 0, y 0, x 2 = y 2 = x = y. Nótese que f y g no son igules, y que dom f dom g. De hecho, l ser dom g dom f y f(x) = g(x) pr todo x dom g se suele decir que g es l restricción de f l conjunto [0, ). Por último, l función h : [0, ) [0, ) definid de nuevo por h(x) = x 2 es l vez inyectiv y supryectiv. Definición 2.5. Un función f : A B es biyectiv si dom f = A, y f es l vez inyectiv y supryectiv. Por ejemplo, l función h del ejemplo nterior es biyectiv. En términos de l gráfic, f : R R es biyectiv si tod rect horizontl cort su gráfic exctmente en un punto. El ejemplo más obvio de función biyectiv es l función identidd I A : A A, definid por I A (x) = x, x A. Cundo se clro por el contexto (ó irrelevnte) cuál es el conjunto A escribiremos simplemente I en lugr de I A. Es inmedito probr el siguiente resultdo: Proposición 2.6. Un función f : A B es biyectiv si y sólo si f es invertible, es decir si y sólo si existe g : B A tl que g ( f(x) ) = x, x A y f(g(y)) = y, y B. (2.1)

32 CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 28 Diremos que l función g : B A que cumple (2.1) es l invers de l función invertible f, y escribiremos g = f 1. Nótese que según est definición l función g tmbién es invertible (y por tnto biyectiv), siendo g 1 = f. En otrs plbrs, se cumple ( f 1 ) 1 = f, y nálogmente pr g. L relción entre f y f 1 se puede expresr concismente en l form siguiente: y = f(x) x = f 1 (y), (x A, y B). Ejemplo 2.7. Se h : R R l función definid pr todo x R por h(x) = x 2 x. Pr ver si est función es biyectiv, bst comprobr que l ecución en x x 2 x = y tiene un solución únic pr todo y R. (Si ésto es sí, pr cd y l solución de est ecución es precismente h 1 (y)). Completndo el cudrdo obtenemos l ecución equivlente ( 1) 2 1 x = y Est ecución tiene solución si y sólo si y 1/4; por tnto, imh = [ 1/4, ). Sin embrgo, pr y > 1/4 l ecución nterior tiene dos soluciones distints x = 1 2 ± y + 1 4, un de ls cules es myor que 1/2 y l otr menor que 1/2. Por tnto, l función h no es ni inyectiv ni biyectiv. Sin embrgo l función f : [1/2, ) [ 1/4, ) definid de nuevo por f(x) = x 2 x es invertible, siendo su invers l función f 1 : [ 1/4, ) [1/2, ) definid por f 1 (y) = y + 1 4, y 1 4 (y nálogmente pr l restricción de h l intervlo infinito (, 1/2] considerd como función (, 1/2] [ 1/4, ).) Todo esto es muy fácil de comprender intuitivmente dibujndo l gráfic de h (fig. 2.2).

33 CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 29 1/4 1/2 Figur 2.2: gráfic de l función h(x) = x 2 x 2.3. Composición de funciones Lo nterior se puede formulr de mner más concis utilizndo el concepto de composición de funciones. Por definición, si f : A B y g : B C l composición de g con f es l función g f : A C definid por El dominio de g f es el conjunto (g f)(x) = g ( f(x) ). dom(g f) = {x dom f : f(x) dom g} dom f; en prticulr, g f estrá definid sólo si dicho conjunto es no vcío. Por ejemplo, si f : R R y g : R R están definids respectivmente por f(x) = 1 x 2 y g(x) = 4 x entonces g f no está definid. Nótese tmbién que el orden es importnte en l notción g f, y que en generl g f f g. Por ejemplo, en este cso (f g)(x) = f ( g(x) ) = f(x 1/4 ) = 1 (x 1/4 ) 2 = 1 x, x 0. Utilizndo el concepto de composición, podemos formulr l Proposición 2.6 como sigue: f : A B es invertible si y sólo si existe g : B A tl que f g = I B, g f = I A Funciones monótons Un función f : R R es monóton creciente si x,y dom f, x < y f(x) < f(y),

34 CAPÍTULO 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 30 y monóton no decreciente si x,y dom f, x < y f(x) f(y), L función f es monóton decreciente ó monóton no creciente si f es monóton creciente o monóton no decreciente, siendo ( f)(x) = f(x), x dom f. En otrs plbrs, f es monóton decreciente ó monóton no creciente si ó x,y dom f, x < y f(x) > f(y) x,y dom f, x < y f(x) f(y), respectivmente. Finlmente, diremos que f es estrictmente monóton si es monóton creciente ó decreciente. Es clro que un función estrictmente monóton es inyectiv, y por tnto será biyectiv si y sólo si es supryectiv. Ejercicio. Probr que si f es estrictmente monóton e invertible entonces f 1 es monóton del mismo tipo que f Logritmos Ddo > 0, consideremos l función f : R (0, ) definid por f (x) = x pr todo x R (obsérvese que x > 0 pr todo x R). Por ls propieddes de ls potencis vists en el cpítulo nterior (ec. (1.1)), si 0 < < 1 f es monóton decreciente, mientrs que pr > 1 f es monóton creciente (f 1 es l función constnte 1). Por tnto, si 1 > 0 l función f es inyectiv. Se puede ver (cf. l gráfic de ests funciones) que pr estos vlores de l función f es tmbién supryectiv, y por tnto biyectiv: Demostrción. Supongmos, en primer lugr, que > 1; hy que probr que pr todo y > 0 existe x R tl que x = y. Pr ello considermos el conjunto A = { t R : t < y }. A es no vcío por l propiedd rquimedin multiplictiv de R (l ser > 1, existe p N tl que p > 1/y, y por tnto p A). Además, A está cotdo superiormente, y que (de nuevo por l propiedd rquimedin multiplictiv) existe q N tl que q > y, y l ser > 1 de esto se sigue que A < q. Por tnto, existe x = supa; probremos continución que x = y. En efecto, si fuer x < y entonces podrímos escoger (un vez más por l propiedd rquimedin multiplictiv) n N tl que (y x ) n >.