Trabajo Práctico N 6: ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR

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Claudia Cordero Navarro
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1 Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 4 Trjo Práctico N : ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR Ejercicio : Determine cuáles de ls siguientes expresiones define un producto interior en cd espcio ectoril indicdo comprondo los xioms en los csos firmtios y mostrndo qué xioms no se cumplen en los csos negtios. ) VIR 3 es el producto interior euclidino en IR 3 u V y V. ) VIR 3u + u u (u u ) V y ( ) V. c) VIR 3 u u + u 3 3 u (u u u 3 ) V y ( 3 ) V. d) VM <A B> det(a.b) A V y B V. Ejercicio : Complete l siguiente tl considerndo el producto interior definido en cd espcio ectoril indicdo. II u II d(u ) Anu ) VIR producto esclr euclidino u() ( -) VIR 3 u + u +4 u 3 3 u() (-3) VM <A B> ua B Ejercicio 3: Sen u y ectores culesquier de un espcio ectoril V con producto interior: ) Demuestre que II u + II + II u - II II u II + II II. ) Verifique l identidd demostrd en el ítem ) pr VIR u + u u ( -) V y (- ) V.

2 Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 4 Ejercicio 4: Pr u y w ectores tles que -3 < w>4 II u II3 II II y II w II elúe ls siguientes expresiones. ) < w 4u + w> ) c) II u + II d) II u 3 + w II Ejercicio : Compruee l desiguldd de Cuchy-Schwrz pr los siguientes ectores en los espcios ectoriles con producto interior indicdos: ) VIR 3u + u u (- ) V y ( ) V. - ) VM <A B> A V y B 3 V. Ejercicio : Sen u y ectores del espcio ectoril VIR 3 con producto interior euclidino hlle de ser posile los lores posiles de k de modo que u y sen ortogonles en cd uno de los siguientes csos: ) u (- 3) y ( k -) ) u ( k -) y (k 3k ) Ejercicio 7: Complete l siguiente tl según correspond considerndo en cd espcio ectoril indicdo el producto interior euclidino. Ortogonl V Conjunto Normlizdo Ortonorml Bse dev Bse Ortonorml de V IR {() ( )} IR {(-) ( )} X X IR 3 X X X IR 3 {(/ / ) (..) (/ -/ )} X X X X X IR 4 {(- ) ( )}

3 Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 4 Ejercicio 8: Se H l rect de IR 3 de ecuciones prmétrics x t y -t z 4t t IR: ) Determine el suespcio W de IR 3 que descrie todos los ectores ortogonles H considerndo el producto interior euclidino. ) Oteng l medid del ángulo entre W y el plno de ecución x - 3y z. Ejercicio 9: Determine el lor de erdd de ls siguientes proposiciones. Demuestre ls erdders y proporcione contrejemplos pr ls flss. ) Si u y son ectores ortogonles en un espcio ectoril con producto interior V tles que II u II II II entonces II u - II. ) Todo conjunto de ectores linelmente independiente de IR n es un conjunto ortogonl. c) Si u es un ector de un espcio ectoril con producto interior V y k IR entonces II k u II I k I II u II. d) Todo conjunto ortogonl de IR n es un se de IR n. e) Sen u y w ectores de un espcio ectoril con producto interior V si w es ortogonl l ector u y l ector entonces w es ortogonl tod cominción linel de u y. Ejercicio (OPCIONAL): Un producto interior socido con el cálculo. ) Sen f y g dos funciones continus en el interlo cerrdo [ ]. Se demostrrá que f es un producto interior sore el espcio de tods ls funciones continus definids en [ ]. ) Use el producto interior definido en el ítem ) pr clculr f pr cosπx y senπx con x en [ ]. c) Clcule II f II pr sen(π con x en [ ]. ) Sen f g y s funciones en dicho espcio y k un número rel:. f g f. f + g ( + ) + f + g 3. k f k k k f

4 Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 4 4. f f f ( por ser f ( pr todo x en [ ]. Además por ser f continu y f ( en [ ] f ( si y sólo si f ( pr todo x en [ ]. Por lo tnto se tiene que f f si y sólo si f. Por lo tnto se erificn todos los xioms de l definición de producto interior. ) c) f sen (π f coπ sen(πx ) f π + co4 ) co ) co ) cos ( ) πx f f πx πx πx x co4π + 4π + f Ejercicio (OPCIONAL): Proyección ortogonl. Si P es un punto en el espcio tridimensionl ordinrio y W es un plno que ps por el origen entonces el punto Q en W más próximo P se otiene l trzr un perpendiculr de P W. El ector w (Figur ) se denomin proyección ortogonl de u sore W y se denot proy W u y el ector w (w u-proy W u) se denomin componente de u ortogonl W. Si { r } es un se ortonorml de W entonces: proy W u + + r Si l distnci entre P y W está dd por II u - proy W u II. O u w proy W u P w u-proy W u Q Figur Se W el plno en IR 3 de ecución x- y - z :

5 ) Hlle un se ortonorml pr W. ) Determine el ector de W más próximo l ector u (- ) V. c) Oteng l distnci de u W. Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 4 ) Si w W entonces w (y + z y z) y( ) + z( ) con y z IR luego un se pr W es: B {( ) ()} {u u } se dee hllr entonces un se ortonorml pr W digmos B { }. Aplicndo el proceso de Grm-Shmidt tendremos un se ortogonl { }: u () u u () () ( ) Sólo flt normlizr los ectores: ( ) ( Luego un se ortonorml pr W es: B ) { ( );( ) } ) El ector de W más próximo l ector u (- ) V es proy W u donde proy W u + siendo { } un se ortonorml de W. proy u u + u W Entonces ( ) + ( ) 3 proy W u ( ) 3 3 c) L distnci de u W d(u W) está dd por II u - proy W u II. u proy W u ( ) ( ) ( ) ( ) d( u W ) ( )

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