Trabajo Práctico N 6: ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR

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1 Fcltd Regiol Medoz. UTN Álger Geometrí Alític 8 Trjo Práctico N 6: ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR Ejercicio : Pr cd espcio ectoril idicdo lice cáles de ls sigietes expresioes deie prodcto iterior. Pr ello compree qe se cmple los xioms correspodietes e los csos irmtios mestre qé xioms o se cmple e los csos egtios. ) V es el prodcto iterior eclidio e. V 6 ). V c). V V Mx AB det A.B AB d). e) V. Ejercicio : Complete l sigiete tl cosiderdo el prodcto iterior deiido e cd espcio ectoril idicdo. V prodcto esclr - V 4 V M x AB A B d Ág

2 Fcltd Regiol Medoz. UTN Álger Geometrí Alític 8 Ejercicio : Se ectores clesqier de espcio ectoril V co prodcto iterior. Demestre qe: ) ) 4 4 Ejercicio 4: Siedo qe so ectores tles qe 5 determie: ) ) Ejercicio 5: Se w ectores tles qe w 4 w es ector itrio. Clcle w 4w. Ejercicio 6: Pr 6 w w ) w ) w ectores tles qe w so ortogoles 4 w es ector itrio elúe ls sigietes expresioes. Ejercicio 7: Se los ectores -. co el prodcto iterior de deiido por ) Veriiqe l desigldd de Cch-Schwrz l triglr pr dichos ectores. ) Determie el lor de w de modo qe el ector w 4 c) Hlle ector itrio e l direcció de. se ortogol. w

3 Fcltd Regiol Medoz. UTN Álger Geometrí Alític 8 Ejercicio 8: Cosidere el espcio ectoril co el prodcto iterior deiido por 6. Determie de ser posile el/los lor/es de k de modo qe el cojto k k ; k - - reslte cojto de ectores ortogoles. Ejercicio 9: Complete l sigiete tl segú correspod. Cosidere e cd espcio ectoril idicdo el prodcto iterior eclidio. V Cojto Norm -lizdo Ortogol Ortoorml Bse de V Bse ortoorml de V ;... ;... X X X X X X X X X X 4 ; - Ejercicio : Se H l rect de de ecció crtesi prmétric x t 5t z 4t t ) Determie el sespcio W de qe descrie todos los ectores ortogoles H cosiderdo el prodcto iterior eclidio e. ) Oteg l medid del áglo etre W el plo de ecció x z.

4 Fcltd Regiol Medoz. UTN Álger Geometrí Alític 8 Ejercicio : Determie el lor de erdd de ls sigietes proposicioes. Demestre ls erdders proporcioe cotrejemplos pr ls lss. ) Si so ectores ortogoles e espcio ectoril co prodcto iterior tles qe etoces. ) Todo cojto de ectores lielmete idepediete de c) Los ectores - -- co el prodcto iterior de es cojto ortogol. deiido por 5 so ortogoles. d) Si es ector de espcio ectoril co prodcto iterior V k k. k etoces e) Todo cojto ortogol de ectores de es se de ) Se w ectores de espcio ectoril co prodcto iterior V si w es ortogol l ector l ector etoces w es ortogol tod comició liel de.. Ejercicio : PROYECCIÓN ORTOGONAL Si P es pto e el espcio tridimesiol ordirio W es plo qe ps por el orige etoces el pto Q e W más próximo P se otiee l trzr perpediclr de P W. Se OP el ector w (Figr ) se deomi proecció ortogol de sore W se deot prow el ector w (w= -prow) se deomi compoete de ortogol W. Si el cojto { r} es se ortoorml de W etoces: prow = < > + < > + < r>r L distci etre P W está dd por II - prow II. O w = pro W P w =-pro W Q Figr 4

5 Fcltd Regiol Medoz. UTN Álger Geometrí Alític 8 Se: W el plo e de ecció x- - z = B ; 6 se ortoorml pr W. ) Determie el ector de W más próximo l ector = (- ). ) Oteg l distci de W. Ejercicio (OPCIONAL): U prodcto iterior socido co el Cálclo ) Se g expresió g dos cioes cotis e el iterlo. Demestre qe l sigiete xgxdx deie prodcto iterior sore el espcio de tods ls cioes cotis deiids e. ) Utilice el prodcto iterior deiido e el ítem () pr clclr pr l ció x cos x pr l ció g g x se x co. dd por pr gx sex c) Clcle Solció g co x. g dd por x ) Se g h cioes cotis e el iterlo. Se k. g x g x dx g x x dx g. gh ( x g x ) h x dx x h x dx. h k g k x g x dx k g x. x dx k g 4. x xdx xdx por ser x Además por ser g x h x dx h g pr todo x. coti x e xdx si sólo si x todo x. Por lo tto se tiee qe si sólo si. Lego g es prodcto iterior. pr ) g cosx sex se x dx c) cosx cosx dx cos x se 4x x 4 dx g cos 4x dx 5