es ligada, siendo v V Dos subespacios F y G de V son suplementarios si y solo si se verifica:

Transcripción

1 1- Dado el sbcojto F={ ( λ μ, λ,μ, μ) R / λ, μ R} de R, se verifica qe: a) dim F= b) {(1,1,0,0),(-,0,,-1)} es a base de F c) F o es sbespacio vectorial de R - E sistema ligado, se verifica qe: a) Agregado otro vector es libre b) Todo sbcojto de él es ligado c) Existe vector qe es combiació lieal de los restates - Sea espacio vectorial de dimesió, etoces: a) Todo sistema de geeradores tiee úmero de vectores igal o meor qe b) Todo sistema de vectores qe tega más de vectores es ligado c) Todo sistema de vectores qe tega meos de vectores es libre - Sea F a recta vectorial de R y F sbespacio splemetario de F Se verifica: a) F pede ser plao vectorial calqiera de R b) F es a recta vectorial de R c) F es calqier plao vectorial de R qe o cotega a F 5- Sea V(R) espacio vectorial, si dim (V) =, etoces: a) Todo sbcojto F de V co vectores es base de V(R) b) Todo sistema geerador de V tiee vectores c) El máximo úmero de vectores liealmete idepedietes es 6- Sea F y G dos sbespacios vectoriales de R a) F G es sbespacio vectorial de R b) F G es sbespacio vectorial de R c) Niga de las ateriores 7- U sistema geerador G de R : a) Está costitido por vectores b) Está costitido por vectores liealmete idepedietes etre sí c) Calqier vector de R es combiació lieal de los vectores de G 8- E el espacio vectorial R, la ecació geeral de hiperplao es de la forma a) Ax+By+Cz=0, A, B, y C o todos los b) Ax+By+Cz+D=0, A, B, y C o todos los c) (x,y,z)= λ (a,b,c), λ R,, de vectores de V(R), es ligada, podemos asegrar: 9- Si la familia { } 1 a) 1 es combiació lieal de y b) dim V < c) { 1,,, v} es ligada, siedo v V 10- Dos sbespacios F y G de V so splemetarios si y solo si se verifica: a) F G = { 0} b) F G = V c) F + G = V y F G = { 0} 11- Sea A Mmx (R) tal qe rago(a)=r, se verifica: a) Todos los meores de orde r de A so distitos de cero b) El sbespacio geerado por los vectores fila de A tiee dimesió r U D de Matemáticas de la ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 5

2 de r Espacio Vectorial c) El sbespacio geerado por los vectores colma de A pede teer dimesió distita { R / λ, μ R} 1- Dado el sbcojto F ( λ μ, λ + μ,μ, μ) = de R, se verifica a) dim F = 1 b) {( 1,1,0,0),( 1,1,, ) } es sistema geerador de F c) {( 1,0,0,0),(0,1,0,0) } es a base de F 1- Sea F y G dos sbespacios vectoriales de R a) F G es sbespacio vectorial de R b) F G es sbespacio vectorial de R c) F + G = R 1- Sea F y G dos sbespacios vectoriales de R, B y B dos bases de F y G respectivamete, etoces: a) B B' es base de F G b) B B' es sistema geerador de F+G c) B B' es base de F+G 15- Si G = { 1,,, m} es sistema geerador de R, podemos asegrar: a) m= b) m c) m 16- Sea A a matriz de rago r Podemos afirmar qe: a) Todos los meores de A de orde r so distitos de cero b) El sbespacio egedrado por los vectores fila de A es de dimesió r c) A tiee r filas liealmete idepedietes, pero, o podemos asegrar lo mismo de las colmas 17- U hiperplao de R es: a) Ua recta b) U plao c) {0} 18- Cál de las afirmacioes sigietes es falsa? a) E R todas las bases tiee vectores b) Toda familia de vectores de R es libre c) Toda familia libre de R tiee como máximo vectores (1,0),(0,1) B' = (,),(, ) es: 19- La matriz de cambio de base e R de la base B = { } a la base { } a) ; b) ; c) 0- Sea E y F dos sbespacios vectoriales de espacio vectorial V, tales qe: dim(e+f)=dim(e)+dim(f), etoces: a) E y F so sbespacios splemetearios b) E+F=V c) E F = { 0} 1- Si S = { e 1,e,e, e } es sistema de geeradores de espacio vectorial V, etoces podemos afirmar qe: a) dim V 6 U D de Matemáticas de la ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía

3 b) dim V = c) dim V < - Sea B = { 1,,, } a base de espacio vectorial V Podemos afirmar: a) 1 = (1,0,0,,0) respecto de la base caóica b) = (0,1,0,,0) respecto de la base B c) 1 + = (1,1,0,,0) respecto de la base caóica - Sea B a base de V y G sistema geerador de V Se verifica: a) B y G tiee el mismo úmero de vectores b) B y G está costitidos por vectores liealmete idepedietes c) V = < B > y V = < G > - Sea B 1 y B dos bases de V y M la matriz de cambio de base de B 1 a B Si X 1 y X so los vectores de coordeadas de vector geérico V respecto de B 1 y B respectivamete Se verifica: a) La ecació de dicho cambio es X 1 = M X b) La ecació de dicho cambio es X = M X 1 c) El rago de M o tiee porqé ser 5- Se sabe qe {a, b, c} es a base de V Cál de las afirmacioes sigietes es FALSA? a) {a, b, c} es libre b) a = 0 c) {a, b, c} es base de V Sea P = 5 0 la matriz del cambio de base de B = { a,b,c} a B' = {, v, w}, etoces: 6 a) a = + v + 6w b) v = 5b + c c) c y w so liealmete idepedietes 7- Sea V espacio vectorial de dimesió, etoces: a) No hay sistemas ligados co más de vectores b) No hay sistemas libres co más de vectores c) Los sistemas libres tiee todos vectores 8- Sea V espacio vectorial de dimesió, etoces: a) Calqier sistema de vectores co meos de elemetos es libre b) U sistema libre de V tiee como mcho vectores c) Hay sistemas geeradores co vectores qe o so base de V 9- Cál de las afirmacioes sigietes es la verdadera? F = x, y,z R / x + y = z es sbespacio vectorial de R de dimesió { } { R / x = y = z} { R / x + y = z + 1} a) ( ) b) F ( x, y,z) c) F ( x, y,z) = es sbespacio vectorial de R de dimesió = es sbespacio vectorial de R de dimesió 0- Sea V espacio vectorial de dimesió, etoces: a) Calqier sistema libre de V tiee como máximo vectores b) Calqier sistema ligado de V tiee como míimo vectores c) Pede existir a base de V co meos de vectores U D de Matemáticas de la ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 7

4 1- El cojto F ( x, y,z) 8 Espacio Vectorial { R / x + y + z = 0, x = a} = es sbespacio vectorial de dimesió 1: a) Si a=0 b) Para calqier valor real de a c) Si a= - Sea las bases B 1 = { a,b,c} y B = {, v, w} del espacio vectorial R, tales qe la ecació del 0 1 cambio de base de B 1 a B es: X = 1 0X1, etoces las coordeadas del vector b respecto 0 0 de la base B so: a) ( 0,-1,) b) ( 1,-1,0) c) ( 0,1,0) - Sea E y F dos sbespacios vectoriales de R distitos de { } 0 Etoces: a) E F = R E = F b) E F = R E y F so splemetarios c) E + F = R - Sea B 1 y B dos bases de espacio vectorial V La matriz de cambio de base de B 1 a B verifica qe: a) Ss colmas so las coordeadas de los vectores de la base B 1 respecto de la base B b) Ss colmas so las coordeadas de los vectores de la base B respecto de la base B 1 c) Niga de las ateriores 5- E espacio vectorial V, se verifica: a) Todo sistema geerador es a base de V b) Toda base de V, es sistema geerador c) Todo sbcojto de sistema geerador de V, es a base 6- Sea B = { 1,,, } a base de espacio vectorial V Podemos afirmar siempre qe: a) 1 = (1,0,0,,0) respecto de la base caóica b) = (1,1,0,,0) respecto de la base B c) 1 + = (1,1,0,,0) respecto de la base B 7- Sea { a,b,c} a base de espacio vectorial V Se verifica etoces qe: a) a + b + c = 0 b) { a,b,c} es tambié a base de V c) { a,b,0} es tambié a base de V 8- Sea S sbespacio vectorial de R defiido por S = {( x, y,z) R / x + y = 0;x + z = 0} se cmple qe: a) dim(s)=1 b) dim(s)= c) dim(s)= 9- E espacio V de dimesió se verifica: a) Calqier sistema geerador co vectores es base b) No hay sistemas libres co meos de vectores U D de Matemáticas de la ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía

5 c) Todo sistema co meos de vectores es libre 0- El rago de cojto arbitrario de vectores de R es siempre: a) Meor o igal qe b) Mayor o igal qe c) Igal qe 1- La itersecció de dos sbespacios vectoriales a) E geeral o es sbespacio vectorial b) Es sbespacio vectorial c) Es sbespacio vectorial si o cotiee al vector lo - E R sea el sbespacio vectorial S defiido por las ecacioes vectores calesqiera de S, podemos asegrar qe: a) Forma sistema libre b) Forma a base de S c) Forma sistema geerador de S - Sea S y S dos sbespacios vectoriales de V Se verifica: a) dim(s+s )= dims+dims b) S+S = < S S' > c) S+S o tiee por qé ser sbespacio vectorial de V - Si E y F so sbespacios vectoriales de R, ambos de dimesió, etoces: E F 0,0,0 a) {( )} x = 0 Tomado x + y = 0 b) E + F = R c) E + F o es sbespacio vectorial de R 5- Sea V espacio vectorial de dimesió Se verifica: a) Calqier sistema libre tiee como mcho vectores b) Calqier sistema ligado tiee más de vectores c) U sistema geerador tiee como mcho vectores 6- Si F y G so sbespacios splemetarios de espacio vectorial V de dimesió, se verifica: a) F G = b) F+G es sma directa c) dim(f+g)< 7- La ecació matricial e R, del cambio de base de la base B = {( 1,0,1 )(, 0,0,1 )(, 1,, )} a la base caóica B c es: x 0 1 x c x c 0 1 x x c a) y = 0 0 y c ; b) y c = 0 0 y ; c) y c z 1 1 z B c z B c c 1 1 z B z c B c Bc 8-Se sabe qe {a, b, c} es a base de V Pede ocrrir qe: a) {a, b, c,0} es libre b) a = 0 c) {a, b, c,0} es sistema geerador de V 9- Sea A={,, 1 } sistema libre de R y sea < A >, etoces: a) A b) Calqier sbespacio vectorial splemetario de A cotiee a = 0 1 U D de Matemáticas de la ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía x y z B

6 c) {,,,} es base de R 1 Espacio Vectorial 50- Sea B= {,,, } y B' = { v,v,v,v } dos bases de R y MB B' 1 cambio de B a B, etoces: a) v = b) 1 = v 1 + v + v + v c) v = = la matriz de 51- Dadas las bases B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} y B ={(1,,),(1,,),(1,0,0)} de R La matriz 1 1 P = 0 es la matriz de cambio de base de: 0 a) B a B b) B a B c) Niga de las ateriores 5- Sea,,, 1 R vector es combiació lieal de y a) El rago(m)= b) El rago(m)= catro vectores o los y distitos etre sí Si M= {,,, } y el etoces: c) El rago(m) G =,,, es sistema geerador de R, podemos asegrar: 5- Si { } 1 m a) G es a base de R para calqier úmero atral m b) Si m>, etoces G es ligado c) Sea F y G dos sbespacios vectoriales de V Se verifica: 55- Si { } 1 a) dimf + dimg = dim(f G) dim(f G) b) dimf + dimg = dim(f + G) dim(f G) c) dimf + dimg = dim(f + G) + dim(f G) G = 1,,, es sistema geerador de R, podemos asegrar: a) b) = c) x, y,z / x y = 0 Etoces 56- Sea V 1 el sbespacio egedrado por el vector (1, 1, 1) y V = {( ) } se cmple qe: a) V 1 V = V 1 b) V 1 V = V c) V 1 V = 50 U D de Matemáticas de la ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía

7 57- Se cosidera el vector x R de coordeadas (1, 1, 1) e la base caóica E la base {( 1,1,1 ),( 1,,1 ), ( 1,, )} las coordeadas de x so: a) (1, 0, 0) b) (1, 1, 1) c) (1, 1, 0) B,, D= v,v,v bases del espacio vectorial V tales qe: 58- Sea = { } y { } = v, 1 = v + v, = v + v + v 1 1 1, etoces la matriz a) Es la matriz del cambio de base de B a D b) Es la matriz del cambio de base de D a B c) Niga de las ateriores 59- Sea y v vectores liealmete idepedietes de R, cál de los sigietes cojtos forma sistema libre? a) { 0,, v} b) { + v, v },v, + v c) { } 60- Si S { 1,,, } a) dim( V ) > = es sistema geerador de espacio vectorial V, etoces: b) dim( V) c) rago(s)= 61- Sea F sbespacio vectorial de R, co dim F = m Se verifica: a) Si B es a base de R, pede elimiarse vectores de B hasta obteer a base de F b) Si B es a base de F, pede añadirse vectores a B hasta obteer a base de R c) Si B es sistema ligado de R, pede elimiarse vectores de B hasta obteer a base de R U D de Matemáticas de la ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía 51