UNIDAD N 2 BASES Y DIMENSIÓN

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1 UNIDAD N ASES Y DIMENSIÓN

2 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO ASES Y DIMENSIÓN DEFINICIÓN Nº : Sea V u espacio vectorial sobre el cuerpo F. U subcouto S de V se dice LINEALMENTE DEPENDIENTE (LD) si existe vectores distitos α ;α ; ;α de S y escalares c ;c ; ;c de F, o todos ulos, tales que cα + cα + + cα. U subcouto S de V que o es liealmete depediete se deomia LINEALMENTE INDEPENDIENTE (LI). Si el couto S tiee sólo u úmero fiito de vectores α ;α ; ;α se dice que los α ;α ; ;α so liealmete depedietes (o idepedietes) e vez de decir que S es liealmete depediete (o idepediete). Trataremos de aalizar el cocepto presetado. Nos pregutamos. qué es lo que deberemos hacer si se os preseta u couto compuesto por los vectores α ;α ; ;α y se os preguta si es LI o LD? De acuerdo co la defiició, podemos observar que deberemos escribir al cero como combiació lieal de estos vectores utilizado escalares c ;c ; ;c de F, es decir, deberemos platear cα + cα + + cα. Esto derivará e el plateo y resolució de u sistema homogéeo. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 64

3 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO trivial. Como sabemos, este tipo de sistemas siempre tiee al meos ua solució: la Si el sistema tiee sólo la solució trivial, es decir, c = c =... = c, diremos que el couto compuesto por α ;α ; ;α es LI. Por el cotrario, si el sistema tiee, además de la trivial, algua otra solució, es decir, si existe algú i etre y tal que ci 0, etoces cocluiremos e que el couto compuesto por α ;α ; ;α es LD. Cómo aplicamos esto e la práctica? Veámoslo a partir de los siguietes eemplos: LD. ) Sea S ( ;5 );( ; ) = y supogamos que queremos determiar si S es LI o Le llamaremos α a ( ;5 ) y α a ( ; ) y cosideraremos dos escalares c,c F / cα + c α Así: 0;0 = cα + c α = c ;5 + c ; ( c ;5c ) ( c ; c ) = + ( c c ;5c c ) = + Etoces: c + c 5c c Si armamos la matriz del sistema y aplicamos operacioes elemetales de filas obteemos: INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 65

4 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO 0 c c Como cα + cα implica que c y que c, podemos cocluir e que S es liealmete idepediete. α = ;0; α = ( ;; ) = 4, co: α = 4;; α4 = ( ;; ) ) Sea S { α ;α ;α ;α } Es S LI o LD? Para poder dar respuesta a esta preguta cosideraremos cuatro escalares c,c,c,c4 F / cα + cα + cα + c4α4. Así: ( 0;0;0 ) = c ( ;0; ) + c ( ;; ) + c ( 4;; ) + c4 ( ;; ) = ( c ;0; c) + ( c ;c ;c ) + ( 4c ;c ; c ) + ( c 4;c 4;c4 ) = ( c c + 4c + c ;c + c + c ; c + c c + c ) c c + 4c + c 4 4 c + c c + c4 Etoces: c + c + c ( ) Si armamos la matriz del sistema y aplicamos operacioes elemetales de filas obteemos: INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 66

5 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO 0 0 c + c c = c 0 0 c + c c = c c 4 Así, la solució de ( ) es {( a; a;a;0 ) / a } R. Esto muestra que ( ) puede verificarse siedo los escalares c,c,c,c 4 o todos iguales a 0. E particular (tomado a = ), α α + α + 0α4. Como es posible escribir al vector ulo como combiació lieal de los vectores utilizado escalares o todos ulos, podemos cocluir e que S es liealmete depediete. Observemos lo siguiete Sabemos que cα + cα + cα + c 4α4 Reemplazado e la igualdad, c = c = c y c 4. obteemos c α c α + cα. Despearemos α : c α = c α c α c c α = α α c c α = α + α Qué sigifica esto último? Podemos observar que α es combiació lieal de α y α. Esto sigifica que α perteece al subespacio geerado por α y α, que es u plao, como se visualiza e la siguiete figura. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 67

6 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO De la misma maera despeado α obteemos: c α = c α c α c c α = α α c c α = α + α Nuevamete vemos que α es combiació lieal de α y α. Esto sigifica que α se ecuetra e el plao geerado por α y α, como podemos observarlo e la figura aterior. Si hacemos las cuetas, cocluiremos e que lo mismo ocurre co α. Y α 4? se ecuetra e el mismo plao? Como observamos de la combiació lieal armada o puede despearse este vector. Ello se debe a que o perteece al mismo plao e el que se ecuetra α, α y α. E la siguiete figura puede visualizarse lo ateriormete expresado (ver archivo DEPENDENCIA LINEAL EJEMPLO.ggb). INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 68

7 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Podremos e práctica los coceptos de depedecia e idepedecia lieal resolviedo los siguietes eercicios. ) Idica si los siguietes coutos de vectores so liealmete depedietes o liealmete idepedietes. a) A = ( ; );( 4;5 );( 4;7) b) = ( 4; ; );( 4;0; ) c) C = ( ;0;4 );( 5; ; );( ;; ) d) D = ( ;0; ;6 );( 0;;; );( 0; ; ;0 );( ;;; ) RTA: a) LD b) LI c) LI d) LI ) Idica si los siguietes coutos de poliomios so liealmete depedietes o liealmete idepedietes. { } a) A P ( x );P ( x );P ( x) = dode P x = x + 4x P x = + 6x + x P x = + 0x 4x INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 69

8 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO { } b) P ( x );P ( x) = dode P x = 6 x P x = + x + 4x { } c) A P ( x );P ( x );P ( x) = dode P x = + x + x P x = x + 5x P x = 4 x { 4 } d) A P ( x );P ( x );P ( x );P ( x) = dode P x = + x + x P x = x + 4x P x = 5 + 6x + x P4 x = 7 + x x RTA: a) LI b) LI c) LI d) LD ) a) Demuestra que los vectores α = ( 0;;; ), β = ( 6;0;5; ) y δ = ( 4; 7;; ) forma u couto liealmete depediete de 4 R. b) Expresa cada vector como ua combiació lieal de los otros dos. RTA: b) α = β δ β = α + δ 7 δ = α + β 4) a) Demuestra que si α,β,δ so vectores cualesquiera, los vectores α β, β δ y δ α forma u couto liealmete depediete. b) Demuestra que si α,β,δ so vectores liealmete idepedietes, etoces los vectores α + β, β + δ y δ + α so liealmete idepedietes. E la siguiete proposició veremos alguas propiedades que caracteriza a los coutos LI y LD. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 70

9 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO PROPOSICIÓN Nº : ) Todo couto que cotiee a u couto liealmete depediete es liealmete depediete. (Si S es LD y S S, etoces S es LD). ) Todo subcouto de u couto liealmete idepediete es liealmete idepediete (Si S es LI y S S, etoces S es LI). ) Todo couto que cotiee al vector 0 es liealmete depediete. 4) U couto S de vectores es liealmete idepediete si y sólo si todo subcouto fiito de S es liealmete idepediete, es decir si dados α ;α ; ;α vectores diferetes de S tales que cα i i, etoces i= ci i = ; ;. 5) El couto formado por u úico vector o ulo es liealmete idepediete. 6) S { α;β} algú c F. = es liealmete depediete si y sólo si α = cβ o β = cα para DEMOSTRACIÓN: ) Cosideraremos u couto S que sea LD y u couto S que lo cotega de tal maera de demostrar que S tambié es LD. Sea: { r} { } S' = α,,α S = α,,α,α,,α r r+ m Como S es liealmete depediete, etoces existe c,,cr F, o todos ulos tal que cα + + cα r r, etoces cα + + cα r r + 0αr αm (observamos que podemos escribir al cero como combiació lieal de los elemetos de S, utilizado escalares o todos ulos). INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 7

10 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Como existe escalares c ;c ; ;cm de F, o todos ulos, tales que cα + + cα + + c α, etoces S es liealmete depediete. r r m m ) E la proposició, ) es la cotra recíproca de la ). Por lo tato o es ecesario demostrarla. E ) probamos que dado S S, si S es LD, etoces S es LD. Luego, si S es LI, etoces S es LI. ) Se debe demostrar que todo couto que cotiee al vector 0 es LD. Tomaremos u couto S co esta característica y haremos la prueba. Sea S { α,,α ;0} = u couto que cotiee al vector 0. Este couto es liealmete depediete pues puedo armar ua combiació lieal de cero co escalares o todos ulos. E particular, la siguiete: cα + + cα + 0, e dode c ; ;c y el escalar que multiplica al cero puede ser cualquiera, por eemplo,. 4) Se deduce de la defiició de coutos liealmete idepedietes. 5) Sea S { α} =, co α 0. Debemos demostrar que S es LI. Sea cα, etoces por lo visto e el lema º, c ó α. Como α 0, etoces resulta c, co lo cual S es liealmete idepediete. 6) Sea S { α;β} = liealmete depediete, etoces, existe c,c alguo de ellos o ulo tal que cα + cβ. F, Supogamos que c 0 c / c c =. Luego: INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 7

11 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO c cα + cβ = c 0 c c α + c c β aplicado prop. distributiva e el esp.vect. c c α + c c β aplicado prop. asociativa e el esp.vect. α c c β 0 + = por prop. del iverso multiplicativo e el cuerpo α + c c β + c c β + c c β por prop. del iverso aditivo e el esp.vect. c cβ α + c c β + c c β = c c β aplicado prop. asoc.e el esp.vect. y que 0 es el eutro α + 0 = α = c cβ = cβ co c = c c Sea α = cβ. Puede suceder que c o que c 0. si c, etoces α, co lo cual, por lo probado e ), la depedecia lieal de S es imediata. si c 0, cosideraremos c,c Etoces: F tal que cα + c β ( ). cα + cβ cβ c cβ + c β β ó cc + c β cc + c Si β, etoces por lo probado e ), S es liealmete depediete. Si cc + c, etoces c = cc. Tomado c =, resulta c Reemplazado e = c., obteemos: cα + c β = α + cβ. De esta maera hemos logrado escribir al vector 0 como combiació lieal de α y β utilizado escalares o todos ulos. Por lo tato S es liealmete depediete. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 7

12 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Podrías completar, a modo de coclusió, los siguietes euciados utilizado LD (liealmete depediete) o LI (liealmete idepediete)? E R u couto que cotiee al vector ulo es... el couto formado por u úico vector o ulo es... el couto formado por u vector α y por otro vector β múltiplo de α es... el couto formado por u vector α y por otro vector β que o se ecuetra e la recta que pasa por α y por el orige de coordeadas es.... el couto formado por tres o más vectores es.. E R u couto que cotiee al vector ulo es... el couto formado por u úico vector o ulo es... el couto formado por u vector α y por otro vector β múltiplo de α es... el couto formado por u vector α y por otro vector β que o se ecuetra e la recta que pasa por α y por el orige de coordeadas es.... el couto formado por tres vectores e dode dos de ellos se ecuetra sobre la misma recta es... el couto formado por tres vectores e dode uo de ellos se ecuetra e el plao geerado por los otros dos es... el couto formado por tres vectores o ulos α, β y δ tales que cada uo de ellos o se ecuetra e el plao geerado por los otros dos es INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 74

13 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO DEFINICIÓN Nº : Sea V u espacio vectorial sobre el cuerpo F. Ua ASE de V es u subcouto de V tal que: ) es liealmete idepediete. ) geera V, es decir <> = V. V es de DIMENSIÓN FINITA si tiee ua base fiita. Si { α,,α } = es base de V, etoces todo vector de V se escribe e FORMA ÚNICA como combiació lieal de α,,α. Trataremos de demostrar la afirmació aterior. Como es base, etoces < >= V. Esto sigifica que cualquier vector de V puede escribirse como combiació lieal de los elemetos de. Sea α V i i i i. i= α = cα co c F i = ; ; Supogamos que existe escalares d,,d F tal que Etoces: = i i. i= α dα cα i i = dα i i cα i i dα i i ( cα i i dα i i ) ( ci di ) αi. i= i= i= i= i= i= Como es base, etoces es liealmete idepediete, etoces ci di i = ; ;, etoces ci = di i = ; ;. Por lo tato, α se escribe e forma úica como combiació lieal de los elemetos de la base de V. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 75

14 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Veamos los siguietes eemplos de bases ) { e,,e } = se deomia ASE CANÓNICA de Así, ( ;0 );( 0;) la base caóica de caóica de i ( ) e ; ;0;;0; ;0 = es la base caóica de 4 R, etc. i F dode R, ( ;0;0 );( 0;;0 );( 0;0; ) R, ( ;0;0;0 );( 0;;0;0 );( 0;0;;0 );( 0;0;0; ) = es = es la base ) { E i / i m } = es la ASE CANÓNICA de 0 0 E i = i 0 0 mx F dode Por eemplo, = ; ; ; ; ; es la base caóica de x F. R. ) Determiaremos si el couto A ( ;;0 );( ;4; );( ;; ) = es base de Para ello se deberá verificar si A es liealmete idepediete y geera R. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 76

15 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Veamos la idepedecia lieal. Sea a, b y c tal que a( ;;0 ) + b( ;4; ) + c ( ;; ) = ( 0;0;0 ). Etoces: ( a;a;0 ) + ( b;4b; b) + ( c;c; c) = ( 0;0;0 ) ( a + b + c;a + 4b + c; b c ) = ( 0;0;0 ) Queda plateado el sistema de ecuacioes: a + b + c a + 4b + c b c Armamos la matriz del sistema y la reducimos hasta ecotrar la solució del mismo. Si la úica solució que tiee este sistema es la trivial, etoces podremos afirmar que el couto A es liealmete idepediete a = b = c 0 0 Por lo tato, podemos afirmar que el couto A es liealmete idepediete. Veamos si A geera R. Para ello tomaremos u vector geérico de veremos si es posible escribirlo como combiació lieal de los vectores de A. R y Sea ( x;y;z ) R. Nos pregutamos si existe a,b,c / Veamos si esto ocurre. R ( x;y;z ) a( ;;0 ) b( ;4; ) c( ;; ) = + +. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 77

16 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO ( x;y;z ) = a( ;;0 ) + b( ;4; ) + c ( ;; ) ( a;a;0 ) ( b;4b; b) ( c;c; c ) = + + ( a b c;a 4b c; b c ) = Armamos la matriz aumetada del sistema y la reducimos hasta ecotrar la solució del mismo. geera Si este sistema tiee solució, etoces podremos afirmar que el couto A R. x x x x 4 y 4 y x y 0 x y z 0 z 0 z 0 z 0 x + y 0 x y 0 0 x y z x + y 0 x + y 0 0 x + y + z x y z 0 0 x y z 0 0 x y z Por lo tato a = x + y + z, b = x + y + z y c = x y z Así, cualquier vector ( x;y;z ) R puede expresarse como combiació lieal de los vectores de A de la siguiete maera: ( x;y;z ) = x + y + z ( ;;0 ) + x + y + z ( ;4; ) + x y z ( ;; ) Por lo tato, A geera R. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 78

17 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Por eemplo, si tuviésemos el vector ( 5; 0;8), x = 5, y = 0, z = 8. Esto os permite calcular los valores de a, b y c obteiedo: a = 5 + ( 0) + 8 = 5 5 b = 5 + ( 0) + 8 = c = 5 ( 0) 8 = De acuerdo co lo obteido: ( 5; 0;8) = ( ;;0 ) + 4( ;4; ) + ( 8)( ;; ) y geera Como coclusió fial podemos decir que como A es liealmete idepediete R, etoces A es base de R. Observa e el siguiete gráfico las posicioes de los vectores de A y extrae coclusioes respecto a ellas y al hecho de que los vectores sea LI (ver ASE EJEMPLO.ggb). Resuelve los siguietes eercicios. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 79

18 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO ) Determia cuáles de los siguietes coutos so bases..) e.) e R a) A = ( ; );( ;0) b) = ( 4; );( 7; 8) c) C = ( ; );( 0;0) R a) A = ( ;0;0 );( ;;0 );( ;; ) b) = ( ; ;4 );( ;5;6 );( ;4;8 ) c) C = ( ;6;4 );( ;4; );( ;;5 ) RTA:.) So bases a y b..) So bases a y b. ) Demostrar que el siguiete couto de matrices es ua base de ; ; ; x R. E el siguiete teorema extraemos coclusioes respecto de la catidad de vectores que puede llegar a teer u couto de dimesió m. TEOREMA Nº 4: vectores β ;β ; ;βm. Sea V u espacio vectorial geerado por u couto fiito de Etoces, todo couto liealmete idepediete de vectores de V es fiito y tiee a lo sumo m elemetos. DEMOSTRACIÓN: Demostrar que todo couto liealmete idepediete de vectores de V tiee a lo sumo m elemetos es equivalete a probar que cualquier subcouto de V de más de m elemetos es liealmete depediete. Esto último es lo que haremos. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 80

19 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO = co m <. Sea S V,S { α,,α } Como β ;β ; ;βm geera V, para cada α ( ; ;) =, existe escalares ai F, co i = ; ;m = ; ;, tal que: α = a β + a β + + a β m m α = a β + a β + + a β m m o sea que: α m = aβ i i. i= Lo que pretedemos es ver si S es LI o LD. Sea x,,x F tal que xα + + xα Observamos que: m m 0 = xα + + x α = xα = x aβ = a x β i i i i = = i= i= = Como A es ua matriz m co m <, etoces AX tiee solució o trivial, es decir, existe escalares o todos ulos x,,x F tal que AX. Luego, xα + + xα y o todos los x i so ulos, etoces, S es liealmete depediete. ci Por lo tato, todo couto liealmete idepediete de vectores tiee a lo sumo m elemetos. COROLARIO Nº : Si V es u espacio vectorial de dimesió fiita, etoces dos bases cualesquiera de V tiee el mismo úmero (fiito) de elemetos. DEMOSTRACIÓN: Como V es de dimesió fiita, etoces es geerado por u couto fiito. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 8

20 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO = α,,α Sea : ' = β,,β m dos bases fiitas de V. Como es base, geera V, etoces todo couto LI de V tiee a lo sumo elemetos. Luego, es base de V y por tato es LI, etoces tiee a lo sumo elemetos, co lo cual m ( ) Como es base, geera V, etoces todo couto LI de V tiee a lo sumo m elemetos. Luego, es base de V y por tato es LI, etoces tiee a lo sumo m elemetos, co lo cual m ( ) Por ( ) y ( ) se tiee que m =. Por lo tato, dos bases cualesquiera tiee el mismo úmero de vectores. DEFINICIÓN Nº : Si V es u espacio vectorial de dimesió fiita, llamamos DIMENSIÓN DE V, y lo deotamos por DIM V al úmero de elemetos de cualquier base de V. COROLARIO Nº : Sea V u espacio vectorial tal que dim V =. Etoces: ) Cualquier subcouto de V que cotega más de vectores es liealmete depediete. ) Nigú subcouto de V que cotega meos de vectores puede geerar V. DEMOSTRACIÓN: INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 8

21 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO ) Si dim V =, etoces cualquier base de V tiee elemetos, etoces V es geerado por u couto de elemetos, co lo cual, todo couto LI tiee a lo sumo elemetos. Luego, si S V y # S = m, co m >, etoces S es LD. ) Sea S V tal que # S = m, co m <. Sea base de V, etoces # = dim V =. Supogamos que S geera, etoces cualquier subcouto LI de V tiee a lo sumo m elemetos. Como es LI, etoces m. Absurdo, pues m catidad de e- catidad de e- lemetos de lemetos de S <. El absurdo proviee de supoer que el couto S, teiedo meos de elemetos, puede geerar V. Por lo tato, igú subcouto de V que cotega meos de vectores puede geerar V. Veamos los siguiete eemplos ) Si F es cuerpo, etoces elemetos. dimf = pues la base caóica de F tiee Esta base es = ei = 0; ;0;;0; ;0 R / i = ; ; i ) mx dimf = m pues la base caóica de mx F tiee m elemetos. ) V = { 0} es geerado por 0, pero { 0 } es LD etoces se dice que dim V. 4) Sea A mx F. Sea V = { X / AX }, es decir, V es el espacio solució del sistema AX, etoces dim V = r dode r es la catidad de filas o ulas de R, siedo R la matriz escaló reducida por filas equivalete por filas a A. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 8

22 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Por eemplo, cosideremos el siguiete sistema: x x + x x + 6x x + x + 7x La matriz del sistema sería A 6. 7 Reducimos esta matriz. 0 5 A = R Así, x + 5x x = 5x x + x x = x Etoces: {( ) R } V = x ;x ;x / x = 5x x = x {( 5x ; x ;x ) / x R} = { x ( 5; ; ) / x R} = ( 5; ;) =< > Por lo tato, ( 5; ;) = es base de V (ya que geera V y al teer u úico elemeto o ulo es liealmete idepediete), o sea que dim V = dode = r (r es pues es la catidad de filas o ulas de la matriz R). 5) Dar la dimesió y ua base de 4 { R } W = a;b;c;d / a = d, c = b E primer lugar, debemos eteder cómo so los vectores que compoe W. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 84

23 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Estos vectores tiee cuatro compoetes reales: la primera es el triple de la cuarta y la seguda es igual a la tercera. Por eemplo, el vector ( 4; ; ;8 ) W pues verifica estas codicioes. Calcularemos la dimesió y exhibiremos ua base de W. 4 { R } W = a;b;c;d / a = d, c = b {( d;b;b;d ) / b,d R} = {( d;0;0;d ) ( 0;b;b;0 ) / b,d R} = + { d( ;0;0; ) b( 0;;;0 ) / b,d R} = + ( ;0;0; );( 0;;;0 ) =< > Por lo tato, los vectores ( ;0;0; ) y ( 0;;;0 ) geera W puesto que cualquier vector de W puede escribirse como ua combiació lieal de ellos. Veamos ahora si el couto ( ;0;0; );( 0;;;0 ) idepediete. Sea c,c F / c ( ;0;0; ) c ( 0;;;0 ) ( 0;0;0;0 ) + =. = es liealmete Desarrollado el primer miembro de la igualdad, obteemos: ( c ;0;0;c ) + ( 0;c ;c ;0) = ( 0;0;0;0 ) ( c ;c ;c ;c ) ( 0;0;0;0 ) = c = c Por lo tato, es liealmete idepediete. Como es liealmete idepediete y geera W, etoces es base de W, co lo cual, dim W =. 6) Hallar ua base para el subespacio de α = ;; ; α = ;0; y α = 6;6; 5. R geerado por INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 85

24 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO El subespacio geerado por α ; α ; α es el couto formado por los ( x;y;z ) R que puede escribirse como combiació lieal de α ; α ; α. Expresaremos esto e leguae simbólico: { R R} < α ; α ; α >= x;y;z / x;y;z = aα + bα + cα co a, b, c {( x;y;z ) R / ( x;y;z ) a( ;; ) b( ;0; ) c ( 6;6; 5 ) co a, b, c R} = = + + {( x;y;z ) R / ( x;y;z ) ( a;a; a) ( b;0;b ) ( 6c;6c; 5c ) co a, b, c R} = = + + {( x;y;z ) R / ( x;y;z ) ( a b 6c;a 6c; a b 5c ) co a, b, c R} = = {( x;y;z ) R / x a b 6c; y a 6c; z a b 5c co a, b, c R} = = + = + = + Queda plateado etoces el siguiete sistema de ecuacioes: x = a b + 6c y = a + 6c z = a + b 5c Armamos la matriz aumetada correspodiete y la reducimos para resolverlo: 0 y 6 x 6 x 6 x 0 6 y x y 0 x y 0 x y z 0 x z + 0 x z x y z a + c = y b c = x + y 6 0 = x + y + z 6 Por lo tato, el subespacio geerado por α ; α ; α está compuesto por todos los vectores ( x;y;z ) R tales que 0 = x + y + z. Es decir: 6 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 86

25 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO < >= = α ;α ;α x;y;z R / 0 x y z = R = 6 x; y;z / x y z = x;y; x y / x,y R 6 = x;0; x + 0;y; y / x,y R 6 = x ;0; + y 0;; / x,y R 6 = ;0; ; 0;; 6 Sea = ;0; ; 0;; 6. β β Por lo ya probado geera el subespacio que estamos tratado. Veamos ahora si los vectores que compoe so liealmete idepedietes. 6 Sea r, s R tal que r ;0; + s 0;; = ( 0;0;0 ) r;0; r + 0;s; s ;0;0 6 r;s; r s = ( 0;0;0 ) r = s 6. Luego: Por lo tato, es u couto liealmete idepediete. Como es liealmete idepediete y geera, por lo tato es base del subespacio geerado por α ; α y α. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 87

26 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO E el siguiete gráfico podemos observar que los vectores α, α y α (marcados e egro) se ecuetra coteidos e el mismo plao señalado co celeste. fucsia). A su vez, este plao, es geerado por los vectores β y β (señalados e Ver archivo ASE EJEMPLO 6.ggb. Seguiremos practicado Resuelve los siguietes eercicios ) Ecuetra ua base para el subespacio de = ( ) = ( ) y α = ( ;;;6 ) α ; ; 5; ; α ; ;4;0 4 4 R geerado por = α ;;;4 ; RTA: = {( ;0;0; );( 0;;0; );( 0;0;;0 )} INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 88

27 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO ) Sea V el espacio vectorial de todas las matrices x sobre el cuerpo F. Demostrar que V tiee dimesió 4, ecotrado ua base de V que tega 4 elemetos RTA: = ; ; ; ) Sea V el couto de todas las matrices A x, sobre el cuerpo R, que satisface a + a. Hallar ua base de V RTA: = ; ; ) Calcular la dimesió y exhibir ua base de { x T V A F / A A } = = RTA: = ; ;, dim V = ) Determiar la dimesió y ua base para el espacio solució de cada uo de los siguietes sistemas: a) x + x x x x + x x + x b) x x + x x 6x + x x 9x + x c) x + x + x x + x x 4x + x x 6x + 5x + x d) x 4x + x x4 x 8x + 6x x4 RTA: a) = {( ;0; )};dim = b) = {( ;;0 );( ;0; )};dim = c) = {( 4; 5; )};dim = d) { } = 4;;0;0 ; ;0;;0 ; ;0;0; ; dim = 6) Dar las dimesioes y ua base de los siguietes subespacios de 4 R. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 89

28 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO a) Todos los vectores de la forma ( a;b;c;0 ). b) Todos los vectores de la forma ( a;b;c;d ) dode d = a + b y c = a b. c) Todos los vectores de la forma ( a;b;c;d ) dode a = b = c = d. RTA: a) = {( ;0;0;0 );( 0;;0;0 );( 0;0;;0 )}; dim = b) { } c) = {( ;;; )};dim = = ;0;; ; 0;; ; ;dim = TEOREMA Nº 5: Sea S u subcouto liealmete idepediete de u espacio vectorial V. Sea β u vector de V que o perteece al subespacio geerado por S ( β V S ) decir, < >. Etoces el couto que se obtiee agregado β a S, es β S, es liealmete idepediete. DEMOSTRACIÓN: Sea S { α,,α } = y sea + c ; ;c ;c F tal que cα + + cα + c+ β. Supogamos que c 0 c / c c = Dividimos a ambos miembros de la igualdad ( ) por c + y obteemos: c c c α + + α + β c c c c c c α + + α + β + c+ c c Etoces β = α + + α, co lo cual, β es combiació lieal c+ c+ de los elemetos de S, etoces β < S >. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 90

29 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO c + 0. Absurdo: pues por hipótesis β V < S >. El absurdo proviee de supoer que Por lo tato, c+ 0 =, co lo cual resulta cα + + cα. Como S es LI, ci i = ; ;. Etoces ci i = ; ; +. Por lo tato, { β} S es liealmete idepediete. TEOREMA Nº 6: Sea V u espacio vectorial de dimesió y W u subespacio de V. Etoces todo subcouto liealmete idepediete de W es fiito y es parte de ua base de W. DEMOSTRACIÓN: Sea S0 W, S 0 liealmete idepediete. Como S0 W S0 V # S 0 = dim V S 0 es fiito. teo.º4 Veamos que S 0 es parte de ua base de W. Como S0 W < S0 > W. * Si < S0 >= W, etoces S 0 es LI y geera W, etoces S 0 es base de W, co lo cual queda demostrado el teorema. es LI (teorema º 5) * Si < S > W β W < S > / S = S { β } Como S0 W β W S W < S > W. ** Si < S >= W, etoces como S es LI y geera W, etoces S es base de W, co lo cual queda demostrado el teorema. es LI ** Si < S > W β W < S > / S = S { β } = S { β ;β } (teorema º 5) y S 0 W. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 9

30 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Si se cotiúa de este modo (y e o más de = dim V etapas) se llega a u couto S S { β ; ;β } = que es base de W y cotiee a S 0. m 0 m ( W V) COROLARIO Nº : Si dim V = y W es u subespacio propio de V, etoces W es de dimesió fiita y dim W < dim V =. DEMOSTRACIÓN: * Si W = { 0} dim W dim W < dim V =. * Si W { 0 } α W, α 0 y { α } es LI y W / α. α W, base de teorema º6 Como es base, es LI, etoces (teorema º 4) # = dim W, etoces W es de dimesió fiita. Faltaría probar que dim W Si dim W =, veremos que W = V. <, o sea que dim W. Supogamos que dim W = y que W V β V W { β} es LI (teorema º 5), co lo cual tego u couto LI que tiee + elemetos (pues supuse dim W =, es decir, # = ). Absurdo: por el teorema º 4. El absurdo proviee de supoer que W Si dim W = W = V Etoces dim W < pues W es u subespacio propio de V. < > V. COROLARIO Nº 4: E u espacio vectorial V de dimesió fiita todo couto liealmete idepediete de vectores es parte de ua base. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 9

31 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO DEMOSTRACIÓN: V es u subespacio de V, etoces (teorema º 6) todo subcouto LI de V es fiito y es parte de ua base de V. Si dim V =... ) Si { α,,α } es LI, etoces { α,,α } es base de V. Demostració: Sea S = { α,,α } y W =< S >. Como S es LI y geera W, etoces S es base de W, etoces dim W = # S = = dim V, etoces (corolario º, teorema º 6) W = V, es decir < α,,α >= V. que Como S es LI y geera V, etoces S es base de V. ) Si < { α,,α } >= V, etoces { α,,α } Si demostració. es base de V. Completa la siguiete tabla marcado co ua cruz e el casillero correspodiete. Justifica tu respuesta. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 9

32 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO A Si α β + 0δ, etoces el couto formado por α, β y δ es LI. SI NO PUEDE SER O PUEDE NO SER Si S es LD y S S, etoces S es LD. C U subcouto LI de R es base de R. D Todo couto LD cotiee al vector ulo. E Si { α,,α } = es base de V y la catidad de elemetos de S ( S V) es m, co m >, etoces S es LD. F U subcouto de elemetos de R es LI. G U subcouto de 5 elemetos de H = { } y ' { β,,β } α,,α m u espacio vectorial V, siedo 4 R es LD. = so dos bases de m. I Si S es u subcouto liealmete idepediete de u espacio vectorial V y β S, etoces β S, es liealmete idepediete. J Si 5 S R, etoces dims > 5 RTA: SÍ:, E, G NO: A, D, H, J PUEDE SER O PUEDE NO SER: C, F, I COORDENADAS Si V es u espacio vectorial de dimesió fiita, { α,,α } = es base de V y α V, etoces existe úicos escalares x,,x F tal que α = xα + + xα, como ya lo hemos visto. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 94

33 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Esta expresió describe al vector α e térmios de la base, y los escalares x,,x que se utiliza para armar la combiació lieal se deomia COORDENADAS de α RESPECTO DE LA ASE. Así, por eemplo, si V =R y es la base caóica de α = ( 5; ; ) = 5 ( ;0;0 ) + ( ) ( 0;;0 ) + ( 0;0;) R, etoces:. Por lo tato, las coordeadas de α respecto de la base caóica so 5; y Sea ' ( 0;0; );( ;0;0 );( 0;;0 ) =. y so iguales como coutos, pero sus elemetos está ordeados de diferete maera. Las coordeadas de α respecto de la base so ; 5 y pues: α = ( 5; ; ) = ( 0;0; ) + 5 ( ;0;0 ) + ( ) ( 0;;0 ) DEFINICIONES Nº 4: Ua ASE ORDENADA de u espacio vectorial V de dimesió fiita es u couto ordeado de vectores de V que es liealmete idepediete y geera V. Es decir que, la base ordeada es el couto que es base, utamete co el orde dado. Sea V u espacio vectorial de dimesió fiita sobre el cuerpo F y = α ; α ; ; α ua base ordeada de V. Sea α V, etoces existe úicos escalares x,,x tal que i i i= α = xα + + x α = xα, e dode x i se deomia la I-ÉSIMA COORDENADA DE α RESPECTO A LA ASE ORDENADA. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 95

34 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Es decir que cada base ordeada de V determia ua correspodecia biuívoca etre el couto de todos los vectores de V y el couto de todas las uplas de F. Así, x V F F x α x ; ;x = α x ( ) [ ] x X = se deomia la MATRIZ DE LAS COORDENADAS DE α x RESPECTO DE LA ASE ORDENADA y se deota [ α ]. Veamos cómo costruir la matriz de coordeadas de u vector respecto de ua base dada Sea V =R y ( ; );( ;5 ) = base de Sea α = ( ;4 ). Hallaremos [ α ]. R. Como es base, etoces puedo escribir al vector α como combiació lieal de los elemetos de. α = x ; + x ;5 x x = = + x + 5x = 4 ( ;4 ) ( x x ; x 5x ) Armamos la matriz aumetada y aplicamos operacioes elemetales de filas para hallar los valores de x,x que os servirá para luego ecotrar la matriz de coordeadas de α. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 96

35 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO x = x = 7 7 =. 7 Por lo tato, [ α 7 ] Si se os proporcioara ua base y se os diera varios vectores para ecotrar sus matrices de coordeadas respecto de, o es ecesario platear u sistema, armar ua matriz y reducirla por cada uo de ellos. Procederemos como hemos hecho e otras oportuidades tomado u vector geérico, hallado su matriz de coordeadas respecto de y luego haciedo los reemplazos correspodietes para obteer la de cada uo de los vectores dados. Resuelve los siguietes eercicios. 4 ) Demuestra que los vectores = = = α ;0;0; forma ua base de 4 R. α ;;0;0 ; α 0;0;; ; α ;0;0;4 ; Ecuetra las coordeadas de cada uo de los vectores de la base caóica respecto de la base ordeada { α ; α ; α ; α 4}. RTA: ( ;0;0;0 ) α + 0α + α α4 ( 0;;0;0 ) = α + 0α α + α4 ( 0;0;;0 ) α + α + 0α α4 ( 0;0;0; ) α + 0α + 0α + α4 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 97

36 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO ) Ecuetra, e cada caso, la matriz de coordeadas del vector α co respecto a la base ordeada { α ; α ; α } =. a) α = ( ; ; ); α = ( ;0;0 ); α = ( ;;0 ); α = ( ;; ) b) α = ( 5; ; ); α = ( ;; ); α = ( 4;5;6 ); α = ( 7; 8;9) c) α = ( a;b;c ); α = ( ;0; ); α = ( ;; ); α = ( ;0;0 ) α RTA: a) [ ] = = b) [ α] 0 b c c) [ α] b = a b + c α V. Supogamos ahora que teemos dos bases ordeadas y de V y u vector Si costruyésemos su matriz de coordeadas e cada ua de las bases, qué relació habría etre [ α ] y [ α ] '? La respuesta la proporcioa el siguiete teorema: TEOREMA Nº 7: Sea V u espacio vectorial de dimesió sobre el cuerpo F y sea y dos bases ordeadas de V. Etoces existe ua úica matriz x, P, ecesariamete iversible, co elemetos de F, tal que: α = P α α V ) [ ] [ ] ' α = P α α V ) [ ] [ ] ' dode las columas de P so ' P = α = ; ;. DEMOSTRACIÓN: INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 98

37 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Sea: { } = α ; α ; ; α ' = α' ; α' ; ; α' { } bases ordeadas de V. Como α' V = ; ; y es base de V, etoces puedo expresar a α' como combiació lieal de los elemetos de, es decir, existe escalares úicos p i tales que: α' = pα i i ; ; i= = ( ) Sea α V. Como es base de V, α puede expresarse como combiació lieal de los elemetos de. Sea x',,x ' las coordeadas de α e la base ordeada. Etoces: α = x ' α' + + x' α' = ( ) = = = x' α' x ' pα i i = i= ( p x ' ) = i= α i i = pix' α i i= = Como las coordeadas x,,x de α e la base ordeada está uívocamete determiadas, se sigue de ( ) que Sea etoces:. ( ) x = p x ' i = ; ; i i = P: la matriz x cuyo elemeto i es el escalar p i. X = α la matriz de coordeadas de α e la base ordeada. [ ] INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 99

38 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO X' = α la matriz de coordeadas de α e la base ordeada. [ ] ' Etoces ( ) puede escribirse como X = PX', es decir, [ α] P [ α] =, ' dode P = α, co lo cual queda demostrado ). ' cosas: Debemos demostrar ahora que P es iversible, para lo cual probaremos dos a) [ α] α (es equivalete a decir que X α ). Demostració: ) Si [ ] i ) α x i = ; ; α = xα + + x α. Si α 0 == xα + + xα xi i = ; ; [ α] es LI pues { α ; ; α } α α (es equivalete a decir que X X' ). b) [ ] [ ] ' Demostració: ) Si [ ] a α α. Ahora, como es base de V, α puede expresarse como combiació lieal de los elemetos de. α = x' α' + + x ' α' x ' i = ; ; Así, i [ α] ' ) Si [ α] ' LI por ser { α' ; ; α' } a [ ] x' i = ; ; α= x' α' + + x ' α' α. i Queda etoces probado que X X'. Luego: PX' = X (ya probado) Si X PX' implica X' (por lo demostrado). INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 00

39 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Como el sistema homogéeo PX' tiee sólo la solució trivial, P es iversible, etoces existe Luego: P. [ α] = P[ α] [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ α] = I[ α] ' P α P P α ' P α P P α ' P ' [ α] P [ α] = co lo cual queda demostrado ). ' Falta probar la uicidad de P. Supogamos que existe ua matriz Q x tal que [ α] Q[ α] = ; ; Q = P = ; ; Q = P. Por lo tato, P es úica. = y ' Q ' = α Queda así fializada la demostració del teorema. E el siguiete eemplo veremos cómo hallar la matriz P que permite establecer ua relació etre las matrices de coordeadas de u mismo vector respecto de dos bases. { } = ;0 ; ;4 Sea : ' = ; ; ; bases ordeadas de R. Hallaremos, para α = ( ;5 ), [ ] [ ] α, α y P. ' Como es base ordeada de lieal de los vectores de. Así: R, podemos escribir a α como combiació INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 0

40 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO ( ;5 ) = x ( ;0 ) + x ( ;4 ) x + x = = + 4x = 5 ( ;5 ) ( x x ;4x ) Armamos la matriz correspodiete para resolver el sistema y la reducimos (auque e este caso, el sistema tambié puede resolverse muy secillamete si ecesidad de recurrir a la matriz): 7 7 = 0 x x = 4 4 [ α] 7 = 5 4 Como es base ordeada de lieal de los vectores de. Así: ( ;5 ) = x' ( ; ) + x ' ( ; ) ( ;5 ) ( x' x ' ;x' x ' ) R, podemos escribir a α como combiació x' + x ' = = + + x' + x ' = 5 Armamos la matriz correspodiete para resolver el sistema y la reducimos: 6 ' 6 = 0 x ' 7 x = [ α] ' 6 5 = 7 5 Para calcular P debemos obteer las coordeadas de cada uo de los vectores de e la base. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 0

41 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Sea: [ α' ] α' = ; P = α' = ( ; ) P = α' [ ] Calculamos esas coordeadas: ( ; ) = p ( ;0 ) + p ( ;4 ) ( p p ;4p ) = + ( ; ) = p ( ;0 ) + p ( ;4 ) ( p p ;4p ) = + Armamos la matriz. Para o hacerla dos veces, colocamos e vez de las coordeadas de los vectores a x e y, letras que luego reemplazaremos por dichas coordeadas. x 0 x y x y x = x;y 0 4 y 0 y 4 0 y y 4 4 Por lo tato: 7 p = = p = = 4 4 p = = p = = 4 4 Así: 7 P = 4 4 y se cumple que: = [ ] [ ] α P α ' Sea y dos bases ordeadas de R. Halla ua matriz iversible P, x, tal que para = ;;, e cada uo de los siguietes casos: α' = pα i i i= INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 0

42 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO a) = ( ;0;0 );( ;;5 );( ;4; ) y ' = ( ;; );( ;;0 );( 0;; ) b) = ( ;0; );( ;;0 );( 5;;4 ) y ' = ( ;4;6 );( ;; );( 4;; ) RTA: a) P = b) P = TEOREMA Nº 8: Sea P ua matriz iversible x sobre F. Sea V u espacio vectorial de dimesió sobre F y sea ua base ordeada de V. Etoces existe ua úica base ordeada de V tal que [ α] P [ α] = α V ' DEMOSTRACIÓN: Sea: { α ; ; α } = base ordeada de V. Defio: α' = pα + pα + + pα = pα i i = ; ; ( ) Sea ' { α' ; ; α' } =. Debemos probar que es base de V. Veamos que es LI. i= = + +. Etoces: Sea c ; ;c F / 0 cα' cα' ( ) = 0 = cα' = c pα i i = i= = pic α i i= = INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 04

43 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Como es base, es LI, etoces pic i = ; ;. = Ahora, siedo P iversible, PC C. c = ; ;, co lo cual queda demostrado que es LI y por tato base (pues tiee elemetos). Por como ha sido defiida y por el teorema 7, se cumple que [ α] = P [ α] α V. ' Veamos que es úica. Supogamos que existe [ α] P [ α] = α V. { } = α ; ; α base ordeada de V tal que Debemos demostrar que ' = o sólo como coutos sio como coutos ordeados, o sea α' = α = ; ;. Como ( ) vale α V se verifica, e particular, para teo.º8 α α P α = P = α'. Como α α' α = = α' = ; ; ' = es úica. Veremos cómo ecotrar la base que mecioa el teorema aterior. Sea ( 0; );( 4;) = base ordeada de R y P ua matriz x iversible, P = 0 tal que [ α] = P [ α] ' α R. Hallaremos. INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 05

44 UNIDAD Nº : ASES Y DIMENSIÓN PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO Sea ' { α' ; α' } = dode α' = pα para = ;. i i i= α' = p α + p α = 0; + 4; ( 8;5) = α' = p α + p α ( 0;) = 0; + 0 4; = Por lo tato, ' ( 8;5 );( 0;) =. Sea ua base ordeada del espacio vectorial V y P ua matriz iversible, tal que [ α] P [ α] Halla e cada caso. = α V. ' a) =, V =R, ( ; );( ;5 ) 4 0 P = b) =, V =R, ( ;0; );( ;;0 );( 5;;4 ) 0 P 4 RTA: a) ' = {( ;7 );( 6; 5) } b) ' = {( 8; 5; );( 7;; 6 );( ;7; )} INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE JOAQUÍN V. GONZÁLEZ 06