CLAUSURA ALGEBRAICA Y NÚMEROS COMPLEJOS

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1 Clausura algebraica y úmeros complejos CLAUSURA ALGEBRAICA Y NÚEROS COPLEJOS. Itroducció Nos pregutamos Porqué o podemos resolver ciertas ecuacioes poliómicas e u determiado campo de úmeros?. Geeralmete, decimos aquello de que o tiee solució racioal, o bie, o tiee solució real, si se trata de ecuacioes poliómicas co coeficietes racioales o co coeficietes reales, respectivamete. E cambio decimos que toda ecuació poliómica co coeficietes complejos, tiee solució e el campo de los úmeros complejos (teorema fudametal del álgebra). porqué existe estos comportamietos diferetes etre uos campos y otros?. Qué es lo que tiee de distito los cuerpos e los que se puede resolver todas las ecuacioes y los cuerpos e dode hay que apelar al o tiee solució? El estudio de estos resultados dispares ecesita del cocepto de clausura algebraica de u campo.. Campos algebraicamete cerrados Elemetos algebraicos sobre u cuerpo: Dado u cuerpo cualquiera K, se dice que otro cuerpo L es extesió de K, si L cotiee u subcuerpo K* isomorfo a K. Dado u cuerpo L que es extesió de K, si dice que u elemeto t L es algebráico sobre K sii existe coeficietes a, a,..., a K tales que el poliomio a + a. t + a. t +... a. t se aula para dicho valor de t. + Si o existe igú poliomio co coeficietes e K que se aule para u t * L, es decir, si a + a. t + a. t a. t,, es o ulo para cualesquiera que sea los coeficietes a, a,..., a K, etoces diremos que t * L es trascedete sobre K. Extesió algebraica y clausura algebraica: U cuerpo L se deomia extesió algebraica de K si es extesió de K y todo elemeto de L es algebraico sobre K. Si existe algú elemeto de L que o es algebraico sobre K, diremos que L es ua extesió trascedete sobre K. Sea L ua extesió algebraica sobre K, es decir, L es ua extesió de K cuyos elemetos so todos algebraicos sobre K, esto es, para todo elemeto t de L siempre existe u poliomio co coeficietes e K que se aula para el valor de t. Cuado, además, todo poliomio co coeficietes e K admite ua raí e L,

2 Clausura algebraica y úmeros complejos etoces diremos que la extesió algebraica L es, además, clausura algebraica de K. Dado el cuerpo K, la extesió de L obteida adjutado a K u úmero fiito de elemetos, a,...,a, algebraicos sobre K, esto es, L ( a,..., a ), es ua extesió algebraica sobre. Cuado u cuerpo K es clausura algebraica de si mismo, es decir, cuado todo poliomio co coeficietes e K tiee ua raí e K, etoces diremos que K es u cuerpo algebraicamete cerrado. Ejemplos: a) El úmero real t es algebraico sobre Q, cuerpo de los úmeros racioales, porque existe u poliomio a + at a. t co coeficietes e Q que se aula para dicho úmero real. Por ejemplo, t tiee coeficietes e Q y se aula para t. b) R o es extesió algebraica de Q, pues existe elemetos de R que o so algebraicos sobre Q, por ejemplo t * π es trascedete sobre Q, ya que o hay igú poliomio co coeficietes racioales que tega por raí al úmero π. c) El cuerpo L Q( ) obteido adjutado al cuerpo Q de los úmeros racioales el umero real, que es algebraico sobre Q, es ua extesió algebraica de Q, pues todo elemeto de L es algebraico sobre Q. d) El cuerpo R de los úmeros reales o es algebraicamete cerrado, pues o se cumple que todo poliomio co coeficietes reales tiee ua raí real. El poliomio + t o tiee raí e R.. El campo complejo Repasado las ocioes básicas: El cojuto C de los úmeros complejos queda defiido como el cojuto de los pares ordeados de úmeros reales, compoetes real e imagiaria, de modo que las operacioes de suma y multiplicació le da estructura de campo o cuerpo. Además, el cuerpo C puede ser cosiderado u espacio vectorial sobre sí mismo, existiedo ua métrica o orma dada por, u C, d(, u) u, que le covierte e ua espacio ormaliado. Es tambié completo porque toda sucesió de Cauchy de elemetos del espacio tiee límite e el espacio. E defiitiva, C es u espacio de Baach, o sea, u espacio ormaliado y completo. Las fucioes complejas de variable compleja so las aplicacioes de C e C, cumpliédose e particular que el cojuto L(C,C) de las fucioes lieales y cotiuas de C e C es tambié u espacio de Baach. Las fucioes de clase C so las fucioes complejas de variable compleja ifiitamete derivables co cotiuidad. Las fucioes cotiuas e cada puto del espacio, Co( ), so u C-álgebra, u álgebra sobre el cuerpo C de los úmeros complejos, y la familia D( ) de las fucioes difereciables e so tambié u C-álgebra, subálgebra de Co( ), verificádose para la difereciació y derivació de las fucioes complejas las mismas reglas que e el caso de las fucioes reales.

3 Clausura algebraica y úmeros complejos El plao complejo es la represetació del espacio de Baach de los úmeros complejos. Las fucioes complejo-difereciables e u cojuto abierto U del plao complejo se dice holomorfas u aalíticas, deomiádose fucioes eteras a aquellas que so holomorfas e todo el plao complejo. E realidad, el ser holomorfa e u puto sigifica ser holomorfa e u etoro del puto e ifiitamete difereciable. Ua fució etera es, e defiitiva, ua fució desarrollable e serie e cada puto del espacio C. U disco D co cetro e y radio r, e el espacio C, es el cojuto de los putos cuya distacia a es meor o igual a r. Su frotera es la circuferecia costituida por los putos que dista exactamete r del puto, y su logitud es, obviamete, πr. Disco D (, r) : D (, r) < r, Frotera de D (, r) : F (, r) r : : La fórmula de la itegral de Cauchy es hoy la fudametal e el cálculo de variable compleja: Sea f() ua fució aalítica e u disco D o bie e u recito cualquiera simplemete coexo del espacio C, etoces, para cualquier puto del iterior de D y para cualquier curva o camio E cerrado simple coteido e su iterior que rodee al puto, se verifica que f ( ) f ( ) d πi E (para ver ua forma de deducció de esta expresió puede cosultarse e esta misma web La fórmula aterior se extiede a la -sima derivada de la fució: )! f ( ) f ( ) d i + π E ( ) El Teorema de Liouville El Teorema de Liouville, tambié coocido como Teorema de acotació de Liouville, afirma que toda fució etera y acotada e C es costate. Se puede probar de diversos modos. E la prueba siguiete empleamos la fórmula de la itegral de Cauchy para la primera derivada. - Si f() está acotada, C, sea ua cota. Se tiee etoces que: C, f ( ) < - Si f() es etera, pude aplicarse la fórmula de la itegral de Cauchy, que para la primera derivada e C será f ( u) f '( ) du πi u u r ( ) (siedo u r ua curva de cetro e y radio arbitrario) - Calculemos la orma de la fució derivada: f ( u) f ( u) '( ) du. du < i π π f u r ( u ) πi u r ( u ) u r u du d π r πr πr u r u r πr r du 3

4 Clausura algebraica y úmeros complejos Es decir, f '( ) <, y como r es arbitrariamete grade, f '( ), co lo r cual, al ser f '( ) f '( ) f '( ), se tiee que f '( ), C, es decir, tal como afirma el teorema, f ( ) cost, C El teorema Fudametal del Álgebra Este teorema permite establecer la clausura algebraica de los campos de uestra aritmética ordiaria: Todo poliomio co coeficietes complejos tiee sus ceros e C, o dicho de otro modo: Todo poliomio tiee e C tatos ceros como idica su grado. Demostració: Probemos que cualquier poliomio p ( ) a de grado tiee u cero e C. Veamos que si supoemos lo cotrario, es decir, si supoemos que p () o tiee ceros e C, etoces llegaríamos a ua cotradicció co la hipótesis de que p () es u poliomio. Así, si p () o tiee ceros e C, etoces f ( ) / p( ) es aalítica, C, ya que el deomiador o se aula para igú C. Se tiee: p ( ) a a p ( ). a lim p ( ) lim a a. lim a lim. + + lim a lim. lim... lim a +. a + por tato, lim ( ) +. p De esto se deduce que lim f ( ) lim p( ) + Y siedo lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ), será: lim f ( ) Ahora bie, por defiició de límite: lim f ( ) ε >, δ > / δ > f ( ) < ε y de ser f ( ) f ( ) f ( ) se tiee que la fució f () está acotada, C. Fialmete, si la fució f () está acotada, C, al aplicar el Teorema de acotació de Liouville, ecotramos que f () ha de ser costate. Es decir, se tiee que p ( ) / f ( ) es costate, cotra la hipótesis de que p () es u poliomio e, y por tato o podría ser costate. Así, pues, la suposició de que p ( ) a o tiee ceros e C resulta ser falsa, y cocluimos por tato, que el poliomio tiee u cero e C. 4

5 Clausura algebraica y úmeros complejos Esto quiere decir e realidad que el poliomio p ( ) a tiee tatas raíces e C como idica su grado, pues repitiedo el raoamieto co los sucesivos cocietes va apareciedo todas las raíces del poliomio de partida: a ( ) b ( )( ) c ( )( p ( ) )...( ) E defiitiva, todo poliomio de grado co coeficietes e C tiee tatos ceros e C como idica su grado. La clausura algebraica del cuerpo de los úmeros complejos es el mismo cuerpo C, que, por cosiguiete es algebraicamete cerrado. 3. Coclusió La clausura algebraica del campo C de los úmeros complejos es el mismo C, es decir, C es u cuerpo algebraicamete cerrado. Es clausura algebraica del cuerpo R de los úmeros reales. Todo poliomio co coeficietes e R tiee sus ceros e C. 4. Bibliografía Ahlfors, L. V.; Complex Aalysis, Ed. cgraw-hill, Lodres, 966 Chiea, C. S.; Cuerpos. Extesioes de u cuerpo Chiea, C. S.; Extesioes algebraicas Chiea, C. S.; Extesioes trascedetes de u cuerpo Chiea, C. S.; La de Cauchy. Ua fórmula para ua itegral. Chiea, C. S.; Sobre la idea de fució aalítica de variable compleja. Godemet, R.; Cours d algèbre, Herma, Paris, 966 5