Tema 2. Tema 2: Aproxim mación de funciones por po olinomios

Transcripción

1 Tema Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios 1.Orde de cotacto.poliomios de Taylor 3.Teorema de Taylor 4.Desarrollo de McLauri 5.Aplicació al cálculo de límites 6.Aplicació al cálculo aproimado 1

2 Aproimació de fucioes por poliomios Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios Itroducció A veces, para estudiar el comportamieto de ua fució e las proimidades de u puto a, se sustituye la fució dada por otra mas secilla, más fácilmete maejable. Si la fució objeto de estudio tiee las propiedades adecuadas, se la podrá aproimar, para cercao a a, mediate poliomios epresados como potecias de -a, que se llama poliomios de Taylor, de forma que al aumetar el grado del poliomio mejora la aproimació.

3 Orde de cotacto Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios Si f y g so fucioes derivables hasta el orde e u etoro del puto a, etoces: 1) Si f(a) = g(a) se dice que f y g tiee u cotacto de orde 0 e el puto a. 1) Si f(a) = g(a), f (a) = g (a) se dice que f y g tiee u cotacto de orde 1 e el puto a. 1) Si f(a) = g(a), f (a) = g (a), f (a) = g (a) se dice que f y g tiee u cotacto de orde e el puto a. 4) E geeral, se dice que f y g tiee u cotacto de orde si f(a) = g(a), f (a) = g (a), f ) (a) = g ) (a). 3

4 Orde de cotacto f() = e y T 0 () = 1,tiee u cotacto de orde cero el puto P(0, 1). Itroducció al Cálculo Ifiitesimal Tema : Aproimació de fucioes por poliomios 4 f(0) = T 0 (0) =1

5 Orde de cotacto f() = e y T 1 () = 1+,tiee u cotacto de orde uo el puto P(0, 1). Itroducció al Cálculo Ifiitesimal Tema : Aproimació de fucioes por poliomios 5 f(0) = T 1 (0) =1 f (0) = T 1 (0) = 1

6 Orde de cotacto Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios f() = e y T () = 1++ /,tiee u cotacto de orde dos e el puto P(0, 1) f(0) = T (0) = 1 f (0) = T (0) = 1 f (0) = T (0) =1 6

7 Orde de cotacto Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios f() = e y T 3 () = 1++ /+ 3 /6, tiee u cotacto de orde tres e el puto P(0, 1) f(0) = T 3 (0) = 1 f (0) = T 3 (0) = 1 f (0) = T 3 (0) = 1 f (0) = T 3 (0) =1 7

8 Orde de cotacto Represetamos cojutamete las fucioes ateriores: y = e y = 1++ / Itroducció al Cálculo Ifiitesimal Tema : Aproimació de fucioes por poliomios 8 y = 1+ y = 1 y = 1++ /+ 3 /6

9 Poliomios de Taylor Cocretemos los coceptos: Si f es ua fució veces derivable e a R, etoces llamamos poliomio de Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios Taylor de f, de orde (o grado ) y e el puto a, que deotamos por T (f,a)() (o bie T () ), al poliomio Teorema T (f,a)() f (a) f (a) f (a) =f(a)+f (a)(-a)+ (-a) + (-a) (-a) 3!! ) 3 Si f admite poliomio de Taylor de grado e el puto a etoces: ) ) T (a)=f(a), T (a)=f (a), T (a)=f (a),...,t (a)=f (a). Por tato f y T () tiee u cotacto de orde e el puto a. Al sustituir la fució f por su poliomio de Taylor se comete u error, que e valor absoluto, viee dado por f()-t (). Llamamos resto o termio complemetario a la diferecia f()-t (), que simbolizamos por R (f, a)(), o bie R (), luego 9 R (f, a)() = f()-t ()

10 Teorema de Taylor Teorema El resto R () es u ifiitésimo de orde superior a (-a), e = a, es decir Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios 10 f()-t () lim =0 a (-a) El resultado aterior se idica simbólicamete así: Teorema de Taylor (Fórmula de Taylor) Si las fucioes tal que R ()=o((-a) ). +1 f, f, f,..., f está defiidas e [a, ], etoces eiste t (a, ) f (a) f (a) f (t) f()=f(a)+f (a)(-a)+ (-a) (-a) + (-a)! (+1)! ) +1) +1) A esta epresió se la cooce como fórmula o desarrollo limitado de Taylor e el puto a. Luego e este caso +1) f (t) R ()= (-a) (+1)! Lagrage. Como el úmero t o está determiado, esta +1, que se cooce como resto e forma de. R () tampoco lo está, aú así, epresió del resto es útil e muchas ocasioes para acotar el error cometido al cosiderar e lugar de la fució su poliomio de Taylor.

11 Desarrollo de McLauri Fórmula de McLauri Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios Si es posible tomar a = 0, la fórmula de Taylor toma la forma siguiete que se cooce como fórmula de McLauri: f (0) f (0) f (t) f()=f(0)+f (0) ! (+1)! ) +1) +1 +1) f (t) Como t es u valor idetermiado, llamado α=, que tambié estará idetermiado, la fórmula de McLauri se (+1)! escribe f (0) f (0) f()=f(0)+f (0) α! ) +1 más fácil de escribir y suficiete e muchas aplicacioes, como por ejemplo el cálculo de límites. 11

12 Desarrollo de McLauri Alguos desarrollos de McLauri Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios 1 Calculemos alguos desarrollos de McLauri de frecuete utilizació. Desarrollo de McLauri de orde de f() = Calculamos las derivadas sucesivas de e, e : f ()=e, f ()=e,..., f ()=e ) ) 0 f(0)=f (0)=f (0)=...=f (0)=e =1, luego sustituyedo e la fórmula queda e = α 3!! siedo α u valor idetermiado Desarrollo de McLauri de orde de f() = cos : Calculamos las derivadas sucesivas de cos : ) π f ()=-se, f ()=-cos, f ()=se,...,f ()=cos (+ ) Luego: f ( 0) = 1, f ( 0) = 0, f ( 0) = 1, f ( 0) = 0,..., por tato sustituyedo e la fórmula 4 +1 cos = (-1) +α 4! ()! siedo α u valor idetermiado.

13 Desarrollo de McLauri Alguos desarrollos de McLauri Desarrollo de McLauri de orde de f() = se Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios 13 Procediedo de forma aáloga al caso aterior se obtiee: se = ( 1) + α 3! 5! ( 1)! siedo α u valor idetermiado. Observemos que el poliomio de Taylor de cos solo tiee potecias de co epoete par, siedo cos ua fució par. Aálogamete el poliomio de Taylor de se solo tiee potecias de co epoete impar, siedo se ua fució impar Desarrollo de McLauri de orde de f() = log (1+) Calculamos las derivadas sucesivas de log (1+) 1 f ()= =(1+), f ()=-(1+), f ()=(1+), f ()=-3.(1+) 1+ ) +1 - Luego debe ser f ()=(-1) (-1)!(1+), y haciedo = 0 queda ) -4 f = + = f = f = f = f = Sustituyedo e la fórmula y simplificado queda: log (1+)= (-1) +α 3 siedo α u valor idetermiado. ) + 1 ( 0) = log ( 1+ 0) = 0, ( 0) = 1, ( 0) = 1, ( 0) =,... ( 0) = ( 1) ( 1)!

14 Desarrollo de McLauri Alguos desarrollos de McLauri Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios 14 Desarrollo de McLauri de orde de Calculamos las derivadas sucesivas de k f()=(1+), siedo k k (1+) R k-1 k- ) k- f ()=k(1+), f ()=k(k-1)(1+),..., f ()=k(k-1)...(k-+1)(1+). Haciedo = 0 ) f(0)=1, f (0)=k,f (0)=k(k-1), f (0)=k(k-1)(k-),..., f (0)=k(k-1)...(k-+1) Sustituyedo e la fórmula se obtiee: k k(k-1) k(k-1)(k-) k(k-1)...(k-+1) +1 (1+) = 1+k α 3!! siedo α u valor idetermiado. Esta fórmula se cooce como fórmula del biomio y represeta ua geeralizació de la fórmula del biomio de ewto para epoete atural, ya que se puede geeralizar el cocepto de úmero combiatorio co umerador u úmero real cualquiera k: k k(k-1)(k-)...(k-+1) =! ( -1)( -) - -5 Por ejemplo = =. 3! 16 3 Luego la fórmula del biomio puede escribirse así: k (1+) = m=0 k +α m m +1

15 Desarrollo de McLauri Alguos desarrollos de McLauri Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios 15 Para obteer desarrollos de Taylor (o McLauri) de ciertas fucioes, además del procedimieto utilizado e los casos ateriores, se puede usar desarrollos ya coocidos. Veamos alguos ejemplos 1) Obteer el desarrollo de McLauri de orde dos de la fució Se tiee: e =1++ +α, se =- +β , sustituyedo e se f()=e se f()=e se se f()=e = =1+se + +αse =1+(- +β )+ (- +β ) +α(- +β ) = = 1++ +γ ) Obteer el desarrollo de McLauri de orde cuatro de la fució f()= 1- Como 1 1 = ( 1 ), podemos utilizar la fórmula del biomio tomado 1 k=, y sustituyedo por.recordemos la fórmula del biomio de orde dos: ( -1) k k(k-1) (1+) =1+k+ +α (1- ) =1- + -α = α. 8

16 Aplicació al cálculo de límites Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios 16 Los desarrollos de Taylor (McLauri) so ua herramieta eficaz e el cálculo de límites: el procedimieto cosiste e sustituir la fució por su desarrollo correspodiete. Lo más fácil es sustituir las fucioes que o so poliomios por sus desarrollos de McLauri. Como estos desarrollos so limitados, a priori, podemos deteeros dode queramos. Si el resultado del cálculo vuelve a dar otra idetermiació tedríamos que tomar más térmios e los desarrollos utilizados. Ejemplo Calcular log (1+)- lim 0 1-cos Es ua idetermiació del tipo 0. Los desarrollos que ecesitamos ya ha sido obte- 0 idos: log (1+)=+α, cos =1+β sustituyedo: +α - -α lim = lim β 0 β que es ua idetermiació pues α y β está idetermiados. Tomemos más térmios e los desarrollos: 3 3 log (1+)=- +α, cos =1- +β α - - +α Sustituyedo: lim = lim = β -β

17 Aplicació al cálculo de límites Ejemplo Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios 17 Calcular lim 0 3 ( 1--1) 1-1- Tambié es ua idetermiació del tipo 0. Las dos raíces que aparece so casos 0 particulares de la formula del biomio. Para orde dos se tiee: k k(k-1) 3 (1+) =1+k+ +α ( -1) Tomado k= 1- =(1-) = α = α ( -1) Tomado k= 1- =(1- ) =1- + -β = β. 8 Sustituyedo: (1- - -α -1) - - -α - -α lim 3 9 = lim 3 9 = lim 3 9 = β + +β + +β 8 8 8

18 Aplicació al cálculo de límites Ejemplo Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios cos(se )-cos Calcular lim 0 4 Es ua idetermiació de la forma 0. Utilizamos los desarrollos coocidos: se se 5 cos =1- + +α, se =- +β cos(se )=1- + +αse. 4! 3! 4! Sustituyedo queda: (- +β ) (- +β ) α(- +β ) -(1- + +α ) lim 4! 6 4!. 0 4 Por tato la potecia de mas pequeña que aparece es 4, es decir, se tiee: [( + ) + - ] lim 6 6 4! 4! = lim( + ) =

19 Aplicació al cálculo de límites Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios Ejercicio Comprobar los siguietes resultados, utilizado desarrollos de Taylor- McLauri. 1) ) e cos lim = e lim 0 a - cos (a) - se (a) = a, siedo a u úmero real o ulo. 19

20 Aplicació al cálculo aproimado Itroducció al Cálcu ulo Ifiitesimal Tema : Aproim mació de fucioes por po oliomios Apliquemos ahora los desarrollos de Taylor al cálculo del valor aproimado de ua fució e u puto, es decir, sustituimos el valor de la fució por el de su poliomio de Taylor e el puto e cuestió, por lo que ua cota del error cometido se obtedrá acotado el valor absoluto del resto. Ejemplo Utilizado el desarrollo de McLauri de e, obteer 3 e co error meor que ua diezmilésima. E este caso usamos el desarrollo de McLauri e forma de Lagrage: t +1 e e = , t (0, )! (+1)! t e ( ) t 1 1 e Como 3 3 e = e, = 0<t< ;se debe acotar R = 3 = (+1)! 3 (+1)!, y siedo 1 1 t t 3 3 e =e <e <3 < R < 3 +1 (+1)! 0 luego se puede tomar tal que <.10 <3 (+1)! (+1)! 10 desigualdad que será cierta desde u cierto valor de e adelate. 4 5 Dado valores a, comprobamos que se cumple a partir de = 4:.10 <3.5!= Por lo tato el valor pedido se obtiee tomado el poliomio de orde 4, para =, es de- 3 cir: ( ) ( ) ( ) e=e = =