SERIES. Problema 5.1. Halla el radio de convergencia de las series. (2n)! (n!) 2 zn, (a) (i) (e) z 2n, (n + a n )z n (a C), (j) (f) cos(in)z n, z n!

Transcripción

1 Capítulo 5 SERIES Problema 5.. Halla el radio de covergecia de las series a b c d!!,!, a a C, α α R, e f g + a a C,!, a a C, h + αα + α + ββ + β +!γγ + γ + α, β, γ R, γ / Z, i j k, cosi, 3 +. Solució: a Podemos emplear la fórmula R lím a a + lím! +!! +! + lím b Podemos emplear la fórmula R lím a a + lím! + + +! }{{}!+ + lím lím + e. c Como etoces R / a. R lím a lím a a,

2 74 5 SERIES d Como etoces R. R lím a lím α, e Podemos emplear la fórmula R lím a a + lím + a + + a +. Hay dos casos a distiguir: a y a >. E el caso a / cuado, luego lím + a + + a + lím + co lo que R. E el caso a cuado, luego lím + a + + a + lím a a + + a / + a + / +, a + + a + + a, co lo que R / a. Así pues, R mí{, / a }. f La forma caóica de esta serie es a k k, a k k Evidetemete, a k /k a k, y además, { si k!, para algú N {}, e los demás casos. sup{a k }, para todo N {}, k co lo que Así pues, R. R lím sup k a k /k lím sup a k. k g Como etoces R lím a / lím a / lím a si a >, R si a, si a <. si a >, si a, si a <,

3 5 SERIES 75 h Podemos emplear la fórmula R lím a a + lím αα + α + ββ + β +!γγ + γ + +!γγ + γ + αα + α + ββ + β + lím + γ + α + β +, luego R. i La forma caóica de esta serie es a k k, a k k Evidetemete, a k /k a k, y además, { si k, para algú N {}, e los demás casos. sup{a k }, para todo N {}, k co lo que Así pues, R. R lím sup k a k /k lím sup a k. k j Como cosi cosh, R lím a lím a + cosh cosh + lím k Como a 3 + 4,, 4,, 4..., sup k e + e e + lím + e + e e + k ak sup 3 + k 4, para todo N {}, k + e + e + e. luego y, por tato, R /4. k lím sup ak 4 R Problema 5.. Si el radio de covergecia de la serie c es < R <, determia el de a si a a k c, b a c, c a c!, d a c, e a c k, f a + c >. Solució: E todos los casos, llamaremos R al radio de covergecia de la ueva serie.

4 76 5 SERIES a b luego R R. R lím sup R lím sup a lím sup a lím sup k/ c / c lím k/ lím sup }{{} c R, lím / lím sup }{{} c R, luego R R/. c Como etoces Por lo tato, y R. R lím sup lím a lím sup! +! lím / lím.! +, [ / / c ] lím lím sup!! c } {{ } /R d Como etoces R lím sup lím a lím sup lím, c lím lím sup c, }{{} /R y R. e f luego R R k. R lím sup R lím sup a lím sup k a lím sup c + / c lím sup lím + / }{{} k c R k, lím sup c R, luego R R/.

5 5 SERIES 77 Problema 5.3. Si el radio de covergecia de la serie c es R <, determia, para k N, el de las series a c k, c c k, e c, b c, d c +k, f c. Solució: E todos los casos, llamaremos R al radio de covergecia de la ueva serie. a Como el supremo de ua subsucesió es meor o igual que el de la sucesió completa, { sup c km /m} sup { c km /km} k sup { c m /m} k m m m b y, por lo tato, co lo que R R k. luego R. k R lím sup c k / lím sup c / R k, c / R lím sup lím }{{} lím sup c /, c La serie equivale a c w, w k. Como el radio de covergecia de esta ueva serie es R, etoces es absolutamete covergete si w < R y divergete si w > R. Poiedo w k llegamos a que la serie origial es absolutamete covergete si < R /k y divergete si > R /k ; por lo tato, R R /k. d La serie cosiste, simplemete, e por lo tato R R. e La forma caóica de esta serie es c k+ k c ; a k k, a k k { c si k para algú N {}, para el resto de los k.

6 78 5 SERIES Etoces, Evidetemete, co lo que R R. a k /k { c / si k para algú N {}, para el resto de los k. R lím sup a k /k lím sup c / k R, f La forma caóica de esta serie es Etoces, a k k, a k k a k /k Como c / c / /, { c si k para algú N {}, para el resto de los k. { c / si k para algú N {}, para el resto de los k. co lo que R. R lím sup a k /k lím sup c /, k Problema 5.4. Si los radios de covergecia de las series a y b so R a y R b respectivamete, qué se puede decir del radio de covergecia de las siguietes series? a + b, a b, a b b. Solució: Respecto de la suma, si las dos series a, so covergetes, etoces la suma lo es; por lo tato, b, R a+b mí{r a, R b }. Por otro lado, la suma puede coverger si que coverja las series compoetes, por lo que esto es lo máximo que se puede afirmar. Respecto del producto, por lo que R ab lím sup a b lím sup R ab R a R b. a lím sup b, R a R b

7 5 SERIES 79 Si alguo de los límites, lím a, existe, etoces R ab R a R b. Fialmete, respecto del cociete, si existe el límite lím b, etoces co lo que R a/b lím sup lím a b b, lím sup a lím b R a/b R a R b ; R b R a, pero si ese límite o existe, ada se puede afirmar e geeral del radio de covergecia de esa serie. Problema 5.5. Halla el radio de covergecia de la serie +, y discute la covergecia para,, i. Solució: La forma caóica de la serie es a k k si k + para algú N,, a k para cualquier otro valor. k Etoces, /+ a k /k si k + para algú N, para cualquier otro valor, y, por lo tato, R lím sup a k /k, k o sea que R. E y e la serie coverge codicioalmete porque + es siempre u úmero par, co lo que ± + y es codicioalmete covergete, como se demuestra, por ejemplo, co el criterio de Leibit de series alteradas. E i, i + +/,

8 8 5 SERIES luego la serie resultate es + + El expoete del es par o impar segú el siguiete patró: si 4k etoces + 3 k4k + 3 es par; +3/ si 4k + etoces + 3 4k + k + es par; si 4k + etoces + 3 k + 4k + 5 es impar; si 4k + 3 etoces + 3 4k + 3k + 3 es impar. La serie, etoces, es. +3/ Las parejas de térmios del mismo sigo so de la forma así que la serie se puede escribir como , Esta serie coverge codicioalmete por el criterio de Leibit. Problema 5.6. Suma, dode sea covergetes, las series a b,, c d + +,, e f, +. Solució: a La serie coverge si <. E el círculo de covergecia, b La serie coverge si <. E el círculo de covergecia, ζ dζ ζ dζ dζ ζ. log.

9 5 SERIES 8 c Cuado <, + + ζ dζ ζ dζ arc tah + log. De otra maera: cuado <, las series sumádolas, luego d Si <, e Cuado <, log, k + ζ dζ log + ; + + k+ log + log +, k + f Cuado + >, k k+ k + + log. log arc tahζ dζ Problema 5.7. Expresa, e su círculo de covergecia, la serie 3 a e térmios de f a y de sus derivadas. Solució: 3 a a a a f f + f f + 3 f + 3 f.

10 8 5 SERIES Problema 5.8. Desarrolla e serie de potecias de a las siguietes fucioes, e idica cuál es su radio de covergecia: a m, m N, para a ; + k valor pricipal de log, para a ; b + 3, para a ; + c d + 3, para a ; +, para a ; 4 + e, para a ; f, para a ; g h i j, co b, c C, c, para a. b + c 6, para a ; 4 + 3, para a ; +, para a ; + l m e ζ dζ, para a ; se ζ ζ dζ, para a ; se, para a ; ñ cosh, para a ; o se, para a ; p valor pricipal de /3, para a ; q valor pricipal de + i, para a ; r e, para a ; s cos 3 5, para a. Solució: a El radio de covergecia es R distacia al orige de la primera sigularidad y la serie m m. Ahora bie, m m m m m +! m +, co lo que m b Escrita e térmios de, la fució a desarrollar es mm + m + m +! m +, < co lo que el radio de covergecia es R, y la serie + + / /, +, <.

11 5 SERIES 83 c Como e el caso aterior, pero ahora la fució es / /. Las dos fucioes so de la forma w m, covergete si w <, co lo que el radio de covergecia es R, y la serie + / / , < d Como etoces R y /4, , <. e Como la fució es / 3 el radio de covergecia es R la sigularidad más cercaa al orige, y la serie f El radio de covergecia es R y la serie + g Dado que la fució se escribe /3, , <. b + c c el radio de covergecia será R c/b y la serie b/c,, <. b + c c b c b c +, < c b.

12 84 5 SERIES h Descompoiedo la fució e fraccioes elemetales, i i 3 + i 3i i / + 3i i / 3i, i + 3i i 3i + 3i 3i co lo que el radio de covergecia es R + 3i 3i 3, y la serie i + 3i i 3i i 3i i + 3i 3, < 3. Se puede escribir de ua forma más compacta poiedo ± 3i 3e ±iθ, co θ arcta3/; etoces, i 3i i + 3i 3 i 3 /e iθ e iθ se θ, 3/ co lo que se θ 3 /. i Como + +, aplicado el resultado del primer apartado, j Del apartado aterior, k Si deotamos etoces + + +, <. Si hallamos ua primitiva de la serie, + + f log, <. +, f + +, <. f c + +, <, + y como tomado el valor pricipal del logaritmo f, se sigue que c y log + +, <. +

13 5 SERIES 85 l e ζ dζ ζ dζ! ζ dζ! +! +, el radio de covergecia es ifiito porque lo es el de la expoecial. C m se ζ ζ dζ ζ dζ +! + +! +, C el radio de covergecia es ifiito porque lo es el de la fució se. ζ dζ +! Como se cos /, se +!,! C el radio de covergecia es ifiito porque lo es el de la fució cos. ñ Como cosh + cosh /, cosh + +! +!, C el radio de covergecia es ifiito porque lo es el de la fució cosh. o Como, +!! se se secos cos se. La serie se obtiee a partir de los desarrollos cos 4,! C, se 4+, +! C. p Como /3 + /3, usado el desarrollo del valor pricipal de w α, /3 /3,.

14 86 5 SERIES q Como + i i i / y el valor pricipal de i + i/, etoces el radio de covergecia es R y la serie r A partir de la serie de la expoecial, + i / + i i, <. e!, C, se sigue que y por lo tato que e e!!, C, +!, C. s Como etoces, y por tato, cos 3 5 cos 3 cos !, C, + 6!, C,! 6+ +!, C. Problema 5.9. Ecuetra ua fució etera f tal que f i y f i i para todo N. Solució: Si la fució es etera, para todo C f f i + i! i + i! i! e i. Problema 5.. Puede la serie de potecias a coverger e y diverger e 3? Solució: La respuesta es o, porque si diverge e 3, su radio de covergecia es R, lo que impide que coverja e, ya que >.

15 5 SERIES 87 Problema 5.. Determia el círculo de covergecia de los desarrollos de Taylor de las siguietes fucioes e toro al puto a idicado, si obteer los desarrollos para las fucioes multivaluadas, cosidera el valor pricipal. a b c 4, e a, + 4, e a + i/, 4 +, e a i, + d e f, e a + i, se, e a + i, ta 3/, e a 5, + 8i g tah, e a i, h i, e a 3/4, log, e a 3/. Solució: a Las raíces del deomiador so las solucioes de 4, es decir e ±iπ/4, e ±i3π/4. Las dos más próximas al puto so e ±iπ/4, y su distacia a aquél es e ±iπ/4 ±, i ± así que el radio de covergecia es R. i b Las raíces del deomiador so las solucioes de 4, es decir ±, ±i. Las raíces más próximas al puto + i/ so e i, equidistates de él, y su distacia es así que el radio de covergecia es R /. i i, c Las raíces del deomiador so las solucioes de 4 + +, es decir, 3 3 ± i e ±iπ/3 ±e ±iπ/6 ± ± i. Las dos más cercaas, equidistates, a i so ± 3 + i/, cuya distacia es así que el radio de covergecia es R. 3 ± + i i 3 ± i, d Las raíces del deomiador so las solucioes de se, es decir, π, co Z. Las dos raíces más próximas a + i so y π, y sus respectivas distacias + i, + i π π + > 3 + 5, así que el radio de covergecia es R.

16 88 5 SERIES e Las raíces del deomiador so las solucioes de ta, es decir, π/4 + kπ, co k Z. La raí más cercaa a + i es π/4, que está a distacia + i π 4 de modo que ese es el radio de covergecia. π + 4, 4 f La fució tiee u corte e el semieje real egativo; aparte de eso, las raíces del deomiador so las solucioes de 3/ 8i, es decir, e 3 l r+i3 θ e l 8+i π, de dode lr 3 l8 l4, es decir, r 4, y θ π 3 + kπ 4k + π, k,,. 3 La solució para k es θ 3π, que está descartada porque cae sobre el corte. Así que las dos raíces del deomiador so 4e ±iπ/3 ± i 3. Las dos raíces está equidistates de 5, y más cerca de este puto que la sigularidad e procedete del logaritmo, así que la distacia desde 5 a la sigularidad más cercaa será ± i ± i Por tato el radio de covergecia será R. g Las raíces del deomiador so las solucioes de cosh, es decir, i + /π, co Z. La más cercaa a i es iπ/, así que el radio de covergecia es R π/. h Aparte de la sigularidad del logaritmo e, el deomiador se aula cuado log, cuya úica solució es. El radio de covergecia es, pues, la distacia desde hasta 3/4, o sea, R /4. i El úico cero del deomiador es, y además teemos el corte, que empiea e y se extiede por el semieje real egativo. La distacia más corta a 3/ es desde, así que el radio de covergecia es R /. Problema 5.. Cosidera la fució f log sobre la rama pricipal. a Obté la serie de Taylor de f alrededor de a + i. b Halla, mediate el criterio del cociete, su radio de covergecia. c Calcula la distacia de a al corte de f. Puedes explicar la discrepacia etre este resultado y el del apartado aterior? AYUDA: Para el último apartado, cosidera la misma fució co el corte π/ < arg 3π/. Solució: a Por u lado, f + i log + i log e i3π/4 l + i3π 4

17 5 SERIES 89 sobre la rama pricipal; por otro lado, co lo que así que f +!, N, f +! + i + i +! e i3π/4 /, log l + i3π 4 + b Por el criterio del cociete, el radio de covergecia vale +e i3π/4 /. a R lím a + lím +/ + /. c La distacia al corte es, evidetemete,, que es meor que el radio de covergecia. Si uo calcula la serie de Taylor de la fució log, co el corte π/ < arg 3π/, cetrada e el mismo puto, se obtiee exactamete la misma serie, pero ahora la distacia al corte es la distacia al orige, y ésta es. Esto explica por qué ocurre lo que ocurre co el corte pricipal: resulta que log co este segudo corte es ua extesió aalítica de log co el corte pricipal sobre el disco de covergecia de la serie, y por eso la serie coverge a esta seguda fució, o a la primera. De ahí que el radio de covergecia o coicida co la distacia al corte, sio al orige, que es ua sigularidad comú a todos los posibles cortes. Problema 5.3. a Demuestra que si r <, r cos θ r cos θ r r cos θ + r, r se θ r se θ r cos θ + r. b Demuestra que si y > y x R, e y cos x + sehy cosh y cos x, e y se x e y se x e y cos x + e y. AYUDA: Utilia la suma de la serie geométrica. Solució: a Si combiamos las dos series obteemos r cos θ + i r se θ luego re iθ re iθ re iθ reiθ r re iθ r cos θ Re + r r cos θ r re iθ r se θ Im + r r cos θ re iθ re iθ r cos θ r r cos θ + r, r se θ r cos θ + r. re iθ r + r r cos θ,

18 9 5 SERIES b De uevo, combiado las dos series, luego e y cos x + i e y se x e y cos x + i se x e y+ix e y ix + e y e y cos x, e y e y ix cos x Re + e y e y cos x e y+ix e y cos x + e y e y cos x e y cos x cosh y + sehy cos x e y + e y cos x cosh y cos x + seh y cosh y cos x, e y e y ix se x Im + e y e y cos x se x cosh y cos x. e y se x + e y e y cos x Problema 5.4. Estudia el comportamieto de las siguietes series de potecias e la frotera del círculo de covergecia: a, d!, g p p N, b, e, h α, c, f l 3, i cosi. Solució: a Las sumas parciales de esta serie se puede calcular: Cuado, k k+ k,. k k, que es divergete. E térmios de la suma parcial, si e iθ, co θ lπ, l Z, etoces k e iθ eiθ e iθ eikθ,

19 5 SERIES 9 ahora bie, como e ikθ o tiee límite para dichos valores de θ, podemos afirmar que la serie o coverge e igú puto de la circuferecia. b Como el radio de covergecia es R y la sucesió R / / es moótoa decreciete y covergete a cero, etoces la serie coverge codicioalmete e salvo e, dode claramete es divergete. c El radio de covergecia es R. Sobre teemos luego la serie coverge absolutamete e. <, d El mismo raoamieto del apartado c coduce al mismo resultado. e La serie es la misma que la del apartado b cambiado por,, luego es codicioalmete covergete sobre excepto cuado. f Si reescribimos la serie l 3 3 l, podemos deducir sus propiedades de covergecia a partir de las de la serie w l. El radio de covergecia de esta serie es R, ya que, deotado a / l, a R lím a + lím l + l + l + / lím. l l Por otro lado, como a R / l, decreciete y covergete a cero, la serie coverge cuado w excepto cuado w, e que es claramete divergete. Ahora bie, respecto de la serie origial esto implica que su radio de covergecia es R tambié, y que coverge cuado excepto cuado 3, es decir, cuado, e ±iπ/3. g La serie es la misma que la del apartado b cambiado por p, p p, luego es codicioalmete covergete sobre excepto cuado p, es decir, para, w, w,...,w p, siedo w e iπ/p.

20 9 5 SERIES h El radio de covergecia de la serie es R. Sobre la covergecia depede de α. Si α, etoces el térmio geeral, que será de la forma e iθ α, o tiede a cero cuado, luego la serie o coverge sobre. Si < α, etoces como a R / α, la serie coverge codicioalmete sobre excepto e, dode claramete diverge. Si < α, etoces la serie coverge absolutamete sobre ya que α α <. i Como cosi cosh, el radio de covergecia de la serie es Sobre e, la sucesió e + e R lím e + + e e. a R cosh e + e, que es moótoa decreciete pero o coverge a cero. Tomemos, etoces, u puto sobre e, cuya forma geérica es e +iθ, co θ < π. El térmio geeral de la serie será cosh cosh e e iθ + e e iθ. Este térmio geeral o tiede a cero para igú valor de θ, luego la serie o coverge e igú puto de e. Problema 5.5. Estudia los cojutos de C e que so covergetes las series a b c, +, 3 +, d e f y suma las series a f dode coverja. + i, +, e, g h +,!e i, AYUDA: Para la serie e, calcula la diferecia + ; para la serie g, cosidera por separado el iterior y el exterior del círculo D,. Solució: a Se trata de la serie que coverge absolutamete sobre w <, esto es, w, w +, < + < + + Re + Re + > Re >.

21 5 SERIES 93 Sobre la frotera, w, equivalete a Re /, la serie o coverge y fuera del disco es decir, para Re < / diverge. Dode coverge, la suma vale b Se trata de la serie + w, w que coverge absolutamete sobre w <, esto es, + +., > >. E la frotera,, o hay covergecia y para < la serie diverge. Dode coverge, la suma vale c Se trata de la serie que coverge absolutamete sobre w, esto es, w, w + 3, Re Re Re Re Detro de este disco, es decir, cuado 5 4 < 3 4, la serie diverge. Dode coverge, la serie suma Fw w w ζ dζ w ζ w dζ log ζ dζ ζ ζ, o sea, F. 3

22 94 5 SERIES d Se trata de la serie w, w + i, que coverge absolutamete sobre w <, esto es, + i >. La covergecia sobre la frotera + i es codicioal salvo cuado + i, es decir, i, dode la serie diverge. Detro del disco, + i <, la serie diverge. Dode coverge, la serie suma e Como etoces co lo que + i log log + i + i + i , + +, + que es ua serie telescópica. Su suma es. +, + lím, así que la covergecia está ligada a la existecia del límite aterior. Si < teemos cuado y, por tato, cuado ; si >, cuado, así que e ambos casos las serie coverge. Si la serie o está defiida, y si e iθ, co θ kπ k Z, e iθ o tiee límite. E coclusió, la serie coverge cuado y diverge cuado. Dode coverge, la suma de la serie es + lím si <, si >.

23 5 SERIES 95 f Se trata de la serie que coverge absolutamete sobre w, esto es, Si Re > la serie diverge. Dode coverge, la serie suma Fe, siedo w, w e, e e Re Re. Fw w log ζ dζ ζ. g Si, el térmio geeral o tiede a cuado, así que la serie o coverge sobre esa circuferecia. Por otro lado, si <, aplicado el criterio de la raí / + + / cuado. Como < la serie coverge absolutamete. Y si > podemos hacer la trasformació, multiplicado umerador y deomiador por, + +, co lo que la serie queda igual cambiado por. Como < la serie coverge tambié absolutamete e esta regió. Así que hay covergecia absoluta si y o hay covergecia de igú tipo si. h Cosideremos la serie a k k, a k!w k Su radio de covergecia se obtiee como R {! si k para algú N {}, para el resto de los valores. lím sup a k /k lím k!/ lím π/ / e /, co lo que la serie coverge absolutamete si w < y diverge si w >. Sobre w el térmio geeral de la serie,!e iθ, o tiede a y es, por tato, divergete. La serie origial se obtiee de ésta haciedo w e i. La codició de covergecia, w <, se traduce e e i e Im < Im >. Problema 5.6. Sea f la fució defiida por la serie f Demuestra que a si f es par, a para todo impar, b si f es impar, a para todo par. a.

24 96 5 SERIES Solució: a Ua fució par cumple f f y, por tato, f f a a [ ]a. Ahora bie, { si es par, si es impar, luego a k+ k+. k Como la serie de Taylor de la fució es úica, los coeficietes debe ser todos ulos, así que a k+, k N {}. b Ua fució impar cumple f f y, por tato, f + f a + a [ + ]a. Ahora bie, + { si es par, si es impar, luego a k k. Como la serie de Taylor de la fució es úica, los coeficietes debe ser todos ulos, así que a k, k N {}. k Problema 5.7. Estudia si existe o o ua fució aalítica e algú domiio Ω que cotega el itervalo real [, ] tal que e los putos /, co N, tome los valores a,,,,,,... b, /,, /4,, /6,...,, /k,... c /, /, /4, /4, /6, /6,..., /k, /k,... d /, /3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,..., / +,... Solució: a Ua fució así debe cumplir f/ para todo N. Como la sucesió {/} es de térmios todos distitos y coverge a, que está e el itervalo [, ], sólo hay ua fució holomorfa e Ω que verifique esa codició, y es f. Pero evidetemete esta fució o se aula sobre los putos / +. b Como e el caso aterior, pero ahora la codició es f/ / y la fució f /, que tampoco se aula sobre los putos / +.

25 5 SERIES 97 c Como e el caso aterior, la fució tedría que ser f /, pero etoces o puede valer lo mismo sobre / que sobre /. d Ahora buscamos ua fució holomorfa que cumpla f + + /, y tal fució úica por el pricipio de prologació aalítica es f / +. Problema 5.8. a Halla el desarrollo e serie de potecias de de la fució etera f que coicida sobre el eje real positivo co la fució fx se x/ x. b Cuáto vale esa fució sobre el eje real egativo? Solució: a Sobre el eje real positivo co lo que se x x se x x + +!, x +! x +!. La fució aalítica que coicide co esta sobre el eje real es, lógicamete, f +!. b f x x +! x +! seh x. x Problema 5.9. Si calcular sus derivadas, obté los desarrollos e serie de potecias de, hasta grado 4, de las fucioes a log, b e /, Solució: a Como etoces c e e, d +, log log e e se, f cos,, g h e, log +. cos

26 98 5 SERIES b Por u lado, y por otro, co lo cual,, e w w!, e / ; ahora bie, , , , por lo tato, e / c Escribimos e e ee e y sustituimos pero e e ; , , , 4 +

27 5 SERIES 99 co lo que e e y por lo tato, e e e d La fució + e log+ ; ahora bie, co lo cual log , + e log e Como etoces e se + se f La fució cos + cos, co lo que usado obteemos + w + w w 8 +, cos , cos

28 5 SERIES g Como dividiedo etre e, e , y por lo tato, h Como dividiedo las dos series e log , cos , luego log + cos

29 5 SERIES Problema 5.. Halla los desarrollos de Lauret e potecias de de las siguietes fucioes e el mayor úmero de domiios posible, e idica los correspodietes aillos de covergecia cosidera el valor pricipal de las fucioes multivaluadas. a 3 +, b + + +, c se, d e, a, k N, a k f e /, g log a b h arcta 4, i a b < a < b, a, b C. Solució: a Descompoiedo e fraccioes elemetales, 3 +. Por u lado, pero tambié, <, +, >. Por otro lado, pero tambié / +, <, / Combiado estos resultados teemos que, para <, , >. + ; para < <, y para <, 3 + +,

30 5 SERIES b Por u lado, pero tambié +, < ; Por otro lado, pero tambié / +, <, + / + +, >., >. Fialmete / es su propia serie de Lauret para >. Combiado todos los resultados teemos que, para < <, ; para < <, y para <, , c Para >, se +! +. d Descompoiedo e fraccioes elemetales, +, así que para < <, y para <, +,.

31 5 SERIES 3 e Si < a, a k k a k /a k k a k si > a, f Si >, e / a k k a/ k k a k k. k! k + k + a k k + a k +! a! g El cojuto dode la fució o es aaítica correspode a los complejos tales que +k a +k ; +!. a b r a + rb + r a b. La fució, etoces, admitirá dos desarrollos de Lauret: uo para < a y otro para > b. Si < a, log a a log + log b b lb/a + /a /b b a a l b. a + b Si > b, a a/ log log b b/ a + b b a. h Como arcta i i + log, i el cojuto dode o es aalítica correspoderá a los complejos tales que i + i r r + i yi, y. r Etoces sólo admite u desarrollo de Lauret para <. E ese caso, arcta + +

32 4 5 SERIES y, por tato, arcta Podemos cosiderar otra determiació para el logaritmo, como por ejemplo, arg < π. Etoces i + i r r + i yi, y, r y el úico desarrollo de Lauret posible es para >. La forma de obteerlo es a partir de la derivada: de dode arcta + + arcta c + +. La costate se determia tomado el límite e la expresió arcta i i + log i i log π, co lo que co esta determiació Etoces, arcta π +, >. +, arcta 4 π π i Reduciedo a fraccioes elemetales Como a b b a a a + a b. a si < a, si > a, y aálogamete para / b cambiado a por b, combiado las expresioes tedremos los posibles desarrollos. Supogamos, si pérdidad de geeralidad, que a b ; etoces, si < a a b b a a + b + ;

33 5 SERIES 5 si a < < b este caso es vacío si a b a b b a b + b a a, y si b < a b b a b a. Problema 5.. Halla los desarrollos de Lauret e potecias de a de las siguietes fucioes, e idica los correspodietes aillos de covergecia. a, co a i; + c se, co a ; e se, co a ; b se, co a π; π d e /, co a ; 4 f cos, co a. Solució: a Como + i + i, + i + i i i + i 4 i i i/ 4 i i i 4 i + i 8 i + i + i 4 i + i 8 i + i +4 i, < i <. b Como se seπ + π se π, se π c Para <, se se cos se cos + π +! se se cos, < π ! + + se +! d e /!, <.

34 6 5 SERIES e Como + + +, se [ ] + + +! + +! + La primera y la última serie puede reescribirse como así que, para <, +! + +! + +! + + +! + +! + + 3! + + +! + + +! + 3! ! +, se ! f Como 4 4, luego para <, 4 cos cos cos 4 4, 4 cos cos ! +. +!. + sese 4 4! 4 + se 4+ +! 4+ Problema 5.. Halla los desarrollos de Lauret de las siguietes fucioes e los aillos que se idica. a e < a < < b, a b c e < y e >, b + 5 e < <, + d e + e <, e se se e <.

35 5 SERIES 7 Solució: a Descompoiedo e fraccioes elemetales, Como a <, como < b, uiedo ambos desarrollos, a b a b a b a b a +. b a a/ b b /b a + b +; a ; a b a b b + + a b a, a < < b. b Descompoiedo e fraccioes elemetales, A + B + C +, de dode + 5 A + + B + C. Haciedo, se tiee que 5 5A, es decir, A. Sustituyedo B + C + 4 B + C, de dode Así pues, Como <, como <, etoces, B + C B, C / + + +; + + ;, < <.

36 8 5 SERIES c Si <, si <, 4 / / ;. d e + e e /! m m! m m m!m! m k m k m + k!m!. Vamos a cambiar el orde de las sumas. Como m recorre todos los eteros o egativos, k puede tomar cualquier valor etero; por otro lado, teemos que m y que k m o, lo que es equivalete, m k, así que m máx{, k}. Etoces, m k m Pero cuado k <, k m + k!m! m k k k k k m m + k!m! m k mmáx{, k} m + k!m! m + k!m! + k m k!m! m k m k m!m + k!, m + k!m!. así que, e <, e + k a k k, a k m m!m + k!. e se se + m +! m +! m+ m +m m +!m +! m m +!m +!, m y siguiedo los pasos del apartado aterior, para <, se se k k a k k, a k m m m +!m + k +!.

37 5 SERIES 9 Problema 5.3. Se defie los úmeros de Beroulli mediate el desarrollo e serie de potecias e B!. Demuestra que los úmeros de Beroulli verifica las siguietes propiedades: a para todo N, b B + para todo N y + B k ; k k B, B, B 6, B 4 3, B 6 4, B 8 3 ; c lím sup B /! π. AYUDA: Para probar b demuestra que la fució + Solució: a De la defiició de los úmeros de Beroulli, Como e e haciedo el producto de series cocluimos que e es par. B!. a, a +!, k B k k +!k!. Esto implica que a y que a para todo N; de lo primero deducimos que B, y de los segudo, que B k k +!k!. k Multiplicado esta ecuació por +! obteemos b Cosideremos la fució f + + B k. k k e + B + + B!.

38 5 SERIES La fució cumple f e + e e + e + e + + e f, luego es par. Eso implica que todos los coeficietes impares de su desarrollo de Taylor se aula, es decir, B +, B +, de ahí que B /. Para hallar los pares usamos la fórmula del apartado aterior de maera recursiva: B + 3B + 3B B ; B + 5B + B + 5B 4 B ; B + 7B + B + 35B 4 + 7B 6 B ; B + 9B + 36B + 6B B 6 + 9B 8 B c El límite e cuestió o es más que el recíproco del radio de covergecia de la serie. Dicho radio se puede obteer como la distacia a la sigularidad más próxima al orige de la fució. Como tales sigularidades so los ceros del deomiador, se obtiee resolviedo e kπi, k Z. Las más cercaa so ±πi, así que el radio de covergecia es π, y por tato, lím sup B /! π. Problema 5.4. a Prueba las siguietes idetidades: e + e ta i + i e i +, e, 3 cota i + i e i, 4 se i e i + i e i +, 5 log cos ta, [ ] ta 6 log se, [ 7 log se ] cota. b Empleado los úmeros de Beroulli, desarrolla las fucioes ateriores e potecias de e idica el radio de covergecia de la serie. Solució: Resolvemos a la ve los dos apartados para cada fució.

39 5 SERIES luego e + e e + e e e e e, e B! B! B!. El radio de covergecia se deduce de la sigularidad más cercaa al orige. Las sigularidades so los ceros de e +, es decir k + π, co k Z; por tato, el radio de covergecia es R π. i + luego i e i + i + e i e i e i i + i + e i cos cos e i i cos ei e i i cos se cos ta, ta i + i e i + i + i e i + i + B! i B + +! +. B! i B! 4 4 Como los ceros del deomiador, cos, so + /π, co Z, etoces el radio de covergecia es R π/. 3 i + luego i e i i + ie i e i e i i + e i se i se + e i se ei + e i se cos se cota, cota i + i e i i + + B! 4 B! i + B! 4. B! i Como los ceros del deomiador, se, so π, co Z, las sigularidades de cota so ±kπ co k N, co lo que el radio de covergecia es R π. 4 i e i + i e i + iei + + e i e i iei e i i e i e i se,

40 5 SERIES luego se i e i + i + + i e i + B! i + B! + i + 4 B! B! i 4 B! 4 B!. Como e el caso de cota, el radio de covergecia es R π. 5 De la relació log cos se ta cos podemos deducir la serie de log cos itegrado la de ta y teiedo e cueta que el valor pricipal de log cos. Etoces log cos B + + +! +. Como para la tagete, el radio de covergecia es R π/. 6 De la relació y la serie [ log ta ] cos ta cos se se se se 4 B! 4 4 B! 4, deducimos, itegrado, la serie ta log 4 B! 4. Hemos empleado, además que e el valor pricipal de la fució es. Como el radio de covergecia de / se es π, el de / se, y por tato el de esta serie, es R π/. 7 De la relació y la serie [ ] log se cos se cota cota cota B! 4 B! 4 +,

41 5 SERIES 3 deducimos, itegrado, la serie log se B! 4 +. Hemos empleado, además que e el valor pricipal de la fució es. Como el radio de covergecia de cota es π, el de esta serie tambié es R π. Problema 5.5. Sea la fució y sea p N. f a, < R, a Demuestra que si defiimos g como g p f e πik/p, p k etoces g tiee el desarrollo e serie g a p p, < R. b Qué se puede decir del radio de covergecia R e relació co el radio de covergecia R? AYUDA: Utilia el resultado del problema. Solució: a Para probarlo utiliaremos el siguiete resultado, demostrado e el problema.: { p wk p si es múltiplo de p, si o es múltiplo de p, k w k e iπk/p. Etoces, p g fw k p p k p k a w k a p p k w k a kp kp. k b Como {a kp } es ua subsucesió de {a }, tedremos que y por lo tato, R R. R lím sup a kp /kp lím sup a / k R,

42 4 5 SERIES Problema 5.6. Se defie la fució de Bessel de orde Z mediate la serie J a Demuestra que J J. k b Demuestra que J verifica la ecuació diferecial k +k. k! + k! J + J + J. c Demuestra que e w w / J w, < w. d Demuestra que J π π cos se θ θdθ. NOTA: E la defiició de J los térmios co factorial egativo se cosidera ulos. Solució: a De acuerdo co la defiició de J, k +k k+ k+ J J. k! + k! k +!k! k k b Como etoces pero J J J k +k + k + k, k! + k! k +k + k, k! + k! 4 k +k+ k 4 k! + k! k! + k! k k +k 4k + k, k! + k! k k k k +k J + J + J [ + k + k + + k 4k + k ] k +k, k! + k! k +k+k ++k 4k+k +4k +kk ++k 4k 4k, luego J + J + J.

43 5 SERIES 5 c w e w w / e w/ e /w m m! m!w m m m m+ w m m m+k w k m!! m!m + k! m k w k m k m m+k m m!m + k! mmáx{, k} }{{} J k k J k w k. d Del apartado aterior sabemos que J es el coeficiete del térmio w del desarrollo de Lauret de la fució e w w / e potecias de w, así que, por defiició J e w w / πi w + dw, Z, γ siedo γ cualquier curva cerrada que rodea el puto w. E particular, si tomamos la curva wθ e iθ co π θ π, J π e i se θ e iθ dθ π cos se θ θ dθ + π se se θ θ dθ π π π π }{{} π π }{{} fució par fució impar π π cos se θ θdθ. Problema 5.7. A partir del desarrollo de Lauret de la fució f + m, calcula π cos m θ cos θ dθ, m N, Z. Solució: Por la fórmula del biomio, f + m m k m k k m k que es su serie de Lauret. Por otro lado, π cos m θ cos θ dθ + m + i m m i m+ k k m k d i m+ k m+ d + i m+ m k m, k m k f + d m k k m d; la primera itegral se aula cuado k m y la seguda cuado k m +, y cuado o se aula cualquiera de ellas vale πi. Si m y tiee distita paridad, etoces m ± es u úmero impar y las itegrales se aula siempre, así que, para empear, π cos m θ cos θ dθ si m y tiee distita paridad.

44 6 5 SERIES Por otro lado, si m y tiee la misma paridad, etoces m ± es u úmero par, co lo que la primera itegral es distita de cero para k m /, siempre que m m m m m m m. E cuato a la seguda itegral, es distita de cero para k m + /, siempre que m + Así pues, si m, π m + m m m m m. cos m θ cos θ dθ i m+πi π m m m+ [ m m, ] m + m+ π m [ m m + ya que los dos úmeros combiatorios so iguales porque m m / m + /. Resumiedo: π m π cos m θ cos θ dθ m m+ si m + es par y m, e cualquier otro caso. ] m m+ Problema 5.8. a Sea f ux, y + ivx, y ua fució aalítica e C tal que f c. Demuestra que + f u, + c, f iv, + c. i i b Obté f si ux, y x y +, vx, y x + y 3, 3 ux, y e x xcos y y se y, 4 ux, y y x + y, 5 vx, y cos xseh y seh xse y. AYUDA: Para a, obté u desarrollo e serie para ux, y y vx, y a partir del desarrollo e serie para f. Solució: a Si f es aalítica e, se puede escribir como ua serie de potecias e toro a Como Re f ux, y, ux, y f + f c + c + f c. { c [ x x + iy y ] c [ + x x iy y ] }.

45 5 SERIES 7 Esta es ua serie e las variables reales x e y, pero podemos iterpretarla como serie e variables complejas x e y. E ese caso, si la particulariamos a los valores resulta y como etoces x x + u x +, y + i x + c + c, y y +, i + { c + } +, y + i + f u, c. i Fialmete, como Re if vx, y y if ic, etoces, i c + f, + if v, + ic v, ic, i i co lo que multiplicado por i, + f iv, + c. i b Tomemos ; etoces, como f + ic, co c R idetermiada, f u/, i/ + ic i + + ic + + ic. Tomemos ; etoces, como f c 3i, co c R idetermiada, f iv/, i/ + c + 3i i i 3 + c + 3i + i + c 3i. 3 Tomemos ; etoces, como f ic, co c R idetermiada, f u/, i/ + ic e / cosh/ + seh/ + ic e / cosh/ + seh/ + ic e + ic. }{{} e / 4 Tomemos ; etoces, como f ic, co c R idetermiada, f u + /, i / i / + ic + /4 /4 + ic i + ic i i + ic + + ic, co c R idetermiada.

46 8 5 SERIES 5 Tomemos ; etoces, como f c, co c R idetermiada, f iv/, i/ + c i i cos/se/ + i seh/seh/ + c se seh / +c se cosh + c se cosh + c, }{{} cosh co c R idetermiada. Problema 5.9. Sea f a, g b, dos fucioes aalíticas e D, R. Sea γ u cotoro cerrado simple de D, R que rodea el orige y defiamos F fζ πi γ ζ g dζ. ζ Demuestra que F a b. Solució: pero luego F πi γ m a ζ b m dζ ζ m m { ζ m si m, dζ πi γ si m, F a b. m a b m ζ m dζ; πi γ Problema 5.3. Halla el desarrollo e serie de ua fució f que verifique la ecuació f + f, y demuestra que la codició f determia de maera úica esa fució. Solució: Sea etoces la ecuació implica f a ; a + a,

47 5 SERIES 9 es decir, a + a + a + a a + + a + a 4 +. El coeficiete a queda idetermiado e esta ecuació; a y el resto de los coeficietes impares se aula. La ecuació que queda es a a, de dode se deduce que a a. Si es u impar distito de, etoces a, y si es par, etoces k, luego a 4k a k a k. De uevo valdrá cero si k es u impar distito de, mietras que si es par, k m y a 8m a 4m a m a m. El raoamieto cotiúa hasta que el etero e cuestió sea. Deducimos etoces que a a, y el resto de los coeficietes so ; por tato la fució es f a +. La codició f fija a y determia de maera uívoca f. Problema 5.3. Cosideremos la fució f. Como y, por otro lado,, la fució f para todo. Dóde está el error de este raoamieto? Solució: El error cosiste e que la serie si y sólo si <, mietras que si y sólo si >.