MATEMATICAS ESPECIALES I PRACTICA 1 Conjuntos en C - Topología en C - Sucesiones de números complejos

Transcripción

1 MATEMATICAS ESPECIALES I - 07 PRACTICA Cojutos e C - Topología e C - Sucesioes de úmeros complejos. Represetar e el plao complejo la familia de curvas defiidas por: a) Re( z ) = c b) Re(z ) = c c) Im(z) = c d) z + ( z) = e) z = c, c > 0 f ) z = c, c =, c z + g) z + i + z i = c, c > Sugerecia: recordar que z a = dist(z, a).. Represetar gráficamete el cojuto de valores de z que satisface: a) z Im(z) + b) z + > + z 3. Represetar los siguietes cojutos del plao complejo: a) Re(z) < b) Im(z) > c) z + i d) < z i < 3 e) z > 0, π/4 arg(z) π/ f ) Im(z) < 4. Cuáles de los cojutos del Ejercicio 3 o so abiertos i cerrados? Cuáles so acotados? 5. Probar que si z 0 es u puto de acumulació de S, etoces todo etoro de z 0 cotiee ifiitos putos de S. 6. Probar que u cojuto S es cerrado si, y solo si, cotiee todos sus putos de acumulació. 7. Probar que el cojuto C es, simultáeamete, abierto y cerrado. Sucede lo mismo co? 8. Determiar la clausura de cada uo de los siguietes cojutos. a) z > 0, π < arg(z) < π ( ) b) Im > / z c) Re(z) < z 9. Hallar la itersecció de la familia ifiita de discos abiertos defiida por Es este u cojuto abierto? Coclusió? z < + /, =,, 3,...

2 Dado u subcojuto S C del plao complejo, ua separació de S es u par de cojutos U, V C abiertos tales que U S y V S, U V =, S U V. El cojuto S se dice coexo si o existe separació de S; es decir, si o es posible ecotrar cojutos U y V que cumpla los tres requisitos ateriores. Puede probarse que si S es u cojutos coexo por arcos, etoces S es coexo. Más aú, si S es abierto, etoces S es coexo si, y solo si, es coexo por arcos. 0. Determiar si S es u cojuto coexo. a) S := z C : Re(z) < } z C : z < }, b) S := [0, ) + } :, c) S := C (, 0]}. Cosidere el subcojuto S del plao complejo represetado e la siguiete figura: 0 0,5,5,5 3 3,5 4 Es fácil comprobar que S := z : z < } z : z } x + iy : 3 } 4 x ; y = 0 z = 5 + } ;. Hallar los putos a) e el iterior de S, b) e el exterior de S, c) e la frotera de S, d) aislados de S, e) de acumulació de S, f ) e la clausura de S.

3 . Cosidere el subcojuto S del plao complejo represetado e la siguiete figura (más abajo se da ua defiició formal de S): a) Mostrar que z = +i es u puto iterior de S y que z = 0 es puto de acumulació de S. i b) Describir los putos frotera z S tales que Re(z) = 0. c) Es S u cojuto coexo? Justificar. d) Si S es coexo, remover u puto para que quede discoexo. Si es discoexo agregar u puto para que quede coexo. E cada caso justificar.... i Defiició del cojuto S: S := k S k S k := ( z C 0 < z < ) ( 3 k π < arg(z) < ) } 3 k π ( z C 0 < z ) ( 3 k π arg(z) ) } 3 k π si k es impar si k es par 3. Sea S u cojuto del plao complejo. Demostrar que, para cada puto z 0 que perteece a la clausura de S, existe ua sucesió z } de putos de S tal que z 0 = lím z. 4. Sea z } ua sucesió de úmeros complejos. Probar que: a) lím z = z lím z = z b) lím z = 0 lím z = 0 5. Estudiar la covergecia de las siguietes sucesioes. a) z = i, =,, 3, b) z = i, =,, 3, c) z = ( ) ( )( + i), =,, 3, d) z = + ( i), =,, 3, e) z = e iπ/, =,, 3, f ) z = + i( ), =,, 3, ( + i) g) z =, =,, 3, h) z = i,

4 EJERCICIOS ADICIONALES. Ecotrar los putos z C que satisface las siguietes relacioes a) z / b) Im(z ). Demostrar que si S i } es cualquier familia de cojutos abiertos, fiita o ifiita, etoces la uió i S i es u cojuto abierto. 3. Demostrar que si S i } es cualquier familia fiita de cojutos abiertos, etoces la itersecció S i es u cojuto abierto. i 4. Cosidere el subcojuto S del plao complejo represetado e la siguiete figura (más abajo, se da ua defiició formal de S): a) Mostrar que z = 3+i es u puto de acumulació de S y que z = 3 4 es iterior a S. b) Existe putos frotera sobre el eje real que o pertezca a S? Si la respuesta fuera afirmativa, decir cuáles so y justificar por qué so putos frotera. c) Es S u cojuto coexo? Justificar. d) Si S es coexo, remover u puto para que quede discoexo. Si es discoexo agregar u puto para que quede coexo. E cada caso justificar. Defiició del cojuto S: S := k 0 D k D k := z C z a k < } k+ z C z a k } k+ si k es o o par si k es impar a k = k k+

5 } 5. Sea S := a + ib C : a, b Q; 0 < a < ; 0 < b <. a) Es S acotado? b) Cuáles so los putos de acumulació de S, si los tiee? c) Cuáles so sus putos iteriores y cuáles so sus putos frotera? d) Es S cerrado o abierto? e) Es S coexo? f ) Cuál es la clausura de S? 6. E cada caso, costruir (si es posible) u subcojuto S de C que cumpla co las propiedades euciadas: a) S o es abierto i cerrado. b) S cotiee todos sus putos frotera salvo uo. c) S es ifiito, acotado, y S = S. d) S es coexo y se vuelve discoexo al remover exactamete u puto (es decir, existe u úico z 0 S tal que S \ z 0 } es discoexo). e) S tiee cuatro putos frotera que o so putos de acumulació. f ) S tiee frotera vacía. g) S es ifiito y tiee iterior vacío y exterior vacío. h) S tiee u úico puto iterior. i) S es ifiito y tiee u úico puto frotera. j ) S tiee exactamete dos putos de acumulació. 7. Ecotrar el límite de la sucuesió + ( + )i a) z = ;, ( + i)( + i) b) z = ;, c) z = ( + i) ;,