Álgebra I Práctica 2 - Números Naturales e Inducción

Transcripción

1 Sumatoria Álgebra I Práctica - Números Naturales e Iducció. Reescribir cada ua de las siguietes sumas usado el símbolo de sumatoria (a) , (b) , (c) + ( 4) ( 6) ( 44), (d) , (e) ( + ), (f) i Reescribir cada uo de los siguietes productos usado el símbolo de productoria y/o de factorial (a) , (b) , (c) 3.. Escribir los dos primeros y los dos últimos térmios de las expresioes siguietes (i 5), i i=6 i= i(i + ), ii + i, i iv) i, v) + i i Probar que, N, i = sombreados del diagrama ( + ) cotado de dos maeras la catidad de cuadraditos i Deducir que, N, = ( + ). 4. Calcular Iducció (4i + ), i (i 5). i=6 5. Sea a, b R. Probar que para todo N, a b = (a b) la suma geométrica: para todo a, 6. Sea q R, q. Calcular a i = a+ a. a i b i. Deducir la fórmula de q i, i q i,

2 Álgebra I Práctica Págia ii i= q i, iv) ( q i. 7. Probar que, N, (i ) = : cotado de dos maeras la catidad total de cuadraditos del diagrama i usado el ejercicio 3, ii usado el pricipio de iducció. 8. (Suma de cuadrados y de cubos) Probar que para todo N se tiee i = ( + )( + ), i 6 i 3 = ( + ) Probar que para todo N se tiee i ii ( ) i+ i = ( )+ ( + ), 4i = + +, (i + ) 3 i = 3, iv) v) i i (i + )(i + ) = + +, + i i 3 = ( ). 0. Sea (a ) N ua sucesió de úmeros reales. Probar que i Calcular ii Calcular. Calcular i(i + ) (i )(i + ) (Sugerecia: ( ) i i (i )(i + ), N. (a i+ a i ) = a + a. i(i + ) = i i + ), (Sugerecia: calcular i i + ).. Probar que las siguietes desigualdades so verdaderas para todo N <, i , ii 3 3, iv) v) i= i i, i > v! 3, vi vii ( i!, ).

3 Álgebra I Práctica Págia 3 3. Sea a R, a. Probar que, N, ( + a) + a. E qué paso de la demostració se usa que a? 4. Probar que! 3, 5, i 3 > 3, 4, ii 3 i i! < 6 5, 3, iv) ( ) >, 4. v) > 3 l(), 788. l() v > 4/3 (), Probar que para todo 3 vale que Recurrecia ( 3) la catidad de diagoales de u polígoo covexo de lados es, i la suma de los águlos iteriores de u polígoo covexo de lados es π ( ). 6. Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a = + 3. a = 5, a + = 3a, N. i Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a =!. a =, a + = a + +!, N. ii Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a = ( ). a = 0, a + = a + (3 + ), N. iv) Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por ()! a =, a + = 4a ( + )!! ( ) Probar que a =. ( N) 7. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y probar su validez. a =, a + = ( + a ), N. i a = 3, a + = a + 3, N. ii a =, a + = a, N. iv) a =, a + = a, N. 8. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y probar su validez. a =, a + = a + ( + ) 3, N. i a =, a + = a + ( ) +, N. ii a = 3, a + = a + ( + )3, N. (Sugerecia: usar los Ejercicios 0(, 8 y 9.)

4 Álgebra I Práctica Págia 4 9. Sea (a ) N la sucesió defiida por a =, a + = a +!, N. Probar que a =!, y, aplicado el Ej. 0(, calcular i Sea (a ) N la sucesió defiida por i i! a =, a + = a , N. Probar que a = 3, y, aplicado el Ej. 0(, calcular de otra maera i (c.f. Ej. 8). 0. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y probar su validez. a =, a =, a + = a + + ( + )a, N. i a =, a = 4, a + = 4 a + + a, N. ii a =, a = 3, a + = a + + a , N. { a + 3 si es impar, iv) a = 3, a = 6, a + = a + + a + 9 si es par.. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N0 defiidas a cotiuació y probar su validez. a 0 =, a = 3, a + = 4 a + 3 a, N 0. i a 0 =, a =, a + = 4 a + 3 a, N 0. ii a 0 =, a = 4, a + = 4 a + 3 a, N 0. iv) a 0 =, a = 3, a + = 6 a + 9 a, N 0. v) a 0 = 0, a = 3, a + = 6 a + 9 a, N 0. v a 0 =, a = 0, a + = 6 a + 9 a, N 0.. Sea (a ) N la sucesió defiida por a =, a = 3, a + = a + + 5a ( N) Probar que a < + 3 para todo N. i Sea (a ) N la sucesió defiida por a =, a = 3, a + = a a ( N) Probar que a > + 3 para todo N, Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y probar su validez. a =, a + = + i a =, a + = ii a =, a + = i a i, N. ( a i ), N. a i + ( + ), N.

5 Álgebra I Práctica Págia 5 4. Sea (a ) N la sucesió defiida por Probar que a i Probar que a > 3 a =, a + = + + a ( N) ( ) para todo N. ( ) para todo Se tiee moedas e apariecia idéticas. Ua de ellas es falsa, y es más liviaa que las autéticas (todas las autéticas tiee el mismo peso). Demostrar que se puede idetificar la moeda falsa usado veces ua balaza de platillos. 6. Sea F 0 = 0, F = y F + = F + F la sucesió de Fiboacci. Probar que N: i F i+ = F, Fi = F F +, ii F F + F = ( ), iv) { F = F + F F = F (F + F ), v) F +m = F m+ F + F F m m 0. [( v F = + ) ( 5 ) ] Hallar la catidad de sucesioes b,..., b de bits (es decir, b i {0, }), que o cotiee dos cosecutivos (es decir, 0 {b i, b i+ } i =,..., ). 8. Sea (F ) N0 la sucesió de Fiboacci del Ejercicio 6. Probar que F + = ( ) k. k Por iducció. i Co el ejercicio aterior. k / 9. Probar que todo úmero atural se escribe como suma de distitas potecias de, icluyedo 0 =. Sugerecia: cosiderar la mayor potecia de meor o igual a. 30. Sea (F ) N0 la sucesió de Fiboacci. Probar que todo úmero atural m se puede escribir como suma de k úmeros de Fiboacci m = F F k para cierto k N, co subídices,..., k mayores que y i + < i+, i < k. Es decir, todo úmero atural puede escribirse como suma de distitos úmeros o ulos de la sucesió de Fiboacci si usar dos cosecutivos. Probar además, que dicha represetació es úica. 3. Probar que todo N puede escribirse como suma de úmeros de la forma a 3 b tales que iguo de ellos divide a otro. Sugerecia: para impar cosiderar 3 k < 3 k+. Combiatoria (da Parte) 3. Cuátos subcojutos de 4 elemetos tiee el cojuto {,, 3, 4, 5, 6, 7}? i Y si se pide que perteezca al subcojuto? ii Y si se pide que o perteezca al subcojuto? iv) Y si se pide que ó perteezca al subcojuto, pero o simultáeamete los dos? 33. Dadas dos rectas paralelas e el plao, se marca putos distitos sobre ua y m putos distitos sobre la otra, cuátos triágulos se puede formar co vértices e esos putos?

6 Álgebra I Práctica Págia Sea A u cojuto co elemetos. Cuátas relacioes de equivalecia puede defiirse e A que cumpla la codició de que para todo a A la clase de equivalecia de a tega elemetos? i Sea A u cojuto co 3 elemetos. Cuátas relacioes de equivalecia puede defiirse e A que cumpla la codició de que para todo a A la clase de equivalecia de a tega elemetos? 35. Sea X = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}, y sea R la relació de equivalecia e P(X) defiida e el Ejercicio 5 de la Práctica : A R B A {,, 3} = B {,, 3}. Cuátos cojutos B P(X) de exactamete 5 elemetos tiee la clase de equivalecia A de A = {, 3, 5}? 36. Sea X = {,,..., 0}, y sea R la relació de orde e P(X) defiida e el Ejercicio 53 de la Práctica : A R B A B = Cuátos cojutos A P(X) cumple simultáeamete #A = 6 y A R {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}? 37. ( E este ejercicio o hace falta usar iducció: se puede pesar e el sigificado combiatorio de ) k (como la catidad de subcojutos de k elemetos e u cojuto de elemetos). Probar que ( ) ( ) =, 0. v) k =,. k k k=0 k= ( ) i < 4,. ( ) v ( )( ) ( ) m m + =,, m, l N. + k l k l ii = 4 k 0, 0. k k=0 ( ) ( ) ( ) ( ) iv) k =, k. vi =, 0. k k k k=0 ( ) 38. Probar que ( ) k = 0 para todo. k k=0 39. Derivar a izquierda y derecha la igualdad (x + ) = k=0 ( k) x k y evaluar lo obteido e x =. Qué se obtiee? (Comparar co el Ej. 37(v)). Problemas surtidos 40. A u tablero de se le remueve u cuadradito. Probar que es posible cubrirlo usado fichas e forma de L formadas por tres cuadraditos, si superpoer fichas. 4. E cada plaeta de u sistema hay u astróomo observado al plaeta más cercao. Las distacias etre los plaetas so distitas dos a dos. Probar que si la catidad de plaetas es impar, etoces hay por lo meos u plaeta al que adie observa. 4. Hay N persoas que o se cooce etre sí. Se quiere que alguas de ellas sea presetadas de maera tal que o haya 3 persoas que tega la misma catidad de coocidos. Demostrar que esto es posible para cualquier valor de N. 43. Se dibuja rectas e el plao, de forma tal que o haya dos paralelas i tres cocurretes. Probar que es posible colorear las regioes formadas co solamete dos colores, de forma tal que o haya dos regioes adyacetes co el mismo color. 44. E cierto país, todas las rutas so de setido úico. Cada par de ciudades está coectado por exactamete ua ruta directa. Demostrar que existe ua ciudad a la cual se puede llegar desde cualquier otra o bie directamete, o pasado a lo sumo por ua ciudad.

7 Álgebra I Práctica Págia Sea h : N N N defiida por h(x, y) = x + ( ) x+y. Decidir si es biyectiva. Sugerecia: Calcular #{h(x, y) : x + y N} para todo N. 46. Defiimos la media aritmética de úmeros a,..., a reales positivos como y la media geométrica como MA (a,..., a ) = a a MG (a,..., a ) = a... a El objetivo de este ejercicio es demostrar la desigualdad aritmético-geométrica que afirma MG (a,..., a ) MA (a,..., a ) y la igualdad sólo se da cuado a = a =... = a. Probarla para =, es decir a a a+a y si a a = a+a etoces a = a. i Probar que si vale para, tambié vale para. ii Probar que si vale para, tambié vale para. iv) Cocluir que vale para todo N. 47. Sea A,..., A cojutos fiitos. Probar el pricipio de iclusió-exclusió ( ) # A i = ( ) #I+ # A i =I {,...,} dode la suma recorre todos los subcojutos o vacíos de,...,. Por iducció e. i Usado el Ejercicio Probar que para todo 6 es posible dividir u cuadrado e cuadrados más pequeños. Sugerecia: Probar que si vale para, vale para Se marca putos sobre ua circuferecia. se colorea de rojo y los restates de azul. Camiado sobre la circuferecia e setido horario, se matiee ua cueta de cuátos putos rojos y azules se pasaro. Si e todo mometo el coteo de putos rojos es mayor o igual que el coteo de putos azules, la camiata se dice exitosa. Probar que cualquiera sea la coloració iicial, es posible elegir u puto iicial que garatice ua camiata exitosa. 50. Sobre ua pista circular hay k autos iguales. Etre todos, tiee afta suficiete para completar exactamete ua vuelta. Demostrar que existe u auto que puede completar ua vuelta si recolecta la afta de los otros autos durate su recorrida. 5. Sea α, β > úmeros irracioales tales que α + β =. Se defie las sucesioes a = α y b = β,. Probar que #{ : a < N} + #{ : b < N} = N para todo N N. Cocluir que todo úmero atural perteece a exactamete ua de las dos sucesioes. NOTA: x = max{ Z : x}, es decir, x la parte etera de x. 5. El objetivo de este ejercicio es probar que cualquier sucesió de úmeros aturales a, a, a 3,..., a co a i i, i =,, 3,...,, cotiee ua subsucesió o decreciete de largo +. Supogamos que vale para < N, y que teemos u cotraejemplo para = N. Probar que N(k) = #{i : i N, a i = k} < N j dode j < k. i Probar que N() < N +. ii Sabiedo que N = N N N(k) = N() + i I i <k i+ N(k), llegar a u absurdo.

8 Álgebra I Práctica Págia 8 Complejidad 53. Cálculo de a para u úmero a dado y N Se asume u modelo ideal dode dados dos úmeros b y c, se puede calcular b c exactamete realizado ua sola operació. Algoritmo recursivo secuecial: Calcular las distitas potecias de a mediate a k+ = a a k, k Calcular a 8, a y a 5 mediate ese algoritmo. Cuátas operacioes se realizaro para calcularlos? Cuátas operacioes se realiza para calcular a? i Algoritmo recursivo dividir y coquistar: Para ua potecia de, calcular a mediate a = a a, a k+ = a k = a k + k = a k a k, k. Calcular a 8 mediate ese algoritmo. Cuátas operacioes se realiza para calcular a 8? Cuátas operacioes se realiza para calcular a k? Para N cualquiera, escribir como suma de potecias de (ver Ejercicio 9) y luego calcular a por multiplicació. Por ejemplo si = = + + 3, se obtiee a = a ++3 = a a a 3. Cuátas operacioes se realiza para calcular a? Calcular a 5 mediate ese algoritmo. Cuátas operacioes se realiza para calcular a 5? 54. E este ejercicio se admite idealísticamete que sumar, multiplicar, dividir, y sacar raíz cuadrada requiere cada uo ua sola operació. Comparar la catidad de cuetas que se tiee que hacer para calcular el -ésimo úmero de Fiboacci F usado por u lado la defiició recursiva y por otro lado la fórmula geeral obteida. 55. Pesar u algoritmo para calcular F e tiempo logarítmico usado el Ejercicio 6, ítem iv).

9 Álgebra I Práctica Págia 9 Algoritmos de ordeació de datos: Burbujeo, Merge sort y Quick sort 56. Burbujeo: Dada ua lista ordeada (a(),..., a()) de úmeros reales, se la quiere ordear de meor a mayor. Por ejemplo dada la lista (4, 3, 5, 7,, 9,, 8) se quiere obteer la lista (,, 3, 4, 5, 7, 8, 9) haciedo comparacioes etre elemetos a( < a(j)? y e fució de la respuesta itercambiado los elemetos comparados. El algoritmo siguiete, llamado burbujeo, compara el er elemeto de la lista co el do itercambiádolos si es ecesario, luego pasa al do y hace lo mismo co el siguiete, luego al 3ro etc. hasta recorrer todos los elemetos de la lista (ua pasada). E ua pasada por todos los elemetos de la lista, el elemeto más grade quedará etoces a la derecha Por qué? Luego repite el procedimieto desde el comiezo hasta o haber producido igú cambio e ua pasada. E ese puto la lista estará ordeada Por qué? Por ejemplo la primera pasada del ejemplo de arriba da: Cuátas comparacioes se usa e la primera pasada de esa lista? Y e la seguda? Cuátas comparacioes so ecesarias para ordear esa lista? i Cuátas comparacioes se usa e la primera pasada de ua lista de elemetos? Y e la seguda? ii Cuátas comparacioes so ecesarias para ordear ua lista de elemetos? 57. Mergesort: Fucioa e 3 etapas usado el importatísimo mecaismo de dividir y coquistar. Por simplicidad lo vamos a aplicar aquí para listas de logitud : Divide : divide la lista e dos sublistas de tamaño. i Coquista : ordea cada sublista por separado (utilizado el mismo algoritmo para listas de tamaño ). ii Fusioa : fusioa e forma adecuada las dos sublistas e ua sola. Ejemplo: Sea la lista (4, 3, 5, 7,, 9,, 8) de logitud 3 : Divide : divide la lista e las dos sublistas (4, 3, 5, 7) y (, 9,, 8) de logitud. i Coquista : Aplica el algoritmo para estas dos sublistas (e forma recursiva, o sea partiedo cada ua de ellas e dos sublistas de logitud ) y termia obteiedo: (4, 3, 5, 7) (3, 4, 5, 7) y (, 9,, 8) (,, 8, 9). ii Fusioa : fusioa iteligetemete las dos sublistas, como lo hacemos aturalmete si pesar: Se compara el primer elemeto de cada sublista, se poe el más chico primero, luego se compara los dos primeros elemetos que quedaro (si ese) de cada lista, y se repite el procedimieto hasta agotar. Para fusioar (3, 4, 5, 7) y (,, 8, 9) se obtiee y y y y y y y y Escribir el algoritmo e pseudocódigo y e algú leguaje fucioal. Cuátas comparacioes so ecesarias para ordear la lista origial del ejemplo? Cuátas comparacioes so ecesarias para ordear ua lista de elemetos?

10 Álgebra I Práctica Págia Quick sort: Este algoritmo de ordeamieto es más rápido e la práctica que los ateriores. Tambié utiliza el mecaismo de dividir y coquistar, eligiedo u pivote p e la lista (que puede ser el primer elemeto, o elegido al azar, o de algua otra maera): luego de ua primera pasada el algoritmo colocará el pivote elegido e su lugar correcto e la lista, colocado todos los meores que él a su izquierda y todos los mayores a su derecha. Luego ordea las dos sublistas (de la izquierda y de la derecha) por separado. La forma establecida de colocar el pivote e su lugar correcto (que resulta más coveiete que cualquier forma igeua) es aplicado lo que se llama partitioig i place, trabajado co dos puteros, i por izquierda (que se mueve de izquierda a derecha) y d por derecha (que se mueve de derecha a izquierda) y compara los elemetos correspodietes a esos puteros. Por coveció el pivote p se itercambia co el elemeto a() de más a la derecha de la lista, para quedar él a la derecha. Se tiee etoces p = a(). Fijar los puteros i y d a la izquierda y a la derecha de la lista (si el pivote). Icremetar i hasta que coicida co u elemeto a( mayor que p Dismiuir d hasta que coicida co u elemeto a(d) meor que p. Itercambiar a( y a(d). Repetir hasta que i y d se cruce (es decir i d). Itercambiar el pivote p = a() co a(. E el ejemplo aterior, si el pivote p elegido es el 4, primero se itercambia co el 8 de la derecha: Y luego la primera pasada del algoritmo fucioa de la maera siguete: i d i d i d i d i d i d i d i d i d d i d i Eteder cómo fucioa este algoritmo. Este algoritmo tiee la particularidad que e promedio fucioa muy rápido (como el algoritmo merge, icluso más rápido), auque para alguas listas iiciales requiere ua catidad de itercambios similar a la del algoritmo burbujeo. Pesar ejemplos de listas iiciales e las que este algoritmo o es mejor que el de burbujeo.