Álgebra I Práctica 3 - Números Naturales e Inducción

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1 FCEyN - UBA - er cuatrimestre 06 Sumatoria Álgebra I Práctica 3 - Números Naturales e Iducció. Reescribir cada ua de las siguietes sumas usado el símbolo de sumatoria (a) , (b) , (c) + ( 4) ( 6) ( 44), (d) , (e) ( + ), (f) i Reescribir cada uo de los siguietes productos usado el símbolo de productoria y/o de factorial (a) , (b) , (c) 3.. Escribir los dos primeros y los dos últimos térmios de las expresioes siguietes (i 5), i i=6 i= i(i + ), ii + i, i iv) i, v) + i i Probar que, N, i = sombreados del diagrama ( + ) cotado de dos maeras la catidad de cuadraditos i Deducir que, N, = ( + ). 4. Calcular Iducció (4i + ), i (i 5). i=6 5. Probar que, N, (i ) = : cotado de dos maeras la catidad total de cuadraditos del diagrama

2 Álgebra I Práctica 3 Págia i usado el ejercicio 3, ii usado el pricipio de iducció. 6. (Suma de cuadrados y de cubos) Probar que para todo N se tiee i = ( + )( + ), i 6 i 3 = ( + ) Sea a, b R. Probar que para todo N, a b = (a b) la suma geométrica: para todo a, 8. Sea q R, q. Calcular a i = a+ a. a i b i. Deducir la fórmula de q i, i q i, ii i= q i, iv) ( q i. 9. Probar que para todo N se tiee i ii ( ) i+ i = ( )+ ( + ), 4i = + +, (i + ) 3 i = 3, iv) v) i i (i + )(i + ) = + +, + i i 3 = ( ). 0. Sea (a ) N ua sucesió de úmeros reales. Probar que i Calcular ii Calcular iv) Calcular v) Calcular i(i + ) (i )(i + ) i (i + )!. ( ) i i (i )(i + ). (Sugerecia: (a i+ a i ) = a + a. i(i + ) = i i + ), (Sugerecia: calcular i i + ). FCEyN - UBA - er cuatrimestre 06

3 Álgebra I Práctica 3 Págia 3. Probar que las siguietes desigualdades so verdaderas para todo N <, i , ii iv) i= i i, i > v)! 3, v vi i!, ( ).. Sea a R, a. Probar que, N, ( + a) + a. E qué paso de la demostració se usa que a? 3. Probar que! 3, 5, i 3 > 3, 4, ii 3 i i! < 6 5, 3, iv) ( ) >, Probar que para todo 3 vale que Recurrecia ( 3) la catidad de diagoales de u polígoo covexo de lados es, i la suma de los águlos iteriores de u polígoo covexo de lados es π ( ). 5. Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a = + 3. a = 5, a + = 3a, N. i Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a =!. a =, a + = a + +!, N. ii Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por Probar que a = ( ). a = 0, a + = a + (3 + ), N. iv) Sea (a ) N la sucesió de úmeros reales defiida recursivamete por ()! a =, a + = 4a ( + )!! ( ) Probar que a =. ( N) 6. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y probar su validez. a =, a + = ( + a ), N. i a = 3, a + = a + 3, N. ii a =, a + = a, N. iv) a =, a + = a, N. FCEyN - UBA - er cuatrimestre 06

4 Álgebra I Práctica 3 Págia 4 7. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y probar su validez. a =, a + = a + ( + ) 3, N. i a =, a + = a + ( ) +, N. ii a = 3, a + = a + ( + )3, N. (Sugerecia: usar los Ejercicios 0(, 6 y 9.) 8. Sea (a ) N la sucesió defiida por a =, a + = a +!, N. Probar que a =!, y, aplicado el Ej. 0(, calcular i Sea (a ) N la sucesió defiida por i i! a =, a + = a , N. Probar que a = 3, y, aplicado el Ej. 0(, calcular de otra maera i (c.f. Ej. 6). 9. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y probar su validez. a =, a =, a + = a + + ( + )a, N. i a =, a = 4, a + = 4 a + + a, N. ii a =, a = 3, a + = a + + a , N. { a + 3 si es impar, iv) a = 3, a = 6, a + = a + + a + 9 si es par. 0. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N0 defiidas a cotiuació y probar su validez. a 0 =, a = 3, a + = 4 a + 3 a, N 0. i a 0 =, a =, a + = 4 a + 3 a, N 0. ii a 0 =, a = 4, a + = 4 a + 3 a, N 0. iv) a 0 =, a = 3, a + = 6 a + 9 a, N 0. v) a 0 = 0, a = 3, a + = 6 a + 9 a, N 0. v a 0 =, a = 0, a + = 6 a + 9 a, N 0.. Sea (a ) N la sucesió defiida por a =, a = 3, a + = a + + 5a ( N) Probar que a < + 3 para todo N. i Sea (a ) N la sucesió defiida por a =, a = 3, a + = a a ( N) Probar que a > + 3 para todo N, 4. FCEyN - UBA - er cuatrimestre 06

5 Álgebra I Práctica 3 Págia 5. Hallar ua fórmula para el térmio geeral de las sucesioes (a ) N defiidas a cotiuació y probar su validez. a =, a + = + i a =, a + = ii a =, a + = i a i, N. ( a i ), N. a i + ( + ), N. 3. Sea (a ) N la sucesió defiida por Probar que a i Probar que a > 3 4. Sea > u etero. Sea (a ) N0 defiida por a =, a + = + + a ( N) ( ) para todo N. ( ) para todo 3. a 0 =, a =, a + = ( ) a + a ( ), N 0. Probar que para todo N 0, a es u cuadrado perfecto. Más aú, probar que para todo N 0 vale que a = b dode (b ) N0 está defiida por b 0 =, b =, b + = b + b, N Sea F 0 = 0, F = y F + = F + F la sucesió de Fiboacci. Probar que N: i F i+ = F, Fi = F F +, ii F F + F = ( ), iv) { F = F + F F = F (F + F ), v) F +m = F m+ F + F F m m 0. [( v F = + ) ( 5 ) ] Hallar la catidad de sucesioes b,..., b de bits (es decir, b i {0, }), que o cotiee dos cosecutivos (es decir, 0 {b i, b i+ } i =,..., ). 7. Para cada hallar la catidad de maeras de cubrir u tablero de co fichas de domió de tamaño si huecos i superposicioes. 8. Sea (F ) N0 la sucesió de Fiboacci del Ejercicio 5. Probar que F + = ( ). Por iducció. i Co el ejercicio 6 o 7. / 9. Probar que todo úmero atural se puede escribir como suma de potecias de distitas, icluyedo 0 =. Sugerecia: cosiderar la mayor potecia de meor o igual a. FCEyN - UBA - er cuatrimestre 06

6 Álgebra I Práctica 3 Págia Sea (F ) N0 la sucesió de Fiboacci. Probar que todo úmero atural m se puede escribir como suma de úmeros de Fiboacci m = F F para cierto N, co subídices,..., mayores que y i + < i+, i <. Es decir, todo úmero atural puede escribirse como suma de distitos úmeros o ulos de la sucesió de Fiboacci si usar dos cosecutivos. Probar además, que dicha represetació es úica. 3. Probar que todo N puede escribirse como suma de úmeros de la forma a 3 b tales que iguo de ellos divide a otro. Sugerecia: para impar cosiderar 3 < ( E este ejercicio o hace falta usar iducció: se puede pesar e el sigificado combiatorio de ) (como la catidad de subcojutos de elemetos e u cojuto de elemetos). Probar que ( ) =, 0. =0 ( ) i < 4,. ( ) + ii = 4, 0. =0 ( ) ( ) iv) =,. 33. Probar que ( ) ( ) = 0 para todo. =0 v) ( ) =,. = v 0 vi =0 ( )( ) m = l ( ) = ( m + ( ), 0. l ),, m, l N. 34. Derivar a izquierda y derecha la igualdad (x + ) = =0 ( ) x y evaluar lo obteido e x =. Qué se obtiee? (Comparar co el Ej. 3(v)). Problemas surtidos 35. Probar que para todo N: <, i 3 4 < 3. Sugerecia: Itetar probar ua desigualdad más fuerte por iducció! 36. A u tablero de se le remueve u cuadradito. Probar que es posible cubrirlo usado fichas e forma de L formadas por tres cuadraditos, si superpoer fichas. 37. E cada plaeta de u sistema hay u astróomo observado al plaeta más cercao. Las distacias etre los plaetas so distitas dos a dos. Probar que si la catidad de plaetas es impar, etoces hay por lo meos u plaeta al que adie observa. 38. Se dibuja rectas e el plao, de forma tal que o haya dos paralelas i tres cocurretes. Probar que es posible colorear las regioes formadas co solamete dos colores, de forma tal que o haya dos regioes adyacetes co el mismo color. 39. E cierto país, todas las rutas so de setido úico. Cada par de ciudades está coectado por exactamete ua ruta directa. Demostrar que existe ua ciudad a la cual se puede llegar desde cualquier otra o bie directamete, o pasado a lo sumo por ua ciudad. 40. Sea h : N N N defiida por h(x, y) = x + ( x+y Sugerecia: Calcular #{h(x, y) : x + y N} para todo N. ). Decidir si es biyectiva. FCEyN - UBA - er cuatrimestre 06

7 Álgebra I Práctica 3 Págia 7 4. Defiimos la media aritmética de úmeros a,..., a reales positivos como y la media geométrica como MA (a,..., a ) = a a MG (a,..., a ) = a... a El objetivo de este ejercicio es demostrar la desigualdad aritmético-geométrica que afirma MG (a,..., a ) MA (a,..., a ) y la igualdad sólo se da cuado a = a =... = a. Probarla para =, es decir a a a+a y si a a = a+a etoces a = a. i Probar que si vale para, tambié vale para. ii Probar que si vale para, tambié vale para. iv) Cocluir que vale para todo N. 4. Sea A,..., A cojutos fiitos. Probar el pricipio de iclusió-exclusió ( ) # A i = ( ) #I+ # A i =I {,...,} dode la suma recorre todos los subcojutos o vacíos de,...,. Por iducció e. i Usado el Ejercicio Probar que para todo 6 es posible dividir u cuadrado e cuadrados más pequeños. Sugerecia: Probar que si vale para, vale para Se marca putos sobre ua circuferecia. se colorea de rojo y los restates de azul. Camiado sobre la circuferecia e setido horario, se matiee ua cueta de cuátos putos rojos y azules se pasaro. Si e todo mometo el coteo de putos rojos es mayor o igual que el coteo de putos azules, la camiata se dice exitosa. Probar que cualquiera sea la coloració iicial, es posible elegir u puto iicial que garatice ua camiata exitosa. 45. Los úmeros desde el hasta el se divide e dos grupos, cada uo co elemetos. Cosideremos a < a < < a los úmeros e el primer grupo y sea b > b > > b los úmeros del segudo grupo. Probar que a i b i = 46. El objetivo de este ejercicio es probar que cualquier sucesió de úmeros aturales a, a, a 3,..., a co a i i, i =,, 3,...,, cotiee ua subsucesió o decreciete de largo +. Supogamos que vale para < N, y que teemos u cotraejemplo para = N. Probar que N() = #{i : i N, a i = } < N j dode j <. i Probar que N() < N +. ii Sabiedo que N = N N N() = N() + i I i < i+ N(), llegar a u absurdo. FCEyN - UBA - er cuatrimestre 06

8 Álgebra I Práctica 3 Págia 8 Algoritmos y Complejidad Se asume aquí que cualquier operació es igualmete costosa, es decir, dados dos úmeros a y b cotamos como ua operació calcular a + b, a b, a/b, evaluar a < b, etre otros. 57. Cálculo de a para u úmero a dado y N Algoritmo recursivo secuecial. Calcula las potecias de a mediate a + = a a, Fució potecia (a,) Si =0 Etoces Devolver Fi Si Devolver a potecia (a, -) Fi Fució Cuátas operacioes se realiza para calcular a? i Algoritmo recursivo divide y vecerás. Para par calcula a mediate a = a / a /. Para impar calcula a mediate a = a / a / a. Fució potecia (a,) Si =0 Etoces Devolver Fi Si auxiliar.= potecia ( a, / ) Si es par Etoces Devolver auxiliar auxiliar Fi Si Devolver auxiliar auxiliar a Fi Fució Calcular cuátas operacioes se realiza para calcular: (a) a 8 (b) a (c) a 3 (d) a Observar que el segudo algoritmo es más eficiete. 58. Sea F la sucesió de Fiboacci. Demuestre que: ( F F ) = ( ) Verificar que las fucioes fibo(), fibo() y fibo3() calcula de maera correcta el -ésimo termio de la sucesió de Fiboacci. Cuátas operacioes se realiza al llamar a cada ua? Fució fibo () Si =0 Etoces Devolver 0 Fi Si Si = Etoces Devolver Fi Si Devolver fibo ( -) + fibo ( -) Fi Fució Fució fibo () F 0.= 0 F.= Para = Hasta Hacer : ( ) 0 FCEyN - UBA - er cuatrimestre 06

9 Álgebra I Práctica 3 Págia 9 F.= F Fi Para Devolver F Fi Fució + F Fució pot_mat () Si =0 Etoces ( ) 0 Devolver 0 Fi Si auxiliar.= pot_ mat ( / ) Si es par Etoces Devolver auxiliar auxiliar Fi Si ( ) Devolver auxiliar auxiliar 0 Fi Fució Fució fibo3 () Si =0 Etoces Devolver 0 Fi Si ( auxiliar.= pot_ mat ( -) 0) Devolver auxiliar (,) Fi Fució 60. Cosideremos el problema de calcular la catidad de formas de distribuir bolitas e cajas e cuatro versioes: bolitas idistiguibles y cajas idistiguibles bolitas distiguibles y cajas distiguibles bolitas distiguibles y cajas idistiguibles bolitas idistiguibles y cajas distiguibles Para dos de estos problemas podemos dar ua fórmula cerrada como respuesta, para cuáles? Para aquellos e los que o podemos dar ua fórmula cerrada calcule la respuesta para, Cosideremos el úmero de particioes eteras de, esto es la catidad de formas de escribir como suma de eteros positivos (o importa el orde). Cómo se relacioa esto co el ejercicio aterior? Por ejemplo 4 puede ser partido de cico maeras distitas Llamemos f() al úmero de particioes eteras de. Y llamemos g(, ) al úmero de particioes eteras de que utiliza úmeros meores o iguales a. Pruebe que: f() = g(, ) N i g(, ) = g(, ) + g(, ), N ii g(, 0) = 0 N iv) g(0, ) = N v) g(, ) = 0, N, < 0 Escriba u algoritmo eficiete e pseudocódigo para calcular f(). FCEyN - UBA - er cuatrimestre 06

10 Álgebra I Práctica 3 Págia 0 6. Dada ua lista ordeada (a(),..., a()) de úmeros reales, se la quiere ordear de meor a mayor. Por ejemplo dada la lista (4, 3, 5, 7,, 9,, 8) se quiere obteer la lista (,, 3, 4, 5, 7, 8, 9) haciedo comparacioes etre elemetos, pregutas de la forma a( < a(j)?. Burbujeo: el algoritmo siguiete, llamado burbujeo, compara el er elemeto de la lista co el do itercambiádolos si es ecesario, luego pasa al do y hace lo mismo co el siguiete, luego al 3ro etc. hasta recorrer todos los elemetos de la lista (ua pasada). E ua pasada por todos los elemetos de la lista, el elemeto más grade quedará etoces a la derecha Por qué? Luego repite el procedimieto desde el comiezo hasta o haber producido igú cambio e ua pasada. E ese puto la lista estará ordeada Por qué? Por ejemplo la primera pasada del ejemplo de arriba da: Cuátas comparacioes se usa e la primera pasada de esa lista? Y e la seguda? Cuátas comparacioes so ecesarias para ordear esa lista? i Cuátas comparacioes se usa e la primera pasada de ua lista de elemetos? Y e la seguda? Cuátas comparacioes so ecesarias para ordear ua lista de elemetos? Mergesort: Fucioa e 3 etapas usado el mecaismo de dividir y coquistar. Por simplicidad lo vamos a aplicar aquí para listas de logitud : Divide : divide la lista e dos sublistas de tamaño. i Coquista : ordea cada sublista por separado (utilizado el mismo algoritmo para listas de tamaño ). ii Fusioa : fusioa e forma adecuada las dos sublistas e ua sola. Ejemplo: Sea la lista (4, 3, 5, 7,, 9,, 8) de logitud 3 : Divide : divide la lista e las dos sublistas (4, 3, 5, 7) y (, 9,, 8) de logitud. i Coquista : Aplica el algoritmo para estas dos sublistas (e forma recursiva, o sea partiedo cada ua de ellas e dos sublistas de logitud ) y termia obteiedo: (4, 3, 5, 7) (3, 4, 5, 7) y (, 9,, 8) (,, 8, 9). ii Fusioa : fusioa iteligetemete las dos sublistas, como lo hacemos aturalmete si pesar: Se compara el primer elemeto de cada sublista, se poe el más chico primero, luego se compara los dos primeros elemetos que quedaro (si ese) de cada lista, y se repite el procedimieto hasta agotar. Para fusioar (3, 4, 5, 7) y (,, 8, 9) se obtiee y y y y y y y y Escribir el algoritmo e pseudocódigo y e algú leguaje fucioal. Cuátas comparacioes so ecesarias para ordear la lista origial del ejemplo? Pruebe por iducció que el algoritmo requiere de o más que comparacioes para ordear elemetos. E geeral se puede ordear elemetos e O( log ()) comparacioes. Observe que a priori cuado os da úmeros (todos distitos) para ordear, hay! posibles órdees. A medida que vamos haciedo comparacioes etre los úmeros reducimos la catidad de posibles respuestas, el algoritmo termia cuado hemos reducido esta catidad a uo. FCEyN - UBA - er cuatrimestre 06

11 Álgebra I Práctica 3 Págia Si e ua cierta istacia teemos u cojuto R de posibles respuestas, al hacer ua comparació, esto es pregutar a( < a(j)?, teemos dos resultados posibles. Nos quedaremos co alguo de dos cojutos, los órdees de R dode a( < a(j) o aquellos dode la desigualdad es la opuesta. De esta forma después de cada comparació podemos aseguraros a lo sumo dividir e dos la catidad posibilidades. Por esto debemos hacer al meos comparacioes de forma que!/. Es decir debemos hacer al meos log (!) comparacioes. Se puede probar que: Qué os dice esto? lim log (!) log () = FCEyN - UBA - er cuatrimestre 06