Álgebra Superior 1 Mat. Frank Patrick Murphy Hernandez Tarea 3 Combinatoria e Inducción
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- Margarita Parra Saavedra
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1 Álgebra Superior 1 Mat. Fra Patric Murphy Heradez Tarea Combiatoria e Iducció 1. El alfabeto hawaiao cosiste de de 1 letras. Cuátas palabras de seis letras puede hacerse?.. Laya esta haciedo el sistema autetificació de u sitio e la red. El sabe que es mas segura u password si cotiee letras, úmeros y símbolos. Si emabrago, o etiede bie por que el sistema es vecido más facílmete si se específica la posició de cada tipo de caracter. Decide que e su sistema los passwords empezara co letras, seguidas por dígitos, luego 1 simbolo de ua lista de 10 simbolos, seguido por letras mayúsculas, de uevo 1 dígito para termiar co 1 simbolo. Cuátos passwords hay co éstas codicioes? Cuátos passwords hay que sea cadeas de letras mayúsculas o miúsculas, dígitos y simbolos?.. E ua carrera hay tres corridas de caballos. La primera co 10, la seguda y la tercera co 6 caballos. Se gaa la apuesta cuado se predice los primeros lugares de cada corrida. Cuátas prediccioes diferetes hay? 4. Cuáto es el máximo de torres que se puede poer e u tablero de ajedrez de tal forma que o se coma uas etre otras? De cuátas formas se puede hacer esto? 5. Cuáto es el máximo de alfiles que se puede poer e u tablero de ajedrez de tal forma que o se coma uas etre otras? De cuátas formas se puede hacer esto? 6. Cuáto es el máximo de reias que se puede poer e u tablero de ajedrez de tal forma que o se coma uas etre otras? De cuátas formas se puede hacer esto? 7. Cuátas sucesioes de dígitos hay e las o hay dos veces cosecutivas el mismo dígito?. 8. U equipo de dobles es elegido de u grupo de 6 jugadores de teis. Cuátos equipos diferetes se puede elegir? 9. Cuátas maos de poer de 5 cartas diferetes se puede tomar de ua baraja de 5 cartas? 10. U curso de matemáticas ofrece la opció de elegir etre clases de 1 de matemáticas puras, de 10 de matemáticas aplicadas, de 6 de estadística y 1 de 4 de computació Cuátos cursos diferetes hay? 11. Si putos so puestos e ua circuferecia y se traza los segmetos que los ue. Cuál es el mayor úmero de iterseccioes que se puede teer etre estos segmetos? 1
2 1. Cuátas sucesioes de dígitos que su suma sea u multiplo de 5 hay? 1. Pruebe que para cada N, 0 (. Itételo si usar el teorema del biomio. 14. Pruebe que para cada N, 0 ( 1( 0. Itételo si usar el teorema del biomio. 15. Pruebe que para cada N, 0 ( 1( (!. 16. Idetidad de Vadermode ( m+ r r ( m ( ( 0 r. Cocluya que ( Cuátos úmeros hay etre 1 y 1,000,000 que o sea divisibles por,5 o 11? 18 Cuátos úmeros hay etre 1 y 1,000,000 que sea u cuadrado perfecto o u cubo perfecto? 19. Ua ciudad tiee forma rectagular y su red de calles cosiste e 4 líeas paralelas de orte a sur y 15 líeas paralelas de este a oeste.( No pesemos e el D.F. como ejemplo. De cuátas maeras se puede ir a la esquia oreste si se empieza e la esquia sudoeste y solo se puede ir hacia el este y hacia el orte?. 0. Veiticico de los caballeros del rey Arturo se sieta e su famosa mesa. Tres de ellos so elegidos para matar a u dragó. De cuátas formas se puede setar de forma que estos tres esté setados jutos? De cuátas formas se puede setar de forma que al meos dos de estos tres esté setados jutos? 1. Si se traza putos e u círculo. Cúal es el úmero máximo de triágulos que forma los putos?. i1 i( i ( +1. ( i ( i ( m+i i 5. m 0 ( 1( 6. ( m( m ( ( m++1 ( 1 m ( 1 ( m 7. { 0 ( 1( 0 si 0 1 si 0 m 8. Hay 9 tarjetas de memoria que se quiere repartir etre 4 adolescetes para sus reproductores de MP. De cuátas maeras se puede hacer esto? 9. ( ( par impar
3 0. Demuestre que de 8 persoas al meos hay que cumple el mismo día de la semaa este año 1. Demuestre que si hay 70 estudiates estudiado de etre 11 materias diferetes y cada materia puede ser estudiada a lo más por 15 estudiates etoces hay al meos materias estudiadas al meos por 5 estudiates.. Cuátos dados de debe lazar para asegurar que al meos se repetirá u resultado?. De cuátas formas se puede reordear las letras de la palabra ABRACADABRA? 4. De cuátas formas se puede reordear las letras de la palabra MISSISSIPPI? 5. Supógase que persoas llega a ua fiesta, etrega u sombrero, al salir de la fiesta les regresa algú sombrero. De cuátas maeras se puede regresar los sombreros de maera que a igua persoa le toque el suyo? 6.Se tira dados. Cuáles so los posibles resultados? De cuátas formas el resultado suma 7,, 9? De cuátas formas el máximo es, 5? De cuátas formas el míimo es, 4? 7. Se reparte 17 computadoras e 5 escuelas, de cuátas formas se puede hacer esto si se pide que a cada escuela le toque al meos 1 computadora? Demuestre por iducció que para N: 8. i0 (i + 1 ( i0 i (+1( i0 i ( i0 (i + 1 ( + 1 (( (+1(+ i0 i(i i1 1 i(i Para a, b R, a +1 b +1 (a b( i0 ai b i 46. Sea f : N N ua fució. Si para cada N, f( < f( + 1 etoces para cada N, f(. 47. Ecuetre el míimo N, tal que para todo atural, > 0.
4 4 48. Para, (1 + 1 <. 49. Para 6, 7 <. 50. Para 4, >. 51. i1 i + i 5. Para, i (1 1 i +1 La sucesió de Fiboacci {F } i1 se defie recursivamete como F 1 1 F y para cada N, F + F +1 + F. 5. i1 F i F i1 F i F +1 F 55. Para, F F 1 F +1 ( Para 5, F 5F 4 + F A u cículo se le traza cuerdas de maera que cada cuerda itersecta a todas las otras pero uca hay tres cocurretes. Demuestre que se divide al cículo e ++. Piese que pasa e el caso de u plao y rectas e posició geeral. 58. F +1 F +1 + F 59. Sea D el cojuto de la fucioes derivables, usado que para f, g D (fg f g + fg. Demuestre que para f 1,..., f D ( i1 f i i1 f i i1 f i f i 60. Si φ 1+ 5 y φ 1 5, etoces para 1: F φ φ φ φ 61.Para 1, ( ( F+1 F F F 1 6. i0 ( 1i F i F Para, 1 < 1
5 es par. 65. F < ( 5 +1
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bc (b) a b + c d = ad+bc a b = b a
1 Cojutos 1 Describa los elemetos de los siguietes cojutos A = { x x 1 = 0 } D = { x x 3 x + x = } B = { x x 1 = 0 } E = { x x + 8 = 9 } C = {x x + 8 = 9} F = { x x + 16x = 17 } Para los cojutos del ejercicio
I VARIACIONES. Una variación es un arreglo ordenado de n objetos diferentes, tomados de r a la vez se denota por medio de:
ANALISIS COMBINATORIO. TEOREMA FUNDAMENTAL: Si u suceso puede teer lugar de m maeras distitas y cuado ocurre ua de ellas se puede realizar otro suceso imediatamete de formas diferetes, ambos sucesos, sucesivamete,
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. Una de las aplicaciones más importantes de los coeficientes binomiales es el Binomio de Newton : n k)
Permutacioes. E Matemáticas, dado u cojuto fiito co todos sus elemetos diferetes, llamamos permutació a cada ua de las posibles ordeacioes de los elemetos de dicho cojuto. Por ejemplo, e el cojuto 1, 2,
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