Combinatoria, juegos y estrategia

Transcripción

1 Combiatoria, juegos y estrategia Jua Gozález-Meeses y Atoio Pallares (sobre uas otas de Rafael Espíola) 3 de febrero de 200 Combiatoria La combiatoria es ua herramieta que os permite eumerar agrupacioes u ordeacioes de elemetos procedetes de u cojuto. Veamos las distitas formas de agrupar u ordear dichos elemetos. Variacioes co repetició. Supogamos que teemos u cojuto de elemetos y queremos saber cuátas ordeacioes posibles existe si tomamos elemetos de dicho cojuto co repetició, es decir, que u mismo elemeto puede aparecer más de ua vez e ua ordeació. E estas codicioes: Las variacioes co repetició de elemetos tomados de e so. Para probarlo, le asociamos a cada elemeto del cojuto u úmero del al, así, ua variació es ua lista de úmeros dode cada uo puede tomar cualquier valor etre y, luego el úmero de posibilidades es } {{... }. veces Ejemplo. Cuátos posibles resultados puede darse e ua quiiela? Sabemos que hay 5 casillas co tres posibles resultados e cada ua de ellas:, X, ó 2. El úmero de resultados posibles e la quiiela será el úmero de formas que podemos tomar 3 elemetos (, X, y 2) de 5 e 5, es decir, las variacioes co repetició de 3 elemetos tomados de 5 e 5. Por lo tato, puede darse 3 5 resultados diferetes. Permutacioes (o variacioes si repetició). E este caso, partimos de u cojuto de elemetos y os pregutamos cuátas ordeacioes posibles existe si tomamos elemetos de dicho cojuto si repetició, es decir, que cada elemeto puede aparecer a lo más ua vez e cada ordeació. De esto se deduce que. Bajo estas codicioes:

2 Las permutacioes de elemetos tomados de e so ( )!. E el caso particular de que, el úmero de ordeacioes posibles se cooce como permutacioes de elemetos. Como 0!, se tiee: Las permutacioes de elemetos so Veamos la prueba. Al igual que ates, asociamos u úmero del al a cada elemeto del cojuto, por lo que las permutacioes tambié se reduce a ua lista de úmeros. Pero, e este caso, el primer elemeto de la lista tiee posibilidades, el segudo tiee (ya que o se puede repetir el elemeto aterior), el tercero tiee 2, etc. Por tato, el úmero de posibilidades es ( ) ( + ) ( )! Ejemplo. Se tiee u autobús co 60 asietos. Si teemos a u grupo de 00 persoas, de cuátas formas distitas podemos setar a 60 de esas 00 persoas? E esta ocasió se cosidera u cojuto de 00 elemetos y queremos cotar las ordeacioes posibles si tomamos 60 elemetos del cojuto. Por lo tato, el úmero de ordeacioes que puede darse es 00! (00 60)! 00! 40! Permutacioes co repetició. E este caso, el cocepto de repetició o es el mismo que e los casos ateriores. Ahora teemos u cojuto de elemetos dode hay alguos que está repetidos, y queremos cotar de cuátas formas posibles podemos ordearlos. Estas ordeacioes se llama permutacioes co repetició. Supogamos que u elemeto se repite veces, otro se repite 2 veces,..., así hasta el último que se repite m veces (observemos que + + m ). Las permutacioes co repetició de u cojuto co elemetos, que se repite, 2,..., m veces es:! 2! m! Esta prueba tambié es secilla, pues ua permutació co repetició es simplemete ua permutació de elemetos (luego e pricipio hay posibilidades), sólo que hay posibilidades que está repetidas. A partir de ua permutació dada, si permutamos de cualquier maera los elemetos que so iguales, o los 2 elemetos que so iguales, o los 3 elemetos que so iguales, etc., obteemos la misma permutació. Por lo tato, el úmero de posibilidades,, hay que dividirlo por! 2! m!, es decir, el úmero de posibilidades se reduce a! 2! m!. 2

3 Ejemplo. Dispoemos de 0 bolas: tres de color egro, tres de color blaco, tres de color azul y ua de color rojo. Si las colocamos alieadas, de cuátas formas distitas se puede aliear? Las bolas forma u cojuto de 0 elemetos dode u elemeto se repite 3 veces, otro elemeto se repite 3 veces, otro tambié se repite 3 veces y otro sólo se repite ua vez. El úmero de ordeacioes posibles será el úmero de permutacioes co repetició de dichos elemetos, es decir: 0! 3!3!3!! 0! 3!3!3! Hasta ahora hemos visto formas de cotar distitas ordeacioes, es decir que se ha teido e cueta el orde de selecció de los elemetos del cojuto. A partir de ahora vamos a ver coceptos e los que o iterviee el orde de selecció de dichos elemetos, por ello, hablaremos de agrupacioes. Combiacioes si repetició. Se parte de u cojuto de elemetos y queremos saber cuátas agrupacioes distitas existe si tomamos elemetos de dicho cojuto. A estas agrupacioes se las llama combiacioes de elemetos tomados de e : El úmero de combiacioes de elemetos tomados de e es ( )!! Para probarlo, volvemos a supoer que teemos listas de úmeros compredidos ( etre ) y. De esta maera, ua combiació si repetició o es más que ua permutació e la que ( )! o importa el orde e que tomemos los elemetos. Por lo que dos listas que tega los mismos úmeros se cosidera iguales. Por tato, hay que dividir por!. E defiitiva, el úmero de posibilidades es ( )!! Ejemplo. De ua baraja de 40 cartas, cuátas agrupacioes de 7 cartas puede obteerse? E este ejemplo o importa e qué orde se extraiga las cartas de la baraja. El úmero de agrupacioes posibles es el úmero de combiacioes de 40 elemetos tomados de 7 e 7, es decir ( ) 40 40! ! 7! Alguas fórmulas útiles de combiacioes si repetició. Sea, N co. Se tiee: j ( ) ( + ). ( factores arriba y factores abajo). ( ) i0 ( ) j i j para todo j. E particular, para j se tiee: i 3

4 + ( ). Esto da lugar a la famosa pirámide de Tartaglia: E esta pirámide, si cotamos la fila superior como la fila 0, y cotamos( los ) elemetos de cada fila empezado por 0, etoces el elemeto de la fila es precisamete. Se observa que la simetría de esta pirámide os dice que ( ) ( ), lo que por otra parte es trivial a partir de la defiició. Observemos que los elemetos de la fila de la pirámide de Tartaglia, es decir, so los coeficietes del desarrollo del biomio de Newto: ( ) ( ) ( (a + b) a + a b Si cosideramos el caso particular a b, se tiee: ) a 2 b 2 + +, 0 ab +,..., b., Esto tambié se puede deducir a partir de la pirámide, ya que, por costrucció, cada fila suma el doble que la aterior. 2 Calcular ua probabilidad. Supogamos que teemos u experimeto aleatorio. A cada posible resultado del experimeto se le llama suceso. Si teemos u experimeto de resultados posibles y equiprobables, la probabilidad de que ocurra u suceso específico es C F casos favorables casos posibles. 4

5 Ejemplo. Cuál es la probabilidad de que al tirar u dado, el resultado obteido sea u úmero par? El úmero de resultados posibles es 6, y todos tiee la misma probabilidad. El suceso que os iteresa es A el resultado obteido es par, y hay tres casos e los que el resultado del dado es par, por lo tato la probabilidad del suceso A es P (A) casos favorables casos posibles Problema: E u equipo de fútbol teemos jugadores, cuyas camisetas está umeradas del al. Elegimos al azar 6 de ellos. Cuál es la probabilidad de que la suma de los úmeros de sus camisetas sea impar? 3 Pricipio del palomar El pricipio del palomar os dice que si teemos tres caramelos y los queremos guardar e dos cajoes, al meos e u cajó meteremos dos caramelos. Formalmete se eucia así: Pricipio del palomar: Dados objetos y lugares dode colocarlos, e alguo de los lugares debe haber al meos dos objetos. Hay que teer cuidado porque o se dice ada acerca de cómo está distribuidos. Por otra parte, supogamos que teemos siete lápices y tres estuches. Etoces podemos asegurar que al meos e u estuche hay tres lápices. Vamos a demostrarlo. Supogamos que e cada estuche hay como mucho 2 lápices. Etoces e los tres estuches habrá como mucho 6 lápices, lo cual es ua cotradicció. Formalmete, el pricipio del palomar se puede exteder a: Pricipio del palomar: Dados objetos y lugares dode colocarlos, e alguo de los lugares debe haber al meos objetos. Recordemos que el etero imediatamete superior a /. Problema: Supoiedo que ua persoa o puede teer más de pelos e la cabeza, y sabiedo que e Sevilla hay más de habitates, demostrar que hay al meos dos sevillaos co el mismo úmero de pelos. Problema: Dados 5 putos e u cuadrado de lado uidad. Demostrar que hay al meos 2 que dista como máximo 2 2 uidades. Solució: Dividamos el cuadrado de lado e cuatro cuadrados de lado /2. Por el pricipio del palomar, debe haber dos putos e alguo de estos cuadrados más pequeños. Como este cuadrado está coteido e ua circuferecia de diámetro 2 2, los dos putos estará como mucho a esta distacia. 5

6 4 Pricipio del extremo Pricipio del extremo: Para probar u euciado, basta co comprobar que éste se cumple e el caso más desfavorable posible Al usar este pricipio hay que teer cuidado: hay que probar que la situació es la más desfavorable, y eso o siempre es secillo. No basta decir: como aquí se cumple y parece que es la situació más desfavorable, es verdad. La parte difícil es probar que realmete es la peor situació posible. Problema: Decimos que tres úmeros aturales distitos forma ua tera aditiva si la suma de los dos primeros de ellos es igual al tercero. Hallar, razoadamete, el máximo úmero de teras aditivas que puede haber e u cojuto dado de 20 úmeros aturales. 5 Búsqueda de ivariates Búsqueda de ivariates: Cuado haya u proceso iterativo o repetitivo, busca la propiedad que o cambia, y todas las posicioes posibles tedrá que teer dicha propiedad igual que e el estado iicial. Ilustraremos este pricipio co problemas. Problema: E u tablero de damas (8 8), colocamos las 24 fichas del juego de modo que llee las 3 filas de arriba. Podemos cambiar la posició de las fichas segú el siguiete criterio: ua ficha puede saltar por ecima de otra a u hueco libre, ya sea horizotal (a izquierda o derecha), vertical (hacia arriba o hacia abajo) o diagoalmete. Podemos lograr colocar todas las fichas e las 3 filas de abajo? Solució: Ua ficha que está e ua fila par, al saltar, seguirá e ua fila par. Ua ficha que está e ua fila impar, al saltar, seguirá e ua fila impar. Al pricipio hay 6 fichas e las filas y 3 (impares) y 8 fichas e la fila 2 (par). Si cosiguiéramos colocarlas todas e las tres filas de abajo, tedríamos 8 fichas e la fila 7 (impar) y 6 fichas e las filas 6 y 8 (pares), lo cual es imposible. Por tato, o se puede colocar todas las fichas e las 3 filas de abajo. Problema: E ua mesa hay dos cajas de galletas, ua co 7 galletas y otra co 6. Dos jugadores juega por turos y cada jugador, e su turo, puede optar por hacer ua de las siguietes cosas:. Comerse dos galletas de ua misma caja. 2. Pasar ua galleta de la seguda caja a la primera. Pierde el jugador que o pueda hacer igú movimieto. Qué jugador gaa? Solució: Después de jugar varias veces se puede comprobar que siempre gaa el segudo. Por qué? Es fácil ver que e cada movimieto, la diferecia de galletas etre la caja y la caja 2 varía e +2 ó -2 uidades. Por tato, después de dos jugadas cosecutivas, la diferecia etre las cajas puede variar e +4, 0 ó -4 uidades. Como al picipio del juego esta diferecia vale, se deduce que cada vez que vaya a jugar el jugador, la diferecia etre las cajas dará resto al dividirlo etre 4. Y cada vez que vaya a jugar el jugador 2, la diferecia etre las cajas dará resto 3 al dividirla etre 4. 6

7 Por tato, cuado juegue el jugador 2, o bie hay galletas e la seguda caja (y puede pasar ua a la primera), o bie hay al meos 3 galletas e la primera caja (y puede coger 2). Esto implica que el jugador 2 uca puede perder. Problema: E ua isla del Pacífico se observa que ada más que sobrevive uos camaleoes, que puede cambiar de color. E total había 20 verdes, 9 grises y 8 marroes. Se observó que cuado se ecuetra dos camaleoes de colores distitos, los dos cambia automáticamete al tercer color y que o cambia de color e igú otro caso. Es posible que todos los camaleoes se vuelva del mismo color? 6 Alguos problemas de fases acioales Problema: (Fase acioal OME 2004) Colocamos, formado ua circuferecia, 2004 fichas bicolores: blacas por ua cara y egras por la otra. U movimieto cosiste e elegir ua ficha co la cara egra hacia arriba, y dar la vuelta a tres fichas: la elegida, la de su derecha y la de su izquierda. Supogamos que iicialmete hay ua sola ficha co la cara egra hacia arriba. Será posible, repitiedo el movimieto descrito, coseguir que todas las fichas tega la cara blaca hacia arriba? Y si tuviramos 2003 fichas, etre las cuales exactamete ua tiee al comiezo la cara egra hacia arriba? Problema: (Fase acioal OME 2008) A cada puto del plao se le asiga u solo color etre siete colores distitos. Existirá u trapecio iscriptible e ua circuferecia cuyos vértices tega todos el mismo color? 7