2. CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS NIVEL IV (BACHILLERATO)

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1 Portal Fueterrebollo Cocurso Primavera Matemáticas: NIVEL IV (BACHILLERATO). CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS NIVEL IV (BACHILLERATO) 1. Co las letras de la palabra NADIE podemos formar 10 palabras (o agrupacioes de cico letras) utilizado todas sus letras,. Si se ordea alfabéticamete las 10, qué lugar ocupa la palabra NADIE e esa relació? A) 97 B) 98 C) 90 D) 100 E) 101 Delate de la palabra NADIE está todas las palabras que empieza por A, D, E, I, que so u total de 4 x 4 96 palabras delate. De las palabras que comieza por N, que se ecuetre delate, solamete estaría la palabra NADEI. E defiitiva habrá 97 palabras delate de NADIE, ocupado ella el lugar 98. La respuesta correcta sería B).. Para cuátos eteros positivos, se tiee que etero? 0 es el cuadrado de u úmero A) 1 B) C) D) 4 E) 10 Co lo cual, El úmero 0, e caso cotrario 0 0 y o podría ser u cuadrado. Por otra parte, Teiedo que observar los cuadrados 0 perfectos meores que 0, y etre ellos a cuátos correspode u valor etero E u pricipio, 0 = 1, 4, 9, 16

2 Si Si Si Si o es etero 0 17 Así puede ser 10, 16 y 18, co lo que, la respuesta correcta sería la C). 1. Si x, y, z so úmeros positivos que verifica x 4, y etoces el producto de los tres úmeros xyz es igual a: 1 y 1, z 1 7 z, x A) B) 1 C) 4 D) E) 7 No tiee mucho setido itetar hallar x, y, z resolviedo el sistema dado. Multiplicado las tres igualdades, se tiee: x y z xyz x y z y z x y z x xyz 4 1 7/ xyz 1 4 xyz xyz 1 xyz xyz La respuesta correcta es B).

3 4/ 4. El valor de x e la ecuació log x log (16x) 7 es: 4 x A) 16 B) 7 C) 64 D) 81 E) 4 4/ 4/6 log x log (16x) 7 log x log 16 log x 7 4 x 4 x x 4 6 log xlog 16log x 7 log xlog 16 4 log xlog x x 4 x 4 x log x 6 log x Si b 1/b 1/b 1 1 log x b 4 x 4 x log 4 log x log x 4 x x x b b co lo que, b 18 log x 6 log 4 4 b b 1b x 1 b b b 6b 9 0 b etoces, log x x La respuesta es C). 5. La parte real del complejo (1i) (1i) (1i) (1i) (1 i) es A) 0 B) 1 C) 4 D) 8 E) Es más práctico trabajar como u biomio: (1 i) 1 i i 1 1 i i (1 i) i (1 i) i i i 4 (1 i) (i) 4i (1 i) (1 i) (1 i) (1 i) ( 4) 4 4i 4 4i

4 Por tato, (1i) (1i) (1i) (1i) (1i) 1 (1i) (i) (i) ( 4) ( 4 4i) 8i La parte real del úmero complejo es 8, siedo la respuesta correcta D). 6. La carretera de 4m de acha atraviesa como idica la figura ua platació de girasoles de forma rectagular. Cuátos m de platació ha perdido como cosecuecia de la existecia de la carretera? A) 10 B) 150 C) 160 D) 00 E) 50 Se desea saber el área del paralelogramo rayado. La altura es de 4 m, descoociedo la base AC Los triágulos ABC CDE so semejates. AC 4 ED 5 4 AC 40 5 El área del paralelogramo será: 40 x m La respuesta correcta es C). 7. Si log represeta el logaritmo decimal (base 10), el valor de log(!) log(!) log(4!) log(9!) log(10!) es: A) 1 B) log() log() log(4) log(9) log(10) C) log(5!) D) 5 log log(5!) E) log5 5 log

5 Teiedo e cueta las propiedades de los logaritmos, la expresió queda:! 4! 6! 8! 10! log(!) log(!) log(4!) log(9!) log(10!) log! 5! 7! 9! Ahora bie,! 4! 6! 8! 10!! (4.! )(6.5!)(8.7!) (10. 9! ) log log! 5! 7! 9!! 5! 7! 9! log( ) 5 log( ) log(. 4. x..x 5) log(. xx4x5) 5 log( ) log(xx4x5) 5 loglog(5!) La respuesta es D). 8. E el triágulo rectágulo PQR, la hipoteusa PR está dividida e tres trozos iguales por los putos S y T. Si QS QT k. PR. El valor de k es: A) 5 9 B) C) 1 D) E) 1 4 Desigado por PT x e PQ y, aplicado el teorema del coseo a los triágulos PQT como ˆ cos P y x y QT x y x y x y y x Y PQS,

6 y 4 QS (x) y (x) y 4 x y y x 4 QT QS x y y x y y 5 x De otra parte, PR (x) 9 x Co lo cual, QS QT k. PR 5 x k 9 x k 9 La respuesta correcta es A) Si escribo 00 e la forma ( ) ( 1), la suma de los dígitos (o cifras) de es: A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Para que los sigos sea alterados de la forma que se expresa '' debe de ser impar. Si se agrupa los ( 1) úmeros ateriores por parejas, resulta: ( 1)/ ( 1)/ ( ) ( 1) Como hay 1 parejas, dode cada suma vale ( 1), la suma de la serie dada será: ( ) ( 1) La suma de sus cifras es 9, siedo la respuesta correcta C).

7 10. Después de las cico de la mañaa, cuáto tiempo, expresado e horas, debe pasar para que la aguja de los miutos y la de las horas de u reloj forme etre sí, por primera vez, u águlo recto? A) 1 5 B) 11 C) 5 D) 4 E) 7 0 A las cico de la mañaa las agujas del reloj forma u águlo de 150º. La aguja de las horas recorre 0º e 1 hora (60 miutos) y la aguja de los miutos recorre 60º e 1 hora (60 miutos) Cuado trascurre t miutos, las agujas recorrerá horas : tº / mi utos : 6º t El triágulo t 10 A'OB' 90º t 90 t mi utos t horas La respuesta es B) es igual a: A) 0 7 B) 66 C) 60 9 D) 41 E) La respuesta es D).

8 1. Cuátas solucioes reales tiee la ecuació x 14 x 14 4? A) 1 B) C) D) 4 E) 0 La fució y x 14 se ecuetra siempre por debajo de la fució y x 14, auque para valores de 'x' alejados del orige tiede a ser iguales. Para valores cercaos al orige, la fució y x 14 4 se ecuetra por debajo de la fució y x 14. Para valores alejados del orige, la fució y x 14 4 estará por ecima de la fució y x 14 Cocluyedo que, el úmero de putos de corte de las gráficas y x 14 4 e y x 14 so dos. La respuesta correcta es la B). 1. Sea u úmero etero positivo impar. El mayor etero positivo k tal que es divisible por k sea cual fuere el impar es: A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) Como es impar: ( 1) y ( 1) so pares cosecutivos, co lo que uo de ellos es múltiplo de 4. e e 1 hay 1 factor 4 1 hay 1 factor Recopilado todos los factores : x 1x 1x 1 9

9 El úmero es divisible por 9, la respuesta correcta es C). 14. E la figura adjuta, dode EA es perpedicular a AC, sabemos la medida de los siguietes segmetos: AB 8, AC 18, AE 16, AF 6. Cuál es el área del cuadrilátero ABDF sombreado? A) 8 B) 4 C) 4 D) 0 E) 4 Trazado las perpediculares DP y, DQ x Por semejaza de los triágulos formados: y 16 8 x 8 x y 16 6 y 6 x 18 xy 18 x y 16 xy 18 x 6 y 4 El área solicitada será: (6 4) x 6 (8 6) x 4 A 6x 4 4 La respuesta correcta es E).

10 15. Los catetos del triágulo rectágulo mide 1. Cuál es el radio del semicírculo sombreado?. A) 1 B) 1 C) D) 1 E) Uo de los vértices del triágulo rectágulo es el cetro del semicírculo y el triágulo formado es semejate al triágulo origial. r 1 1 r( 1) 1 r 1 1 r 1 La respuesta correcta es A).