Convolución discreta cíclica

Transcripción

1 Covolució discreta cíclica Estos aputes está escritos por Darío Coutiño Aquio y Egor Maximeko. Objetivos. Defiir la covolució discreta cíclica y demostrar el teorema sobre la covolució discreta cíclica y la trasformada discreta de Fourier. Requisitos. Sumas y sus propiedades, forma polar de umeros complejos. E esta secció siempre supoemos que {1, 2, 3,...}. Covolucioes discretas cíclicas 1 Observació. E este tema es cómodo umerar las etradas de vectores y matrices comezado los ídices desde 0. 2 Defiició (covolució discreta cíclica de dos vectores). Dados dos vectores a, b C, su covolució discreta cíclica, la cual deotamos por a b, se defie como [ j a b = a j k b k + k=j+1 a +j k b k ] 1 E otras palabras, a b es u vector del espacio C, y para cada j {0,..., 1} la j-ésima compoete de a b es j=0. (a b) j = j a j k b k + k=j+1 a +j k b k. Dado m Z, deotemos por m mod el resto al dividir el úmero m etre. Co esta otació podemos escribir la defiició de la covolució discreta cíclica más brevemete: (a b) j = a (j k) mod b k. (1) Covolució discreta cíclica, págia 1 de 7

2 3 Ejemplo. Si a, b C 3, etoces 2 a (0 k) mod 3b k 2 a b = a (1 k) mod 3b k 2 a (2 k) mod 3b k = = a 0 mod 3 b 0 + a 1 mod 3 b 1 + a 2 mod 3 b 2 a 1 mod 3 b 0 + a 0 mod 3 b 1 + a 1 mod 3 b 2 a 2 mod 3 b 0 + a 1 mod 3 b 1 + a 0 mod 3 b 2 a 0 b 0 + a 2 b 1 + a 1 b 2 a 1 b 0 + a 0 b 1 + a 2 b 2 a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2. 4 Ejercicio. Sea a, b C 4. Escriba el vector a b. Respuesta: a 0 b 0 + a 3 b 1 + a 2 b 2 + a 1 b 3 a 1 b 0 + a 0 b 1 + a 3 b 2 + a 2 b 3 a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 + a 3 b 3. a 3 b 0 + a 2 b 1 + a 1 b 2 + a 0 b 3 Trasformada Discreta de Fourier (repaso) 5 Notació. ω = e 2π i. Es fácil ver que ω m = 1 si, y sólo si, divide a m. Tambiés se puede demostrar que el cojuto solució de la ecuació z = 1 cosiste de úmeros diferetes a pares: ω 0, ω 1,..., ω 1. 6 Proposició (ortogoalidad de las raíces de la uidad). Sea p, q {0,..., 1}, etoces 1 ω pk ω qk = δ p,q. (2) Demostració. Si p = q, etoces ω p q 1 ω pk ω qk = 1 = 1 y se tiee que: (ω p q ) k = 1 1 = 1. Si p q y como p, q {0,..., 1}, etoces p q <, por eso o divide a p q y 1. Aplicado la fórmula para la suma de la progresió geométrica obteemos ω p q 1 ω pk ω qk = 1 (ω p q ) k = 1 1 ω (p q) 1 ω p q = ω p q Covolució discreta cíclica, págia 2 de 7 = 0.

3 7 Defiició (Trasformada Discreta de Fourier). Deotemos por Ω a la siguiete matriz: Ω = [ ] ω jk 1. (3) j, E otras palabras, Ω es ua matriz cuadrada de orde, y su etrada co ídices (j, k) es igual a (Ω ) j,k = ω jk. (4) La trasformada lieal x Ω x (x C ) se llama la Trasformada Discreta de Fourier, y Ω es la matriz asociada a la Trasformada Discreta de Fourier. 8 Observació. Alguos autores icluye e la defiició de la TDF el factor 1, para que la matriz Ω sea uitaria, véase la Proposició 9. Dada ua matriz A, deotamos por A su adjuta (traspuesta cojugada). Recordamos que ua matriz cuadrada A se llama uitaria si AA = I = A A. 9 Proposició (propiedad uitaria de la Trasformada Discreta de Fourier). La matriz 1 Ω es uitaria: 1 Ω Ω = I. (5) Demostració. Utilizado el resultado de la Proposició 6 1 (Ω Ω ) p,q = 1 (Ω ) p,k (Ω ) k,q = ω pk ω qk = 1 ω (p q)k = δ p,q. Covolució discreta cíclica, págia 3 de 7

4 Producto de dos vectores por compoetes 10 Defiició (producto de dos vectores por compoetes). Dados dos vectores a, b C, deotemos por a b su producto por compoetes defiido como ] 1 a b = [a j b j. E otras palabras, a b es u vector del espacio C, obteido al realizar el producto compoete a compoete de los dos vectores por lo cual para cada j {0,..., 1} la j-ésima compoete de este vector es 11 Ejemplo. Sea a, b C 3. Etoces j=0 (a b) j = a j b j. a b = 12 Ejercicio. Sea a, b C 4. Escriba a b. a 0 b 0 a 1 b 1 a 2 b 2 13 Proposició (propiedades de la multiplicació de vectores compoete a compoete). La operació es asociativa y comutativa, y el vector de uos [ 1, 1,..., 1 ]. es u elemeto eutro bajo. Demostració. La demostració es muy simple y se basa e las propiedades correspodietes de úmeros complejos. Demostremos la propiedad asociativa. Si a, b, c C y j {0, 1,..., 1}, etoces ((a b) c) j = (a b) j c j = (a j b j )c j = a j (b j c j ) = a j (b c) j = (a (b c)) j, dode hemos aplicado cuatro veces la defiició de y ua vez la propiedad asociativa de la multiplicació e C. 14 Proposició (el álgebra de úmeros multicomplejos). El espacio vectorial complejo C dotado co la operació es ua álgebra compleja asociativa y comutativa co idetidad. Demostració. Es fácil ver que la operació es distributiva co respecto a la adició e C y homogéea co respecto a la multiplicació de cada factor por escalares complejos. Las demás propiedades ya fuero euciados e la Proposició 13. Covolució discreta cíclica, págia 4 de 7

5 Teorema de covolució para el grupo cíclico de orde 15 Teorema. Sea a, b C. Etoces Ω (a b) = (Ω a) (Ω b). (6) Demostració. Ambos lados de la fórmula (6) so vectores complejos de logitud. Dado u j {0,..., 1}, mostremos que las j-ésimas compoetes de estos vectores so iguales etre sí. Primero calculemos la j-ésima compoete del lado izquierdo: (Ω (a b)) j = (Ω ) j,k (a b) k = ω jk ( k a k q b q + q=k+1 a +k q b q ) Usamos propiedades de operacioes e C, icluso la ley distributiva, y luego itercambios el orde de las sumas: (Ω (a b)) j = k k=q ω jk a k q b q + = ω jk a k q b q + q=k+1 q 1 ω jk a +k q b q ω jk a +k q b q. Reidizamos las sumatorias sobre k de la siguiete forma. E la primera sumatoria poemos s = k q, esto es, k = s + q. Cuado k corre de q a 1, la ueva variable s corre de 0 a q 1. E la seguda sumatoria poemos s = + k q, esto es, k = s + q. Cuado k corre de 0 a q 1, la ueva variable s corre de q a 1. Etoces Notamos que ω j (Ω (a b)) j = 1 q ω js+jq a s b q + s= q = 1 y jutamos las dos sumas sobre s e ua: (Ω (a b)) j = ω js+jq a s b q. Ahora separemos las sumatorias e la siguete forma: (Ω (a b)) j = ω js a s ω jq b q = = (Ω a) j (Ω b) j = ((Ω a) (Ω b)) j. ω js+jq j a s b q. (Ω ) j,q a q (Ω ) j,s b s. Covolució discreta cíclica, págia 5 de 7

6 El siguiete corolario simple muestra cómo calcular la covolució discreta cíclica utilizado la trasformada discreta de Fourier, su iversa y el producto de vectores por compoetes. 16 Corolario. Sea a, b C. Etoces a b = Ω 1 ((Ω a) (Ω b)). (7) E el leguaje de MATLAB (o e sus aálogos libres GNU Octave, Scileb, FreeMat) el lado derecho de (7) se puede escribir como la siguiete expresió: ifft(fft(a).* fft(b)) Propiedades de la covolució discreta cíclica 17 Proposició. La operació e C es asociativa y comutativa. El vector es u elemeto eutro bajo la operació. e 0 = [ δ 0,j ] 1 j=0 Primera demostració. Demostremos la propiedad asociativa. Sea a, b, c C. Utilizamos la fórmula (1): Lo que debemos demostrar es (a b) c = a (b c), para ello mostraremos que etrada a etrada los vectores so iguales. ((a b) c) j = (a b) (j p) mod c p = a [(j p) mod ] q mod b q c p. p=0 p=0 Notemos que [(j p) mod ] q mod = (j p q) mod. Etoces Por otro lado ((a b) c) j = a (j p q) mod b q c p. p=0 (a (b c)) j = a (j k) mod (b c) k = Reidizamos s = p a (j k) mod 1 b (k s) mod c s. (a (b c)) j = a (j k) mod b (k p) mod c p. p=0 Ahora reidizamos la primera sumatoria haciedo q = (k p) mod. Etoces (a (b c)) j = a (j α q p) mod b q c p = a (j p q) mod b q c p = ((a b) c) j. p=0 p=0 Covolució discreta cíclica, págia 6 de 7

7 Seguda demostració. La proposició se demuestra fácilmete usado el Teorema 15 y la Proposició 13. Por ejemplo, demostremos la propiedad asociativa. Sea a, b, c C. Etoces Ω ((a b) c) = (Ω (a b)) (Ω c) = ((Ω a) (Ω b)) (Ω c) = (Ω a) ((Ω b) (Ω c)) = (Ω a) (Ω (b c)) = Ω (a (b c)). Hemos utilizado 4 veces el Teorema 15 y ua vez la propiedad asociativa de la operació. Multiplicado ambos lados por la matriz Ω 1 cocluimos que (a b) c = a (b c). 18 Ejercicio. Demostrar la propiedad comutativa de la operació e C usado la defiició y cambios de variables coveietes. 19 Proposició. El espacio vectorial complejo C, dotado co la operació, es ua álgebra compleja asociativa comutativa co idetidad. Demostració. Es fácil ver que la operació es distributiva co respecto a la adició de vectores y homogéea co respecto a la multiplicació por escalares complejos. Las demás propiedades ya está demostradas e la Proposició 17. Covolució discreta cíclica, págia 7 de 7