CAPÍTULO PRIMERO. 1. Transformaciones geométricas. Isometrías o movimientos

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1 CAPÍTULO PRIMERO Trasformacioes geométricas Isometrías o movimietos Defiicioes - Sea E espacio afí eclídeo de dimesió Llamaremos trasformació geométrica de E, a toda aplicació T:E E biyectiva - Dada T, trasformació geométrica de E, a calqier par de ptos A,A ' E tales qe T(A) A ', se les deomia ptos homólogos por T 3- Si T(A) A, se dice qe A es pto doble o ivariate por T 4- Aálogamete, se dice qe el sbcojto F es ivariate por T si T(F) F, 5- Llamaremos trasformació idetidad o idetidad de E y la desigaremos por trasformació tal qe todos ss ptos so dobles; es decir, A E I A A E 6- Se dice qe T es a trasformació ivoltiva de E si T I E ; es decir, T T I E I E, a la 7- Las trasformacioes geométricas qe coserva los áglos se llama trasformacioes coformes o isogoales Estdiaremos, e pri mer lgar, aqellas trasformacioes geométricas qe tiee como característica esecial qe coserva las distacias: so las llamadas isometrías o movimietos 8- Sea V el R-espacio vectorial asociado al espacio afí eclídeo E Deotado por d la métrica defiida e E, diremos qe a trasformació geométrica T:E E es a isometría si verifica qe para todo par de ptos A, B de E : d(t(a),t(b))=d(a,b) Nota: Usalmete se deomia movimietos a aqellas isometrías qe coserva la orietació de las figras Por coveio tilizaremos la deomiació de movimieto para todo tipo de isometría añadiedo "directo" si se trata de a isometría qe coserva la orietació de las figras U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM

2 Aplicació vectorial asociada a a trasformació geométrica Dada la trasformació geométrica T:E E, se deomia aplicació vectorial asociada, a la aplicació f:v V defiida de la forma sigiete: Fijado pto calqiera O E, sabemos qe V, existe úico X E tal qe, OX y desigado por T(O) O', T(X) X ', etoces, se defie f() O'X' ', lego: f V V OXf O'X' ' O X X Proposició: La aplicació f o depede del pto O elegido O Defiició: T es a aplicació afí de E si s aplicació f asociada es a trasformació lieal Aplicació vectorial asociada a a isometría o movimieto T:E E es a isometría etoces s aplicació asociada f:v V verifica: - f coserva el prodcto escalar (p e) - f es lieal 3- f es biyectiva Si Demostració: E efecto, f coserva el prodcto escalar, es decir, f() f(v) v,,vv Sea,v V, etoces existe A,B E tales qe OA, v OB, y desigamos O = T(O), A'=T(A) B'=T(B) Por ser T a isometría, etoces d(a B )=d(a,b), y se tiee: da,b AB d A,B AB ABAB OB OAOB OA OBOB OBOA OA OA OB OBOA OA () Aálogamete: d A',B' A'B' A'B' A'B' O'B' O'A' O'B' O'A' O'B' O'B' O'B' O'A' O'A' O'A' O'B' O'B' O'A' O'A' () U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM

3 Pero por ser T a isometría: AB da,bda',b' A'B' OB do,bdo',b' O'B' OA do,ado',a' O'A' lego ()=() y, e cosececia: OAOB O'A' O'B' OAOBO'A' O'B' v f() f(v) (La demostració completa está e el ANEXO del capítlo º) 3 Trasformacioes ortogoales de espacio vectorial Las aplicacioes f :V V biyectivas, lieales y qe coserva el pe recibe el ombre de trasformacioes ortogoales NOTA: La demostració de la liealidad de f sólo ecesita qe f coserve el prodcto escalar e igal pasa co la demostració de qe f es biyectiva, lego podemos eciar Corolario: Toda aplicació f :V V qe coserve el prodcto escalar es lieal y biyectiva 4 Propiedades de las trasformacioes ortogoales Si f es a trasformació ortogoal de V, etoces se verifica qe: - f coserva la orma de los vectores y los áglos etre ellos - f trasforma bases ortoormales e bases ortoormales, verificádose además el recíproco: Toda trasformació lieal de V qe trasforme al meos a base ortoormal de V e a base ortoormal de V es a trasformació ortogoal 3- Si f y g so trasformacioes ortogoales, g f tambié lo es 4- El cojto de las trasformacioes ortogoales respecto de la composició tiee estrctra de grpo Lo deomiaremos grpo ortogoal de V, y lo desigaremos por O V 5- Los valores propios reales de f so y/o - Demostració: - Sea V, f ff, por coservar f el pe f fv v Por otro lado, cosf,f v cos,v f fv v (La demostració de las propiedades restates está e el ANEXO del capítlo º) U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 3

4 5 Cosececias Si f es a trasformació ortogoal de V, etoces: f trasforma sbespacio vectorial e otro sbespacio vectorial de la misma dimesió A,B V tales qe A y B so ortogoales, se tiee qe f(a) y f(b) so ortogoales 6 Ecació matricial de a trasformació ortogoal Sea f a trasformació ortogoal de V, y B=e,,e a base ortoormal de V Desigamos por ( x, x,, x ) las coordeadas de vector V calqiera, y por ( x ', x ',, x ' ) las de s f V, respecto de la base B trasformado Por ser f lieal, y segú hemos estdiado e el tema de aplicacioes lieales, s ecació matricial es: x ' a a a x x ' a a a x (I) x ' a a a x dode a i, a i,, a i, so las coordeadas de f (e i ), i=,,,, respecto de B x ' x a a a x ' x a a a Llamado X'=, X=, M= X' MX es la forma abreviada x ' x a a a de escribir la ecació (I), siedo M la matriz asociada a f respecto de la base B Por ser f biyectiva M 0 Cosececia: Por ser f a trasformació ortogoal, etoces f e,,f e de V, por lo tato, f e a i ij j M M M M I M M t t t 7 Matrices ortogoales y i j ik jk k f e f e a a 0 i j es tambié a base ortoormal i, j,, Las matrices M asociadas a a trasformació ortogoal so ortogoales E geeral, se defie matriz ortogoal como toda matriz M qe verifica qe Si M es a matriz ortogoal, etoces M M t M U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 4

5 E efecto, M ortogoal t M M = I t = = M M = t M M I M = M = ± 8 Ecació de a isometría de E Sea a isometría T de E, y sea f :V V s trasformació ortogoal asociada Fijado pto calqiera A E y si A'=T(A), etoces para cada X E X'=T(X): X = A + AX X ' = A ' + A 'X ' dode A 'X ' = f AX ( ) Si M es la matriz ortogoal qe defie f, respecto de cierta base ortoormal B, etoces: f AX = M AX, lego X ' = A ' + M AX es la ecació vectorial de la isometría T ( ) ( ) y s homólogo Fijado a referecia ortoormal R= {O, B} del espacio eclídeo E, se obtiee las formas matriciales de estas ecacioes E el sigiete capítlo se estdia los distitos tipos de matrices y trasformacioes ortogobales 9 Propiedades de las isometrías de E (=,, 3) Sea T a isometría de E y f la trasformació ortogoal de V asociada, (siedo como siempre V el espacio vectorial sobre R asociado a E ); se verifica qe: T trasforma variedades lieales afies de E, e variedades lieales afíes de la misma dimesió Es decir, para =,, 3 las isometrías trasforma rectas e rectas y plaos e plaos Las isometrías trasforma semirrectas e semirrectas, semiplaos e semiplaos, 3 Trasforma segmetos e segmetos de igal logitd (basta tomar a λ b ) 4 Trasforma vectores fijos e vectores fijos de igal módlo 5 Trasforma triáglos e triáglos de lados respectivamete igales 6 Coserva los áglos etre dos variedades lieales afies; es decir, coserva los áglos etre dos rectas, dos plaos, recta y plao Coserva por tato, el paralelismo y la perpediclaridad etre variedades lieales afies 7 La composició de dos isometrías, (tambié la deomiaremos prodcto), es otra isometría cya trasformació ortogoal asociada es la compesta de las trasformacioes ortogoales asociadas a cada o de las isometrías dados 8 El cojto de las isometrías de E es grpo respecto del prodcto defiido, qe deomiaremos grpo de las isometrías de I E E Se desiga por ( ) s U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 5

6 CAPÍTULO SEGUNDO Trasformacioes ortogoales del espacio vectorial eclídeo Simetrías ortogoales de V Sea s : V V y F V sbespacio vectorial, diremos qe s es a simetría ortogoal respecto de F si s es a simetría respecto de F de direcció F, es decir: Por ser F F =V V, = x + x (co úicos x F, x F ), etoces: s = s x + x = x x ( ) ( ) x S() x -x Obviamete F es el sbespacio de vectores ivariate por s Caracterizació de las simetrías ortogoales Las simetrías ortogoales de (La demostració está e el ANEXO del capítlo º) Corolario Si M es la matriz asociada a a simetría ortogoal de Demostració: s simetría ortogoal vectorial V so las trasformacioes ortogoales ivoltivas de ortogoal M - = M t, lego M = M t, es decir M es simétrica V V, etoces M es simétrica (M t =M) s es ivoltiva s = I V M =I M - = M y como M Simetría ortogoal respecto de hiperplao Si dim F =, se dice qe s es a simetría ortogoal respecto de hiperplao 3 Trasformacioes ortogoales directas e iversas Sea M la matriz asociada a la trasformació ortogoal f respecto de a base ortoormal de desigaremos por O + ( V ) = { f O( V ) tal qe M = } O ( V ) = f O( V ) tal qe M = { } V, U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 6

7 + Si f O ( V ) Si ( ) se dice qe f es a trasformació ortogoal directa f O V se dice qe f es a trasformació ortogoal iversa 4 Trasformacioes ortogoales de V Clasificació Sea f : V V a trasformació ortogoal y sea F el sbespacio vectorial de vectores ivariates por f Por coservar el prodcto escalar f () = V, y por ser dim V =, la matriz asociada es a costate y vale ó -, etoces, solo hay posibilidades: f ( ) = f = IV F = V O + (V ) = I f ( ) = f = IV F = { 0} O (V ) = -I { } { } V V Resme: Dim F F f M 0 { } 0 -I - V V I V 5 Trasformacioes ortogoales de V Clasificació y ecacioes Sea f : V V trasformació ortogoal y F el sbespacio de vectores ivariates por f Fijada a base ortoormal B, f está defiida por a matriz M M (R) ortogoal tal qe f = M V ( ) Se trata de estdiar los tipos de matrices ortogoales de orde aplicado qe si M es ortogoal, etoces t M = M a b y si M = ± M = M = ad bc c d d b M = M c a Caso º: M = t d b a c d = a a c M = M M c a = b d = c = b c a M = ad bc = a + c = a + c = U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 7

8 Caso º: M = t d + b a c d = a a c M = M M + c a = b d = c = b c a M = ad bc = a c = a + c = a = cos α Como e ambos casos a + c = podemos cosiderar α R tal qe c = seα Por tato las matrices ortogoales de orde, se clasifica e los dos tipos sigietes qe desigaremos M y M : M M cos α seα = seα cos α, observacioes si α = 0 M = I si α = π M = I cos α seα = seα cos α ( ) 5 Estdio de las trasformacioes ortogoales directas de V O + ( V ) Defiició: + Los elemetos de O (V ) qe so las trasformacioes ortogoales directas de V se llama giros vectoriales de V, s matriz asociada es del tipo M y se desiga por g α el giro de áglo α Teorema: + O (V ) es grpo comtativo respecto de la composició (La demostració del recíproco está e la págia 4, ANEXO º) + Qé simetrías ortogoales hay e O (V )?, es decir, qé giros so ivoltivos? Hay qe estdiar para qé valores de α se verifica qe g = I α M = I : V cos α seα 0 cos α seα 0 cos α = seα cos α = 0 seα cos α = 0 seα = 0 0 α = 0, y la matriz es asociada a IV 0 0 α = π, y la matriz es asociada a -I 0 V Lego los úicos giros ivoltivos so I V (giro de áglo α=0º) y I V (giro de áglo α=80º) U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 8

9 Estdio de los vectores ivariates por giro vectorial: (Cosideramos el áglo α etre 0 y π) Si α=0 ( f = I V ), etoces todos los vectores so ivariates, lego F= V Si α 0 y ( f I V ), el úico vector ivariate es el vector lo, lego F= { 0 } E efecto, si g () α = M = determiado pes M M I = 0 ( ) cos α seα I = = ( cos α ) 0, α 0 seα cos α por lo tato, la solció es la trivial, es decir, { 0 } 5 Estdio de las trasformacioes ortogoales iversas de V O ( V ) Teorema: Si f 0 ( V ), etoces f es ivoltiva y f I V, I V Demostració: E efecto, si ( ) Ahora bie, M qe es sistema compatible ( ) ( ) rg M I =, cos α seα f 0 V, s matriz asociada es del tipo M = seα cos α cos α seα cos α seα cos α + se α cos αseα seα cos α = seα cos α seα cos α = seα cos α cos αseα cos α + se α 0 = 0 Corolario: Si ( ) f 0 V lego f es ivoltiva (M =I f = I V ) y como M =, es f I, I V V, etoces f es a simetría axial vectorial (simetría ortogoal de V respecto de a recta vectorial) y se desiga por se, dode e =F Demostració: E efecto, por ser ivoltiva f es a simetría ortogoal de V, y el sbespacio de vectores ivariates F verifica qe: ( ) + F V por ser f=iv O V,lego dim F dimf= F + { 0} por ser f=-iv O ( V ),lego dim F 0 Proposició: La pediete del eje F de a simetría axial de V es tg α (La demostració del recíproco está e el ANEXO capítlo º) U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 9

10 53 Resme y ecacioes Se cosidera f a trasformació ortogoal de V, F el sbespacio de vectores ivariates y M s matriz asociada respecto de a base ortoormal B Dim F F f M 0 0 rotació vect g recta de pediete tg simetría axial s e - V I V Ecació de la rotació de áglo : x ' cos y ' se Ecació de la simetría axial cyo eje tiee de pediete tg : x ' cos se x y ' se cos y se x cos y 54 Teorema: prodcto de rotacioes y simetrías El prodcto de giro g y a simetría axial s de V es a simetría axial de V Toda rotació vectorial de V se descompoe e el prodcto de dos simetrías axiales de V, pdiedo elegirse arbitrariamete a de ellas (La demostració está e el ANEXO del capítlo º) U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 0

11 6 Trasformacioes ortogoales de V3 Clasificació y ecacioes Proposició previa: Si f a trasformació ortogoal de V 3 y F V 3 es el sbespacio de vectores ivariates por f, etoces se verifica qe la restricció f: F F, qe desigamos por f F, es a trasformació ortogoal de F Demostració: = cyo sbespacio de vectores ivariates es 0 Como F 0 F, basta comprobar qe f F = F Por ser ortogoal f es biyectiva, lego dim f F =dimf Por otro lado, dados calesqiera vectores o los F y v 0 v f f v f v f v f v F f F lego f F = F F : F 6 Clasificació de las trasformacioes ortogoales de V 3 Los diferetes tipos de trasformacioes ortogoales de V 3 depede de la dimesió de F y del tipo de trasformació ortogoal qe sea f F Caso º: La idetidad Si F= V 3, etoces, dim F=3 F=V 3 Respecto de calqier base ortoormal de I V 3 y s matriz asociada es la idetidad I 3 V 3, la ecació matricial de f es: x ' 0 0 x X'=I 3 X y ' 0 0 y z ' 0 0 z Caso º: Simetría especlar de V 3 Si dim F=, etoces F es plao y F es s recta ortogoal, e cosececia, dim F = y f: F es a trasformació ortogoal, de a recta, cyo sbespacio de vectores ivariates es 0 F, por lo tato, segú 4 es a simetría tal qe vf, f v v Lego, V, co 3, co F, F tal qe s image es f f -, por lo tato, f es a simetría ortogoal respecto del plao F y se desiga por s F U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM

12 Ecació: Si cosideramos a base ortoormal v,v de F y el vector itario v 3 de F tal qe v v v, etoces B= v,v,v es a base ortoormal de V 3 (de igal orietació qe la base 3 3 caóica), respecto de la cal, fvv,0,0b 0 0, fvv 0,,0 y la matriz asociada a s B F es: M 0 0 co M = - Lego fv3v3 0,0, 0 0 B x' 0 0 x respecto de la base B la ecació matricial de f es: y' 0 0 y z' 0 0 z Abreviadamete escribiremos X'= M X f() - F Recíprocamete, toda trasformació ortogoal de V 3 cya ecació respecto de a base B ortoormal sea X'= M X es a simetría ortogoal respecto del plao coordeado XY Teorema: Ua trasformació ortogoal de V 3 es a simetría ortogoal respecto de plao, si y solo si, el sbespacio F de vectores ivariates tiee dimesió F es el plao base de la simetría y le deotaremos por s F y se deomia simetría especlar de V 3 de base F Caso 3º: Rotació de V 3 Si dim F=, etoces F es a recta y F es s plao ortogoal, por lo tato, dim F = y F F f: es a trasformació ortogoal, de plao, cyo sbespacio de vectores ivariates es 0, lego f F es a rotació vectorial Se defie como rotació vectorial de V 3, toda trasformació ortogoal f de V 3, cyo sbespacio F de vectores ivariates es a recta (dim F= ) A la recta vectorial F se le deomia eje de la rotació y, el áglo de la rotació f F, es el áglo de la rotació Se desiga por g (e,) dode e =F U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM

13 Ecació: Si cosideramos v base de F tal qe v, y v,v3 es a base ortoormal de F, tal qe v v v v,v,v es a base ortoormal de V 3 (de igal orietació qe la 3, etoces B= 3 base caóica), respecto de la cal la matriz asociada a g (e,) es: 0 0 fv v,0,0b M 0 cos se co M = por ser fv 0,cos,se, y la ecació matricial B 0 se cos fv3 0, se,cosb x' 0 0 x respecto de la base B es y' 0 cos se y Abreviadamete X = M X z' 0 se cos z Si = 0, etoces g(e, 0)= I (idetidad) V 3 Recíprocamete, toda trasformació ortogoal de V 3 qe respecto de a base B ortoormal tiee de ecació x' 0 0 x y' 0 cos se y z' 0 se cos z es a rotació vectorial de áglo alrededor del eje X F f() ' F ' F es el vector resltate de girar áglo e el plao Teorema: Toda rotació vectorial f=g (e,) de eje e=f, se descompoe e el prodcto de dos simetrías especlares vectoriales cyos plaos de vectores ivariates se corta segú F, pdiédose elegir libremete a de ellas Recíprocamete, el prodcto de dos simetrías especlares es a rotació cyo eje es la recta itersecció de los plaos bases de las simetrías y de áglo el doble del formado por dichos plaos U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 3

14 F D D Observacioes: 0 V 3 = cojto de las rotacioes de V 3 Si =0, etoces f= I, y si etoces f=g (e;) es a simetría axial Por tato, los V 3 0 V 3 elemetos ivoltivos de so la idetidad y las simetrías axiales 3 El prodcto de úmero par de simetrías especlares de V 3 es a rotació de V V 3 es grpo comtativo Caso 4º: Simetría rotacioal de V 3 Si dim F = 0 F= 0, etoces f se descompoe de maera úica, salvo cado f I V3, e el prodcto de a simetría especlar y a rotació de V 3 cyos sbespacios de vectores ivariates respectivos so ortogoales Además este prodcto es comtativo Este tipo de trasformacioes ortogoales se llama simetrías rotacioales vectoriales Desigemos por M la matriz asociada a f respecto de a base ortoormal dada Por ser M M 3(R) el poliomio característico de f, P( ) M I tiee grado 3, lego posee 3 al meos a raíz real y por ser f ortogoal, sólo admite por valores propios reales y/o - (propiedad 5 de 4), como F 0 o hay vectores ivariates o los lego, lego es valor propio de M (co mltiplicidad simple o triple) Sea v V3 vector propio itario asociado a Cosideramos la recta D de direcció v, D V ) La trasformació f es a trasformació y el plao ortogoal a D ( 3 ortogoal del plao cyo sbespacio de vectores ivariates es F 0, lego f es a rotació de Desigado por g (D,) la rotació vectorial de eje D y áglo, se verifica qe f s g (observemos qe D 0 ) D, U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 4

15 Ecació: Sea B= e, e, e a base ortoormal de V (=,,3) y h k a homotecia vectorial de V Respecto de B la matriz M asociada a dicha homotecia es: h k 0 0 k e ke k,0,0,,0 k,0,0,,0 0 k 0 hke ke k0,,0,,00,k,0,,0 M= =ki, pes 0 0 k hk e ke k 0,0,0,,k 0,0,0,,k M k y la ecació matricial de h k es X' ki X, respecto de la base B Observacioes i) Si k=, etoces M=I, por tato, h = I V ii) Si k=-, etoces M=-I, y h - = -I V, simetría cetral de V iii) Si k, el úico vector ivariate por h k es 0,es decir, F =0 Defiició Si k>0 se dice qe la homotecia h k es directa Si k<0 se dice qe la homotecia h k es iversa 4 Caracterizació de las homotecias vectoriales de V Sea h a trasformació lieal de V Se verifica qe h es a homotecia vectorial si y solo si h(d)=d para calqier recta D de V (La demostració e la págia 5 del ANEXO del capítlo o) Cosececias: i) Las homotecias vectoriales coserva los áglos etre vectores: k kv k v cosk, kv cos, v kkv k v ii) Coserva los áglos etre rectas iii) El cojto de las homotecias vectoriales es grpo comtativo respecto del prodcto Obsérvese qe el prodcto de dos homotecias es otra homotecia pes si h k y h k so dos homotecias vectoriales calesqiera, etoces la trasformació prodcto hk h k = h k k, pes s matriz asociada viee defiida por la matriz prodcto k I k I kk I (El resto de la demostració se propoe como ejercicio) U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 30

16 Corolario : Toda simetría rotacioal se descompoe e prodcto de tres simetrías vectoriales especlares dóde o de los plaos es perpediclar a los otros dos 65 Tabla resme de las trasformacioes ortogoales de V 3 Sea f a trasformació ortogoal dev3, F el sbespacio de vectores ivariates por f y M la matriz qe defie la trasformació dim F F f 3 V3 idetidad plao vectorial Simetría especlar s - recta vectorial e Rotació g(e, ) 0 0 Simetría rotacioal - I v 3 M 7 Tabla resme de trasformacioes ortogoales de V dim F F f V Idetidad, I V I V 0 0 Simetría cetral - V Idetidad, recta vectorial Simetría axial de eje F Rotació vectorial de áglo 3 V 3 Idetidad, plao vectorial Simetría especlar de plao F - 3 recta vectorial Rotació vectorial de eje F 0 0 Simetría rotacioal - I V I V 3 M 8 Teorema de descomposició de trasformacioes ortogoales () Toda trasformació ortogoal de V, se descompoe a lo smo e simetrías ortogoales vectoriales respecto de hiperplaos U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 6

17 9 Teorema de descomposició de rotacioes ortogoales Toda rotació vectorial de V 3, de eje arbitrario, se pede descompoer como el prodcto de 3 rotacioes vectoriales respecto de ejes de coordeadas Esta descomposició o es úica v v 3 a 3 3 v a x' cos se 0 cos 0 se 0 0 x y' se cos cos se y z' 0 0 se 0 cos0 se cos z U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 7

18 3 Movimietos del Espacio Afí Eclídeo CAPÍTULO TERCERO Aálogamete a como se hizo e el Capítlo Segdo para el estdio de Trasformacioes ortogoales, se defie, e primer lgar, las simetrías ortogoales de E 3 Simetrías ortogoales Clasificació 3 Defiició de simetría ortogoal de E Sea F A F a variedad lieal, o vacía, del espacio eclídeo E de direcció F, (Fes sbespacio vectorial de V y A pto calqiera de F) Llamaremos simetría ortogoal respecto de F a la simetría de base F y direcció F Se represeta por S F y si desigamos S F (X)=X, s ecació es X' AsF AX simetría otogoal vectorial asociada Obviamete los ptos de F so ivariates por la simetría S F, dode sf es la Iterpretació geométrica: Gráficamete el par X, X ' cmple qe : XX ' F d X,F dx',f 3 Teorema U movimieto T de E es ivoltivo si y solo si es a simetría ortogoal (La demostració está e el ANEXO del capítlo 3º) 33 Clasificació de las simetrías ortogoales Sea F el cojto de ptos ivariates, o base, de a simetría S F de E: i) Si F ={A} (dim F = 0), se desiga S F SA y se deomia simetría cetral de cetro A ii) Si S F es a recta afí, se desiga S F Se y se deomia simetría axial de eje e iii) Si F = plao afí se desiga S F S y se deomia simetría especlar de plao E geeral, si dimf= dim E - = -, se dice qe S F es a simetría respecto del hiperplao afí F U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 8

19 3 Movimietos Plateamieto del problema Para estdiar las distitas clases de isometrías o movimietos de E, =,,3, se tiee e ceta las cosideracioes sigietes: Dada a isometría T de E, f s trasformació ortogoal asociada, M la matriz ortogoal asociada a f respecto de cierta base ortoormal B, F el sbespacio vectorial de vectores ivariates por f y F la variedad lieal de ptos ivariates por T E geeral, se pede dar casos: º) Si F, es decir, si T tiee al meos pto A ivariate, etoces F =A+F y X E la ecació vectorial de T qeda X' A fax X' A MAX Es decir, T qeda determiado por pto ivariate por T y la matriz M de la trasformació ortogoal f asociada a T º) Si F,es decir, X E T(X) = X X, etoces elegido calqier pto A E, la ecació vectorial de T es X' A' fax X ' A f AX AA' Llamado AA', qeda X' A MAX y vemos qe T qeda determiado por movimieto, qe deja ivariate al pto A, y la traslació de vector AA' Es decir, T es el prodcto de movimieto del tipo º y a traslació Proposició : Si F, etoces f verifica qe dimf X' A M AX E efecto, la ecació de T es =A'+MX-MA =(A'-MA)+MX Llamado C=A'-MA, etoces F es la solció de X=C+MX (I-M)X=C, como F, etoces rg(i-m) rg(i-m/c)=, lego rg(i-m)< Por otro lado, F es la solció de la ecació X=MX (I-M)X= 0 y como rg(i-m)<, reslta qe F{0 }, lego dimf Nota: Demostraremos más adelate qe si F, se pede elegir A y de maera qe sea paralelo a F U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 9

20 33 Movimietos directos e iversos Se dice qe T es movimieto directo de E si verifica qe s trasformació ortogoal asociada f 0 V M Aálogamete diremos qe T es movimieto iverso de E si f 0 V M NOTA: De aqí e adelate cosideraremos la sigiete otació: T movimieto de E, f s trasformació ortogoal (de V ) asociada, M la matriz qe defie f respecto de cierta base ortoormal B, F el sbespacio de vectores ivariates por f y F la variedad lieal de ptos ivariates por T 34 Movimietos de E Clasificació y ecacioes º dim F = F = E T = I E (idetidad), y s ecació es X' X º dim F =0F ={A}=A+ T es la simetría cetral de cetro A Se desiga SA 0, lego F=0, por tato, f =-I V, y la ecació de T es: X'=A-I V AX X'=A-AX X =A-X Iterpretació geométrica: X A X 3º Si F = y dimf= (ya qe dimf),etoces f = I V y la ecació de T es X' A IV AX +AA' X+AA', dode A es pto calqiera de E Llamado AA' qeda X' X+, lego T es la traslació de vector AA' y se desiga T Iterpretació geométrica : X _ > X = X + U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 0

21 344 Tabla resme dim F F F T M E = A+V V Idetidad : I E 0 A+0 0 Simetría cetral: S A - V Traslació: T 35 Movimietos de E Clasificació y ecacioes º Si dim F = F = E T=I E (idetidad) y s ecació es X =X º Si dim F = F =A+ (recta afí dode A es pto calqiera de F), etoces F= (recta vectorial) lego f es a simetría axial de V y por tato, la ecació de T es X' A+M AX, cos se dode M se cos T es la simetría axial respecto de la recta ef Se desiga Se Iterpretació geométrica : X e = F _ > =A+< > A X _ 3º Si dim F =0 F A =A+ 0, lego F= 0, etoces f es a rotació vectorialde V y la ecació de T es X' A+M AX, dóde cos se M se cos T es el giro de E de cetro A y áglo Se desiga G (A,) Iterpretació geométrica: X X b A a U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM

22 4º Si F =, teemos qe cosiderar dos casos X' A+I AX +AA X+AA', 4ºa) dimf= F=V, lego f = I V y la ecació de T es V dode A es pto calqiera de E Llamado AA' teemos X' X+ T es a traslació de vector AA' y se desiga T Iterpretació geométrica: X _ > X = X + 4ºb) dimf= F= v, lego f es a simetría axial de V de eje F y la ecació de T es cos se X' A M AX +AA', dode M se cos Se demestra qe podemos tomar A tal qe el vector AA' v,,y llamado e=a+, etoces T=T S S T e e verifiqe qe F T recibe el ombre de simetría deslizate de elemetos e y y se desiga S e, Iterpretació geométrica: X e _ > X U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM

23 355 Tabla resme y ecacioes 356 Ecacioes dim F F F T M M 0 E V Idetidad I E 0 A+ Simetría axial Se cos se se cos 0 {A} 0 Rotació G (A,) cos se se cos Cosltar el ANEXO del Capítlo 3º 36 Movimietos de E3 Clasificació y ecacioes V Traslació T 0 0 Simetría deslizate S e cos se, se cos - - º Si dim F =3 F =E 3, etoces T=I E 3 (idetidad) y s ecació es X =X respecto de calqier sistema de referecia º Si dim F = F =A+, v (plao afí dode A es pto calqiera de F), etoces F=, v es plao vectorial y f es, por tato, a simetría especlar de V 3 Si cosideramos la referecia ortoormal de E 3, R= O,,, 3, dextrógira (de igal orietació qe la referecia caóica) y tal qe, =, v, etoces la ecació de T 0 0, M respecto de R es X' A+M AX, dode M= T es la simetría especlar de base F =A+, v Se desiga por S, dode =F Iterpretació geométrica : X A H XX', y, d(x, )=XH HX ' =d(x', ) F X' U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 3

24 3º Si dim F = F =A+ (recta afí dode A es pto calqiera de F), etoces F= es a recta vectorial y f es, por tato, a rotació vectorial alrededor de la recta F Si cosideramos la referecia ortoormal de E 3 R= O,,, 3, dextrógira tal qe =, etoces la ecació de T respecto de la referecia R es X' A+M AX, dode 0 0 M= 0 cos se 0 se cos T es la rotació de eje e=f y áglo Se desiga por G (e,) Iterpretació geométrica: X e=_ F A X Los ptos X, X está e plao e, y el áglo XAX ' α Si =80º se trata de la rotació G (e,80º)de eje e qe cotiee al pto A, 4º Si dimf =0 F ={A}=A+0, lego F=0 y f es, por tato, a simetría rotacioal expresable como el prodcto comtativo f = S P G (D,) dode P es el plao de V 3 qe defie S P y D es la recta vectorial, ortogoal a P, qe defie G (D, ) Si cosideramos la referecia ortoormal de E 3, R= O,,, 3, 3, dextrógira tal qe =D, y =P, etoces la ecació de T respecto de la referecia R es X' A+M AX, dóde M= cos se 0 se cos M D es el sbespacio propio asociado al valor propio T es la simetría rotacioal de cetro el pto doble A, y elemetos la recta afí r=a+d y el plao afí =A+P Se desiga por S(r, ) Si =80º se trata de la simetría cetral de cetro A, S A Iterpretació geométrica : X r A X * X U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 4

25 5º Si F =, teemos qe cosiderar los sigietes casos: 5ºa) dimf=3 F=V 3, lego f= dode A es pto calqiera de E 3 Llamado AA' calqier referecia de E 3 T es la traslació de vector AA' Se desiga T X' A+I AX +AA' X AA' I V 3 y la ecació de T es V, teemos qe X' X+, respecto de Iterpretació geométrica : X _ > X' XX ' 5ºb) dimf= F= v,w plao F,y la ecació de T es de E 3 R= O,,, 3 (plao vectorial), lego f es a simetría especlar de V 3 respecto del X' A M AX +AA' Si cosideramos la referecia ortoormal, dextrógira y tal qe 0 0, = v,w etoces M= 0 0 M 0 0 Podemos tomar el pto A tal qe AA' sea paralelo a F, y llamado =A+ v,w, etoces T T S S T T es la simetría deslizate de elemetos y Se desiga por S (, ) Iterpretació geométrica : X -> X 5ºc) dimf= F= v (recta vectorial), lego f es a rotació de V 3 respecto de la recta F, y X' A M AX +AA' la ecació de T es Si cosideramos la referecia ortoormal de E 3 R= O,,, etoces M= 0 cos se M 0 se cos H, dextrógira co = v, U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 5

26 Demostraremos qe podemos tomar el pto A tal qe AA' sea paralelo a F, es decir ( =λv, λ 0), y llamado e=a+ v, etoces T T G(e, ) G(e, ) T T es movimieto helicoidal de elemetos e, y Iterpretació geométrica: e X * * X,X está e plao e por A y X X' X A _ > X* 366 Tabla resme: dim F F F T M M 3 E 3 V 3 Idetidad: I E 3 A+ v,w v,w A+ v v Rotació: G (e,) 0 A Simetría especlar: S Simetría rotacioal: S G G S co e, e, A e y e Ø V 3 Traslació: T Ø v,w Simetría deslizate: S co (π,) Ø v Movimieto helicoidal: G co e e, cosα -seα 0 seα cosα cosα -seα 0 seα cosα cosα -seα 0 seα cosα U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 6

27 367 Ecacioes: Cosltar las págias -4 del ANEXO del Capítlo tercero (*) : Para hallar las ecacioes respecto la referecia caóica (o de calqier otra referecia) se halla, e primer lgar, la matriz de la trasformació ortogoal respecto de la base de vectores deseada aplicado el correspodiete cambio de base (PMP - ), y a cotiació se aplica la ecació del movimieto e la referecia Qedará a expresió de la forma X A PMP AX, dode A es pto doble de T, o bie, X APMP AX si T o tiee ptos dobles, siedo P la matriz de cambio de base 37 Teorema de descomposició de movimietos de E(Carta-Diedoè) Sea T movimieto de E Se verifica: Si T tiee al meos pto ivariate A E, etoces T es el prodcto de, a lo smo, simetrías ortogoales respecto de hiperplaos de E (simetrías axiales si T es movimieto de E ó simetrías especlares si T es movimieto de E 3 ) Si T o tiee ptos ivariates, etoces T es el prodcto de, a lo smo, + simetrías ortogoales respecto de hiperplaos de E (La demostració e la págia 4 del ANEXO del capítlo tercero) 38 Resme de la aplicació del teorema de la descomposició de movimietos E E : º) Toda rotació (giro) de E, de áglo 0, se descompoe e el prodcto de simetrías axiales cyos ejes pasa por el cetro de la rotació y forma etre sí áglo, pdiedo elegirse libremete a de ellas º) Toda traslació de vector 0 de E, se descompoe e el prodcto de simetrías axiales de e T e pdiedo elegirse ejes e y e paralelos etre sí y perpediclares a, tales qe, libremete a de ellas 3º) Toda simetría deslizate de E cyo vector de traslació 0, se descompoe e el prodcto de 3 simetrías axiales cyos ejes respectivos e, e, e 3, verifica qe: e y e3 so paralelos etre si y perpediclares a e T e e3 U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 7

28 E E3: º) Toda rotació (giro) de E 3, de áglo 0, se descompoe e el prodcto de simetrías especlares cyos plaos cotiee al eje de la rotació y forma etre sí áglo, pdiedo elegirse libremete a de ellas º) Toda traslació de vector 0 de E 3, se descompoe e el prodcto de simetrías especlares de plaos y paralelos etre sí y perpediclares a, tales qe π T π pdiedo elegirse libremete a de ellas 3º) Toda simetría deslizate de E 3 cyo vector de traslació 0, se descompoe e el prodcto, 3 de 3 simetrías especlares cyos plaos respectivos,, 3 verifica qe: T 3 4º) Toda simetría rotacioal de E 3, de áglo 0, se descompoe e el prodcto de 3 simetrías especlares cyos plaos respectivos,, 3 verifica qe :,, 3 pasa por el pto ivariate ág, 3, 3 5º) Todo movimieto helicoidal de E 3, de áglo 0 y vector de traslació 0 se descompoe e el prodcto de 4 simetrías especlares cyos plaos respectivos,, 3 y 4, verifica: ág, 3, 4, 4 T 3 NOTA: Obsérvese qe por ser las simetrías respecto de hiperplaos, trasformacioes ivoltivas, etoces: i) E E : La idetidad I E se pede escribir como el prodcto de a simetría axial (elegida libremete) por si misma ii) E E 3 : la idetidad I E 3 libremete) por sí misma se pede escribir como el prodcto de a simetría especlar (elegida, U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 8

29 CAPÍTULO CUARTO 4 Homotecias del espacio afí eclídeo 4 Homotecias vectoriales de V (=,,3) Defiició: Sea V el R-espacio vectorial eclídeo asociado a E, llamaremos homotecia vectorial de V de razó k 0 a toda trasformació lieal: V V ' k Se desiga por h k (co k0) Iterpretació geométrica _ > _ > k Propiedades: Toda homotecia vectorial h k de V verifica qe: i) h k es a trasformació lieal ii) h k es biyectiva iii) h k o es a trasformació ortogoal, es decir o coserva el prodcto escalar, salvo si k=,- Demostració: hk v =k v =k kv h k() hk() v i) hk( λ) k(λ) (kλ) λ(k ) λhk( ) Lego h k es lieal ii) Por ser lieal basta demostrar qe N(h k ) = 0 Si h () k 0 0 pesto qe k 0 por hipótesis k iii) h k () k h(v) k k v, lego h k() h k(v) k k v k v v salvo si k U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 9

30 Ecació: Sea B= e, e, e a base ortoormal de V (=,,3) y h k a homotecia vectorial de V Respecto de B la matriz M asociada a dicha homotecia es: h k 0 0 k e ke k,0,0,,0 k,0,0,,0 0 k 0 hke ke k0,,0,,00,k,0,,0 M= =ki, pes 0 0 k hk e ke k 0,0,0,,k 0,0,0,,k M k y la ecació matricial de h k es X' ki X, respecto de la base B Observacioes i) Si k=, etoces M=I, por tato, h = I V ii) Si k=-, etoces M=-I, y h - = -I V, simetría cetral de V iii) Si k, el úico vector ivariate por h k es 0,es decir, F =0 Defiició Si k>0 se dice qe la homotecia h k es directa Si k<0 se dice qe la homotecia h k es iversa 4 Caracterizació de las homotecias vectoriales de V Sea h a trasformació lieal de V Se verifica qe h es a homotecia vectorial si y solo si h(d)=d para calqier recta D de V (La demostració e la págia 5 del ANEXO del capítlo o) Cosececias: i) Las homotecias vectoriales coserva los áglos etre vectores: k kv k v cosk, kv cos, v kkv k v ii) Coserva los áglos etre rectas iii) El cojto de las homotecias vectoriales es grpo comtativo respecto del prodcto Obsérvese qe el prodcto de dos homotecias es otra homotecia pes si h k y h k so dos homotecias vectoriales calesqiera, etoces la trasformació prodcto hk h k = h k k, pes s matriz asociada viee defiida por la matriz prodcto k I k I kk I (El resto de la demostració se propoe como ejercicio) U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 30

31 43 Homotecias afies de E (=,,3) Defiició: Sea E el espacio afí eclídeo de dimesió cyo R-espacio vectorial asociado es V Se llama homotecia afí a toda trasformació geométrica H de E cya trasformació lieal de V asociada sea a homotecia vectorial h k dóde k 0, Fijada a referecia ortoormal de V, s matriz asociada es, por tato, de la forma k I Si k>0 se dice qe la homotecia es directa Si k<0 se dice qe la homotecia es iversa Cetro de a homotecia afí Las homotecias afies de E (razó k 0,) tiee solo pto ivariate qe se deomia cetro de la homotecia Demostració: Fijada previamete a referecia ortoormal R, la ecació de a homotecia afí de razó k, se pede escribir como X' O' (ki )OX dode O es el orige de la referecia R y O' s homólogo por H (C,k) Haciedo X'=X qeda : X=O'+(kI )X (-k) I X=O' () Como k rg[(-k)l]=, lego () es sistema compatible determiado y, por tato, tiee a úica solció Deotaremos por H (C,k) a la homotecia afí de cetro C y razó k Ecació de H (C,k) Respecto de a referecia ortoormal R, la ecació vectorial de a homotecia de cetro C y razó k H (C,k) es X' C (ki )CX Iterpretació geométrica: C A A' Observacioes: i) Si k =- H (C,-) = S C simetría cetral de cetro C ii) Si k =, la trasformació asociada es I, y pede ocrrir qe deje ivariates todos los ptos, e cyo caso se trata de la idetidad, o bie, qe o tega ptos ivariates, e cyo caso sería a traslació T co AA' siedo A pto calqiera de E U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 3

32 44 Grpo de las homotecias y traslacioes El cojto de las homotecias y traslacioes de E forma grpo respecto del prodcto (composició) (La demostració e la págia 5 del ANEXO del capítlo o) Cosececias: - El prodcto de dos homotecias afies co el mismo cetro es otra homotecia co el mismo cetro o la idetidad - El prodcto de dos homotecias afies co distito cetro H y H : C,k C,k i) Si kk es otra homotecia H C,k cyo cetro CC,C pero alieado co ellos y k=k k ii) Si k k =, se trata de a traslació T siedo k CC (La demostració e la págia 5 del ANEXO del capítlo o) 45 Algas propiedades de las homotecias afies y traslacioes - Ua trasformació geométrica T es a homotecia o a traslació de E si y solo si la image por T de calqier recta afí de E es otra recta afí paralela a ella - Si T es a homotecia o a traslació de E, trasforma variedades lieales de E e variedades lieales de E de la misma direcció 3- Si T es a homotecia o a traslació de E coserva los áglos etre variedades lieales de E 4- Toda homotecia H C,k de E, verifica qe si A,A' y B,B' so dos pares calesqiera de ptos homólogos por H C,k, etoces d(a',b')= k d(a,b) 5- Si T es a homotecia de E trasforma segmetos e segmetos de igal direcció y proporcioales 6- Dadas dos circferecias de E de radios distitos existe siempre dos homotecias, a directa y otra iversa, respecto de las cales so homólogas (homotéticas) - Aálogamete dadas dos esferas de E 3 de radios distitos existe siempre dos homotecias, a directa y otra iversa, respecto de las cales so homólogas (homotéticas) - E geeral, dadas dos esferas de E de radios distitos existe siempre dos homotecias, a directa y otra iversa, respecto de las cales so homólogas (homotéticas) U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 3

33 5 Semejazas del espacio eclídeo CAPÍTULO QUINTO 5 Semejazas de E Defiició: Llamaremos semejaza de E a toda trasformació geométrica S de E qe cmpla la sigiete codició: Para calesqiera A,B E d S(A),S(B) =kd A,B siedo k R y k>0 El úmero real k se deomia razó de la semejaza Si k= etoces S es movimieto (isometría) de E Los movimietos de E se cosidera pes, semejazas de razó Lema Sea Sk a semejaza de razó K de E Si C E y H C,k es la homotecia de cetro C y razó k, existe dos úicos movimietos T y T' de E tales qe Demostració: ' Sk HC,k T T HC,k Cosideremos la trasformació geométrica T= H C, k S de E, T verifica qe d(t(a),t(b))= dh S ( A), H S ( B) k C, C, k k kd(a,b) =d(a,b), lego T es movimieto y S k H T = H C, C,k k Aálogamete se demestra qe T'= Sk H es movimieto C, k La icidad de T y T' se dedce de la icidad de Teorema H C, k Toda semejaza Sk de E es a aplicació afí y biyectiva de E (Por serlo T y H se dedce directamete del lema aterior) C,k k ; para calesqiera par de ptos A y B k d S A S B k( ), k( ) = k = k T U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 33

34 5 Descomposició de a semejaza: i) Toda semejaza se descompoe e el prodcto de a homotecia y movimieto, de ifiitas formas, siedo la razó de la homotecia igal a la razó de la semejaza ii) Recíprocamete, el prodcto de movimieto y a homotecia de razó k 0 es a semejaza de razó k (La demostració e la págia del ANEXO del capítlo o) 53 Grpo de las semejazas El cojto de las semejazas de E respecto del prodcto (composició) tiee estrctra de grpo Se desiga por Sem(E) (La demostració e la págia 6 del ANEXO del capítlo tercero) 54 Caracterizació de la trasformació lieal asociada a a semejaza Si f es la trasformació lieal de V asociada a la semejaza S k, existe a úica trasformació ortogoal g tal qe f hk g g hk, siedo hk la homotecia vectorial de razó k Demostració: Por ser la semejaza a aplicació afí y biyectiva, s aplicació f asociada es lieal y biyectiva Además el lema os asegra qe para calqier pto C de E existe dos isometrías T y T' tales qe Sk HC,k T T' HC,k, lego f hk g g' hk dode g y g' so las trasformacioes ortogoales asociadas a T y T' respectivamete Por tato: g hk f h f k Ahora bie, para cada vector de V, se verifica: g' f hk f h k g h f f k k g' f h f = f k k k ortogoal g tal qe f hk g g hk, lego g=g' Es decir, existe a úica trasformació Cosececia Fijada la referecia ortoormal R O;e, e, e, la matriz M asociada a S k, respecto de R, es el prodcto de las matrices asociadas a h k y g, es decir, M=(kI)Q=kQ S determiate es M kq k Q k U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 34

35 55 Semejazas directas e iversas Sea a semejaza S k de razó k y f s trasformació lieal asociada Se dice qe S k es a semejaza directa si y solo si la trasformació ortogoal g= h f O (V ) M kq 0 k Se dice qe S k es a semejaza iversa si y solo si la trasformació ortogoal g= h f O (V ) M kq 0 k 56 Cetro de a semejaza Toda semejaza S C de razó ktiee úico pto ivariate qe se deomia cetro de la semejaza Se desiga S a la semejaza de cetro C y razó k (C,k) (La demostració e la págia 6 del ANEXO del capítlo tercero) 57 Descomposició caóica de a semejaza Si S es la semejaza de cetro C y razó k, etoces existe úico movimieto T tal qe (C,k) S = (C,k) H T T H, y C es pto ivariate det C,k C,k (La demostració e la págia 6 del ANEXO del capítlo tercero) 58 Semejazas del plao Elemetos qe las determia Sea S (C,k) a semejaza de E cya razó k Por 57 S (C,k) = H(C,k) T T H(C,k) siedo T movimieto qe deja ivariate al cetro C de la semejaza Se distige dos casos: a) S (C,k) es a semejaza directa, etoces T es movimieto directo, lego se trata o bie de la idetidad I, e cyo caso S (C,k) = H (C,k), o bie de a rotació de cetro C e cyo caso S (C,k) = H(C,k) G(C, ) = G (C, ) H (C,k) (El segdo caso egloba al primero para 0) Las semejazas directas del plao afí qeda, por tato, determiadas por e l cetro C, l a razó k y el áglo de la rotació S ecació es X' C kqcx dode k razó de la semejaza Q matriz de la rotació G (C, ) U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 35

36 Respecto de la referecia caóica R O; i, j la ecació sería: x' a kcos kse xa y' b kse kcos yb Operado se obtiee: x' E A B x y' F B A y dode La ecació aterior se pede escribir de la forma: A k cos B kse E a k(a cos bse ) F bk(asebcos ) 0 0 x' E A Bx expresió my cómoda de tilizar y' F B A y b) S (C,k) es a semejaza iversa, etoces T ecesariamete es a simetría axial cyo eje e pasa por C, lego S (C,k) = H(C,k) Se Se H(C,k) Las semejazas iversas del pl ao afí q eda, por tato, d etermiadas por el cetro C, l a razó k y el eje e de la simetría qe recibe el ombre de eje de la semejaza S ecació es X' CkQCX dode Respecto de la referecia caóica R O; i, j k razó de la semejaza Q matriz de la simetría S la ecació sería: x' a kcos kse xa y' b kse kcosyb e Operado se obtiee: x' E' A B x y' F' B A y dode A k cos B kse O lo qe es igal E' ak(acosbse ) F' bk(asebcos ) 0 0 x' E' A B x y' F' B Ay U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 36

37 59 Semejazas del espacio Elemetos qe las determia Segiremos razoamieto aálogo al desarrollado para el plao afí Si S (C,k) es a semejaza de E 3 de razó k, por 57 sabemos qe S (C,k) = H(C,k) T T H(C,k) siedo T movimieto qe deja ivariate al cetro C de la semejaza Se distige dos casos: a) S (C,k) es a semejaza directa, etoces T es movimieto directo lego se trata, o bie de la idetidad I 3, e cyo caso S (C,k) = H (C,k), o bie de a rotació alrededor de eje e tal qe C e, e cyo caso S (C,k) = H (C,k) G (e, ) = G (e, ) H (C,k) (El segdo caso egloba al primero para 0) Las semejazas directas del espacio afí tridimesioal qeda, por tato, determiadas por el cetro C, la razó k, el eje e y el áglo de la rotació k razó de la semejaza S ecació es X' C kqcx dode Q matriz de la rotació G(e, ) b) S (C,k) es a semejaza iversa, etoces T es movimieto iverso qe deja ivariate a C Como hay varios movimietos iversos, cosideramos la simetría cetral co cetro C y por ser ésta ivoltiva, es decir S I podemos escribir S (C,k) = H S T H S S T C E 3 (C,k) C (C,k) C C Ahora bie, SC H(C, ), etoces H(C,k) SC H(C,k) H(C, ) H ; (C, k) Por otro lado, S C Tes movimieto directo qe deja ivariate a C, lego S C T es, o bie la idetidad I 3, e cyo caso S (C,k) = H (C, ), o bie a rotació alrededor de eje e tal qe Ce, e cyo caso S = (C,k) H ( C, k ) G = (e, G ) ( e, ) H (C, k ) Las semejazas iversas del espacio afí tridimesioal qeda, por tato, determiadas por el cetro C, la razó k, el eje e y el áglo de la rotació k razó de la semejaza S ecació es X' CkQCX dode Q matriz de la rotació G(e, ) U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 37

38 ANEXO (Capítlo º) Aplicació vectorial asociada a a isometría o movimieto Si T:E E es a isometría etoces s aplicació asociada f:v V verifica: - f coserva el prodcto escalar (p e) - f es lieal 3- f es biyectiva Demostració: E efecto, f coserva el prodcto escalar, es decir, f() f(v) v,,vv Sea,v V, etoces existe A,B E tales qe OA, v OB, y desigamos O = T(O), A'=T(A) B'=T(B) Por ser T a isometría, etoces d(a B )=d(a,b), y se tiee: da,b AB d A,B AB AB AB OBOAOBOA OBOB OBOAOAOA OB OBOA OA () Aálogamete: d A',B' A'B' A'B' A'B' O'B' O'A' O'B' O'A' O'B' O'B' O'B' O'A' O'A' O'A' Pero por ser T a isometría: O'B' O'B' O'A' O'A' () AB da,bda',b' A'B' OB do,bdo',b' O'B' OA do,ado',a' O'A' lego ()=() y, e cosececia: OA OB O 'A ' O'B' OA OB O 'A ' O 'B' v f() f(v) f es lieal, es decir, fvf fv,v V f f V R U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 38

39 C O A +v v f() A B f()+f(v) f(v) B C O,vV; A,BE tal qe OA y v OB Sea C E tal qe v OC OA OB y si A' TA ; B '=TB ; C '=TC, etoces, fv f f v O'C' O'A' O'B' O'C' O'A' O'B' O'C' O'A' O'B' O'C' O'C' O'C' O'A' O'C' O'B' O'A' O'A' O'A' O'B' O'B' O'B' OCOCOCOAOCOBOAOAOAOB OBOB OC OA OBOC OA OB OC OA OB v v 0, lego f v f f v 0 f v f f v Aálogamete, sea A E tal qe OA A' TA, Q' TQ f f O'Q' O'A' O'Q' O'A' O'Q' O'A' y Q E tal qe OA OQ y sea O'Q' O'Q' O'Q' O'A' O'A' O'A' OQ OQ OQ OA OA OA OQ OAOQ OA OQ OA 0 f f 0 f f O λ A Q f() 3 Por ser f lieal basta comprobar qe f es iyectiva, es decir, qe N(f)=0 E efecto, sea V, tal qe, f() 0 f() f() 0 0 N(f)=0 A Q λf() U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 39

40 4 Propiedades de las trasformacioes ortogoales Si f es a trasformació ortogoal de V, etoces se verifica qe: - f coserva la orma de los vectores y los áglos etre ellos - f trasforma bases ortoormales e bases ortoormales, verificádose además el recíproco: Toda trasformació lieal de V qe trasforme al meos a base ortoormal de V e a base ortoormal de V es a trasformació ortogoal 3- Si f y g so trasformacioes ortogoales, g f tambié lo es 4- El cojto de las trasformacioes ortogoales respecto de la composició tiee estrctra de grpo Lo deomiaremos grpo ortogoal de V, y lo desigaremos por O V 5- Los valores propios reales de f so y/o - Demostració: Como f coserva las ormas y los áglos, si e,,e es a base ortoormal de V, los vectores e i i =,, so itarios y ortogoales etre sí, por tato, los f e i i =,,, so itarios y perpediclares etre sí Qeda por ver qe es sistema geerador; pero es evidete por ser f lieal Recíprocamete, si la trasformada f e, f e, f e es a base ortoormal, etoces el rago de f es lego f es biyectiva Por otro lado, si, v so dos vectores calesqiera de V cyas coordeadas respecto de e,,e so x, x,, x, y, y, y, respectivamete, etoces f f v = f x e x e x e f ye y ey e xf e xf exfe y f e y f e y f e = xy xy x y v, lego f coserva el prodcto escalar y, por tato, f es a trasformació ortogoal Por ser f y g ortogoales, se verifica qe gf g f v gfgfv f f v v, lego g f coserva el pe Además como f y g so biyectivas, g f es biyectiva g f es lieal por coservar el pe U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 40

41 3 El elemeto etro es la idetidad I v El elemeto iverso de g es la aplicació iversa g qe existe por ser las trasformacioes ortogoales biyectivas, y es ortogoal pes v g g g g v g g g g v g g v Lego el cojto de las trasformacioes ortogoales de V es grpo qe desigaremos por O(V) 4 Sea valor propio real de f y sea o lo vector propios asociado, etoces: f ANEXO (Capítlo º) Caracterizació de las simetrías ortogoales Las simetrías ortogoales de V so las trasformacioes ortogoales ivoltivas de V Demostració: Sea s:v V simetría ortogoal respecto de F sv de V, etoces V, se tiee: s s x x s sx x s x x x x, lego es ivoltiva Veamos qe coserva el prodcto escalar: xx xf, xf,vv v y y y F, y F v x x y y x y x y x y x y x y x y ssv x x y y x y x y x y x y x y x y lego s sv v Por coservar el prodcto escalar, etoces es lieal y biyectiva Hemos demostrado qe s es a trasformació ortogoal ivoltiva Veamos el recíproco: f f f f V, podemos escribir f f f Si llamamos x y x, por ser f ivoltiva, es f x x, f ivariate y f x x, lego f f x x x x U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 4

42 Además x y x so ortogoales, es decir, x x 0 f f xx f f f f 0 por ser f ortogoal 4 5 Estdio de las trasformacioes ortogoales directas de V + O V Teorema: 0 V es grpo comtativo respecto de la composició Demostració: Basta ver qe El prodcto de matrices del tipo M es a matriz del tipo M: cos se cos, se cos se cos se cos se se cos lego g g =g + M M es grpo respecto del prodcto El prodcto de matrices verifica la propiedad asociativa e geeral 0 3 El elemeto idad es I, es decir, g 0º (la rotació =0) 0 4 Por ser M ortogoal, s iversa es s traspesta t cos se M cos g g se cos se, por tato se cos 5 Comtativa cos se cos se cos se lego g g = g g g se cos se, cos cos se U D de Matemáticas ETSI e Topografía, Geodesia y Cartografía de la UPM 4