TEMA 12. Espacios Vectoriales. Variedad lineal. Aplicaciones lineales. Teorema de la Isomorfía.

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1 Tema 2- Espacios Vectoriales. Variedad Lieal. Aplicacioes lieales. Teorema de la Isomorfia TEMA 2. Espacios Vectoriales. Variedad lieal. Aplicacioes lieales. Teorema de la Isomorfía.. Itroducció. La utilizació de los vectores es aterior a la defiició axiomática de los espacios vectoriales. Así e el siglo XVIII co el surgir de la Mecáica Newtoiaa los vectores so utilizados para dar explicació de feómeos físicos como las fuerzas o las velocidades. Las primeras ideas que codujero a los espacios vectoriales moderos se remota al siglo XVII: geometría aalítica, matrices y sistemas de ecuacioes lieales. Los espacios vectoriales se deriva de la geometría afí, a través de la itroducció de coordeadas e el plao o el espacio tridimesioal. Alrededor de 636, los matemáticos fraceses Descartes y ermat fudaro las bases de la geometría aalítica mediate la viculació de las solucioes de ua ecuació co dos variables a la determiació de ua curva plaa, todo esto será las bases que dará lugar al cocepto de vector y de espacios vectoriales. La primera vez que se defie los vectores de forma matemática se debe a Gauss que utilizó la suma vectorial e su represetació de los complejos co dos coordeadas, que da lugar al espacio vectorial R 2, que poco después se extedió a R 3. La oció de espacio vectorial geérico R co >3 se acepta de forma paulatia e el siglo XIX. Si teer igú autor e cocreto cabe destacar la aportació de Hamilto quie geeralizó a los vectores de dimesió arbitraria, y que llamó por primera vez vectores, y e cocreto a los vectores de 4 dimesioes que llamó cuaterioes. Por lo geeral al alemá Grassma e el siglo XIX se le acredita la itroducció de Espacio Vectorial (auque o lo llamó así), pero su libro es difícil de leer y o recibe la ateció que realmete se merece. ue el italiao Peao quie tras estudiar lo escrito por el alemá, tedió los axiomas de espacio vectorial tal y como se cooce e la actualidad. La aceptació defiitiva llega a pricipios del siglo XX cuado Weyl repitiera el trabajo de Peao e el libro Space-time-matter que es ua itroducció a la relatividad geeral de Eistei. 2. Espacios vectoriales 2.. Defiicioes de Espacio Vectorial El cocepto de espacio vectorial tiee su orige geométrico e la abstracció de las propiedades algebraicas eseciales libres de los vectores del plao y del espacio. Sea u cuerpo comutativo. U cojuto o vacío V se deomia espacio vectorial sobre si existe dos operacioes: V, + ( ) Aplicació itera ( x, y) : V V V ax+ y V, : V V ( ) Aplicació extera (, x) x λ aλ Tal que cumple (V,+) es u grupo comutativo. Verifica las propiedades: asociativa: x + ( y+ z) ( x+ y) + z comutativa: x + y y+ x existecia de elemeto eutro: 0 V, x+ 0 x Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria

2 Tema 2- Espacios Vectoriales. Variedad Lieal. Aplicacioes lieales. Teorema de la Isomorfia Ejemplos: x x V, x+ x existecia de elemeto opuesto: ( ) ( ) 0 (V, ) verifica: distributiva respecto a la suma de elemetos de V: λ ( x+ y) λx+ λy distributiva respecto a la suma de elemetos de : ( λ + µ ) x λx+ µ x pseudoasociativa: ( λ µ ) x λ( µx) existecia de elemeto eutro:, x x R co operacioes: ( x,, x) + ( y,, y) ( x+ y,, x+ y), λ ( x,, x) ( λx,, λx ) El cojuto de poliomios co coeficietes reales co las operacioes habituales de suma y producto forma u espacio vectorial sobre R. Notació: A los elemetos de les llamaremos escalares y a los elemetos de V vectores. Los elemetos de los represetaremos mediate las letras miúsculas del alfabeto griego y los vectores se represetara por letras miúsculas del alfabeto romao. Sea V u espacio vectorial sobre. U subcojuto o vacío vectorial de V si verifica: V se deomia subespacio. 2. x+ y x, y λx λ, x Observacioes: Co las operacioes que hereda de V, todo subespacio vectorial es a su vez u espacio vectorial sobre. La codició ecesaria y suficiete para que u subcojuto de V sea u subespacio vectorial es que se verifique λ x+ µ y, x, y λ, µ. Esta codició sustituye a las dos codicioes de la defiició Todo espacio vectorial V admite dos subespacios que llamaremos triviales o impropios y so { 0 } y V. Todos los subespacios o triviales se llama subespacios propios. Ejemplo: El cojuto de solucioes de u sistema homogéeo co icógitas es u subespacio vectorial de R Bases de espacios vectoriales Dada ua familia fiita S de vectores x, x,, x 2 V diremos que u V es combiació lieal (CL) de los ateriores si λ, λ2,, λ tal que u λ x + λ2x2 + + λx. El cojuto formado por todas las combiacioes lieales de S es u subespacio vectorial que deotamos por L S y el cojuto S es el sistema de geeradores (SG) del subespacio. Diremos que este cojuto de vectores es liealmete idepediete (LI) si la úica posibilidad de ecotrar ua relació del tipo λ x + λ2x2 + + λx 0co x, x2,, x S es la trivial λ λ2 λ 0. E caso cotrario el cojuto se llama liealmete depediete (LD). Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 2

3 Tema 2- Espacios Vectoriales. Variedad Lieal. Aplicacioes lieales. Teorema de la Isomorfia Ejemplo: Sea R 3 y los siguietes vectores: { x (,0,0, ) x (,,0, ) x (,,, ) x ( 2, 2,) } { x 2,x 3 } so LI pero o es SG de R 3 {, x 2, x 3, x 4 } { x, x x } es LI y es SG de x es SG de R 3 pero o es LI 2, 3 Cosecuecias de la defiició de liealmete idepediete: Todo vector o ulo de V forma u cojuto LI: λv 0 λ 0 co v 0 2. Si u cojuto de vectores cotiee el vector ulo es u cojuto LD : Podemos escribir ua CL de ellos co el coeficiete del vector ulo distito a 0 cuya suma es el vector ulo 3. Si añadimos u uevo vector a u cojuto de vectores LD el cojuto es LD Si existe ua CL de los primeros cuya suma es ula al añadir otro vector podemos mateer estos coeficietes para los vectores y dar el coeficiete 0 al uevo vector 4. Todo subcojuto de vectores de u cojuto LI es tambié LI Si o fuera cierto por la propiedad aterior al añadir los vectores tedríamos que sería u cojuto LD 5. La codició ecesaria y suficiete para que u cojuto de vectores sea LD es que al meos uo de ellos se pueda escribir como CL de los demás. Se verifica λ x + λ2x2 + + λx 0 co algú λi o ulo. Supoemos λ 0 λ2 λ despejado x x x es CL de los demás vectores λ λ Las características de LI y SG defie las bases de vectores. U subcojuto B V se deomia base de V si verifica las dos propiedades siguietes: B es u cojuto liealmete idepediete. El cojuto es sistema geerador de V. Ejemplo: Del ejemplo aterior, los vectores { (,0,0), x (,,0 ), x (,,) } base e R 3 porque so LI y SG. x forma 2 3 La base de u espacio vectorial permite expresar cualquier vector del espacio como combiació lieal de los elemetos de ésta. Esta expresió es úica para cada vector y se llama coordeadas del vector e esa base. Esto defiido e el siguiete teorema. Teorema: U subcojuto B V es base de V si y sólo si todo elemeto de V admite ua úica represetació como combiació lieal de elemetos de B. Demostració ) Sea B { x, x, 2, } base de V. Veamos que u admite ua úica expresió x como combiació lieal de elemetos de B. Reducció a lo absurdo. u λ x + λ2x2 + + λx u µ x + µ x + + µ x y 2 2 Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 3

4 Tema 2- Espacios Vectoriales. Variedad Lieal. Aplicacioes lieales. Teorema de la Isomorfia λ µ x λ µ λ µ. Restado ambos teemos ( ) + ( ) x + + ( ) x Es u sistema liealmete idepediete etoces λi µ i 0 i {, 2,, } dode se tiee λ µ i {, 2, }. i i, ) Todo elemeto de V admite ua úica combiació lieal de elemetos de B etoces L B V. Además como de 0 V la úica combiació para λ x λ x + + λ 0 es la trivial λ λ λ 0 por tato los + x B x, x, 2, x es ua base. vectores so liealmete idepedietes, es decir, { } Defiició: Los coeficietes de u vector e ua base se deomia coordeadas del vector e dicha base. Ejemplo: Tomado la base W { (,0,0), x2 (,,0 ), x3 (,,) } ( 5,2,3) se escribe como ( 5,2,3) 2(,0,0),,0 ( ) + 3(,,). Los coeficietes (,,3) so las coordeadas del vector ( 5,2,3) e dicha base. x de R 3 el vector Teorema de Steiitz: Si B { x, x, 2, } es base de V y { y, y, 2, } liealmete idepediete se verifica { y, y, 2, y m } y -m vectores de B. Demostració: o la realizaremos por falta de tiempo. Teorema de la Base: Si B { x, x2,, } mismo úmero de elemetos que B. x y m 2 w es u cojuto m y existe otra base de V formada por es ua base de V, toda otra base de V tiee el Demostració: Supoemos B { x, x, 2, } y B { y, y,, } x x ' 2 dos bases de V co y m vectores respectivamete. Por el teorema de Steiitz podemos completar la base B co p vectores obteer m vectores. Y del mismo modo B se puede completar co q vectores hasta + p m obteer vectores. Se cumple: co m,, p, q N pero es sólo cierto si m+ q p q0 y m ; por tato todas las bases de u mismo espacio vectorial tiee el mismo úmero de elemetos. Como vemos el úmero de vectores de ua base de u espacio vectorial o depede de la base. La dimesió de u espacio vectorial se defie como el úmero de elemetos de sus bases vectoriales. Se deota como dim V. 3. Variedad lieal. Defiició: Sea V u espacio vectorial y u subespacio vectorial de V. Dado u V se deomia variedad lieal que pasa por u y que posee u espacio de direccioes dado por al u+ w/ w. Propiedades: u cojuto [ ] { }. u [ u]. Dem: Como es subespacio vectorial 0 y uu+0 2. [ u] [ v] u v. Dem: x [u] [v] xu+w v+w 2, etoces u-vw -w 2 si u-vw 2 x [u] xu+w v+(u-v)+w v+w 2 +w v+w co w, luego x [v] y m Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 4

5 Tema 2- Espacios Vectoriales. Variedad Lieal. Aplicacioes lieales. Teorema de la Isomorfia 3. Si u etoces [u] es u subespacio vectorial. Dem: sea v, v 2 [u] veamos que λ V +λ 2 v 2 [u] y por tato es subespacio vectorial: λ V +λ 2 v 2 λ (u+w )+λ 2 (u+w 2 ) u+(λ w +λ 2 W 2 +(λ +λ 2 -)u) como u, w, w 2 etoces λ w +λ 2 W 2 +(λ +λ 2 -)u. Defiició: La dimesió de la variedad lieal [ u] es la dimesió del subespacio vectorial. forma Si { u, u2,, u m } es ua base de, los elemetos de [ ] x u+ λ λ + λ de la variedad lieal [ ] u + u + u 2 2 m mco,, 2 u. Si fijamos ua base { e, e, 2, } e u so los vectores x de la λ λ, λ m. Ésta es la ecuació vectorial de V y descompoemos los vectores: x i x i e i u i a i e i u j m j a ij e i la ecuació vectorial se covierte e el sistema : x a + λ a i {, 2, } m i i j ij, j que es el sistema de ecuacioes paramétricas de la variedad lieal [ u ]. Ejemplos:. Ua recta e R 2 que pasa por P(x 0,y o ) y <v(v x, v y )> Ecuació vectorial rp+λ v Ecuació e paramétricas (x,y)(x o,y 0 )+λ(v x,v y ) 2. U plao e R 3 que pasa por P(x 0,y 0,z 0 ) y <v(v x,v y,v z ), u(u x,u y,u z )> Ecuació vectorial πp+λ v+µ u Ecuació e paramétricas (x,y,z)(x o,y 0,z o )+λ(v x,v y,v z )+ µ (u x,u y,u z ) Defiició: Sea V u espacio vectorial y sea u subespacio vectorial de V. Dados diremos que u y v está relacioados módulo si u v. u, v V Esta relació es de equivalecia (verifica las propiedades reflexiva, simétrica y trasitiva) y se puede formar el correspodiete cojuto cociete de V módulo, que desigamos por V. Co las operacioes de suma [ ] + [ v] [ u u+ v producto λ [ u] [ λu] ] λ Proposició: el cojuto que deomiaremos espacio vectorial cociete de V modulo, V, tiee estructura de espacio vectorial sobre. Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 5

6 Tema 2- Espacios Vectoriales. Variedad Lieal. Aplicacioes lieales. Teorema de la Isomorfia Demostració: si [u], [v] V, etoces λ [u] +λ 2 [v] [λ u+ 2 V] que perteece tambié a V pues λ u+ 2 V V al ser u,v V. Este espacio vectorial cociete verifica respecto a su dimesió que dimv dim V dim siedo la base los vectores que completa la base de para geeral la de V. Ejemplos :. E R 2 si tomamos <(,0)> el espacio cociete R 2 / geerado por (,0). Así todos los putos co mismo valor de abscisas (eje OX) geera la misma clase de equivalecia co <(,0)>. Gráficamete so todas las rectas paralelas al eje OY, siedo los putos que geera cada subvariedad afí diferete los distitos putos del eje OX: <(,0)> [(-2,0)] [(-,0)] [(0,0)] [(,0)] [(2,0)] 2. E R 3 co <(,0,0),(0,,0)> el espacio cociete R 3 / geerado por (0,0,). Así cada puto co misma coordeada z geera la misma subvariedad afí. Gráficamete cada subvariedad afí es u plao paralelo al plao OXY: 3 2 [0,0,2] [0,0,3] (0,,0) (,0,0) [0,0,] 4. Aplicacioes lieales 4.. Defiició y propiedades. De todas las aplicacioes etre espacios vectoriales aquellas que resulta más iteresates so las que respeta la estructura de espacio vectorial. U espacio vectorial es u cojuto co dos operacioes; ua aplicació etre los cojutos que coserva las dos operacioes (suma y producto por escalar) es ua aplicació que respecta la estructura vectorial. Ésta so las aplicacioes lieales. Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 6

7 Tema 2- Espacios Vectoriales. Variedad Lieal. Aplicacioes lieales. Teorema de la Isomorfia Defiició: Sea V y W dos espacios vectoriales sobre. Ua aplicació f : V W se deomia aplicació lieal de V e W si se verifica: x, y V y λ.. f ( x+ y) f( x) + f( y) 2. f( λ x) λf( x) ( λ x+ µ y) λf( x) + f( y) f µ Ejemplo: todas las aplicacioes co sumas y restas e coordeadas so lieales: R : R (x,y),,, + Dem: f(λ(x,y)+λ (x,y ))f(λx+λ x,λy+λ y )( λx+λ x -λy-λ y, λx+λ x, λx+λ x +λy+λ y ) λ(x,-y,x)+λ (x,-y,x )λ f(x,y)+λ f(x,,y ) Propiedades: ) Sabiedo calcular la imágees mediate f de los vectores de ua base de V, se puede calcular tambié la image de cualquier vector de V Dem: Sea {x,x 2,,x }base de V, etoces v V v λ x+ λ2x2+ + λx ( λ x + λ x + + λ x ) λ f( x ) + λ f( x ) + + λ f( x ) f( v) f ) La image del vector ulo de V mediate la aplicació lieal f es el vector ulo de W. ( 0) f( 0+ 0) f( 0) f( 0) por ser f lieal. Así f ( 0) 2f( 0) cierto sólo si f ( 0 ) 0 f + 3) La composició de aplicacioes lieales es ua aplicació lieal: sif : V W y g: W Z so aplicacioes lieales, g o f : V Z es lieal a) gof x+ y g f x+ y g f x + f y g f x + g f y gof x + gof b) ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( y) ( gof)( λ x) g( f( λx) ) g( λ f( x) ) λ g( f( x) ) λ( gof)( x) 4.2. Núcleo e image de ua aplicació lieal Defiicioes:. Se deomia úcleo de ua aplicació lieal al cojuto ker ( f ) { u V/ f( u) 0} 2. El cojuto image de ua aplicació lieal se defie im ( f) { w W/ f( u) w} Propiedades: ) ker( f) es u subespacio vectorial de V. a) f, se cumple: b) f Dem: Si u v ker( f) 2) im ( f) es u subespacio vectorial de W. Si u, v' im( f) ' u v V, / f ( u) u', f ( v) v' ( u+ v) f( u) + f( v) ( u) λf( u) λ 0 λ 0 u' + v' f λ u' λf λ ( u) + f( v) f( u+ v) imf ( ) ( u) f( λu) imf ( ) Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 7

8 Tema 2- Espacios Vectoriales. Variedad Lieal. Aplicacioes lieales. Teorema de la Isomorfia Teorema de la dimesió: Si V es u subespacio vectorial de dimesió fiita y f ua aplicació f:v se verifica: dim V dim ker(f) + dim im(f) Demostració: Tomamos ua base del úcleo de f { x, x2,, x j } Steiitz podemos completar hasta obteer ua base de V { x x,, x, y,, y } que por el teorema de, 2 j j +. Las imágees de los j primeros vectores so 0. Las imágees de los restates vectores forma ua base de la image de f: w im(f) existe u v V tal que f ( v) w.. Geera: Expresamos v e fució de los vectores de la base de V y calcularemos su image w f v f λx + λx + + λx + λ y + + λ y λ f y + + λ f y ( ) ( ) ( ) ( ) 2. Liealmete idepediete: ( ) ( ) ( λ y ) 2 2 j j j+ j+ j+ j+ 0 λ j+ f yj+ + + λf y f λj+ yj+ + + j+ yj+ + + λy ker( f λ j+ yj+ + + λy µ x + + λx µ x + + µ jxj λj+ yj+ λy co lo cual λ ) y puede escribirse tambié como combiació lieal de los vectores que forma la base del úcleo 0. Los vectores que aparece e esta combiació lieal so liealmete idepedietes y por tato los coeficietes so ulos, e particular los λ i j+, i, 4.3. Tipos de aplicacioes lieales. Sea ua aplicació lieal defiida como : los distitos tipos de aplicacioes so: f es iyectiva o moorfismo si u,v V y u v etoces f(u) f(v) f es epiyctiva o suprayectiva o sobremorfismo: w W v V: f(v)w f es biyectiva o isomorfismo: si f es iyectiva y epiyectiva. Si la aplicació el espacio image el mismo : etoces se deomia homorfismo siedo automorfismo si además es biyectivo (cambio de base). Proposicioes: ) Ua aplicació lieal es iyectiva ker(f){0}. Demostració: Cómo f(0)0 al ser lieal y es iyectiva si f(v)0 etoces v0, por tato ker(f){0} ker(f){0}, si x,y V tal que f(x)f(y), etoces f(x)-f(y)0 y al ser lieal f(x-y)0, luego x-y ker(f) y por tato x-y0, lo que implica que xy por lo que es iyectiva. 2) Si f es iyectiva trasforma vectores liealmete idepedietes de V e idepedietes de W y por tato la base de V e base de Im(f). Luego dim(v) dim(w). Demostració: sea {v,v 2,,v m } vectores liealmete idepedietes de V. Veamos si {f(v ),f(v 2 ),,f(v m )} idepedietes λ f(v )+λ 2 f(v 2 )+ +λ m f(v m )0, como f lieal f(λ v +λ 2 v 2 + +λ m v m )0, y al ser iyectiva ker(f){0} y λ v +λ 2 v 2 + +λ m v m 0, como {v,v 2,,v m } so idepedietes λ λ m 0 y por tato {f(v ),f(v 2 ),,f(v m )} tambié. Si además {v,v 2,,v m } es base etoces {f(v ),f(v 2 ),,f(v m )} es base por además de ser idepedietes geera. Como im(f) W, dim(im(dim(v) etoces dim(v) dim(w) Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 8

9 Tema 2- Espacios Vectoriales. Variedad Lieal. Aplicacioes lieales. Teorema de la Isomorfia 3) Sea f ua aplicació epiyectiva etoces por defiició de epiyectiva Im(f)W, así que por el teorema de la dimesió dim(w) dim(v). 4) Sea f isomorfismo, etoces trasforma la base de V e base de W (dim Vdim W). La demostració es secilla co lo visto e las propiedades 2 y 3. Si B{v,v 2,v } es base de V por ser iyectiva {f(v ),f(v 2 ),f(v )} base de Im(f); por ser epiyectiva im(f)w, luego {f(v ),f(v 2 ),f(v )} base de W. Veamos propiedades de las dimesioes de los tres tipos de aplicacioes lieales a partir de las propiedades ateriores y el teorema de la dimesió: dim(im( dim( W) Sobremorfismo: dim( V) dim( im( + dim(ker( dim( W) dim( er( 0 23 dim(im( dim( W) Moomorfismo: dim( V) dim( im( + dim(ker( dim( W) dim( er( dim(im( dim( W) Isomorfismo: dim( V) dim( im( + dim(ker( dim( W) dim( er( Teorema de la Isomorfía. Dos espacios vectoriales V y W so isomorfos si existe ua aplicació lieal biyectiva f:v W que los relacioa. Teorema: dos espacios vectoriales V y W so isomorfos tiee misma dimesió, dimvdim W. Demostració: si so isomorfos existe f:v W biyectiva, y por tato dim(v)dim(w) Si dim(v)dim(w) teemos la base de V{v,v 2,,v } y de W{w,w 2,,w } y defiimos la aplicació f tal que relacioa las bases, es decir f(v i )w i. Veamos que la f defiida es biyectiva - Itectiva: veamos ker(f){0} sea f(v)0 co vλ v + +λ v, luego f(λ v + +λ v )0, por defiició de base y al ser f lieal λ f(v )+ +λ f(v )0, como {f(v ),,f(v )} es base λ λ 2 λ 0 y por tato v0 - Epiyectiva: w W wλ w + +λ w ; por defiició de f teemos wλ f(v )+ +λ f(w ), al ser f lieal wf(λ v + +λ v ). Así w W w im(f), por tato Wim(f). W W 0 0 Teorema de isomorfismo: Sea V e ker ( f) ( f) im so isomorfos. f : V W ua aplicació lieal, etoces los subespacios Demostració Los elemetos de V ker ( f) so de la forma [ u ] { u+ x/ x ker ( f ) } co u V. Todos los elemetos de [ u ] misma image por f : f ( u+ x) f( u) + f( x) f( u) + 0 f( u) Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 9

10 Tema 2- Espacios Vectoriales. Variedad Lieal. Aplicacioes lieales. Teorema de la Isomorfia Podemos defiir la aplicació: g: V ker g im ( ) ( f) f ([ u] ) a f( u) Esta aplicació verifica: - es lieal: g ([ u+ v] ) f( u+ v) f( u) + f( v) g( [ u] ) + g( [ v] ) - es sobreyectiva: para cada w im( f) existe u V tal que f( u) existe [ u] V de maera que g uc( f) ([ u] ) f( u) w w y por tato - es iyectiva: si f( [ u] ) 0sigifica que f ( u) 0, es decir, u ker( f) [ u ] [ 0] y por tato La aplicació g es lieal y biyectiva, por tato u isomorfismo etre espacios. Se cumple así que dim(v/er(f)dim(im( 6. Cotexto co secudaria y Bachillerato. El tema abordado o se trabaja i e secudaria i e bachillerato. Jose Luis Lorete (preparador oposicioes secudaria 0