ESTAS NOTAS NO PUEDEN SUSTITUIR A BUEN LIBRO, NI EL ESFUERZO PERSONAL CONTINUADO PARA ASIMILAR Y APLICAR LAS IDEAS EXPUESTAS!!!

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1 . SERIES MM_III. EDO HOMOGÉNEAS: SOLUCIONES TIPO SERIE.. Clasificació de las siglaridades de a EDO hoogéea de º orde lieal.. Solcioes ptos siglares de a EDO hoogéea de º orde lieal..3 Método de Frobeis..4 U iciso: la fció Gaa.5 Ejeplo: ecació de Bessel. Objetivos: E el capítlo aterior he repasado soeraete varios aspectos de las EDO e particlar las de segdo orde. E estas e las de orde sperior heos visto e las solcioes era epresadas e fció de fcioes eleetales o de itegrales. Pero e geeral esto o tiee pore ser así de hecho e chos probleas de iterés físico e otros capos o lo es. E este capítlo vo a disctir las circstacias e dode se pede esperar solcioes de tipo serie e EDO hoogéeas de segdo orde lieales étodo para obteerlas el étodo de Frobeis. Repare e las fcioes eleetales tabié se pede epresar e coo desarrollo e serie co ada de Talor. A cotiació pogo ejeplo la ecació de Bessel. Y aprovechado el ejeplo haré observar e las solcioes de la ecació de Bessel las fcioes de Bessel tiee as propiedades criosas sobre todo iteresates. Más adelate vereos e estas calidades se etiede a otras EDO de º orde lieales.. Nota: Cidado co o cofdir las distitas pes e aparece: as veces so las fcioes coeficietes de la EDO otras veces so los isos coeficietes pero costates otras so cocietes de pes... CUIDADO CON LAS ERRATAS!!! ESTAS NOTAS NO PUEDEN SUSTITUIR A BUEN LIBRO NI EL ESFUERZO PERSONAL CONTINUADO PARA ASIMILAR Y APLICAR LAS IDEAS EXPUESTAS!!! G.NAVASCUÉS Ultia revisió 8//8 7

2 . SERIES MM_III. Clasificació de las siglaridades de a EDO hoogéeas de º orde lieal. d d Cosidere la EDO hoogéea de segdo orde lieal P Q e geeral la d d variable pede ser copleja. Nos liitaos a ED dode las fcioes P Q so aalíticas e a regió R de la variable ecepto e cojto fiito de de siglaridades aisladas. Si P Q so aalíticas e pto R el pto se llaa pto ordiario de la ecació diferecial. Alrededor de pto ordiario siepre eiste dos solcioes aalíticas idepedietes. Si P /o Q so siglares e pto R el pto se llaa pto siglar de la ecació diferecial. Las solcioes de la ED alrededor de pto siglar depede de la atralea de la siglaridad de P /o Q. Si la siglaridad de P se redce a teer e R polo coo áio de prier orde /o la siglaridad de Q se redce a teer e R polo coo áio de segdo orde el pto se llaa pto siglar reglar. Si las siglaridades de P /o Q e ecioados el pto R so de aor orde a los se llaa pto siglar irreglar o esecial de la ecació diferecial. Las siglaridades se pede eteder al pto del ifiito co el cabio / aaliado el pto d d P/ d d Q/ 4. La ED origial se trasfora el aálisis de ss siglaridades se hace de la isa fora e he ecioado para la ED origial. El cadro sigiete es rese fiito P Q fiitos e P /o Q diverge e P/ Q/ 4 fiitos e P/ Q/ 4 diverge e es pto ORDINARIO P Q fiitos e P /o Q diverge e P/ Q/ fiitos e P/ Q/ /o diverge e es pto SINGULAR REGULAR es pto SINGULAR ESENCIAL es pto ORDINARIO es pto SINGULAR REGULAR es pto SINGULAR ESENCIAL G.NAVASCUÉS Ultia revisió 8//8 8

3 . SERIES MM_III. Solcioes ptos siglares de a EDO hoogéea de º orde lieal. Dadas as c.i. e siedo pto ordiario de la EDO hoogéea de º orde lieal se deestra e e a regió alrededor del pto aalítica de la ED e verifica las codicioes dadas. eiste es úica a solció La solció se pede eteder a a regió deteriada por la vecidad de caio de ptos ordiarios étodo de la cotiidad aalítica e se estdia e aálisis de fcioes coplejas Si eiste ptos de raificació podeos teer solcioes aalíticas ltivaladas. Pesto e las solcioes so aalíticas estas se pede desarrollar e serie e potecias alrededor del pto ordiario correspodiete:. [.] No pede decirse lo iso si el pto es siglar; si ebargo si es siglar reglar se deestra e al eos a de las solcioes se pede desarrollar e serie e potecias alrededor del pto siglar reglar e la fora [.] dode es a costate e pede ser copleja. Paso a cotiació a ver co ás detalle estos otros resltados sado e parte el étodo de Frobeis e os estra procediieto práctico para obteer las solcioes de tipo serie..3 Método de Frobeis. El étodo e se describe a cotiació se le cooce coo étodo de Frobeis. Cosiderar la EDO hoogéea de º orde lieal epresada de la sigiete fora geeral sigiete: L P Q. [.3] Spogaos e es pto o esecial de la ecació es decir pede ser ordiario o siglar reglar lo e iplica e P Q pede divergir coo áio coo polo siple polo doble respectivaete por tato podeos escribir: p p P p p P p p p3... [.4] p Q Q 3... [.5] e defie dos fcioes p libres de siglaridades ote e e este capítlo las p i las i atralete so las costates de los desarrollo e serie o los coeficietes de la ED. Si el pto fera ordiario es decir si P Q o divergiera se cpliría e p e los desarrollos [.4] [.5] los correspodietes a las evas fcioes p epearía e respectivaete. G.NAVASCUÉS Ultia revisió 8//8 9

4 . SERIES MM_III G.NAVASCUÉS Ultia revisió 8//8 Ahora trataré de ver si a fció de la fora de desarrollo e serie del tipo [.] es solció de la ED [.3]. Observe e la ecació [.] es caso particlar de [.]. Ates vo a cabiar la otació la solció e bsco la llao el desarrollo e serie [.] lo rescribo coo: [.6] dode el prier coeficiete se spoe distito de cero podeos darle calier valor e os covega e es coo si ltiplicáseos la solció por a costate sige siedo a solció. Para e lo sea se debe cplir e: Q P L [.7] o ltiplicado por teiedo e ceta las defiicioes de p [.4] [.5] lo e es iso. [.8] p L La priera derivada de la fció [.6] e ereos sea solció es: [.9] la segda derivada: [.] Itrodciedo las ecacioes [.4] [.5] [.6] [.9] [.] e la ED [.3] se llega a: [.] p co resltado o es sio a sa de ifiitos térios de potecias de co coeficietes obteidos de ltiplicar los distitos paráetros i i i p e aparece e la epresió [.]. Coo las distitas potecias de so idepedietes as de otras la sa total de ellas co los correspodietes coeficietes debe ser cero deberá ser cero cada o de dichos coeficietes. Observe e la potecia ás baja es. Co a cierta dosis de paciecia se obtiee las epresioes de los coeficietes de las distitas potecias. A cotiació se igala a cero. De esta fora se ecetra a serie ifiita de igaldades dode aparece los paráetros coocidos se obtiee de la ED los e bscaos i p i i e deteria la solció. El cojto de todo ello es a serie ifiita de ecacioes acopladas:

5 . SERIES MM_III coeficiete de : [.] [ p ] coeficiete de : [.3] coeficiete de : [.4]... [ p ] [ p ] coeficiete de : [.5]... [ p ] [ p ] [ p ] [ p ] [...] [...]... [...] Estas ecacioes se va resolviedo a tras otra para obteer los coeficietes e fció de los coeficietes p i i coocidos de descoocida de oeto. Ya he dicho e le podeos dar calier valor salete es la idad. Observe e si se cooce podeos obteer de la [.3] e a ve coocidos podeos obteer de la [.4] así scesivaete obteeos los ifiitos coeficietes de la solció [.6] bscada. Sólo hace falta deteriar. Siedo distito de cero la priera ecació de la serie [.] se redce a: p [.6] se llaa ecació INDICIAL. Es a ecació cadrática e e tedrá dos solcioes reales o iagiarias llaados INDICES:. Para cada ídice se reselve scesivaete el resto de las ecacioes para ir obteiedo los coeficietes de la serie: 3... tal coo he ecioado ates: la ecació geérica para depede de las es ateriores: fció... es decir es a ecació de RECURRENCIA e escrita eplícitaete es ver [.5]: [...] [...]... [...] [ p ] [ p ] U. [.7] Ua ve reselta para cada ídice la colecció ifiita de ecacioes se llega a dos solcioes liealete idepedietes ae sólo apareteete coo vaos a ver iediataete: [.8] [.9] por lo e la solció geeral de la ecació hoogéea sería: C C. G.NAVASCUÉS Ultia revisió 8//8