Tema 2. Vibraciones libres de sistemas de 1 GDL

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1 Tea. Vibracioes libres de sisteas de 1 GDL 1. Itrodcció.. Vibració libre o aortigada. 3. Vibració libre aortigada. 4. Excitació sísica. 5. Tipos de aortigaieto. o. 6. Medida y valores del aortigaieto e las estrctras. 7. Eergía e vibració libre. 8. Vibració libre co aortigaieto de Colob. T. Vibració libre 1 GDL.1 Itrodcció Se cocetra las propiedades diáicas e úico pto, obteiédose a EDO qe caracteriza el coportaieto diáico del sistea F(t) F i (t) F a (t) F(t) F(t) (t) c 1 GDL t () ct () t () f () t t (), c La ecació de eqilibrio diáico pede obteerse aplicado distitos étodos: Segda ley de Newto Ft () t () Pricipio de D Alabert Ft ( ) 0 iclyedo FI t ( ) Pricipio de Hailto Para cada a de las asas cosideradas se obtiee la ecació de eqilibrio diáico ediate el el diagraa de sólido libre.

2 T. Vibració libre 1 GDL.1 Itrodcció Sistea de paráetros cocetrados asa, elle, aortigador. F(t) Eleeto elle: Ft () [ () t ()] t 1 eq eq c eq Eleeto aortigador: Ft () c[ () t ()] t 1 c = costate de aortigaieto viscoso t () ct () t () f () t t () () t () t o p Resolver la estrctra e vibració libre es obteer la solció hoogéea, qe jto a la solció particlar (depediete de la carga extera aplicada) os perite obteer la solció e vibració forzada. Para obteer la solció e vibració libre se pertrba el sistea, apartádolo de la posició de eqilibrio y se libera. Se spoe qe el sistea es lieal. T. Vibració libre 1 GDL. Vibració libre o aortigada t ( 0) 0 co (c = 0) t ( 0) Se defie la frececia atral del sistea (rad/s) coo: 0 0 st st se Solció: ( t) e s e st Ecació característica: s 0 s s1 i s1t st Dos raíces coplejas: ( t) A1e Ae A1e Ae s i i t i t se se i t e cos t i t i Expoecial copleja: e cos ise i t e cos t i t Ua solció copleja cojgada cotiee siepre dos solcioes reales, lego: Codicioes iiciales: () i t i t A e A e t A cos t B se t 1 t ( 0) A t () cos t se t t ( 0) B B

3 T. Vibració libre 1 GDL. Vibració libre o aortigada frececia atral ( rad / s) ( t) cost se t co T periodo atral ( s) 1 f frececia atral ( Hz) T, T, f f(, ) T 1EM = 0.9 s, T 1ELL = 0.31 s. T 1E = 0.15 s, T 1E-S = 0.5 s. T 1EM = 0.6 s, T 1ELL = 0.30 s. Excitador aróico. 4. Vibració libre T 1L = 0.63 s, T 1C = 0.74 s, T 1T = 0.46 s. T TR =18s 18. s, T V =109s 10.9 s, T L =381s 3.81 s, T T =44s 4.4 s. T 1NS = T 1EO =.9 s. T 1NS = 1.67 s, T 1EO =.1 s T 1T = 1.1 s. T 1NS = T 1EO = 3.57 s.

4 T. Vibració libre 1 GDL. Vibració libre o aortigada t ( ) cos t se t Aplitd del oviieto: Vibració libre de sistea atral o aortigado 0 t () 0 0 T. Vibració libre 1 GDL.3 Vibració libre aortigada Spoeos aortigaieto viscoso: F,co c la costate de aortigaieto viscoso (Ns/) c A qe es a edida de la eergía disipada e ciclo de vibració t ( 0) c 0 co t ( 0) c 0 Cc aortigaieto crítico Dfii Defiios: c/ Cc factor de aortigaieto 0 st se Solció: t ( ) e st st s e Ecació característica s s 0 si 1 Tres casos e fció del sigo de : 1 Respesta sobreaortigada, críticaete aortigada y sbaortigada.

5 T. Vibració libre 1 GDL.3 Vibració libre aortigada c 0 Sistea sobreaortigado c 1 0 Cc dos raíces reales distitas () A A t A e A e ( 1) ( 1) 1 El sistea o oscila y velve a la posició de eqilibrio. Sistea críticaete t aortigado 1 c C c 1 raíz real doble () t e st 1 1 s st () t t e s t () e t ( A At) 1 Sistea sbaortigado s1 i 1 s i 1 c 1 0 Cc raíces coplejas t () e Ae Ae t iat iat 1 A co 1 TA A f A 1 frececia atral aortigada periodo atral aortigado La respesta es aróico expoecialete decreciete, co a frececia atral aortigada ligeraete iferior a la atral: A T. Vibració libre 1 GDL.3 Vibració libre aortigada Sistea sbaortigado Cosiderado las codicioes iiciales, se obtiee: t () e t cos se A t A t A Efecto del aortigaieto e la vibració libre La aplitd e cada ciclo decrece de fora expoecial, las crvas evolvetes so: E las estrctras: A e t

6 T. Vibració libre 1 GDL.3 Vibració libre aortigada Sistea sbaortigado El efecto del factor de aortigaieto, para valores iferiores al 0%, sobre la frececia y el periodo atral es despreciable. A TA T A A 1 1 Efecto del aortigaieto e la frececia atral de vibració. El efecto pricipal del factor de aortigaieto es el ratio de decaiieto del oviieto. Vibració libre de sistea de 1 GDL co 4 valores de aortigaieto: =, 5, 10 y 0 %. T. Vibració libre 1 GDL.3 Vibració libre aortigada Sistea sbaortigado El valor de la costate de aortigaieto viscoso c está relacioado co el decaiieto del oviieto (disició de s aplitd). Las propiedades de asa y rigidez se obtiee a partir de la defiició y diseño de la estrctra, ietras qe c se pede obteer a partir de esayos e vibració libre. Relació exacta y aproxiada etre y. t t1ta cos AtTA cosatcosat t3 t T A t t () e TA 1 i 1 e e e ( tta) t ( TA) e i 1 i Decreeto logarítico l i 1 1 E estrctras

7 T. Vibració libre 1 GDL.3 Vibració libre aortigada Sistea sbaortigado: Decaiieto del oviieto Es iteresate o teer qe edir etre dos ciclos cosectivos, ya qe si el decaiieto es leto, la diferecia pede ser y baja. Geeralizado el plateaieto aterior: j j j l 1 e e j 1 3 j 1 j j1 Se defie j 50% coo el úero de ciclos ecesarios para qe la aplitd e el desplazaieto se redzca e 50%: l 0.11 j50% Experietalete es cho ás fácil edir aceleracioes qe desplazaietos: 1 i 1 i l y l j i j j i j T. Vibració libre 1 GDL.4 Excitació sísica Moviietos i brscos del terreo: sisos. Se trata de a excitació de los apoyos de a estrctra. E los sisteas de 1 GDL es siepre ifore, pero e estrctras de N GDL pede ser ifore o últiple. t (t) (t) F eff (t) g (t) () t () t t g t g c 0 c ( t) f ( t) t g eff

8 T. Vibració libre 1 GDL.5 Tipos de aortigaieto El aortigaieto i t es el ecaiso por el qe la eergía de vibració ió se trasfora gradalete e calor o soido, redciedo la vibració. Modelos de aortigaieto: -VISCOSO: FA c Cado sistea estrctral o ecáico vibra e el seo de flido (aire, gas, aga ), la resistecia qe ejerce el flido al oviieto del sólido disipa eergía. La catidad de eergía disipada i d por ciclo depede d de factores coo la geoetría del sólido, viscosidad id d del flido, velocidad de vibració Es el aortigaieto ás coú. - SECO o de COULOMB: FR N Se prodce por fricció etre sperficies rgosas secas o co lbricació isficiete. Es costate e valor y opesto siepre a la direcció del oviieto. - SÓLIDO, MATERIAL o HISTERÉTICO: Al deforarse aterial se absorbe o se disipa eergía debido a la fricció etre plaos iteros de deslizaieto. A ivel global el diagraa - estra lazo de histéresis. Ciclo de histéresis s/f carga descarga e/ s/f B A C D e/ T. Vibració libre 1 GDL.6 Valores del aortigaieto e estrctras E la tabla tbl sigiete i aparece los valores recoedados dd del dlfactor de aortigaieto i t e distitos tipos de estrctras: E l í d l ti d difi ió i d l é i d lf t d E la ayoría de las orativas de edificació se recoieda valor geérico del factor de aortigaieto del 5 % para todo tipo de estrctras.

9 T. Vibració libre 1 GDL.7 Eergía e vibració libre Cosiderado d sistea e vibració ió libre y o aortigado la eergía iicial i i E i, y la eergía e istate t calqiera E t se calcla coo sa de la eergía ciética (diáica) y la eergía potecial de deforació (estática): 1 1 Ei 1 1 Et () t () t Sstityedo la expresió del oviieto y la velocidad e la eergía de istate calqiera se obtiee: t () cost set Et Ei Es decir, la eergía del sistea peraece costate, se trasfora de ciética (áxia cado el desplazaieto es lo) e potecial (áxia cado la velocidad es la). E sisteas co aortigaieto viscoso, la eergía del sistea E t, va decreciedo e el tiepo debido a la disipació del aortigador viscoso: E t < E i. E E E t i A EA f A() t d c d c dt e t E E, E 0 A i t T. Vibració libre 1 GDL.8 Aortigaieto de Colob Se debe a la fricció etre dos sperficies deslizates secas: F R = N. La ferza de rozaieto es idepediete de la velocidad a vez qe se ha iiciado el oviieto, y se opoe siepre a este. E fció de la direcció del oviieto se platea dos ecacioes difereciales. Caso 1: 0,co 0 Caso :,co f Iw f Iw Ecació 1: N F t () A t B t F R N N FR R () 1cos 1se co FR R ( ) cos se Ecació : N F t A t B t F R Spoiedo qe e t = 0, las codicioes iiciales so: ( 0) 0, 0. Se iicia el proceso de cálclo de la respesta resolviedo la ecació, para las codicioes iiciales dadas: FR 0 ( ) 0 A ( 0 ) F F t () 0 ( ) cos t 0 ( ) 0 B 0 R R La respesta es válida hasta qe la velocidad cabie de setido, lo qe se prodce cado ( t) 0 FR t () 0 ( ) set0 t

10 T. Vibració libre 1 GDL.8 Aortigaieto de Colob F / ( 0) La solció calclada es válida e el itervalo 0 t /, co: / 0 Para t /, la solció se obtiee a partir de la ecació 1 ( ( 0) 0 ) co las codicioes iiciales ateriores. FR F R / ( 0) A ( 0 ) 3 F F t () 0 ( ) 3 cos t / 0 B1 0 Calclado el istate e qe se velve a alar la velocidad se copreba qe el rago de validez de la ecació aterior es: / t /, e el istate fial las evas codicioes de cotoro F so: R ( / ) ( 0), ( / ) 0 1 R R Co las evas codicioes iiciales se reselve para el sigiete seiciclo la ecació y así scesivaete. El oviieto se detiee cado (t) < F R /, e ese oeto la ferza actate e el elle es eor qe la de rozaieto: x <F R, qedado d el sistea e a posició ió df deforada d dl del elle. E las estrctras reales el aortigaieto es e parte seco por rozaieto y e parte viscoso. E la odelizació de las estrctras es habital cosiderar aortigaieto viscoso eqivalete global, raraete se odela el aortigaieto por fricció y sólo e el caso de qe haya dispositivos friccioales específicos. R T. Vibració libre 1 GDL.8 Aortigaieto de Colob Vibració libre de sistea co aortigaieto de Colob. Esqea de dispositivo SBC (Slotted Bolted Coectio) de rozaieto seco, y ciclo de histéresis (C.E. Grigoria y E. Popov, 1994).

11 T. Vibració libre 1 GDL.8 Aortigaieto de Colob Detalle de SBC, y test e esa de vibracioes de a estrctra co 1 SBC (C.E. Grigoria y E. Popov, 1994, Bereley).