UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA 17/05/2013 DACIBAHCC EXAMEN PARCIAL DE METODOS NUMERICOS (MB536)

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. - FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA 7/5/ EXAMEN PARCIAL DE METODOS NUMERICOS (MB56) SOLO SE PERMITE EL USO DE UNA HOJA DE FORMULARIO Y CALCULADORA ESCRIBA CLARAMENTE SUS PROCEDIMIENTOS PROHIBIDO EL USO DE CELULARES U OTROS EQUIPOS DE COMUNICACION ELECTRONICA DURACION: MINUTOS Problema Mediate esayos se ha determiado la sigiete fórmla para estimar la bicació de a A se partícla qe se desplaza sobre a líea: B cost x t 7 Cosiderado A=5.%, B=8 co precisió de.5, t = 5.% (áglos e radiaes) y trcado a decimales para 7. a) (.5 pto) Calcle el valor estimado de la posició b) ( ptos) Estime el error debido a la propagació e la fció. (.5 ptos) Desarrolle script e MATLAB qe permita determiar la catidad de cifras sigificativas exactas qe tiee el valor estimado e a) Problema Fig. a Circito Eléctrico Sea el circito eléctrico, mostrado e la Fig. a: La corriete e el odo p hacia el odo q e a red hidroeléctrica está dada por: Vp Vq I pq, I e Amperios y R e R Ohms, dode pq V p y V q so los Voltajes e los odos e p y q, respectivamete, y R pq es la resistecia e el tramo pq. La sma de las corrietes qe llega a cada odo es la; asimismo, las ecacioes qe relacioa a los voltajes pede ser obteidas. V V V V V E el odo, se tiee la ecació I A I I o sea,, o V V V Se pide: a) ( pto) Obtega las ecacioes e los odos, y. b) ( pto) Realice el método de elimiació Gassiaa idicado la primera parte de triaglació del sistema ( pto) Cotiúe co el método desarrollado la sstitció iversa. d) ( pto) Cosidere el evo circito mostrado e la Fig. b, realice la factorizació de Crot y reselva el sistema lieal. e) ( pto) Hacer la fció e MATLAB qe permita el pivoteo parcial. Debe teer e ceta como parámetros de etrada: la matriz AA=[A b]qe falta modificar e la elimiació gassiaa, la posició actal (i), el orde del sistema (), y de salida: la matriz AB=[A b] co filas itercambiadas y la posició pivotal (despés del itercambio de filas) para cotiar el proceso de elimiació. fctio [AB,p]=pivoteo(AA,i,)

2 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. - FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA 7/5/ Problema Se tiee a viga flexible y horizotal empotrada e extremo A y libre e el otro extremo B. Si cosideramos qe tiee tres grados de libertad traslacioales,,, dode i se localiza a T i / de la distacia de A a B. Si se aplica a carga itaria e, el vector (,, ), satisface el sistema K r, Dode la matriz de rigidez K y el vector de cargar r, viee dadas por 5 K 9, r EI 5 La costate E I depede del material de la viga y de s geometría. Spoiedo qe E I. a) ( Pto) Aalizar la covergecia del método de Jacobi al aproximar. b) ( Pto) Cál es la codició ecesaria y sficiete sobre los elemetos de la matriz K para qe el método de Gass-Seidel Coverja? (.5 Ptos) Aproximar tilizado el método de Jacobi. Realice iteracioes. Cosidere T. d) (.5 Ptos) Implemetar script e MatLab qe permita calclar ( T j ): Radio espectral de la matriz de iteració de Jacobi. ( T GS ) : Radio espectral de la matriz de iteració de Gass Seidel. ( Tj ). ( T ) Problema Se tiee taqe esférico de radio R = m. y cyo volme de aga almaceado es: V = 6 m. a) ( Ptos) Hallar la altra del líqido H y el error cometido sado el método de Newto- Raphso, realizado iteracioes. Se sabe qe la altra se ecetra alrededor del valor Ho = b) ( Pto) Catas iteracioes como míimo se deberá realizar tilizado el método de la Bisecció tomado el itervalo [.5,.5] para obteer el mismo error cometido e el ítem aterior?. ( Ptos) Si el item a) lo hbiese realizado co programa de MATLAB pero co a precisió de e-8. Cómo sería el programa? GS H SUGERENCIA: V = π (R H/). H Los Profesores

3 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. - FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA 7/5/ Solcio Solció: a) Evalado la fórmla dada, se.866 b) Hallado las derivadas parciales, cosiderado r= 7 =.85 =.65 =.87 =.76 Error= =.7 A=5; ea=.*a; B=8; eb=.5; t=5; et=.*t; r=.;er=.5*^-; x=a*si(b)*cos(t)/r da=abs(si(b)*cos(t)/r) db=abs(a*cos(b)*cos(t)/r) dt=abs(-a*si(b)*si(t)/r) dr=abs(-a*si(b)*cos(t)/(r^)) ex=da*ea+db*eb+dt*et+dr*er er=ex/x =; %Catidad de cifras decimales sigifictivas exactas while er<=5*^- =+; ed =-; fpritf( La catidad de cifras sigiificativas es %d\,); Solció V V V V V V V V V a) V V V V V V V V V 5

4 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. - FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA 7/5/ 5 b) Lik = 5 V V V V - - -/ -5/ Lik = -/ -5/ / - -/ / -5 / Lik = / - -/ 5 5/ -/ / - -/ / 5/ - - / - -/ 5 5/ -/ / 5

5 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. - FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA 7/5/ / 5/ Sstitció iversa: V /5 6 / /V V 5/ 5 V / V V / V V V d) V V V V V V V 7 V V / V 5 / V / 5 V = 5 9 / Z 5 9 / Z / Z Z 5 5 / 9 / V 5 = V 5 / 9 V = V e) fctio [AB, p]= pivoteo(aa,i,) [v,p]=max(abs(aa(i:,i))); p=p+i-; if p~=i, AA([p i],:)=aa([i p],:); ed AB=AA; Solció Solció: a. La matriz K es estrictamete diagoalmete domiate por lo tato se asegra la covergecia al aplicar el método de Jacobi. b. Qe el radio espectral de la matriz de iteració de Gass Seidel sea meor qe

6 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. - FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA 7/5/ () () () /9 /5 /5 /9 () () () /9 Iteració /9 /5 /9 /5 /5 77/5 75 clc format rat K=[5 - ;- 9 -; - 5] r=[;;] x=[;;] D=diag(diag(K)) L=-tril(K,-) U=-tri(K,) Tj=iv(D)*(L+U) Tgs=iv(D-L)*U rhoj=max(abs(eig(tj))) rhogs=max(abs(eig(tgs))) R=rhoj/rhogs SOLUCIÓN a) x x x 8 6x x 7x x H error ra iteració: da iteració: ra iteració: Lego raiz = ; error =.5658

7 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. - FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA 7/5/ b) b a l e De dode: l.5.5 l.5658 l.5.5 l.5658 =.89. Rta: = iteracioes l f=ilie('8/pi-6*(x^)+(x^)') df=ilie('-7*x+*(x^)') x= acm=[]; for i=: x=x-f(x)/df(x); err=abs(x-x); acm=[acm; x err]; x=x; if err<e-8 break ed ed disp(acm)