es un proceso de conteo si representa el número de eventos ocurridos hasta el tiempo t.

Transcripción

1 PROCESOS ROBABILIDADES ESTOCÁSTICOS (ITEL-3005) (80807) Tema 4. Los Procesos Tema. de Fudametos Poisso y otros de Estadística procesos asociados Descriptiva Semaa Distribució 5 Clase 07 de frecuecias Lues 5/07/3 y medidas 5:00 de a localizació 8:00 pm Objetivos a lograr: Defiir y caracterizar el proceso estocástico de coteo Defiir y caracterizar el proceso estocástico de Poisso homogéeo Defiir y caracterizar el proceso estocástico de los tiempos de espera Defiir y caracterizar el proceso estocástico de Poisso compuesto Defiir y caracterizar el proceso estocástico de Poisso o homogéeo. PROCESO DE CONTEO.. Defiició. Se dice que u proceso estocástico { N(t), t 0} es u proceso de coteo si represeta el úmero de evetos ocurridos hasta el tiempo t... Propiedades: N(0) 0 N(t) toma valores eteros Es o decreciete, es decir, si s < t, etoces N(s) N(t) Para s (s,t] < t, N(t) N(s) es igual al úmero de evetos que ocurriero e el itervalo. PROCESO DE POISSON HOMOGÉNEO.. Defiició. Ua colecció de variables aleatorias { N(t), t 0} se llama Proceso de Poisso homogéeo co itesidad > 0 si satisface las siguietes propiedades: = =, esto es, N(0) = 0 siempre P { N(0) 0} Es o decreciete, es decir, si s < t, etoces N(s) N(t) N(t) es u proceso de icremetos idepedietes. E tal setido, se tiee que N(t ), N(t ) N(t ), N(t ) N(t ),..., N(t N(t ) so variables idepedietes si t <... < t, co N(t) es u proceso de icremetos estacioarios. E tal setido, para 0 s < t, N(t) N(s) tiee distribució de Poisso de parámetro (t s) Prof. José Luis Quitero 77

2 .3. Ejemplo. Sea N(t) el úmero de peces capturados e el itervalo [0,t]. Se supoe que el úmero de peces e el agua es grade, que todos los pescadores tiee la misma suerte pescado y que la probabilidad de que u pez muerda el azuelo es igual e cualquier N(t), t 0 istate. Bajo estas codicioes idealizadas, se puede cosiderar el proceso { } como u proceso de Poisso. Este ejemplo resalta dos propiedades importates del proceso de Poisso: la probabilidad de capturar u pez o depede de la catidad que ya se ha pescado y la seguda propiedad es que el tiempo que se ha esperado o cueta, es decir, que u pescador que llega al muelle tiee la misma probabilidad de capturar u pez que el pescador que lleva horas esperado ifructuosamete..4. Ejemplo. Sea N(t) el úmero de átomos de ua sustacia radioactiva que se desitegra durate el itervalo [0,t]. Si se supoe que el úmero de átomos presete e la muestra es grade y que el coeficiete de desitegració es pequeño e relació al itervalo de tiempo que se cosidera, etoces se puede cosiderar a N(t) como u proceso de Poisso. E este caso ( t) P { N(t) = } = e,! dode es ua costate positiva. Como E N(t) = t, represeta el úmero promedio de átomos que se desitegra e ua uidad de tiempo. Si se supoe alterativamete que la desitegració de cada átomo es idepediete del reso, y que el tiempo que trascurre hasta la desitegració tiee ua distribució expoecial co parámetro, etoces se puede cocluir que N(t) es u proceso de Poisso..5. Ejemplo 3. Cuado se cultiva bacterias que o puede usar lactosa e u medio amoácido aparece mutates que puede usar el azúcar, co ua cierta frecuecia por divisió celular. Experimetos realizados por F. J. Rya e 96 demuestra que el proceso de Poisso resulta u modelo adecuado e este caso..6. Ejemplo 4. Cosidere u objeto (ua máquia, u bombillo, u bolígrafo) que se usa hasta que falla y luego es reparado o reemplazado por u objeto similar uevo. Se va a supoer que la vida útil (lapso de tiempo durate el cual el objeto fucioa si fallar) es ua variable aleatoria T y se supodrá tambié que las vidas útiles T, T,... de los objetos puestos e servicio sucesivamete so variables aleatorias idepedietes co la misma distribució que T. Para t > 0, sea N(t) el úmero de objetos que ha fallado e el itervalo 0,t. Si T tiee ua distribució expoecial, etoces N(t) es u proceso de Poisso 3. PROCESO DE LOS TIEMPOS DE ESPERA 3.. Defiició. Ua colecció de variables aleatorias { S(), =,,... } se llama Proceso de Tiempos de Espera si represeta el tiempo de espera hasta el -ésimo eveto. Prof. José Luis Quitero 78

3 3.. PROPOSICIÓN. El proceso { S(), =,,... } tiee distribució gamma (Erlag de parámetro ) co fució de desidad de primer orde ( t) e t 0 f ( )! S(,t) = 0 t < 0 Demostració. S() t si y sólo si ha ocurrido al meos evetos e el itervalo (0,t]. Por lo tato k ( t) e F S(, t) = P { S() t} = P { N(t) } = P { N(t) } = k! Derivado F S (,t) se tiee que d d ( t) ( t) f S(,t) = F S(,t) e t... dt = dt! ( )! ( t) ( t) ( t) ( )( t) = e + t e ! ( )!! ( )! k = 0 ( t) ( t) ( t) = e + t e + t ! ( )! ( )! ( t) ( t) ( t) ( t) = e + t t... = e! ( )! ( )! ( )! para cada =,,... y t Observacioes de iterés: E S() = V S() = 3.3. Ejemplo 5. Supoga que u cierto objeto tiee ua vida útil T, medida e horas co distribució expoecial de parámetro = h. La vida útil promedio de este objeto y la variaza viee dadas por 6 E T = = 000 h ; V T = = 4 0 h. Si u equipo tiee 3 objetos de este tipo coectados de modo que el segudo comieza a fucioar al fallar el primero y el tercero al fallar el segudo, la vida útil del equipo viee dada por S3 = T + T + T3, co distribució Erlag-3 de parámetro = Su esperaza y su variaza so 3 6 E S3 = = 6000 h ; V S3 = 0 h 3.5. PROPOSICIÓN. El proceso Tiempos de Permaecias de los estados de proceso N(t) T(s), s = 0,,,... tiee distribució expoecial de parámetro co deotado como { } fució de desidad de primer orde e t 0 f T(s,t) = 0 t < 0 Prof. José Luis Quitero 79

4 4. PROCESO DE POISSON COMPUESTO 4.. Defiició. { Z(t), t > 0} es u Proceso de Poisso Compuesto, si y sólo si se puede represetar como: dode { N(t), t 0} Z(t) N(t) Y =, = > es u proceso de Poisso homogéeo y { Y, } es ua sucesió de variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, y además N(t), t > 0. idepedietes de { } 4.. Ejemplo 6. Supoga que ua compañía de seguros de vida tiee clietes que fallece e los istates τ, τ,... dode 0 < τ < τ <... Se supoe que estos evetos ocurre de acuerdo co u proceso de Poisso de frecuecia. El asegurado que fallece e el istate τ tiee ua póliza por ua catidad Y que es pagada a los beeficiarios. La compañía de seguros desea coocer Z(t), la catidad total que tedrá que pagar e el período de 0 a t. Z(t) se puede represetar como Z(t) N(t) = = y por lo tato es u proceso compuesto de Poisso. Y 4.3. Ejemplo 7. Clietes llega a ua tieda de acuerdo a u proceso de Poisso N(t). La catidad de diero que gasta el -ésimo cliete es ua variable Y que es idepediete de los tiempos de llegada y de la catidad de diero que gasta los otros clietes. El total Z(t) vedido durate (0,t], es u proceso compuesto de Poisso Ejemplo 8. Las fallas de u automóvil se produce de acuerdo a u proceso de Poisso N(t) y la -ésima reparació cuesta ua catidad Y. Las variables Y so idepedietes etre si, idepedietes del mometo e el cual ocurre la falla y además todas tiee la misma distribució. Si Z(t) es el costo total de las reparacioes efectuadas etre 0 y t, etoces Z(t) es u proceso compuesto de Poisso. Prof. José Luis Quitero 80

5 5. PROCESO DE POISSON NO HOMOGÉNEO 5.. Defiició. Ua colecció de variables aleatorias { N(t), t 0} se llama Proceso de Poisso o homogéeo co itesidad (t) > 0 si satisface las siguietes propiedades: P { N(0) = 0} =, esto es, N(0) = 0 siempre Es o decreciete, es decir, si s < t, etoces N(s) N(t) N(t) es u proceso de icremetos idepedietes. E tal setido, se tiee que N(t ), N(t ) N(t ), N(t ) N(t ),..., N(t N(t ) so variables idepedietes si t <... < t, co Para 0 s < t, N(t) N(s) tiee distribució de Poisso de parámetro t s (u)du 5.. Ejemplo 9. Las vetas de ua maquiaria determiada ocurre de acuerdo a u proceso de Poisso o homogéeo co frecuecia e el istate t dada por esperaza del proceso N(t) viee dada por t 3t 3t E N(t) (t) (s)ds 65( e = α = = 3te ). 0 3t (t) = 565te, t 0. La La demada total N( ) de esta maquiaria tiee distribució de Poisso co parámetro 65. Si de acuerdo a este aálisis se produce 700 ejemplares, la probabilidad de que o alcace para cubrir la demada será k = (65) P { N( ) > 700} = e k! k Prof. José Luis Quitero 8