Teoría de colas. Andrés Ramos Universidad Pontificia Comillas TEORÍA DE COLAS 1

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1 Teoría de colas Adrés Ramos Uiversidad Potificia Comillas TEORÍA DE COLAS 1

2 Ua cola se produce cuado la demada de u servicio por parte de los clietes excede la capacidad del servicio. Se ecesita coocer (predecir) el ritmo de etrada de los clietes y el tiempo de servicio co cada cliete. Sistemas de colas Objetivo: Equilibrar los costes de capacidad del servicio y el coste de ua espera larga. TEORÍA DE COLAS Estudio matemático de las características de los sistemas de colas. TEORÍA DE COLAS 2

3 Proceso e ua cola 1. Etrada de clietes 2. Sistema de colas 3. Salida de clietes cola o líea de espera mecaismo de servicio SISTEMA DE COLAS FUENTE ENTRADA CLIENTES COLA MECANISMO SERVICIO SALIDA CLIENTES TEORÍA DE COLAS 3

4 Ejemplos Clietes Servicio Servidores Clietes tieda Veta artículo Depediete Clietes baco Operació fiaciera Vetailla Clietes supermercado Cobro compra Caja Automóvil Llear depósito Surtidor Automóvil Reparació avería Operarios taller Avió Aterrizaje / despegue Pista Llamadas telefóicas Coversació Cetralitas Efermos Ateció médica Médico Cajas Trasporte Robot de almaceamieto Juicios pedietes Juicio Jueces TEORÍA DE COLAS 4

5 Etrada de clietes TAMAÑO Número total de clietes poteciales (població de etrada): Fiito (fuete limitada) (sistema cerrado) Ifiito (fuete ilimitada) (sistema abierto) Suposició habitual: tamaño ifiito (es decir, el úmero de clietes e la cola NO afecta el úmero potecial de clietes fuera de ella) ENTRADA O FUENTE Uitaria Por bloques TIEMPO ENTRE LLEGADAS Determiista Probabilista (distribució de probabilidad expoecial) TASA MEDIA DE LLEGADA λ Número medio de etrada de clietes por uidad de tiempo Llegadas de clietes so idepedietes e idéticamete distribuidas (IID) TEORÍA DE COLAS 5

6 Cola Número máximo de clietes admisible Fiito Ifiito Suposició habitual: colas de logitud ifiita (pérdida del cliete o reiteto) Número de caales (carriles de ua calle ate u semáforo) e la cola e iterferecia etre ellos Disciplia de la cola Orde de selecció de sus miembros para ser atedidos FIFO, FIFO co límite LIFO SIRO (Aleatorio) Por prioridad (iterruptora o o) TEORÍA DE COLAS 6

7 Mecaismo de servicio SERVIDORES Proporcioa el servicio al cliete Número de servidores: Uo Varios Idepedecia o o etre servidores TIEMPO DE SERVICIO Determiista Probabilista (distribució de probabilidad expoecial) TASA MEDIA DE SERVICIO Número medio de clietes que so atedidos e u servidor por uidad de tiempo. Servicios a clietes so idepedietes e idéticamete distribuidas (IID) TEORÍA DE COLAS 7

8 Especificació de u sistema de colas Distribució del tiempo etre llegadas / Distribució del tiempo de servicio / Número de servidores / Número máximo de clietes e el sistema / Disciplia de la cola M D E G expoecial degeerada (tiempos costates) Erlag (Gamma) geeral Ejemplos: M/M/s M/M/s/K/FIFO M/M/s/s M/G/1 tiempo etre llegadas expoecial / tiempo de servicio expoecial / s servidores TEORÍA DE COLAS 8

9 Medidas de eficacia de u sistema de colas λ tasa de llegada 1/λ tiempo medio etre llegadas cosecutivas tasa de servicio 1/ tiempo medio de servicio ρ factor de utilizació (itesidad de tráfico): fracció esperada de tiempo que está ocupados los s servidores λ ρ = s habitualmete ρ < 1 N estado del sistema, úmero de clietes e el sistema (cola + servicio) L úmero medio de clietes e el sistema L = E[N] N q logitud de la cola, úmero de clietes e la cola L q úmero medio de clietes e la cola L q = E[N q ] T tiempo de estacia de los clietes e el sistema W tiempo medio de estacia de los clietes e el sistema W = E[T] T q tiempo de espera de los clietes e la cola W q tiempo medio de espera de los clietes e la cola W q = E[T q ] c úmero medio de servidores ocupados TEORÍA DE COLAS 9

10 Sistema de 8 servidores co 8 colas. Qué sistema de colas es más efectivo? Sistema de 1 cola que abastece a 8 servidores. TEORÍA DE COLAS 1

11 Fórmulas de Little para codició estacioaria e sistema M/M/1 La codició estacioaria se produce cuado la distribució del úmero de clietes e el sistema se coserva a través del tiempo. Número medio de clietes e el sistema/cola = tasa de llegada x tiempo medio de los clietes e el sistema/cola L = λw L q = λw q Tiempo medio de los clietes e el sistema = tiempo medio de los clietes e la cola + tiempo medio de servicio W = W q + 1/ Número medio de clietes e el sistema = úmero medio de clietes e la cola + factor de utilizació (úmero medio de clietes siedo atedidos) L = L q + λ/ NO PUEDEN UTILIZARSE SI HAY TASAS DE SERVICIO DIFERENTES. TEORÍA DE COLAS 11

12 Distribució expoecial T variable aleatoria tiempo etre llegadas o tiempo de servicio f T ( t) t αe α t = t < estrictamete decreciete e t α f T (t) t Probabilidad de ua llegada después del istate t P{ T > t} = e α 2 var( T ) = 1 α t 1/α FALTA DE MEMORIA: La distribució de la probabilidad del tiempo que falta para que ocurra el eveto es siempre la misma idepedietemete del tiempo que haya pasado α ( t+ t ) P{ T > t T > t + t} P{ T > t + t} e αt P{ T > t + t T > t} = = = e = P t { T > t α } P T > t e { } El míimo de variables aleatorias expoeciales tiee distribució expoecial. PA ( / B) PB ( ) PB ( / A) = PA ( ) TEORÍA DE COLAS 12

13 Procesos de Poisso Si los tiempos etre llegadas/servicios se distribuye segú ua expoecial el úmero de llegadas/servicios hasta u cierto tiempo es u proceso de Poisso. N( t ) úmero de ocurrecias (llegadas o servicios) e el tiempo t ( t ). Se distribuye segú ua Poisso co parámetro α t (α úmero medio de ocurrecias por uidad de tiempo) αt ( αt) e P{ N( t) = } = =,1,! αt P N ( t) = = e = P T > t { } { } [ ( )] = αt E N t La probabilidad de ocurrecia de u suceso e el siguiete itervalo (pequeño) de tiempo t sabiedo que o se ha producido hasta ese mometo t es t P T t + t T > t α t α { } TEORÍA DE COLAS 13

14 Procesos de Poisso PROPIEDAD REPRODUCTIVA: La suma de procesos de etrada de Poisso es tambié u proceso de Poisso siedo la tasa la suma de las tasas respectivas. DIVISIBILIDAD: Si las llegadas a u sistema so de tipo Poisso co tasa α y cada llegada es ecamiada a u subsistema s co ua probabilidad p i el proceso de llegada a cada subsistema es tambié de Poisso co tasa α p i TEORÍA DE COLAS 14

15 Modelo geeral. Proceso estacioario de acimieto y muerte Nacimieto = llegada de clietes al sistema Muerte = salida de clietes ua vez servidos N( t ) estado del sistema e tiempo t = úmero de cliete e el sistema Hipótesis: Distribució del tiempo que falta para la llegada es expoecial co parámetro λ =,1, siedo λ la tasa de llegada de clietes al sistema dado que hay clietes N ( t) = Distribució del tiempo que falta para la salida es expoecial co parámetro =,1, siedo la tasa de salida de clietes del sistema dado que hay clietes N ( t) = Idepedecia etre el tiempo hasta próxima llegada y tiempo hasta próxima salida TEORÍA DE COLAS 15

16 Diagrama de trasicioes Por ser proceso de Poisso, la probabilidad de ocurrecia de u suceso e u t es proporcioal a t siedo t Tato la llegada como la salida so procesos de Poisso e idepedietes, luego de u estado dado sólo se puede pasar a dos posibles estados. λ λ λ 2 λ -1 λ TEORÍA DE COLAS 16

17 Tasa media de llegada al estado λ 1P P + 1 Tasa media de salida del estado λ P + P P probabilidad de que haya clietes e el sistema de maera estacioaria Por ser el sistema estacioario (tasa medio de llegada = tasa media de salida) para cualquier estado λ 1P 1 + 1P 1 = λ P + P + + TEORÍA DE COLAS 17

18 = 1P1 λp = P1 = P 1 λ1λ = 1 λ P + 2P2 = ( λ 1 + 1) P1 P2 = P 2 1 λ2λ1λ = 2 λ 1P1 + 3P3 = ( λ 2 + 2) P2 P = P λ λ 1λ 2 λ P = P P = = λ 1λ 2 λ C = = 1,2, 1 1 C = 1 = 1 P = CP = 1 P = = = C = TEORÍA DE COLAS 18

19 Número medio de clietes e el sistema L = = Número medio de clietes e cola co s servidores L = ( s) P Tasa media de llegadas λ q = s = = P λ P TEORÍA DE COLAS 19

20 Cola M/M/1 Tasa media de llegada λ costate e idepediete del estado del sistema λ = λ Tasa media de servicio costate e idepediete del estado del sistema = λ Factor de utilizació ρ = Para alcazar estado estable ρ < 1 λ λ λ λ λ C λ = = ρ P P P = ρ 1 = = 1 ρ ρ = P = (1 ρ) ρ =,1,2, TEORÍA DE COLAS 2

21 Medidas de fucioamieto de cola M/M/1 Número medio de clietes e el sistema ρ λ L = P = = = 1 ρ λ Número medio de clietes e cola co 1 servidor 2 2 ρ λ Lq = ( 1) P = = = 1 1 ρ ( λ) Tiempo medio de los clietes e el sistema L 1 1 W = = = λ λ (1 ρ ) Tiempo medio de los clietes e cola 1 ρ Wq = W = (1 ρ) Factor de utilizació del servidor ρ = L L = 1 P Probabilidad de tiempo de espera e cola ulo P = 1 ρ = P{ W q = } (1 )t Probabilidad de tiempo de espera e cola > t P{ W t} ρe ρ (1 )t Probabilidad de tiempo de estacia e el sistema > t P{ W t} e ρ q q > = t > = t TEORÍA DE COLAS 21

22 Cola M/M/s Tasa media de llegada λ costate e idepediete del estado del sistema λ = λ s Tasa media de servicio = s > s λ Factor de utilizació ρ = Para alcazar estado estable ρ < 1 s λ λ λ λ s-2 s-1 s 2 (s-1) s TEORÍA DE COLAS 22

23 C 1 λ! = 1 λ λ s! s s s s > s P = = = s s s s 1 s 1 C 1 λ 1 λ λ 1 λ 1 λ ! + = s s! s + 1! + s! λ = = = 1 s P = s 1 = 1 ( sρ ) ( sρ ) +! s!(1 ρ) s P 1 λ P s! = 1 λ 1 P s s s! > s TEORÍA DE COLAS 23

24 Medidas de fucioamieto de cola M/M/s ( λ ) Número medio de clietes e cola co s servidores ρ Lq = P 2 s!(1 ρ) Número medio de clietes e el sistema λ L = Lq + Tiempo medio de los clietes e cola Lq Wq = λ Tiempo medio de los clietes e el sistema L 1 W = = Wq + λ Probabilidad de tiempo de estacia e el sistema > t ( 1 ) { } s 1 1 t s λ t P λ e P W > t = e + s!(1 ρ) s 1 λ t s (1 ) Probabilidad de tiempo de espera e cola > t P{ Wq > t} = 1 P{ Wq } = e s 1 Probabilidad de tiempo de espera e cola ulo P{ Wq = } = = s P t t TEORÍA DE COLAS 24

25 Cola M/M/s/K K úmero máximo de clietes e el sistema (por ejemplo, lugares dispoibles para los clietes camillas-) No se permite la etrada cuado el sistema está lleo. λ =,1,2,, K 1 Tasa media de llegada λ = K Número de servidores iferior al úmero máximo de clietes s K 1 λ,1,2,, s! = s s 1 λ λ C = s, s 1,, K s! = + s > K 1 λ P,1,2,, s! = s s 1 λ λ P = P s, s 1,, K s! = + s > K TEORÍA DE COLAS 25

26 P 1 1 = = s K P 1 λ 1 λ λ = =! + s! = s+ 1 s K s s Número medio de clietes e cola Número medio de clietes e el sistema ( λ ) s ρ Lq = P K s s!(1 ρ) K s K s 2 1 ρ ( ) ρ (1 ρ) s 1 s 1 L = P + L + s(1 P ) Tasa media de llegada (etrada efectiva) λef = λ(1 PK ) Tiempo medio de los clietes e cola Lq Wq = λ EF Tiempo medio de los clietes e el sistema L W = λ q = = EF TEORÍA DE COLAS 26

27 Cola M/G/1 Tiempos etre llegadas idepedietes y distribució expoecial co tasa de llegada λ Tiempos de servicio idepedietes y distribució geeral F ( ) co media 1 y variaza 2 σ No se puede aplicar el proceso geeralizado de acimieto y muerte ρ + λ σ λ Fórmula de Pollaczek-Khitchie: L = ρ + siedo ρ =. 2(1 ρ) TEORÍA DE COLAS 27

28 Sistema cerrado co cola M/M/1 Fuete fiita de tamaño m. Clietes ua vez servidos vuelve a la fuete. Tiempos etre llegadas idepedietes y distribució expoecial co tasa de llegada ( m ) λ < m depediete del úmero de clietes e el sistema λ = m Probabilidad de cada estado m! P = ρ P = ( m + 1) ρp 1 < m 1 m m! ρ ( m )! y P = 1 + = 1 ( m )! P = > m λ siedo ρ = TEORÍA DE COLAS 28

29 Tasa media de llegada al sistema λef = ( m L) λ 1+ ρ Número medio de clietes e cola Lq = m (1 p) ρ 1 p Número medio de clietes e el sistema L = m ρ Lq 1 m 1+ ρ Tiempo medio de los clietes e cola Wq = = ( m L) λ 1 p ρ L Tiempo medio de los clietes e el sistema W = ( m L ) λ TEORÍA DE COLAS 29

30 Sistema cerrado co cola M/M/s Fuete fiita de tamaño m. Clietes ua vez servidos vuelve a la fuete. Tiempos etre llegadas idepedietes y distribució expoecial co tasa de llegada ( m ) λ < m depediete del úmero de clietes e el sistema λ = m s Tasa media de servicio = s s m Probabilidad de cada estado m λ P s P λ = siedo ρ = m!( λ / ) s P s s m s! s Tasa media de llegada al sistema λef = ( m L) λ TEORÍA DE COLAS 3

31 Cola M/M/s/s Capacidad del sistema es igual úmero de servidores (cetrales telefóicas). Probabilidad de que el sistema esté saturado (úmero de clietes igual a úmero de s ( sρ) / s! servidores) Ps = s i ( sρ) / i! i= TEORÍA DE COLAS 31

32 Cola M/M/ El sistema tiee u úmero muy grade de servidores (sistemas de autoservicio, visitas a ua ciudad). Tasa de llegadas λ = λ Tasa de servicios = λ / ( λ / ) Probabilidad de cada estado p = e =,1,...! λ 1 Medidas de fucioamieto de la cola L = ; Lq = ; W = ; Wq = TEORÍA DE COLAS 32

33 Diseño óptimo de los sistemas de colas Objetivo: Determiar el ivel de servicio que miimiza la suma de costes icurridos por proporcioar el servicio + costes de los clietes por estar e el sistema (Número medio de clietes e el sistema L por coste de estacia de cada cliete C c ) Coste de los clietes: Pérdidas de gaacia por pérdida de clietes Coste social del servicio Pérdida de productividad Decisioes: Número de servidores por istalació s Eficiecia de los servidores Número de sistemas e servicio (istalacioes) λ TEORÍA DE COLAS 33

34 Optimizar el úmero de servidores, λ coocidos y fijos C coste por servidor por uidad de tiempo s [ ] mi E CT ( s) = sc + C L( s) s N CT ( s 1) CT ( s) CT ( s + 1) s c Cs L( s) L( s + 1) L( s 1) L( s) C c TEORÍA DE COLAS 34

35 Optimizar la tasa de servicio λ coocida y fija C coste por uidad de tasa de servicio por uidad de tiempo [ ] mi E CT ( ) = C + C L( ) c Para cola M/M/1 L = λ λ [ ( )] E CT = = λ + Ccλ C TEORÍA DE COLAS 35

36 Optimizar la tasa de servicio y la capacidad del sistema λ coocida y fija C K coste por uidad de capacidad por uidad de tiempo C coste por clietes perdidos por uidad de tiempo p [ ] E CT (, K) = C + C L(, K) + KC + λp C K N c K K p TEORÍA DE COLAS 36

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